湖北省年宜昌市部分示范高中教学协作体2021-2022学年高三上学期数学期中联考试卷
一、单选题
1．（2020高三上·定远月考）化简： （ ）
A． B． C． D．
2．（2021高三上·宜昌期中）的平方根是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021高三上·宜昌期中）若集合，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2020高三上·定远月考）已知 ， ，则 ：（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
5．（2020高三上·定远月考）已知一个扇形的半径与弧长相等，且扇形的面积为 ，则该扇形的周长为（ ）
A． B． C． D．
6．（2020高三上·定远月考） （ ）
A． B． C． D．
7．（2021高三上·宜昌期中）若在中，角的对边分别为，则（ ）
A．或 B． C． D．以上都不对
8．（2021高三上·宜昌期中）在我国勾股定理最早的证明是东汉末数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的．如图就是著名的赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形拼成了内、外都是正方形的美丽图案．若，则（ ）
A．9 B．13 C．18 D．24
二、多选题
9．（2021高三上·宜昌期中）下列说法正确的是（ ）
A．对任意，，都不成立
B．存在，，成立
C．对任意，成立
D．存在，不成立
10．（2021高三上·宜昌期中）在中，角A，，所对的边分别为，，，若问题“，，，求角的大小”只有一个解，则的值可以是（ ）
A．1 B． C． D．
11．（2021高三上·宜昌期中）若函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．的图象关于点对称
C．的图象关于直线对称
D．时，的值域为
12．（2021高三上·宜昌期中）若向量是三个不共线向量，则下列关于的方程判断正确的是（ ）
A．方程最多有一个解
B．方程有实数解的充要条件是
C．方程没有实数解
D．方程有唯一的实数解
三、填空题
13．（2020高三上·定远月考）已知平面向量 ， ，若 ，则实数 .
14．（2021高三上·宜昌期中）若，则 .
15．（2020高三上·定远月考）已知在 中，点 ， 分别在边上 ， ，且 ， ，若 ，则 的值为 .
16．（2021高三上·宜昌期中）已知函数()在区间上的最大值与最小值的和为8，则 .
四、解答题
17．（2021高三上·宜昌期中）已知向量，，函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的单调递减区间．
18．（2021高三上·宜昌期中）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
（1）求角A的大小；
（2）设D是边上一点，平分，，证明：．
19．（2021高三上·宜昌期中）已知函数().
（1）若函数是定义在上的奇函数，求的值；
（2）当时，，求实数的取值范围.
20．（2020高三上·定远月考）已知 ， ， ， .
（1）求 的值；
（2）求 的值.
21．（2020高三上·正定月考）在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 .
（1）求B；
（2）若 ，AD为BC边上的中线，当 的面积取得最大值时，求AD的长.
22．（2021高三上·宜昌期中）已知函数．
（1）当时，证明：；
（2）当时，若函数有两个不同的零点，求实数a的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】向量加减混合运算
【解析】【解答】解：
．
故答案为：A．
【分析】利用向量加减法运算性质即可得出答案。
2．【答案】D
【知识点】虚数单位i及其性质
【解析】【解答】由于，则的平方根是．
故答案为：D.
【分析】利用虚数的定义及平方根的概念可以得解.
3．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】，则．
故答案为：B
【分析】解出集合M，再求.
4．【答案】D
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】因为全称命题的否定是特称命题，故 ： ， .
故答案为：D.
【分析】利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可。
5．【答案】A
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：设扇形的半径为 ，则弧长 ，
又因为扇形的面积为 ，
所以 ，
解得 ，
故扇形的周长为 ．
故答案为：A．
【分析】由题意利用扇形的面积公式可得解得R的值，即可求得扇形的周长的值。
6．【答案】C
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】解：
．
故答案为：C．
【分析】利用两角和的正切公式，特殊角的三角函数值化简即可求解。
7．【答案】C
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】在中，已知，
由正弦定理得：，
所以，
因为，
所以，
所以，
故答案为：C
【分析】在中，根据，利用正弦定理求解.
8．【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】由题意知，，所以，
．
故答案为：B．
【分析】根据向量数量积运算法则得，即可求解．
9．【答案】B,D
【知识点】三角函数中的恒等变换应用
【解析】【解答】当，时，，所以A不符合题意，B符合题意；
若，式子无意义，所以C不符合题意；
若，，所以D符合题意.
故答案为：BD.
【分析】利用特殊值的思路代入判断即可.
10．【答案】B,D
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】利用正弦定理可得，所以，且.
A：将，代入得，不符合题意；
B：将，代入得，则只有一解，符合题意；
C：将，代入得，所以，此时有2个解，不符合题意；
D：将，代入得，所以只有唯一解，符合题意.
故答案为：BD．
【分析】利用正弦定理得，再一一代入，判断的范围，即可求解．
11．【答案】A,C,D
【知识点】正弦函数的奇偶性与对称性；正弦函数的定义域和值域；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】函数，则，A符合题意；
，B不符合题意：
因为，故图象关于直线对称，C符合题意；
因为时，，所以的值域为，D符合题意．
故答案为：ACD．
【分析】由题知，再根据三角函数性质依次讨论各选项即可得答案.
12．【答案】A,C
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】对于A，由得：，
由平面向量基本定理知：若共面，则存在唯一的实数对，使得成立，即此时方程有唯一解；
若不共面，则方程无解；即方程最多有一个解，A符合题意；
对于B，方程是关于向量的方程，不能用实数方程有解的方式来判断，B不符合题意；
对于CD，方程为实数方程，
，
不共线，，，即原方程无实数解，C符合题意，D不符合题意.
故答案为：AC.
【分析】根据平面向量基本定理分析关于向量的方程即可确定AB正误；CD选项中为实数方程，根据判别式可确定CD正误.
13．【答案】-9
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】因为向量 ， ，若 ，
则 ，解得 .
故答案为：-9.
【分析】利用向量共线定理即可得出实数 的值 。
14．【答案】1
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】由，得，，
则.
故答案为：1.
【分析】先求出，，再根据换底公式和对数加法运算可得出结果.
15．【答案】
【知识点】平面向量的线性运算
【解析】【解答】 ，
因为 ，
所以 ， ，所以 ，
故答案为：
【分析】由已知条件及向量的线性运算可得，又知，根据平面向量基本定理即可求出的值。
16．【答案】2
【知识点】三角函数的值域与最值
【解析】【解答】令，则且，
所以原函数变为，，
设，则，
所以，，
所以，
因为是上的奇函数，所以，
所以，所以.
故答案为：2.
【分析】根据函数奇偶性可求出.
17．【答案】（1）解：因为，，
所以，
．
所以，
故函数的最小正周期是．
（2）解：由（1）知，
令()，
解得()，
所以函数的单调递减区间为()．
【知识点】平面向量的数量积运算；正弦函数的单调性；正弦函数的周期性
【解析】【分析】（1）利用平面向量的数量积运算化简函数为，再利用周期公式求解；
（2）由（1）知，令()， 求解.
18．【答案】（1）解：因为，
由正弦定理，得，
由余弦定理知，，
因为，所以．
（2）证明：因为平分，所以，
因为，
所以．
即，所以，即．
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）由已知和正弦定理得，再由余弦定理和的范围可得答案；
（2） 因为平分，所以，因为，可得，等式两边再同除以可得答案．
19．【答案】（1）解：因为函数是定义在上的奇函数，所以对任意恒成立，
即对任意恒成立，
整理得对任意恒成立，所以.
（2）解：根据题意，不等式对于任意的恒成立，
即不等式对于任意的恒成立.
令，则，
令，所以.
而在上单调递增，
所以，所以，解得.
故的取值范围是.
【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数恒成立问题；二次函数的性质
【解析】【分析】（1）运用，即可解出的值；
（2）可采用分离常数法得 对于任意的恒成立， 令，则，令，所以，结合二次函数的性质即可求解.
20．【答案】（1）解：因为 ，
所以
又因为 ，
所以
所以
（2）解：因为 ，
所以
所以
【知识点】两角和与差的余弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求的值，进而根据，利用两角差的余弦公式即可求解；
（2）利用二倍角公式可求的值，进而即可代入求解。
21．【答案】（1）解：由正弦定理及已知得 ，
结合 ，
得 ，
因为 ，所以 ，
由 ，得 .
（2）解：在 中，由余弦定得 ，
因为 ，所以 ，
当且仅当 时， 的面积取得最大值，此时 .
在 中，由余弦定理得
.
即 .
【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理及 可得 ，从而得到 ；（2）在 中，利用余弦定可得 ， ，而 ，故当 时， 的面积取得最大值，此时 ， ，在 中，再利用余弦定理即可解决.
22．【答案】（1）证明：当时，，要证，即证，又，即证．
令，则．令，则．
所以，当时，单调递减；当时，单调递增，
所以，所以成立，所以．
（2）解：因为函数有两个不同的零点，即方程有两个不等实根，所以，即在内有两个不等实根．
令，
则．
因为，所以在上单调递减，在上单调递增，
所以．
因为方程在内有两个不等实根，
所以，令，因为，所以在上单调递增．
又，由，得．
当时，
因为，所以在上有一个零点．
令，则，则当时，；当时，.所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以（当且仅当时取“=”），
所以，即．
令，对于方程，
由于，则方程有两个不等的实根，
不妨设为，且，由韦达定理，
则．又，则，
所以，又，
所以在上有一个零点．
综上，当时，在，上各有一个零点．即函数有两个不同的零点
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数的零点
【解析】【分析】（1）通过不等式的性质化简不等式并构造函数，利用函数最值可证明不等式；
（2）函数与方程的综合问题，通过构造函数，利用导数确定函数的单调性，配合零点存在定理综合分析，求解参数范围.
1 / 1湖北省年宜昌市部分示范高中教学协作体2021-2022学年高三上学期数学期中联考试卷
一、单选题
1．（2020高三上·定远月考）化简： （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】向量加减混合运算
【解析】【解答】解：
．
故答案为：A．
【分析】利用向量加减法运算性质即可得出答案。
2．（2021高三上·宜昌期中）的平方根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】虚数单位i及其性质
【解析】【解答】由于，则的平方根是．
故答案为：D.
【分析】利用虚数的定义及平方根的概念可以得解.
3．（2021高三上·宜昌期中）若集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】，则．
故答案为：B
【分析】解出集合M，再求.
4．（2020高三上·定远月考）已知 ， ，则 ：（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】因为全称命题的否定是特称命题，故 ： ， .
故答案为：D.
【分析】利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可。
5．（2020高三上·定远月考）已知一个扇形的半径与弧长相等，且扇形的面积为 ，则该扇形的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：设扇形的半径为 ，则弧长 ，
又因为扇形的面积为 ，
所以 ，
解得 ，
故扇形的周长为 ．
故答案为：A．
【分析】由题意利用扇形的面积公式可得解得R的值，即可求得扇形的周长的值。
6．（2020高三上·定远月考） （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】解：
．
故答案为：C．
【分析】利用两角和的正切公式，特殊角的三角函数值化简即可求解。
7．（2021高三上·宜昌期中）若在中，角的对边分别为，则（ ）
A．或 B． C． D．以上都不对
【答案】C
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】在中，已知，
由正弦定理得：，
所以，
因为，
所以，
所以，
故答案为：C
【分析】在中，根据，利用正弦定理求解.
8．（2021高三上·宜昌期中）在我国勾股定理最早的证明是东汉末数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的．如图就是著名的赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形拼成了内、外都是正方形的美丽图案．若，则（ ）
A．9 B．13 C．18 D．24
【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】由题意知，，所以，
．
故答案为：B．
【分析】根据向量数量积运算法则得，即可求解．
二、多选题
9．（2021高三上·宜昌期中）下列说法正确的是（ ）
A．对任意，，都不成立
B．存在，，成立
C．对任意，成立
D．存在，不成立
【答案】B,D
【知识点】三角函数中的恒等变换应用
【解析】【解答】当，时，，所以A不符合题意，B符合题意；
若，式子无意义，所以C不符合题意；
若，，所以D符合题意.
故答案为：BD.
【分析】利用特殊值的思路代入判断即可.
10．（2021高三上·宜昌期中）在中，角A，，所对的边分别为，，，若问题“，，，求角的大小”只有一个解，则的值可以是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B,D
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】利用正弦定理可得，所以，且.
A：将，代入得，不符合题意；
B：将，代入得，则只有一解，符合题意；
C：将，代入得，所以，此时有2个解，不符合题意；
D：将，代入得，所以只有唯一解，符合题意.
故答案为：BD．
【分析】利用正弦定理得，再一一代入，判断的范围，即可求解．
11．（2021高三上·宜昌期中）若函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．的图象关于点对称
C．的图象关于直线对称
D．时，的值域为
【答案】A,C,D
【知识点】正弦函数的奇偶性与对称性；正弦函数的定义域和值域；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】函数，则，A符合题意；
，B不符合题意：
因为，故图象关于直线对称，C符合题意；
因为时，，所以的值域为，D符合题意．
故答案为：ACD．
【分析】由题知，再根据三角函数性质依次讨论各选项即可得答案.
12．（2021高三上·宜昌期中）若向量是三个不共线向量，则下列关于的方程判断正确的是（ ）
A．方程最多有一个解
B．方程有实数解的充要条件是
C．方程没有实数解
D．方程有唯一的实数解
【答案】A,C
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】对于A，由得：，
由平面向量基本定理知：若共面，则存在唯一的实数对，使得成立，即此时方程有唯一解；
若不共面，则方程无解；即方程最多有一个解，A符合题意；
对于B，方程是关于向量的方程，不能用实数方程有解的方式来判断，B不符合题意；
对于CD，方程为实数方程，
，
不共线，，，即原方程无实数解，C符合题意，D不符合题意.
故答案为：AC.
【分析】根据平面向量基本定理分析关于向量的方程即可确定AB正误；CD选项中为实数方程，根据判别式可确定CD正误.
三、填空题
13．（2020高三上·定远月考）已知平面向量 ， ，若 ，则实数 .
【答案】-9
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】因为向量 ， ，若 ，
则 ，解得 .
故答案为：-9.
【分析】利用向量共线定理即可得出实数 的值 。
14．（2021高三上·宜昌期中）若，则 .
【答案】1
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】由，得，，
则.
故答案为：1.
【分析】先求出，，再根据换底公式和对数加法运算可得出结果.
15．（2020高三上·定远月考）已知在 中，点 ， 分别在边上 ， ，且 ， ，若 ，则 的值为 .
【答案】
【知识点】平面向量的线性运算
【解析】【解答】 ，
因为 ，
所以 ， ，所以 ，
故答案为：
【分析】由已知条件及向量的线性运算可得，又知，根据平面向量基本定理即可求出的值。
16．（2021高三上·宜昌期中）已知函数()在区间上的最大值与最小值的和为8，则 .
【答案】2
【知识点】三角函数的值域与最值
【解析】【解答】令，则且，
所以原函数变为，，
设，则，
所以，，
所以，
因为是上的奇函数，所以，
所以，所以.
故答案为：2.
【分析】根据函数奇偶性可求出.
四、解答题
17．（2021高三上·宜昌期中）已知向量，，函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的单调递减区间．
【答案】（1）解：因为，，
所以，
．
所以，
故函数的最小正周期是．
（2）解：由（1）知，
令()，
解得()，
所以函数的单调递减区间为()．
【知识点】平面向量的数量积运算；正弦函数的单调性；正弦函数的周期性
【解析】【分析】（1）利用平面向量的数量积运算化简函数为，再利用周期公式求解；
（2）由（1）知，令()， 求解.
18．（2021高三上·宜昌期中）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
（1）求角A的大小；
（2）设D是边上一点，平分，，证明：．
【答案】（1）解：因为，
由正弦定理，得，
由余弦定理知，，
因为，所以．
（2）证明：因为平分，所以，
因为，
所以．
即，所以，即．
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）由已知和正弦定理得，再由余弦定理和的范围可得答案；
（2） 因为平分，所以，因为，可得，等式两边再同除以可得答案．
19．（2021高三上·宜昌期中）已知函数().
（1）若函数是定义在上的奇函数，求的值；
（2）当时，，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：因为函数是定义在上的奇函数，所以对任意恒成立，
即对任意恒成立，
整理得对任意恒成立，所以.
（2）解：根据题意，不等式对于任意的恒成立，
即不等式对于任意的恒成立.
令，则，
令，所以.
而在上单调递增，
所以，所以，解得.
故的取值范围是.
【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数恒成立问题；二次函数的性质
【解析】【分析】（1）运用，即可解出的值；
（2）可采用分离常数法得 对于任意的恒成立， 令，则，令，所以，结合二次函数的性质即可求解.
20．（2020高三上·定远月考）已知 ， ， ， .
（1）求 的值；
（2）求 的值.
【答案】（1）解：因为 ，
所以
又因为 ，
所以
所以
（2）解：因为 ，
所以
所以
【知识点】两角和与差的余弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求的值，进而根据，利用两角差的余弦公式即可求解；
（2）利用二倍角公式可求的值，进而即可代入求解。
21．（2020高三上·正定月考）在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 .
（1）求B；
（2）若 ，AD为BC边上的中线，当 的面积取得最大值时，求AD的长.
【答案】（1）解：由正弦定理及已知得 ，
结合 ，
得 ，
因为 ，所以 ，
由 ，得 .
（2）解：在 中，由余弦定得 ，
因为 ，所以 ，
当且仅当 时， 的面积取得最大值，此时 .
在 中，由余弦定理得
.
即 .
【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理及 可得 ，从而得到 ；（2）在 中，利用余弦定可得 ， ，而 ，故当 时， 的面积取得最大值，此时 ， ，在 中，再利用余弦定理即可解决.
22．（2021高三上·宜昌期中）已知函数．
（1）当时，证明：；
（2）当时，若函数有两个不同的零点，求实数a的取值范围．
【答案】（1）证明：当时，，要证，即证，又，即证．
令，则．令，则．
所以，当时，单调递减；当时，单调递增，
所以，所以成立，所以．
（2）解：因为函数有两个不同的零点，即方程有两个不等实根，所以，即在内有两个不等实根．
令，
则．
因为，所以在上单调递减，在上单调递增，
所以．
因为方程在内有两个不等实根，
所以，令，因为，所以在上单调递增．
又，由，得．
当时，
因为，所以在上有一个零点．
令，则，则当时，；当时，.所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以（当且仅当时取“=”），
所以，即．
令，对于方程，
由于，则方程有两个不等的实根，
不妨设为，且，由韦达定理，
则．又，则，
所以，又，
所以在上有一个零点．
综上，当时，在，上各有一个零点．即函数有两个不同的零点
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数的零点
【解析】【分析】（1）通过不等式的性质化简不等式并构造函数，利用函数最值可证明不等式；
（2）函数与方程的综合问题，通过构造函数，利用导数确定函数的单调性，配合零点存在定理综合分析，求解参数范围.
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