浙江省学军中学紫金港2022-2023学年高二上学期数学期中考试试卷

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浙江省学军中学紫金港2022-2023学年高二上学期数学期中考试试卷
一、单选题
1．（2022高二上·浙江期中）已知直线与平行，则的值是（　　）
A．1 B．2或5 C．5 D．1或2
2．（2022高二上·浙江期中）如图，在平行六面体中，设，则（　　）
A． B．
C． D．
3．（2022高二上·浙江期中）一学习小组10名学生的某次数学测试成绩的名次由小到大分别是2，4，5，，11，14，15，39，41，50，已知该小组数学测试成绩名次的40%分位数是9.5，则的值是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
4．（2022高二上·浙江期中）已知直线l过抛物线的焦点，且平分圆，则直线l的方程为（　　）
A． B． C． D．
5．（2022高二上·浙江期中）设，为椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，若线段的中点在y轴上，则的值为（　　）
A． B． C． D．
6．（2022高二上·浙江期中）正四棱锥中，O为顶点在底面内的投影，P为侧棱SD的中点，且，则直线BC与平面PAC的夹角是（　　）
A．60° B．45° C．30° D．75°
7．（2022高二上·浙江期中）已知F为抛物线的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，（其中O为坐标原点），则与面积之和的最小值是（　　）
A． B．3 C． D．
8．（2022·永州三模）已知双曲线的左、右焦点分别为、，为坐标原点，点在双曲线的右支上，（为双曲线的半焦距），直线与双曲线右支交于另一个点，，则双曲线的离心率为（　　）
A．3 B．2 C． D．
9．（2022高二上·浙江期中）已知正方体棱长为2，P为空间中一点，下列论述正确的是（　　）
A．若，则异面直线BP与所成角的余弦值为
B．若三棱锥的体积是定值
C．若，有且仅有一个点P，使得平面
D．若，则异面直线BP和所成角取值范围是
二、多选题
10．（2022高二上·浙江期中）某市教育局为了解疫情时期网络教学期间的学生学习情况，从该市随机抽取了1000名高中学生，对他们每天的平均学习时间进行问卷调查，根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图，则（　　）
A．这1000名高中学生每天的平均学习时间为6~8小时的人数有100人
B．估计该市高中学生每天的平均学习时间的众数为9小时
C．估计该市高中学生每天的平均学习时间的分位数为9.2小时
D．估计该市高中学生每天的平均学习时间的平均值为8.6小时
11．（2022高二上·浙江期中）已知圆过点，且与圆相切于原点，直线则下列结论中，正确的有（　　）
A．圆的方程为
B．直线过定点
C．直线被圆所截得的弦长的最小值为
D．直线被圆截得的弦长有最大值时，则
12．（2022高二上·浙江期中）已知抛物线的焦点为，过原点的动直线交抛物线于另一点，交抛物线的准线于点，下列说法正确的是（　　）
A．若为线段中点，则 B．若，则
C．存在直线，使得 D．面积的最小值为2
三、填空题
13．（2022高二上·浙江期中）假设有6位条件类似的毕业生（分别记为A、B、C、D、E、F）应聘秘书工作，但只有2个秘书职位，因此6个人中只有2个能被录用，如果6个人被录用的机会相等，则A或B至少有一个人得到职位的概率是　 　．
14．（2022高二上·浙江期中）已知圆，直线，P为l上的动点，过点P作圆C的两条切线PA、PB，切点分别A、B，当最小时，直线PC的方程为　 　．
15．（2022高二上·浙江期中）两条异面直线a，b所成的角为，在直线a，b上分别取点，E和A，F，使，且已知，则线段的长为　 　．
16．（2022高二上·浙江期中）在三棱锥中，，点在平面中的射影是的垂心，若，，的面积之和为4，则三棱锥的外接球表面积的最小值为　 　．
四、解答题
17．（2022高二上·浙江期中）已知圆，圆.
（1）求圆与圆的公共弦长；
（2）求过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程.
18．（2022高二上·浙江期中）某学校有高中学生500人，其中男生300人，女生200人．有人为了获得该校全体高中学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值（单位：cm），计算得男生样本的均值为175，方差为20，女生样本均值为165，方差为30
（1）如果已知男、女的样本量按比例分配，请计算总样本的均值和方差各为多少
（2）如果已知男、女的样本量都是25，请计算总样本均值和方差各为多少
19．（2022高二上·浙江期中）在如图所示的实验装置中，两个正方形框架，的边长都是1，且两平面相互垂直，活动弹子分别在正方形对角线AC和BF上移动，且和的长度保持相等．
（1）证明面
（2）当是中点时，求二面角夹角的余弦值．
20．（2022高二上·浙江期中）若双曲线的左、右焦点分别为，过焦点的直线的一个法向量为，直线l与双曲线C的右支相交于A，B不同的两点．
（1）求实数m的取值范围；
（2）是否存在实数，使得为锐角 若存在，请求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
21．（2022高二上·浙江期中）如图，四棱锥的底面是平行四边形，，.
（1）证明：平面平面；
（2）若，，试在棱上确定一点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
22．（2022高二上·浙江期中）已知椭圆的离心率为，椭圆C的左 右顶点分别为A，B，上顶点为D，.
（1）求椭圆C的方程；
（2）斜率为的动直线l与椭圆C相交于M，N两点，是否存在定点P（直线l不经过点P），使得直线PM与直线PN的倾斜角互补，若存在这样的点P，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】两条直线平行的判定
【解析】【解答】由平行条件可知，
当时，，解得；
当时，解得，此时，两条直线也平行；
所以或.
故答案为：B.
【分析】根据题意讨论时和时，分别求出两条直线平行时对应的k值.
2．【答案】B
【知识点】平面向量减法运算
【解析】【解答】连接，如图所示：
.
故答案为：B
【分析】根据空间向量线性运算求解即可得答案.
3．【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】依题意是整数，那么40%分位数9.5就是第，第位数的平均值，于是，解得.
故答案为：C
【分析】根据已知条件，结合分位数的定义，即可求解出 的值.
4．【答案】C
【知识点】斜率的计算公式；直线的斜截式方程
【解析】【解答】抛物线的焦点为，由于直线平分圆，故直线经过圆心，所以可得直线经过点和，故斜率，由斜截式可得方程为：，
故答案为：C
【分析】 根据题意可知直线经过抛物线的焦点和圆的圆心，由两点坐标即可求解出直线方程.
5．【答案】C
【知识点】椭圆的定义
【解析】【解答】由椭圆的定义可知，，由中位线定理可知，，将代入中，解得，即，，故
故答案为：C
【分析】由中位线定理以及椭圆方程得出，再由椭圆的定义得出，即可求出 的值 .
6．【答案】C
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】如图，以O为坐标原点，以OA为x轴，以OB为y轴，以OS为z轴，建立空间直角坐标系，
设OD=SO=OA=OB=OC=a，
则，
则，，，
设平面PAC的一个法向量为，
则即，令，则，所以，
∴，
设直线BC与平面PAC的夹角为，
∴直线BC与平面PAC的夹角的正弦值为，
∴直线BC与平面PAC的夹角为
故答案为：C
【分析】以O为坐标原点，以OA为x轴，以OB为y轴，以OS为z轴，建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，求出平面PAC的一个法向量，利用向量法可求出直线BC与平面PAC的夹角.
7．【答案】D
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】
设（）且直线，联立抛物线得，
由，而，所以，得或，
又A，B位于x轴的两侧，故，故，
由，且过定点，
又，，
所以，当且仅当时等号成立.
故与面积之和的最小值是.
故答案为：D
【分析】设（）且直线，联立直线与抛物线的方程得到，再利用韦达定理及 消元，最后将面积之和表示出来，利用基本不等式可求出与面积之和的最小值.
8．【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】如图所示，
由，，得，
，
设，
由双曲线定义得，
所以，，，
又，即，解得，
所以，，
又，即，即，
所以离心率，
故答案为：D.
【分析】由题意首先求得a， c的值，然后结合离心率的定义求解双曲线的离心率即可.
9．【答案】D
【知识点】棱柱的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】A：由，即为中点，连接，若分别是中点，
连接，则，
又且，即为平行四边形，所以，
所以异面直线BP与所成角，即为或其补角，
而，，，
故，A不符合题意；
B：由知：在（含端点）上移动，如下图示，
△面积恒定，到面的距离恒定，故的体积是定值，B不符合题意；
C：若分别是中点，由知：在（含端点）上移动，
由面，面，则面面，
由，面面，面，
所以面，面，则，同理可证：，
由，、面，故面，
而面面，要使面，则必在面内，
显然面，C不符合题意；
D：由知：在（含端点）上移动，
如图以为原点，分别为轴建系，
则，，，则，
设，则，
所以，令，
当，即时，，此时直线和所成角是；
当，即时，则，
当，即时，取最大值为，直线和所成角的最小值为，D符合题意.
故答案为：D
【分析】由已知条件可知为中点，连接，若分别是中点，连接，找到异面直线BP与所成角，即为或其补角，求其余弦值，可判断A；在（含端点）上移动，△PBC面积恒定，A1到面PBC的距离恒定，即可判断B；若分别是中点，在（含端点）上移动，证明面，易知要使面，则必在面内，即可判断C；以为原点，分别为轴建系，设，应用向量夹角的坐标表示求出，进而判断夹角的范围可判断D.
10．【答案】B,C,D
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【解答】对于A：从频率分布直方图，可以得到，即这1000名高中学生每天的平均学习时间为6~8小时的人数有200人，A不符合题意；
对于B：由频率分布直方图可以得到，抽查的1000名高中学生每天的平均学习时间的众数为9小时，由此可以估计该市高中学生每天的平均学习时间的众数为9小时，B符合题意；
对于C：由频率分布直方图可以得到，设抽查的1000名高中学生每天的平均学习时间的分位数为k小时，则有：，解得：k=9.2，即抽查的1000名高中学生每天的平均学习时间的分位数为9.2小时，由此可以估计该市高中学生每天的平均学习时间的分位数为9.2小时，C符合题意；
对于D：由频率分布直方图可以得到，抽查的1000名高中学生每天的平均学习时间的平均值为小时，由此可以估计该市高中学生平均学习时间的平均值为8.6小时，D符合题意；
故答案为：BCD
【分析】利用频率分布直方图的数据进行计算，可判断A、C；根据众数的定义可判断B；利用频率分布直方图的数据，按照平均数的定义进行计算，可判断D.
11．【答案】A,C
【知识点】恒过定点的直线；直线与圆相交的性质；相交弦所在直线的方程
【解析】【解答】设，圆的圆心，半径为，
则，解得，
所以圆的方程为，A符合题意；
因为，即，
由得，所以直线过定点，B不符合题意；
设圆心到直线的距离为，
则，当且仅当时，等号成立，
所以弦长，
所以直线被圆截得的弦长的最小值为，C符合题意；
直线被圆截得的弦长最大时，则直线过圆心，
所以，即，D不符合题意.
故答案为：AC.
【分析】设，根据题意列方程组解得a，b，r，可判断A；根据直线方程可求出直线所经过的定点判断B；再根据圆心到直线的距离的最大值可得直线被圆截得的弦长的最小值可判断C；根据直线被圆截得的弦长最大时，直线过圆心可判断D.
12．【答案】A,D
【知识点】平面向量的数量积运算；抛物线的定义
【解析】【解答】解：抛物线的准线为，焦点，
若为中点，所以，所以，A符合题意；
若，则，所以，B不符合题意；
设，则，所以，，
所以，所以与不垂直，C不符合题意；
，
当且仅当，即时，取等号，
所以面积的最小值为2，D符合题意.
故答案为：AD.
【分析】 求出P点的横坐标，再根据抛物线的定义求出|PF|，即可判断A；根据抛物线的定义求出P点的横坐标，再求出|OP|，即可判断B；设，则，即可判断C；根据，结合基本不等式即可判断D.
13．【答案】
【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【解答】6位毕业生，2个职位，每个人被录用的机会相等，
所以2位毕业生被录用的基本事件有：，共件，
其中A和B都不被录用的基本事件有，共件，
所以A或B至少有一个人得到职位（记为事件）的基本事件有件，
所以.
故答案为：.
【分析】 列举出6个人中2人被录用的所有基本事件，再找出对应事件的基本事件的个数，从而利用古典概型的概率公式计算可得答案.
14．【答案】
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】圆的标准方程为，圆心为，半径为，
所以圆心到直线的距离为，则直线与圆相离，
由切线性质得，是的垂直平分线，，
所以，
而，则当直线时，最小，即最小，即最小，
此时，由于直线，所以可设直线，
又因为，所以，则，故直线.
故答案为：.
.
【分析】根据圆的切线的性质，判断出当直线时，最小，即最小，即最小， 结合图像求得直线PC的方程.
15．【答案】或
【知识点】平面向量的数量积运算；异面直线及其所成的角
【解析】【解答】由题意，得，
所以，
因为，所以，，
因为，所以，则，同理：，
因为异面直线a，b所成的角为，
当的夹角为时，，
所以，则，即，故；
当的夹角为时，，
所以，则，故；
综上：线段的长为或.
故答案为：或6.
.
【分析】由题意，得，，再利用向量数量积的运算结合已知条件可求出线段的长.
16．【答案】
【知识点】球的体积和表面积；直线与平面垂直的判定；平均值不等式
【解析】【解答】解：如图，设的垂心为，延长分别交于点，
所以，，
因为点在平面中的射影是的垂心，所以平面，
因为平面，所以，
因为平面，平面，
所以平面，平面，
因为平面，平面
所以，
因为，，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为平面，
所以平面，
因为平面，所以.
所以，两两垂直，
所以，三棱锥的外接球即为以为长宽高的长方体的外接球.
不妨设，
因为，，的面积之和为4
所以，，即，
因为
所以，，当且仅当x=y=c等号成立
所以三棱锥的外接球的半径满足，
所以，三棱锥的外接球表面积
所以三棱锥的外接球表面积的最小值为
故答案为：
【分析】 根据题意，证明两两垂直，进而设，结合题意得，再根据基本不等式得，进而得三棱锥的外接球的半径满足，最后根据球的表面积公式求解出三棱锥的外接球表面积的最小值.
17．【答案】（1）解：将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程，
即，化简得，
所以圆的圆心到直线的距离为，
则，解得，
所以公共弦长为.
（2）解：解法一：
设过两圆的交点的圆为，
则；
由圆心在直线上，则，解得，
所求圆的方程为，即.
解法二：
由（1）得，代入圆，
化简可得，解得；
当时，；当时，；
设所求圆的圆心坐标为，
则，解得；
所以；
所以过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程为
【知识点】平面内点到直线的距离公式；相交弦所在直线的方程
【解析】【分析】 (1)由两圆的方程，作差可得公共弦所在的直线方程，求出C1到公共弦的距离d，由弦长，半径，及圆心到直线的距离d的关系，可得圆与圆的公共弦长；
(2) 解法一：设过两圆的交点的圆为，求出圆心坐标代入 中可求出，从而可求出圆的方程。白高兴一场。求出公共弦的直线与圆C1的交点坐标，可得所求的圆的半径，进而求出所求圆的方程； 解法二： 将公共弦方程代入圆方程中，求出两圆的交点坐标， 设所求圆的圆心坐标为， 然后列方程组可求出a，b，再求出圆的半径从而求出圆的方程.
18．【答案】（1）解：男、女的样本量按比例分配，
总样本的均值为cm，
总样本的方差为；
（2）解：男、女的样本量都是25，
总样本的均值为cm，
总样本的方差为；
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【分析】(1)根据男、女的样本量按比例分配进行计算可得答案；
(2)按男、女的样本量都是25计算总样本均值和方差即可.
19．【答案】（1）证明：因为平面平面，平面平面，，
所以平面平面，以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，可得，，，，
，，，
平面，可得是平面的一个法向量，
设，得，
则，得，所以，
因为，所以，所以面；
（2）解：当是中点时，由（1）可得，，
所以，，，
设为平面一个法向量，则
，即，令，则，所以，
设为平面一个法向量，则
，即，令，则，所以，
所以，
由图可得二面角夹角的为锐角，
所以二面角夹角的余弦值为.
【知识点】用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）由平面平面可得平面平面， 以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，求出平面的一个法向量，设，得 ，利用向量数量积的运算可得 ，可证得 面 ；
（2）求出平面一个法向量和平面一个法向量，利用向量法求出二面角夹角的余弦值.
20．【答案】（1）解：因为双曲线，所以，则，，则，
因为过焦点的直线的一个法向量为，所以直线为，则，
联立，消去，得，
所以，即，即，显然成立，
设，则，
由题意知，所以，即，
所以，解得或，
所以.
（2）解：假设存在实数，使得为锐角，则，即，
因为，
所以，
即，整理得，
故，而由（1）知，矛盾，故假设不成立，
所以不存在实数，使得为锐角.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1)根据双曲线方程可得a，b的值，进而求出c的值，可得 ， 直线：，与双曲线方程联立消去y，根据 ，判断出直线与双曲线定有交点，进而根据韦达定理求得焦点横坐标的和与积得表达式，根据双曲线的性质求得m的范围；
(3)设存在实数m，使∠AOB为锐角，根据 判断出 ，进而可得 的表达式，进而求得根据求得m的范围，结果与 矛盾，假设不成立，判断出这样的实数不存在.
21．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，且AC＝BD，
∴四边形ABCD为矩形，即AB⊥AD．又AB⊥PD， AD∩PD＝D，
∴AB⊥平面PAD，又AB 平面ABCD，
∴平面PAD⊥平面ABCD.
（2）解：由（1）知：在平面PAD内过点A作AE⊥AD，则AE⊥平面ABCD，以为正交基底建立空间直角坐标系如图所示，
则A(0，0，0)，B(3，0，0)，C(3，6，0)，D(0，6，0)，P(0，3，3)，
∴，，，
设，则，可得，
∵，
∴AP⊥PD，又AB⊥PD，AP∩AB＝A，
∴PD⊥平面PAB，则是平面PAB的一个法向量，
设面MAC的一个法向量为，则，即，令，有，
∴，则，解得，即.
点在靠近点的三等分点处.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)易知四边形ABCD为矩形，有AB⊥AD，再结合PD⊥AB，推出AB⊥平面PAD，进而得证 平面平面；
(2) 由(1)知：AE⊥平面ABCD，以为正交基底建立空间直角坐标系 ，求出所需点的坐标和向量的坐标， 设 ，求得平面PAB的一个法向量和面MAC的一个法向量，利用向量法可得，求解出的值，即可得点在靠近点的三等分点处.
22．【答案】（1）解：设椭圆C的焦距为2c，由题意知，，，
所以，，所以，解得.
又椭圆C的离心率为，所以，，
故椭圆C的方程为.
（2）解：假设存在这样的点P，设点P的坐标为，点M，N的坐标分别为，，设直线l的方程为.
联立方程消去y后整理得.
，得，
有
若直线PM与直线PN的倾斜角互补，则直线PM与直线PN的斜率之和为零，
所以
.
所以解得或
故存在点P符合条件，点P的坐标为或.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由已知条件结合向量数量积的运算可求出c的值，由椭圆C的离心率为，可得，进而求出b的值，可得椭圆C的方程；
（2）假设存在这样的点P，设点P的坐标为，点M，N的坐标分别为，，设直线l的方程为 ，与椭圆方程联立结合韦达定理可得 ，进而求出点P的坐标 .
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浙江省学军中学紫金港2022-2023学年高二上学期数学期中考试试卷
一、单选题
1．（2022高二上·浙江期中）已知直线与平行，则的值是（　　）
A．1 B．2或5 C．5 D．1或2
【答案】B
【知识点】两条直线平行的判定
【解析】【解答】由平行条件可知，
当时，，解得；
当时，解得，此时，两条直线也平行；
所以或.
故答案为：B.
【分析】根据题意讨论时和时，分别求出两条直线平行时对应的k值.
2．（2022高二上·浙江期中）如图，在平行六面体中，设，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量减法运算
【解析】【解答】连接，如图所示：
.
故答案为：B
【分析】根据空间向量线性运算求解即可得答案.
3．（2022高二上·浙江期中）一学习小组10名学生的某次数学测试成绩的名次由小到大分别是2，4，5，，11，14，15，39，41，50，已知该小组数学测试成绩名次的40%分位数是9.5，则的值是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】依题意是整数，那么40%分位数9.5就是第，第位数的平均值，于是，解得.
故答案为：C
【分析】根据已知条件，结合分位数的定义，即可求解出 的值.
4．（2022高二上·浙江期中）已知直线l过抛物线的焦点，且平分圆，则直线l的方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】斜率的计算公式；直线的斜截式方程
【解析】【解答】抛物线的焦点为，由于直线平分圆，故直线经过圆心，所以可得直线经过点和，故斜率，由斜截式可得方程为：，
故答案为：C
【分析】 根据题意可知直线经过抛物线的焦点和圆的圆心，由两点坐标即可求解出直线方程.
5．（2022高二上·浙江期中）设，为椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，若线段的中点在y轴上，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】椭圆的定义
【解析】【解答】由椭圆的定义可知，，由中位线定理可知，，将代入中，解得，即，，故
故答案为：C
【分析】由中位线定理以及椭圆方程得出，再由椭圆的定义得出，即可求出 的值 .
6．（2022高二上·浙江期中）正四棱锥中，O为顶点在底面内的投影，P为侧棱SD的中点，且，则直线BC与平面PAC的夹角是（　　）
A．60° B．45° C．30° D．75°
【答案】C
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】如图，以O为坐标原点，以OA为x轴，以OB为y轴，以OS为z轴，建立空间直角坐标系，
设OD=SO=OA=OB=OC=a，
则，
则，，，
设平面PAC的一个法向量为，
则即，令，则，所以，
∴，
设直线BC与平面PAC的夹角为，
∴直线BC与平面PAC的夹角的正弦值为，
∴直线BC与平面PAC的夹角为
故答案为：C
【分析】以O为坐标原点，以OA为x轴，以OB为y轴，以OS为z轴，建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，求出平面PAC的一个法向量，利用向量法可求出直线BC与平面PAC的夹角.
7．（2022高二上·浙江期中）已知F为抛物线的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，（其中O为坐标原点），则与面积之和的最小值是（　　）
A． B．3 C． D．
【答案】D
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】
设（）且直线，联立抛物线得，
由，而，所以，得或，
又A，B位于x轴的两侧，故，故，
由，且过定点，
又，，
所以，当且仅当时等号成立.
故与面积之和的最小值是.
故答案为：D
【分析】设（）且直线，联立直线与抛物线的方程得到，再利用韦达定理及 消元，最后将面积之和表示出来，利用基本不等式可求出与面积之和的最小值.
8．（2022·永州三模）已知双曲线的左、右焦点分别为、，为坐标原点，点在双曲线的右支上，（为双曲线的半焦距），直线与双曲线右支交于另一个点，，则双曲线的离心率为（　　）
A．3 B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】如图所示，
由，，得，
，
设，
由双曲线定义得，
所以，，，
又，即，解得，
所以，，
又，即，即，
所以离心率，
故答案为：D.
【分析】由题意首先求得a， c的值，然后结合离心率的定义求解双曲线的离心率即可.
9．（2022高二上·浙江期中）已知正方体棱长为2，P为空间中一点，下列论述正确的是（　　）
A．若，则异面直线BP与所成角的余弦值为
B．若三棱锥的体积是定值
C．若，有且仅有一个点P，使得平面
D．若，则异面直线BP和所成角取值范围是
【答案】D
【知识点】棱柱的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】A：由，即为中点，连接，若分别是中点，
连接，则，
又且，即为平行四边形，所以，
所以异面直线BP与所成角，即为或其补角，
而，，，
故，A不符合题意；
B：由知：在（含端点）上移动，如下图示，
△面积恒定，到面的距离恒定，故的体积是定值，B不符合题意；
C：若分别是中点，由知：在（含端点）上移动，
由面，面，则面面，
由，面面，面，
所以面，面，则，同理可证：，
由，、面，故面，
而面面，要使面，则必在面内，
显然面，C不符合题意；
D：由知：在（含端点）上移动，
如图以为原点，分别为轴建系，
则，，，则，
设，则，
所以，令，
当，即时，，此时直线和所成角是；
当，即时，则，
当，即时，取最大值为，直线和所成角的最小值为，D符合题意.
故答案为：D
【分析】由已知条件可知为中点，连接，若分别是中点，连接，找到异面直线BP与所成角，即为或其补角，求其余弦值，可判断A；在（含端点）上移动，△PBC面积恒定，A1到面PBC的距离恒定，即可判断B；若分别是中点，在（含端点）上移动，证明面，易知要使面，则必在面内，即可判断C；以为原点，分别为轴建系，设，应用向量夹角的坐标表示求出，进而判断夹角的范围可判断D.
二、多选题
10．（2022高二上·浙江期中）某市教育局为了解疫情时期网络教学期间的学生学习情况，从该市随机抽取了1000名高中学生，对他们每天的平均学习时间进行问卷调查，根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图，则（　　）
A．这1000名高中学生每天的平均学习时间为6~8小时的人数有100人
B．估计该市高中学生每天的平均学习时间的众数为9小时
C．估计该市高中学生每天的平均学习时间的分位数为9.2小时
D．估计该市高中学生每天的平均学习时间的平均值为8.6小时
【答案】B,C,D
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【解答】对于A：从频率分布直方图，可以得到，即这1000名高中学生每天的平均学习时间为6~8小时的人数有200人，A不符合题意；
对于B：由频率分布直方图可以得到，抽查的1000名高中学生每天的平均学习时间的众数为9小时，由此可以估计该市高中学生每天的平均学习时间的众数为9小时，B符合题意；
对于C：由频率分布直方图可以得到，设抽查的1000名高中学生每天的平均学习时间的分位数为k小时，则有：，解得：k=9.2，即抽查的1000名高中学生每天的平均学习时间的分位数为9.2小时，由此可以估计该市高中学生每天的平均学习时间的分位数为9.2小时，C符合题意；
对于D：由频率分布直方图可以得到，抽查的1000名高中学生每天的平均学习时间的平均值为小时，由此可以估计该市高中学生平均学习时间的平均值为8.6小时，D符合题意；
故答案为：BCD
【分析】利用频率分布直方图的数据进行计算，可判断A、C；根据众数的定义可判断B；利用频率分布直方图的数据，按照平均数的定义进行计算，可判断D.
11．（2022高二上·浙江期中）已知圆过点，且与圆相切于原点，直线则下列结论中，正确的有（　　）
A．圆的方程为
B．直线过定点
C．直线被圆所截得的弦长的最小值为
D．直线被圆截得的弦长有最大值时，则
【答案】A,C
【知识点】恒过定点的直线；直线与圆相交的性质；相交弦所在直线的方程
【解析】【解答】设，圆的圆心，半径为，
则，解得，
所以圆的方程为，A符合题意；
因为，即，
由得，所以直线过定点，B不符合题意；
设圆心到直线的距离为，
则，当且仅当时，等号成立，
所以弦长，
所以直线被圆截得的弦长的最小值为，C符合题意；
直线被圆截得的弦长最大时，则直线过圆心，
所以，即，D不符合题意.
故答案为：AC.
【分析】设，根据题意列方程组解得a，b，r，可判断A；根据直线方程可求出直线所经过的定点判断B；再根据圆心到直线的距离的最大值可得直线被圆截得的弦长的最小值可判断C；根据直线被圆截得的弦长最大时，直线过圆心可判断D.
12．（2022高二上·浙江期中）已知抛物线的焦点为，过原点的动直线交抛物线于另一点，交抛物线的准线于点，下列说法正确的是（　　）
A．若为线段中点，则 B．若，则
C．存在直线，使得 D．面积的最小值为2
【答案】A,D
【知识点】平面向量的数量积运算；抛物线的定义
【解析】【解答】解：抛物线的准线为，焦点，
若为中点，所以，所以，A符合题意；
若，则，所以，B不符合题意；
设，则，所以，，
所以，所以与不垂直，C不符合题意；
，
当且仅当，即时，取等号，
所以面积的最小值为2，D符合题意.
故答案为：AD.
【分析】 求出P点的横坐标，再根据抛物线的定义求出|PF|，即可判断A；根据抛物线的定义求出P点的横坐标，再求出|OP|，即可判断B；设，则，即可判断C；根据，结合基本不等式即可判断D.
三、填空题
13．（2022高二上·浙江期中）假设有6位条件类似的毕业生（分别记为A、B、C、D、E、F）应聘秘书工作，但只有2个秘书职位，因此6个人中只有2个能被录用，如果6个人被录用的机会相等，则A或B至少有一个人得到职位的概率是　 　．
【答案】
【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【解答】6位毕业生，2个职位，每个人被录用的机会相等，
所以2位毕业生被录用的基本事件有：，共件，
其中A和B都不被录用的基本事件有，共件，
所以A或B至少有一个人得到职位（记为事件）的基本事件有件，
所以.
故答案为：.
【分析】 列举出6个人中2人被录用的所有基本事件，再找出对应事件的基本事件的个数，从而利用古典概型的概率公式计算可得答案.
14．（2022高二上·浙江期中）已知圆，直线，P为l上的动点，过点P作圆C的两条切线PA、PB，切点分别A、B，当最小时，直线PC的方程为　 　．
【答案】
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】圆的标准方程为，圆心为，半径为，
所以圆心到直线的距离为，则直线与圆相离，
由切线性质得，是的垂直平分线，，
所以，
而，则当直线时，最小，即最小，即最小，
此时，由于直线，所以可设直线，
又因为，所以，则，故直线.
故答案为：.
.
【分析】根据圆的切线的性质，判断出当直线时，最小，即最小，即最小， 结合图像求得直线PC的方程.
15．（2022高二上·浙江期中）两条异面直线a，b所成的角为，在直线a，b上分别取点，E和A，F，使，且已知，则线段的长为　 　．
【答案】或
【知识点】平面向量的数量积运算；异面直线及其所成的角
【解析】【解答】由题意，得，
所以，
因为，所以，，
因为，所以，则，同理：，
因为异面直线a，b所成的角为，
当的夹角为时，，
所以，则，即，故；
当的夹角为时，，
所以，则，故；
综上：线段的长为或.
故答案为：或6.
.
【分析】由题意，得，，再利用向量数量积的运算结合已知条件可求出线段的长.
16．（2022高二上·浙江期中）在三棱锥中，，点在平面中的射影是的垂心，若，，的面积之和为4，则三棱锥的外接球表面积的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】球的体积和表面积；直线与平面垂直的判定；平均值不等式
【解析】【解答】解：如图，设的垂心为，延长分别交于点，
所以，，
因为点在平面中的射影是的垂心，所以平面，
因为平面，所以，
因为平面，平面，
所以平面，平面，
因为平面，平面
所以，
因为，，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为平面，
所以平面，
因为平面，所以.
所以，两两垂直，
所以，三棱锥的外接球即为以为长宽高的长方体的外接球.
不妨设，
因为，，的面积之和为4
所以，，即，
因为
所以，，当且仅当x=y=c等号成立
所以三棱锥的外接球的半径满足，
所以，三棱锥的外接球表面积
所以三棱锥的外接球表面积的最小值为
故答案为：
【分析】 根据题意，证明两两垂直，进而设，结合题意得，再根据基本不等式得，进而得三棱锥的外接球的半径满足，最后根据球的表面积公式求解出三棱锥的外接球表面积的最小值.
四、解答题
17．（2022高二上·浙江期中）已知圆，圆.
（1）求圆与圆的公共弦长；
（2）求过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程.
【答案】（1）解：将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程，
即，化简得，
所以圆的圆心到直线的距离为，
则，解得，
所以公共弦长为.
（2）解：解法一：
设过两圆的交点的圆为，
则；
由圆心在直线上，则，解得，
所求圆的方程为，即.
解法二：
由（1）得，代入圆，
化简可得，解得；
当时，；当时，；
设所求圆的圆心坐标为，
则，解得；
所以；
所以过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程为
【知识点】平面内点到直线的距离公式；相交弦所在直线的方程
【解析】【分析】 (1)由两圆的方程，作差可得公共弦所在的直线方程，求出C1到公共弦的距离d，由弦长，半径，及圆心到直线的距离d的关系，可得圆与圆的公共弦长；
(2) 解法一：设过两圆的交点的圆为，求出圆心坐标代入 中可求出，从而可求出圆的方程。白高兴一场。求出公共弦的直线与圆C1的交点坐标，可得所求的圆的半径，进而求出所求圆的方程； 解法二： 将公共弦方程代入圆方程中，求出两圆的交点坐标， 设所求圆的圆心坐标为， 然后列方程组可求出a，b，再求出圆的半径从而求出圆的方程.
18．（2022高二上·浙江期中）某学校有高中学生500人，其中男生300人，女生200人．有人为了获得该校全体高中学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值（单位：cm），计算得男生样本的均值为175，方差为20，女生样本均值为165，方差为30
（1）如果已知男、女的样本量按比例分配，请计算总样本的均值和方差各为多少
（2）如果已知男、女的样本量都是25，请计算总样本均值和方差各为多少
【答案】（1）解：男、女的样本量按比例分配，
总样本的均值为cm，
总样本的方差为；
（2）解：男、女的样本量都是25，
总样本的均值为cm，
总样本的方差为；
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【分析】(1)根据男、女的样本量按比例分配进行计算可得答案；
(2)按男、女的样本量都是25计算总样本均值和方差即可.
19．（2022高二上·浙江期中）在如图所示的实验装置中，两个正方形框架，的边长都是1，且两平面相互垂直，活动弹子分别在正方形对角线AC和BF上移动，且和的长度保持相等．
（1）证明面
（2）当是中点时，求二面角夹角的余弦值．
【答案】（1）证明：因为平面平面，平面平面，，
所以平面平面，以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，可得，，，，
，，，
平面，可得是平面的一个法向量，
设，得，
则，得，所以，
因为，所以，所以面；
（2）解：当是中点时，由（1）可得，，
所以，，，
设为平面一个法向量，则
，即，令，则，所以，
设为平面一个法向量，则
，即，令，则，所以，
所以，
由图可得二面角夹角的为锐角，
所以二面角夹角的余弦值为.
【知识点】用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）由平面平面可得平面平面， 以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，求出平面的一个法向量，设，得 ，利用向量数量积的运算可得 ，可证得 面 ；
（2）求出平面一个法向量和平面一个法向量，利用向量法求出二面角夹角的余弦值.
20．（2022高二上·浙江期中）若双曲线的左、右焦点分别为，过焦点的直线的一个法向量为，直线l与双曲线C的右支相交于A，B不同的两点．
（1）求实数m的取值范围；
（2）是否存在实数，使得为锐角 若存在，请求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：因为双曲线，所以，则，，则，
因为过焦点的直线的一个法向量为，所以直线为，则，
联立，消去，得，
所以，即，即，显然成立，
设，则，
由题意知，所以，即，
所以，解得或，
所以.
（2）解：假设存在实数，使得为锐角，则，即，
因为，
所以，
即，整理得，
故，而由（1）知，矛盾，故假设不成立，
所以不存在实数，使得为锐角.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1)根据双曲线方程可得a，b的值，进而求出c的值，可得 ， 直线：，与双曲线方程联立消去y，根据 ，判断出直线与双曲线定有交点，进而根据韦达定理求得焦点横坐标的和与积得表达式，根据双曲线的性质求得m的范围；
(3)设存在实数m，使∠AOB为锐角，根据 判断出 ，进而可得 的表达式，进而求得根据求得m的范围，结果与 矛盾，假设不成立，判断出这样的实数不存在.
21．（2022高二上·浙江期中）如图，四棱锥的底面是平行四边形，，.
（1）证明：平面平面；
（2）若，，试在棱上确定一点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，且AC＝BD，
∴四边形ABCD为矩形，即AB⊥AD．又AB⊥PD， AD∩PD＝D，
∴AB⊥平面PAD，又AB 平面ABCD，
∴平面PAD⊥平面ABCD.
（2）解：由（1）知：在平面PAD内过点A作AE⊥AD，则AE⊥平面ABCD，以为正交基底建立空间直角坐标系如图所示，
则A(0，0，0)，B(3，0，0)，C(3，6，0)，D(0，6，0)，P(0，3，3)，
∴，，，
设，则，可得，
∵，
∴AP⊥PD，又AB⊥PD，AP∩AB＝A，
∴PD⊥平面PAB，则是平面PAB的一个法向量，
设面MAC的一个法向量为，则，即，令，有，
∴，则，解得，即.
点在靠近点的三等分点处.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)易知四边形ABCD为矩形，有AB⊥AD，再结合PD⊥AB，推出AB⊥平面PAD，进而得证 平面平面；
(2) 由(1)知：AE⊥平面ABCD，以为正交基底建立空间直角坐标系 ，求出所需点的坐标和向量的坐标， 设 ，求得平面PAB的一个法向量和面MAC的一个法向量，利用向量法可得，求解出的值，即可得点在靠近点的三等分点处.
22．（2022高二上·浙江期中）已知椭圆的离心率为，椭圆C的左 右顶点分别为A，B，上顶点为D，.
（1）求椭圆C的方程；
（2）斜率为的动直线l与椭圆C相交于M，N两点，是否存在定点P（直线l不经过点P），使得直线PM与直线PN的倾斜角互补，若存在这样的点P，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：设椭圆C的焦距为2c，由题意知，，，
所以，，所以，解得.
又椭圆C的离心率为，所以，，
故椭圆C的方程为.
（2）解：假设存在这样的点P，设点P的坐标为，点M，N的坐标分别为，，设直线l的方程为.
联立方程消去y后整理得.
，得，
有
若直线PM与直线PN的倾斜角互补，则直线PM与直线PN的斜率之和为零，
所以
.
所以解得或
故存在点P符合条件，点P的坐标为或.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由已知条件结合向量数量积的运算可求出c的值，由椭圆C的离心率为，可得，进而求出b的值，可得椭圆C的方程；
（2）假设存在这样的点P，设点P的坐标为，点M，N的坐标分别为，，设直线l的方程为 ，与椭圆方程联立结合韦达定理可得 ，进而求出点P的坐标 .
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