浙江省杭州第四中学下沙校区2022-2023学年高二上学期数学期中考试试卷

浙江省杭州第四中学下沙校区2022-2023学年高二上学期数学期中考试试卷
一、单选题
1．（2022高二上·杭州期中）已知直线l的方程为，则直线的倾斜角为（　　）
A． B．60° C．150° D．120°
2．（2020高二上·湖州期末）在空间直角坐标系 中，点 关于平面 对称的点Q的坐标是（　　）
A． B． C． D．
3．（2022高二上·杭州期中）若直线和直线平行，则的值为（　　）
A．1 B． C．1或 D．
4．（2022高二上·杭州期中）已知，则“”是“方程表示椭圆”的（　　）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2018高二上·巴彦月考）直线 分别与 轴， 轴交于 ， 两点，点 在圆 上，则 面积的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2022高二下·红塔月考）已知 是双曲线 的左焦点，点 ， 是双曲线右支上的动点，则 的最小值为（　　）
A．9 B．5 C．8 D．4
7．（2022高二上·杭州期中）空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（　　）
A． B． C． D．
8．（2022高二上·杭州期中）已知点是正方体底面内一动点，且满足，设与平面所成的角为，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2022高二上·广丰月考）（多选）已知直线，则下列说法正确的是（　　）．
A．直线的斜率可以等于0
B．若直线与轴的夹角为30°，则或
C．直线恒过点
D．若直线在两坐标轴上的截距相等，则或
10．（2021·新高考Ⅱ卷）已知直线 与圆 ，点 ，则下列说法正确的是（　　）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
11．（2022高二上·杭州期中）设椭圆的左、右焦点分别为，短轴长为4，A，B是椭圆上关于x轴对称的两点，的周长的最大值为12．过点的直线交椭圆于C，D两点，且C，D关于点M对称，则下列结论正确的有（　　）
A．椭圆的方程为
B．椭圆的焦距为
C．椭圆上存在4个点Q，使得
D．直线CD的方程为
12．（2022高二上·杭州期中）我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆，，，，为顶点，，为焦点，为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆为“黄金椭圆”的有（　　）
A．2=2
B．
C．轴，且
D．四边形的内切圆过焦点，
三、填空题
13．（2022高二上·杭州期中）台风中心从A地以的速度向东北方向移动，离台风中心内的地区为危险区，城市B在A地正东处，则城市B处于危险区内的持续时间为　 　h．
14．（2022高三上·浙江月考）已知双曲线恰好满足下列条件中的两个：①过点；②渐近线方程为；③离心率．则双曲线C方程为　 　．
15．（2022高二上·鞍山期中）在我国古代数学名著《九章算术》中，四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．已知在鳖臑中，平面ABC，．M为PC的中点，则点P到平面MAB的距离为　 　．
16．（2022高二上·杭州期中）设P是椭圆上的任一点，EF为圆的任一条直径，则的最大值为　 　．
四、解答题
17．（2022高二上·杭州期中）如图，正四面体（四个面都是正三角形）OABC的棱长为1，M是棱BC的中点，点N满足，点P满足．
（1）用向量表示；
（2）求．
18．（2022高二上·杭州期中）动点与定点的距离等于点P到直线的距离，设动点P的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）经过定点直线与曲线交于两点，且点M是线段AB的中点，求直线的方程．
19．（2022高二上·杭州期中）在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．
①与直线垂直；②过点；③与直线平行．
问题：已知直线l过点，且____．
（1）求直线l的一般式方程；
（2）已知，O为坐标原点，在直线l上求点N坐标，使得最大．
20．（2022高二上·杭州期中）如图，在斜三棱柱中，在，在底面的射影为的中点，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
21．（2022高二上·杭州期中）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为．设曲线C上任意一点满足（且）．
（1）求曲线C的方程，并指出此曲线的形状；
（2）对的两个不同取值，记对应的曲线为．
（i）若曲线关于某直线对称，求的积；
（ii）若，判断两曲线的位置关系，并说明理由．
22．（2022高二上·杭州期中）如图，椭圆经过点，且离心率为
（1）求椭圆的方程：
（2）经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同两点、（均异于点），证明：直线与的斜率之和为定值，并求出此值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】由题意直线的斜率为，而倾斜角大于等于且小于，
故倾斜角为．
故答案为：C．
【分析】由直线方程得斜率，从而可得倾斜角.
2．【答案】D
【知识点】图形的对称性
【解析】【解答】点 关于平面 对称点，横坐标，竖坐标不变，纵坐标变为原来的相反数
则对称点
故答案为：D
【分析】由点 关于平面 对称点的横，纵，竖坐标的关系求解即可.
3．【答案】A
【知识点】平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】直线和直线平行，
，
解得或，
经检验不符合题意，
∴
故答案为：A．
【分析】由直线平行可得，解方程，排除重合，可得m的值.
4．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；椭圆的定义
【解析】【解答】方程表示椭圆，则，
所以“”是“方程表示椭圆”的充分不必要条件.
故答案为：B
【分析】求得方程表示椭圆的条件，结合充分条件、必要条件的定义可得答案.
5．【答案】A
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解： 直线 分别与 轴， 轴交于 ， 两点
,则
点P在圆 上
圆心为（2，0），则圆心到直线距离
故点P到直线 的距离 的范围为
则
故答案为：A.
【分析】求出A和B的坐标，结合点到直线的距离公式，即可求出三角形面积的取值范围.
6．【答案】A
【知识点】双曲线的定义
【解析】【解答】解：设右焦点为F'，则F'(4，0)， 依题意，有PF|=|PF'|+4，
|PF|+|PA|=|PF'|+|PA|+4≥|AF'|+4=5+4=9(当P在线段AF'上时，取等号)
故|PF|+|PA|的最小值为9.
故答案为：A
【分析】根据双曲线的定义转化为|PF|+|PA|=|PF'|+|PA|+4可求解.
7．【答案】B
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】因为平面的方程为，故其法向量为，
因为直线的方程为，故其方向向量为，
故直线与平面所成角的正弦值为，
故答案为：B.
【分析】根据给定的条件可得平面的法向量和直线的方向向量，利用公式可求出直线与平面所成角的正弦值.
8．【答案】A
【知识点】轨迹方程；空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】解：以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为2，
设，则，因为，
所以，
即，
所以点的轨迹为以点为球心，为半径的球与正方体表面的交线，
即为如图的，，，
要使得与底面所成的角最大，
则与底面的交点到点的距离最短，
从而点在上，且在上，
则，
从而，所以的最大值为.
故答案为：A．
【分析】以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，设正方体的边长为2，设，根据已知条件结合两点间的距离公式，求的动点P的轨迹方程，要使得与底面所成的角最大，从而点在上，且在上，再由直线与平面的夹角可得，从而可求出 的最大值 .
9．【答案】B,D
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率；直线的截距式方程；恒过定点的直线
【解析】【解答】当时，直线，斜率不存在，
当时，直线的斜率为，不可能等于0，A选项错误；
∵直线与轴的夹角角为30°，
∴直线的倾斜角为60°或120°，而直线的斜率为，
∴或，∴或，B选项正确；
直线的方程可化为，所以直线过定点，C选项错误；
当时，直线，在轴上的截距不存在，
当时，令，得，令，得，
令，得，D选项正确．
故答案为：BD．
【分析】 讨论m=0和时直线的斜率和截距情况，判断A、D；利用倾斜角和斜率的关系判断B；将方程化为判断直线过定点，判断C.
10．【答案】A,B,D
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由题意得圆心C（0,0）到直线l：ax+by-r2=0的距离
对于A，若点A在圆C上，则a2+b2=r2，则，则直线l与圆C相切，故A正确；
对于B，若点A在圆C内，则a2+b2对于C，若点A在圆C外，则a2+b2>r2，则，则直线l与圆C相交，故C错误；
对于D，若点A在直线l上，则a2+b2-r2=0，即a2+b2=r2，则，则直线l与圆C相切，故D正确.
故答案为：ABD
【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为a2+b2，r2的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.
11．【答案】A,C,D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】对于A，由题意知，当过点时，等号成立，
所以，故当过右焦点时，的周长取最大值，所以，又，所以椭圆的方程为，A符合题意；
对于B，由A知，所以，即焦距为，B不符合题意；
对于C，由知，在以线段为直径的圆上，
由知：以线段为直径的圆与椭圆有个交点，即椭圆上存在个点，使得，C符合题意；
对于D，由题意知点为弦的中点，在椭圆内部，
设，，则，，
两式相减得：．
，，则，，
直线的方程为：，即，D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】 由椭圆的定义求出a的值，再利用勾股定理求出c的值，进而可以求出椭圆的方程，即可判断A、B；再由知，故点在以线段为直径的圆上，即可判断C；设出C、D的坐标并代入椭圆方程，利用点差法求出直线CD的方程，即可判断D.
12．【答案】B,D
【知识点】归纳推理
【解析】【解答】，由条件得到，即或（舍，解得：，A不符合题意；
，若，则由射影定理可得：，
即，所以，即，，
解得；B符合题意；
，若轴，如图可得，又，则斜率相等，所以，即，或，显然不符合，
所以，C不符合题意；
，因为四边形为菱形，若命题正确则内切圆的圆心为原点，由圆的对称性可知，
圆心到直线的距离等于，
因为直线的方程为：，即，所以原点到直线的距离，
由题意知：，又，整理得：，，，
解得，
所以，D符合题意，
故答案为：．
【分析】 根据椭圆的性质求出离心率判断A；根据射影定理以及离心率公式判断B；根据，结合斜率公式以及离心率公式判断C；由圆的对称性可知，圆心到直线的距离等于，进一步得出，结合离心率公式，判断D.
13．【答案】
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】设台风运动到处和处距离点，过作于，如图所示：
，，，
，
处于危险区的时间为小时．
故答案为：．
【分析】求出台风路径上距离点的两点间距离即可求出城市B处于危险区内的持续时间.
14．【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】若选②③，，得，又，化简得，
可得，不符题意，故答案为：②③错；
若选①③，，得，过点，得，又由，得到，无解，故答案为：①③错；
若选①②，，化简得，又由且过点，得，解得，
故此时，双曲线C方程为
故答案为：
【分析】分类讨论，若选②③，由离心率可得a， b的关系，求出渐近线的方程，可得，不符题意；若选①③，由离心率的值可得a， b的关系，将M点的坐标代入不成立；选①②时，由②可得a， b的关系，将M点的坐标代入，可得a， b的值，求出双曲线的方程.
15．【答案】
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】因为平面ABC，平面ABC，所以，
依题意可知平面，
所以平面，
由于是的中点，所以到平面的距离是到平面的距离的一半，
即到平面的距离是.
，，
所以，
由于，所以，
，
设到平面的距离为，则，
即。
故答案为：。
【分析】利用平面ABC结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以，依题意可知再结合线线垂直证出线面垂直，所以平面，由于是的中点，所以到平面的距离是到平面的距离的一半，从而得出点到平面的距离，再利用结合勾股定理得出PC的长，进而得出AM的长，由于结合三角形的面积公式得出和的值，设到平面的距离为，则，再利用三棱锥的体积公式得出h的值，从而得出点P到平面MAB的距离。
16．【答案】
【知识点】二次函数的性质；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】圆的圆心为，半径长为，
设点，则且，
，，
所以
，
所以，当时，取得最大值，即.
故答案为：.
【分析】设点，则且，计算得出，利用二次函数的基本性质可求出 的最大值 .
17．【答案】（1）解：因为M是棱BC的中点，点N满足，点P满足．
所以
．
（2）解：因为四面体是正四面体，则，
，
，
所以．
【知识点】向量加法的三角形法则；平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）根据向量加法和数乘运算，向量减法的三角形法则即可表示出 ；
（2） 根据已知条件，结合向量数量积的运算求出 ，从而求出 的值．
18．【答案】（1）解：根据抛物线的定义可知，动点P的轨迹为抛物线，
且该抛物线以为焦点，所以所以，
所以曲线的方程为.
（2）解：若直线垂直于轴，则AB的中点在轴上，不满足题意，
若直线不垂直于轴，设，且，
因为在曲线上，所以，两式相减得，
，所以，
即，所以的方程为整理得.
【知识点】直线的两点式方程；轨迹方程
【解析】【分析】(1)利用已知条件转化为抛物线方程求解，即可得曲线的方程；
(2) 设， 且，利用 在曲线上 ，得到 ，两式相减求出直线的斜率为2，得到直线的方程.
19．【答案】（1）解：选择①与直线垂直，
则直线的斜率，解得，又其过点，
则直线的方程为：，整理得：；
选择②过点，又直线过点
则直线的斜率，
则直线的方程为：，整理得：；
选择③与直线平行，
则直线的斜率，又其过点，
则直线的方程为：，整理得：；
综上所述，不论选择哪个条件，直线的方程均为：.
（2）解：根据（1）中所求，可得直线的方程为：，又，
设点关于直线的对称点为，
则，且，解得，即；
根据题意，作图如下：
显然，但且仅当三点共线时取得等号；
又直线的斜率，故其方程为：，即，
联立，可得，
即点的坐标为时，使得最大.
【知识点】直线的点斜式方程
【解析】【分析】（1）选择不同的条件，根据直线垂直、平行时斜率之间的关系，可求出直线的斜率，即可求出直线的方程；
（2）求得点关于直线的对称点为 的坐标，数形结合，求两直线的交点坐标，即可求出点的坐标，使得最大.
20．【答案】（1）证明：取中点，
因为为的中点，是中点，
所以，，
因为平面，平面，
所以
因为平面，
所以平面，
因为为线段中点，所以四边形是平行四边形，
所以且因为所以
因为，所以四边形为平行四边形，
所以，所以平面.
（2）解：由(1)可得，以为轴，建系如图，
则
因为，所以，则，
因为，
所以，
设平面的一个法向量为，
因为，
所以，令，则，
所以，
设平面的一个法向量为，
因为，
所以，令，则，
所以，
设平面与平面夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 取中点， 推出 ， 得 平面 ，推出 利用直线与平面垂直的判定定理可证得 平面 ，进而证得 平面；
（2）以为轴，建系，求出平面的一个法向量和平面的一个法向量，利用向量法可求出平面与平面夹角的余弦值.
21．【答案】（1）解：由两点间的距离公式可得
平方整理得
又因为且，所配方整理得
因为且，所以此曲线表示圆.
（2）解：（i）曲线关于某直线对称，所以两圆的半径相等，
即，平方整理得
即，因为，且且，
所以.
（ii）两圆圆心间的距离
两圆的半径差
而
所以，所以两圆内含.
【知识点】平面内两点间的距离公式；圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【分析】(1)由题意得 由此能求出曲线C的方程，且曲线C 表示圆；
(2) （i）曲线关于某直线对称，所以两圆的半径相等，即，整理得；
（ii）根据两圆圆心距和半径差的大小关系即可确定位置关系.
22．【答案】（1）解：由题设知，，解得，
所以，椭圆的方程为.
（2）解：由题意直线的方程为，
若，则直线的方程为，此时直线与椭圆相切，不合乎题意；
若，因为，则点在椭圆外，
联立可得，
则，可得，解得或，
设点、，由韦达定理可得，，
所以，
.
综上所述，直线与的斜率之和为定值.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)把已知点 代入椭圆方程可求得b，然后应用离心率公式并结合a2=b2+c2求得a，可得椭圆的方程；
(2)设直线PQ方程，代入椭圆方程，整理出关系式， 设点、，由韦达定理可得，，由直线与椭圆有两个交点，可得判别式 ，分别写出AP， AQ两直线的斜率，再相加，再利用x1和x2的关系即可证明出直线与的斜率之和为定值.
1 / 1浙江省杭州第四中学下沙校区2022-2023学年高二上学期数学期中考试试卷
一、单选题
1．（2022高二上·杭州期中）已知直线l的方程为，则直线的倾斜角为（　　）
A． B．60° C．150° D．120°
【答案】C
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】由题意直线的斜率为，而倾斜角大于等于且小于，
故倾斜角为．
故答案为：C．
【分析】由直线方程得斜率，从而可得倾斜角.
2．（2020高二上·湖州期末）在空间直角坐标系 中，点 关于平面 对称的点Q的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】图形的对称性
【解析】【解答】点 关于平面 对称点，横坐标，竖坐标不变，纵坐标变为原来的相反数
则对称点
故答案为：D
【分析】由点 关于平面 对称点的横，纵，竖坐标的关系求解即可.
3．（2022高二上·杭州期中）若直线和直线平行，则的值为（　　）
A．1 B． C．1或 D．
【答案】A
【知识点】平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】直线和直线平行，
，
解得或，
经检验不符合题意，
∴
故答案为：A．
【分析】由直线平行可得，解方程，排除重合，可得m的值.
4．（2022高二上·杭州期中）已知，则“”是“方程表示椭圆”的（　　）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；椭圆的定义
【解析】【解答】方程表示椭圆，则，
所以“”是“方程表示椭圆”的充分不必要条件.
故答案为：B
【分析】求得方程表示椭圆的条件，结合充分条件、必要条件的定义可得答案.
5．（2018高二上·巴彦月考）直线 分别与 轴， 轴交于 ， 两点，点 在圆 上，则 面积的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解： 直线 分别与 轴， 轴交于 ， 两点
,则
点P在圆 上
圆心为（2，0），则圆心到直线距离
故点P到直线 的距离 的范围为
则
故答案为：A.
【分析】求出A和B的坐标，结合点到直线的距离公式，即可求出三角形面积的取值范围.
6．（2022高二下·红塔月考）已知 是双曲线 的左焦点，点 ， 是双曲线右支上的动点，则 的最小值为（　　）
A．9 B．5 C．8 D．4
【答案】A
【知识点】双曲线的定义
【解析】【解答】解：设右焦点为F'，则F'(4，0)， 依题意，有PF|=|PF'|+4，
|PF|+|PA|=|PF'|+|PA|+4≥|AF'|+4=5+4=9(当P在线段AF'上时，取等号)
故|PF|+|PA|的最小值为9.
故答案为：A
【分析】根据双曲线的定义转化为|PF|+|PA|=|PF'|+|PA|+4可求解.
7．（2022高二上·杭州期中）空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】因为平面的方程为，故其法向量为，
因为直线的方程为，故其方向向量为，
故直线与平面所成角的正弦值为，
故答案为：B.
【分析】根据给定的条件可得平面的法向量和直线的方向向量，利用公式可求出直线与平面所成角的正弦值.
8．（2022高二上·杭州期中）已知点是正方体底面内一动点，且满足，设与平面所成的角为，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】轨迹方程；空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】解：以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为2，
设，则，因为，
所以，
即，
所以点的轨迹为以点为球心，为半径的球与正方体表面的交线，
即为如图的，，，
要使得与底面所成的角最大，
则与底面的交点到点的距离最短，
从而点在上，且在上，
则，
从而，所以的最大值为.
故答案为：A．
【分析】以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，设正方体的边长为2，设，根据已知条件结合两点间的距离公式，求的动点P的轨迹方程，要使得与底面所成的角最大，从而点在上，且在上，再由直线与平面的夹角可得，从而可求出 的最大值 .
二、多选题
9．（2022高二上·广丰月考）（多选）已知直线，则下列说法正确的是（　　）．
A．直线的斜率可以等于0
B．若直线与轴的夹角为30°，则或
C．直线恒过点
D．若直线在两坐标轴上的截距相等，则或
【答案】B,D
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率；直线的截距式方程；恒过定点的直线
【解析】【解答】当时，直线，斜率不存在，
当时，直线的斜率为，不可能等于0，A选项错误；
∵直线与轴的夹角角为30°，
∴直线的倾斜角为60°或120°，而直线的斜率为，
∴或，∴或，B选项正确；
直线的方程可化为，所以直线过定点，C选项错误；
当时，直线，在轴上的截距不存在，
当时，令，得，令，得，
令，得，D选项正确．
故答案为：BD．
【分析】 讨论m=0和时直线的斜率和截距情况，判断A、D；利用倾斜角和斜率的关系判断B；将方程化为判断直线过定点，判断C.
10．（2021·新高考Ⅱ卷）已知直线 与圆 ，点 ，则下列说法正确的是（　　）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
【答案】A,B,D
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由题意得圆心C（0,0）到直线l：ax+by-r2=0的距离
对于A，若点A在圆C上，则a2+b2=r2，则，则直线l与圆C相切，故A正确；
对于B，若点A在圆C内，则a2+b2对于C，若点A在圆C外，则a2+b2>r2，则，则直线l与圆C相交，故C错误；
对于D，若点A在直线l上，则a2+b2-r2=0，即a2+b2=r2，则，则直线l与圆C相切，故D正确.
故答案为：ABD
【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为a2+b2，r2的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.
11．（2022高二上·杭州期中）设椭圆的左、右焦点分别为，短轴长为4，A，B是椭圆上关于x轴对称的两点，的周长的最大值为12．过点的直线交椭圆于C，D两点，且C，D关于点M对称，则下列结论正确的有（　　）
A．椭圆的方程为
B．椭圆的焦距为
C．椭圆上存在4个点Q，使得
D．直线CD的方程为
【答案】A,C,D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】对于A，由题意知，当过点时，等号成立，
所以，故当过右焦点时，的周长取最大值，所以，又，所以椭圆的方程为，A符合题意；
对于B，由A知，所以，即焦距为，B不符合题意；
对于C，由知，在以线段为直径的圆上，
由知：以线段为直径的圆与椭圆有个交点，即椭圆上存在个点，使得，C符合题意；
对于D，由题意知点为弦的中点，在椭圆内部，
设，，则，，
两式相减得：．
，，则，，
直线的方程为：，即，D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】 由椭圆的定义求出a的值，再利用勾股定理求出c的值，进而可以求出椭圆的方程，即可判断A、B；再由知，故点在以线段为直径的圆上，即可判断C；设出C、D的坐标并代入椭圆方程，利用点差法求出直线CD的方程，即可判断D.
12．（2022高二上·杭州期中）我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆，，，，为顶点，，为焦点，为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆为“黄金椭圆”的有（　　）
A．2=2
B．
C．轴，且
D．四边形的内切圆过焦点，
【答案】B,D
【知识点】归纳推理
【解析】【解答】，由条件得到，即或（舍，解得：，A不符合题意；
，若，则由射影定理可得：，
即，所以，即，，
解得；B符合题意；
，若轴，如图可得，又，则斜率相等，所以，即，或，显然不符合，
所以，C不符合题意；
，因为四边形为菱形，若命题正确则内切圆的圆心为原点，由圆的对称性可知，
圆心到直线的距离等于，
因为直线的方程为：，即，所以原点到直线的距离，
由题意知：，又，整理得：，，，
解得，
所以，D符合题意，
故答案为：．
【分析】 根据椭圆的性质求出离心率判断A；根据射影定理以及离心率公式判断B；根据，结合斜率公式以及离心率公式判断C；由圆的对称性可知，圆心到直线的距离等于，进一步得出，结合离心率公式，判断D.
三、填空题
13．（2022高二上·杭州期中）台风中心从A地以的速度向东北方向移动，离台风中心内的地区为危险区，城市B在A地正东处，则城市B处于危险区内的持续时间为　 　h．
【答案】
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】设台风运动到处和处距离点，过作于，如图所示：
，，，
，
处于危险区的时间为小时．
故答案为：．
【分析】求出台风路径上距离点的两点间距离即可求出城市B处于危险区内的持续时间.
14．（2022高三上·浙江月考）已知双曲线恰好满足下列条件中的两个：①过点；②渐近线方程为；③离心率．则双曲线C方程为　 　．
【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】若选②③，，得，又，化简得，
可得，不符题意，故答案为：②③错；
若选①③，，得，过点，得，又由，得到，无解，故答案为：①③错；
若选①②，，化简得，又由且过点，得，解得，
故此时，双曲线C方程为
故答案为：
【分析】分类讨论，若选②③，由离心率可得a， b的关系，求出渐近线的方程，可得，不符题意；若选①③，由离心率的值可得a， b的关系，将M点的坐标代入不成立；选①②时，由②可得a， b的关系，将M点的坐标代入，可得a， b的值，求出双曲线的方程.
15．（2022高二上·鞍山期中）在我国古代数学名著《九章算术》中，四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．已知在鳖臑中，平面ABC，．M为PC的中点，则点P到平面MAB的距离为　 　．
【答案】
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】因为平面ABC，平面ABC，所以，
依题意可知平面，
所以平面，
由于是的中点，所以到平面的距离是到平面的距离的一半，
即到平面的距离是.
，，
所以，
由于，所以，
，
设到平面的距离为，则，
即。
故答案为：。
【分析】利用平面ABC结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以，依题意可知再结合线线垂直证出线面垂直，所以平面，由于是的中点，所以到平面的距离是到平面的距离的一半，从而得出点到平面的距离，再利用结合勾股定理得出PC的长，进而得出AM的长，由于结合三角形的面积公式得出和的值，设到平面的距离为，则，再利用三棱锥的体积公式得出h的值，从而得出点P到平面MAB的距离。
16．（2022高二上·杭州期中）设P是椭圆上的任一点，EF为圆的任一条直径，则的最大值为　 　．
【答案】
【知识点】二次函数的性质；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】圆的圆心为，半径长为，
设点，则且，
，，
所以
，
所以，当时，取得最大值，即.
故答案为：.
【分析】设点，则且，计算得出，利用二次函数的基本性质可求出 的最大值 .
四、解答题
17．（2022高二上·杭州期中）如图，正四面体（四个面都是正三角形）OABC的棱长为1，M是棱BC的中点，点N满足，点P满足．
（1）用向量表示；
（2）求．
【答案】（1）解：因为M是棱BC的中点，点N满足，点P满足．
所以
．
（2）解：因为四面体是正四面体，则，
，
，
所以．
【知识点】向量加法的三角形法则；平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）根据向量加法和数乘运算，向量减法的三角形法则即可表示出 ；
（2） 根据已知条件，结合向量数量积的运算求出 ，从而求出 的值．
18．（2022高二上·杭州期中）动点与定点的距离等于点P到直线的距离，设动点P的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）经过定点直线与曲线交于两点，且点M是线段AB的中点，求直线的方程．
【答案】（1）解：根据抛物线的定义可知，动点P的轨迹为抛物线，
且该抛物线以为焦点，所以所以，
所以曲线的方程为.
（2）解：若直线垂直于轴，则AB的中点在轴上，不满足题意，
若直线不垂直于轴，设，且，
因为在曲线上，所以，两式相减得，
，所以，
即，所以的方程为整理得.
【知识点】直线的两点式方程；轨迹方程
【解析】【分析】(1)利用已知条件转化为抛物线方程求解，即可得曲线的方程；
(2) 设， 且，利用 在曲线上 ，得到 ，两式相减求出直线的斜率为2，得到直线的方程.
19．（2022高二上·杭州期中）在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．
①与直线垂直；②过点；③与直线平行．
问题：已知直线l过点，且____．
（1）求直线l的一般式方程；
（2）已知，O为坐标原点，在直线l上求点N坐标，使得最大．
【答案】（1）解：选择①与直线垂直，
则直线的斜率，解得，又其过点，
则直线的方程为：，整理得：；
选择②过点，又直线过点
则直线的斜率，
则直线的方程为：，整理得：；
选择③与直线平行，
则直线的斜率，又其过点，
则直线的方程为：，整理得：；
综上所述，不论选择哪个条件，直线的方程均为：.
（2）解：根据（1）中所求，可得直线的方程为：，又，
设点关于直线的对称点为，
则，且，解得，即；
根据题意，作图如下：
显然，但且仅当三点共线时取得等号；
又直线的斜率，故其方程为：，即，
联立，可得，
即点的坐标为时，使得最大.
【知识点】直线的点斜式方程
【解析】【分析】（1）选择不同的条件，根据直线垂直、平行时斜率之间的关系，可求出直线的斜率，即可求出直线的方程；
（2）求得点关于直线的对称点为 的坐标，数形结合，求两直线的交点坐标，即可求出点的坐标，使得最大.
20．（2022高二上·杭州期中）如图，在斜三棱柱中，在，在底面的射影为的中点，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明：取中点，
因为为的中点，是中点，
所以，，
因为平面，平面，
所以
因为平面，
所以平面，
因为为线段中点，所以四边形是平行四边形，
所以且因为所以
因为，所以四边形为平行四边形，
所以，所以平面.
（2）解：由(1)可得，以为轴，建系如图，
则
因为，所以，则，
因为，
所以，
设平面的一个法向量为，
因为，
所以，令，则，
所以，
设平面的一个法向量为，
因为，
所以，令，则，
所以，
设平面与平面夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 取中点， 推出 ， 得 平面 ，推出 利用直线与平面垂直的判定定理可证得 平面 ，进而证得 平面；
（2）以为轴，建系，求出平面的一个法向量和平面的一个法向量，利用向量法可求出平面与平面夹角的余弦值.
21．（2022高二上·杭州期中）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为．设曲线C上任意一点满足（且）．
（1）求曲线C的方程，并指出此曲线的形状；
（2）对的两个不同取值，记对应的曲线为．
（i）若曲线关于某直线对称，求的积；
（ii）若，判断两曲线的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）解：由两点间的距离公式可得
平方整理得
又因为且，所配方整理得
因为且，所以此曲线表示圆.
（2）解：（i）曲线关于某直线对称，所以两圆的半径相等，
即，平方整理得
即，因为，且且，
所以.
（ii）两圆圆心间的距离
两圆的半径差
而
所以，所以两圆内含.
【知识点】平面内两点间的距离公式；圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【分析】(1)由题意得 由此能求出曲线C的方程，且曲线C 表示圆；
(2) （i）曲线关于某直线对称，所以两圆的半径相等，即，整理得；
（ii）根据两圆圆心距和半径差的大小关系即可确定位置关系.
22．（2022高二上·杭州期中）如图，椭圆经过点，且离心率为
（1）求椭圆的方程：
（2）经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同两点、（均异于点），证明：直线与的斜率之和为定值，并求出此值.
【答案】（1）解：由题设知，，解得，
所以，椭圆的方程为.
（2）解：由题意直线的方程为，
若，则直线的方程为，此时直线与椭圆相切，不合乎题意；
若，因为，则点在椭圆外，
联立可得，
则，可得，解得或，
设点、，由韦达定理可得，，
所以，
.
综上所述，直线与的斜率之和为定值.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)把已知点 代入椭圆方程可求得b，然后应用离心率公式并结合a2=b2+c2求得a，可得椭圆的方程；
(2)设直线PQ方程，代入椭圆方程，整理出关系式， 设点、，由韦达定理可得，，由直线与椭圆有两个交点，可得判别式 ，分别写出AP， AQ两直线的斜率，再相加，再利用x1和x2的关系即可证明出直线与的斜率之和为定值.
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