湖南省岳阳教研联盟2022-2023学年高二上学期数学期中联考试卷
一、单选题
1．（2022高二上·岳阳期中）已知集合，则等于（ ）
A．R B．
C． D．
2．（2022高二上·岳阳期中）函数在处切线的斜率为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2022高二上·岳阳期中）经过向圆作切线，切线方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
4．（2022高二上·岳阳期中）平行六面体中，则它的对角线的长度为（ ）
A．4 B． C． D．
5．（2022高二上·岳阳期中）已知函数，以下说法错误的是（ ）
A．是奇函数
B．在定义域上递增
C．的值域为
D．没有零点
6．（2022高二上·岳阳期中）等比数列前项和为.若，则数列前项和的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022高二上·岳阳期中）中，，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．（2022高二上·岳阳期中）已知直线交抛物线于轴异侧两点，且，过O向作垂线，垂足为D，则点的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．或
二、多选题
9．（2022高二上·岳阳期中）已知数列的前项和，以下说法正确的是（ ）
A．数列是等差数列 B．当且仅当时，取最小值
C．若，则 D．若，则n的最小值为12
10．（2022高二上·岳阳期中）已知双曲线的焦点为，且到直线的距离为4，则以下说法正确的是（ ）
A．双曲线的离心率为
B．若在双曲线上，且，则或1
C．若过的直线交双曲线右支于，则的最小值为
D．若在双曲线上，且，则的面积为
11．（2022高二上·岳阳期中）七面体中，为正方形且边长为都与平面垂直，且，则对这个多面体描述正确的是（ ）
A．当时，它有外接球，且其半径为
B．当时，它有外接球，且其半径为
C．当它有内切球时，
D．当它有内切球时，
12．（2022高二上·岳阳期中）已知函数，以下结论正确的是（ ）
A．它是偶函数
B．它是周期为的周期函数
C．它的值域为
D．它在这个区间有且只有2个零点
三、填空题
13．（2022高二上·岳阳期中）复数，则 .
14．（2022高二上·岳阳期中）已知的最小值为 .
15．（2022高二上·岳阳期中）已知是定义在上的奇函数，且恒成立.当时，则的值为 .
16．（2022高二上·岳阳期中）线从出发，经两直线反射后，仍返回到点.则光线从P点出发回到P点所走的路程长度（即图中周长）为 .
四、解答题
17．（2022高二上·岳阳期中）已知数列的前项和为，且满足，
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列的前项和为，求证：
18．（2022高二上·岳阳期中）一块土地形状为四边形，其中，
（1）求这块土地的面积；
（2）若为中点，在CD边上，且EF将这块土地面积平分，求CF的长度.
19．（2022高二上·岳阳期中）已知直线交圆于两点.
（1）当时，求直线的斜率；
（2）当的面积最大时，求直线的斜率.
20．（2022高二上·岳阳期中）某校高二年级共有1000名学生，分为20个班，每班50人.为方便教学，将学生分为两个层次，其中A层次4个班，共200人，B层次16个班，共800人.某次数学考试，A层次200名学生成绩的频率分布直方图如图所示.
（1）根据频率分布直方图，估计A层次200名学生的平均成绩和方差；
（2）若层次800名学生的平均成绩为分，方差为.试根据以上数据估计该校高二整个年级此次考试的平均分和方差
21．（2022高二上·岳阳期中）四棱锥中，底面是菱形，交于，且底面
（1）若分别为中点，求四面体的体积；
（2）若二面角的余弦值为，求的长度.
22．（2022高二上·岳阳期中）已知点在椭圆上，且椭圆的焦距为
（1）求椭圆的方程；
（2）过作倾斜角互补的两直线，这两直线与椭圆的另一个交点分别为，求的斜率.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】并集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】由于，所以.
故答案为：A
【分析】根据补集和并集的概念解答即可.
2．【答案】B
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】因为函数，
则，
所以，也即函数在处切线的斜率，
故答案为：B.
【分析】求出函数的导数，计算，即可得解.
3．【答案】C
【知识点】圆的切线方程
【解析】【解答】（1）当切线的斜率不存在时，直线是圆的切线；
（2）当切线斜率存在时，设切线方程为，
由到切线距离为得，
此时切线方程为即.
故答案为：C
【分析】当切线的斜率不存在时，直线是圆的切线；当切线斜率存在时，设切线方程为，由到切线距离为得，进而可求切线的方程.
4．【答案】D
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】由于，而
所以，将等式两边同时平方得：
，
，
所以，
即对角线的长度为.
故答案为：D.
【分析】通过向量的线性运算，，再利用向量数量积的运算求得.
5．【答案】B
【知识点】函数的值域；复合函数的单调性；函数的奇偶性；函数的零点
【解析】【解答】对于A：因为，即，
所以定义域为关于原点对称，
又由于，
所以是奇函数，A正确，不符合题意；
对于B：由于，
所以不能说函数在定义域内单调递增，B错误，符合题意；
对于C：，
当从0（不包括0）增大到时，的值从0（不包括0）递减到，值域为，
故的值从增大到，取值范围是，
由奇函数图象的对称性可知，当时，的取值范围是，
所以的值域是，C正确，不符合题意；
对于D：恒成立，故没有零点，D正确，不符合题意.
综上，错误的选项为B.
故答案为：B
【分析】A项：观察定义域是否关于原点对称，然后再验证是否成立；
B项：计算比较即可判断；
C项：将函数的解析式分离上常数得到，利用指数函数的性质和复合函数的单调性求得取值范围，进而根据奇函数的图象的对称性可得函数的值域；
D项：分母不为零，分子大于零恒成立可得.
6．【答案】A
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的通项公式
【解析】【解答】设等比数列的公比为，则，解得，
又，解得，
所以，则，即是首项为，公差为的等差数列，
令，则，易知，
所以，
故当或6时，取最小值，最小值为，
故答案为：A
【分析】设等比数列的公比为，则，解得，又，解得，所以，则，即是首项为，公差为的等差数列，令，则，故当或6时，取最小值，即可得解.
7．【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】由，
而，又由已知可得，所以
.
故答案为：C
【分析】由题意得，而，又由已知可得，所以，即可求解.
8．【答案】B
【知识点】轨迹方程
【解析】【解答】设直线，将它与抛物线方程联立得：，
则，
设，则，
所以，故或，
当时，位于轴同侧，故舍去，所以，
所以直线经过定点，由可知在以为直径的圆（原点除外）上.
故答案为：B
【分析】 设直线，将它与抛物线方程联立得：， 结合与韦达定理可得，故或，当时，不符合题意，即可得解.
9．【答案】B,C,D
【知识点】二次函数的性质；数列的函数特性；等差关系的确定
【解析】【解答】当时，；当时，；
则，，由，A不符合题意；
，所以当且仅当时取最小值，B符合题意；
若，则，故，C符合题意；
令，由，则，
即当时，，而当时，，所以若，则的最小值为12，D符合题意.
故答案为：BCD.
【分析】对于A，根据（）可得数列的通项公式，验证，可得答案；对于B，，有二次函数的性质可得答案；对于C，由题意，建立方程，可得答案；对于D，由题意，建立不等式，结合二次函数的性质可得答案.
10．【答案】A,C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由已知可得，到直线的距离为，
所以，即离心率为，所以A符合题意；
若在双曲线右支，由焦半径公式可知，所以只能在双曲线左支，
故，所以B不符合题意；
若过的直线交双曲线右支于，则的最小值为双曲线的通径，
即，C选项正确；
若在双曲线上，且，设，不妨设，
由双曲线定理和勾股定理得：
，
所以，
则的面积为；
即D不符合题意.
故答案为：AC.
【分析】由已知可得，求得a即可判断A；
若在双曲线右支，由焦半径公式可知，所以只能在双曲线左支，根据双曲线定理结课判断B不符合题意；若过的直线交双曲线右支于，则的最小值为双曲线的通径，即，C选项正确；若在双曲线上，且，设，不妨设，由双曲线定理和勾股定理得：，则的面积为即可判断D.
11．【答案】A,B,D
【知识点】球内接多面体
【解析】【解答】以为底面作长方体，则这个长方体的外接球即为多面体的外接球，
当时，外接球半径为，
当时外接球半径为，AB均为真命题；
设分别为中点，若这个多面体有内切球，则其球心必在上，且半径为.
设垂足为，则由，可得，可得，C假D真.
综上，本题答案为ABD.
故答案为：ABD
【分析】以为底面作长方体，则这个长方体的外接球即为多面体的外接球，分别计算当，时外接球的半径即可判断AB选项；
设分别为中点，若这个多面体有内切球，则其球心必在上，且半径为.
设垂足为，则由，求得h=4即可判断CD.
12．【答案】A,C,D
【知识点】函数的值域；函数的周期性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】由于，所以它是偶函数，A符合题意；
由于，它们不相等，所以它不是周期为的周期函数，即B不符合题意；
现在来考察这个函数在内的情况.
当时，
当时，
分别画出以上两个函数图象，并截取相关部分如图：
由此可知函数值域为，即C符合题意；
又由于这个函数是偶函数，它在内没有零点，而在有2个零点，D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】根据函数的奇偶性定义可知，，即A正确；由周期函数定义与
不一定相等，故B错误；将函数写成分段函数的形式并画出函数图象可得C正确；结合C以及偶函数的性质，可判断D正确.
13．【答案】3
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】，则，解得：.
故答案为：3.
【分析】，实部虚部对应相等求解即可.
14．【答案】
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质
【解析】【解答】设，
任取，
，
其中，
所以，
所以在上递增，最小值为.
故答案为：
【分析】由函数单调性的定义判断在上递增，由单调性可得其最小值.
15．【答案】
【知识点】函数的周期性；函数的值
【解析】【解答】由可知的图象关于对称，
因为是定义在上的奇函数，
所以是周期的周期函数，
所以
故答案为：
【分析】根据题意可得是周期的周期函数，进而得，即可得解.
16．【答案】
【知识点】平面内两点间的距离公式；空间中的点的坐标
【解析】【解答】显然关于直线的对称点，由反射光线性质知，
设关于直线的对称点，则，则，
故，由反射光线性质知
所以各边即为光线所走的路线，其周长等于线段的长度，
且.
故答案为：
【分析】利用点关于直线的对称点，结合两点之间的距离公式即可求解.
17．【答案】（1）解：由已知，时，，
与已知条件作差得：
所以，
所以，n=1成立
（2）证明：因为，
所以.
得证.
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1） 由已知，时，，得，推出，验证n=1成立；
（2），求得前项和为，利用放缩法得到答案.
18．【答案】（1）解：由已知得，，
，所以，
在三角形中，由余弦定理得，解得.
所以这个四边形的面积为：
.
（2）解：连接，
由于，又将四边形面积平分，
故，
设，则由正弦定理得，
所以，所以，
，
设，则，
解得，所以.
【知识点】解三角形；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由已知条件可推出，在三角形，利用余弦定理求得，四边形面积转化为三角形ADC和三角形ABC面积求解即可；
（2） 连接，由于，又将四边形面积平分，求得三角形FCE面积， 设，则由正弦定理得，， 设 利用面积即可求解CF的长度.
19．【答案】（1）解：设圆心到直线的距离为（），圆的圆心为，
半径，直线，
当时，三角形是等边三角形，，
于是（负根舍去）.
（2）解：，
等号当且仅当时成立，
当时，（负根舍去）.
【知识点】基本不等式；平面内点到直线的距离公式
【解析】【分析】（1） 设圆心到直线的距离为（），圆的圆心为，当时，三角形是等边三角形，，求解即可；
（2） ，由基本不等式即可求解.
20．【答案】（1）解：估计A层次200名学生的平均分为，
估计方差为
.
（2）解：由题意得，
设这1000名学生的成绩为，其中前200个数据为A层次学生成绩.
由于，
，
同理，
所以，
.
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图结合平均数以及方差的计算方法，求解即可；
（2）根据平均数的计算方法求得该校高二整个年级此次考试的平均分；利用方差公式展开计算，结合（1）的结果，可得答案.
21．【答案】（1）解：由底面是菱形，交于，且底面，分别为中点，
所以，
（2）解：由题知，以为原点，以为非负轴建立空间直角坐标系.
因为底面是菱形，交于，且，
所以，设，
所以，，
设平面的法向量为，
所以得，取，
设平面的法向量为，
所以得，取，
所以，解得，
所以.
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 由题意得底面，分别为中点，所以；
（2） 以为原点，以为非负轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量， 平面的法向量为，根据空间向量数量积的运算即可求解.
22．【答案】（1）解：由题知，椭圆焦点在轴上，
因为
，解得
所以椭圆的方程为
（2）解：设直线的方程为并与椭圆方程联立得：
设，
所以
由已知，，
所以，从而，
即
整理得
将上述韦达定理关系式代入并整理得
即，
若，则直线经过点，不符合题意，
所以，
所以直线的斜率为1.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由点在椭圆上，椭圆的焦距为，列出关于a，b，c的方程组，即可求出椭圆的方程；
（2） 设直线的方程为 ，，联立方程组消元利用韦达定理得，由已知整理得将韦达定理的关系式代入整理即可取出的斜率.
1 / 1湖南省岳阳教研联盟2022-2023学年高二上学期数学期中联考试卷
一、单选题
1．（2022高二上·岳阳期中）已知集合，则等于（ ）
A．R B．
C． D．
【答案】A
【知识点】并集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】由于，所以.
故答案为：A
【分析】根据补集和并集的概念解答即可.
2．（2022高二上·岳阳期中）函数在处切线的斜率为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】因为函数，
则，
所以，也即函数在处切线的斜率，
故答案为：B.
【分析】求出函数的导数，计算，即可得解.
3．（2022高二上·岳阳期中）经过向圆作切线，切线方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【知识点】圆的切线方程
【解析】【解答】（1）当切线的斜率不存在时，直线是圆的切线；
（2）当切线斜率存在时，设切线方程为，
由到切线距离为得，
此时切线方程为即.
故答案为：C
【分析】当切线的斜率不存在时，直线是圆的切线；当切线斜率存在时，设切线方程为，由到切线距离为得，进而可求切线的方程.
4．（2022高二上·岳阳期中）平行六面体中，则它的对角线的长度为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】由于，而
所以，将等式两边同时平方得：
，
，
所以，
即对角线的长度为.
故答案为：D.
【分析】通过向量的线性运算，，再利用向量数量积的运算求得.
5．（2022高二上·岳阳期中）已知函数，以下说法错误的是（ ）
A．是奇函数
B．在定义域上递增
C．的值域为
D．没有零点
【答案】B
【知识点】函数的值域；复合函数的单调性；函数的奇偶性；函数的零点
【解析】【解答】对于A：因为，即，
所以定义域为关于原点对称，
又由于，
所以是奇函数，A正确，不符合题意；
对于B：由于，
所以不能说函数在定义域内单调递增，B错误，符合题意；
对于C：，
当从0（不包括0）增大到时，的值从0（不包括0）递减到，值域为，
故的值从增大到，取值范围是，
由奇函数图象的对称性可知，当时，的取值范围是，
所以的值域是，C正确，不符合题意；
对于D：恒成立，故没有零点，D正确，不符合题意.
综上，错误的选项为B.
故答案为：B
【分析】A项：观察定义域是否关于原点对称，然后再验证是否成立；
B项：计算比较即可判断；
C项：将函数的解析式分离上常数得到，利用指数函数的性质和复合函数的单调性求得取值范围，进而根据奇函数的图象的对称性可得函数的值域；
D项：分母不为零，分子大于零恒成立可得.
6．（2022高二上·岳阳期中）等比数列前项和为.若，则数列前项和的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的通项公式
【解析】【解答】设等比数列的公比为，则，解得，
又，解得，
所以，则，即是首项为，公差为的等差数列，
令，则，易知，
所以，
故当或6时，取最小值，最小值为，
故答案为：A
【分析】设等比数列的公比为，则，解得，又，解得，所以，则，即是首项为，公差为的等差数列，令，则，故当或6时，取最小值，即可得解.
7．（2022高二上·岳阳期中）中，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】由，
而，又由已知可得，所以
.
故答案为：C
【分析】由题意得，而，又由已知可得，所以，即可求解.
8．（2022高二上·岳阳期中）已知直线交抛物线于轴异侧两点，且，过O向作垂线，垂足为D，则点的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．或
【答案】B
【知识点】轨迹方程
【解析】【解答】设直线，将它与抛物线方程联立得：，
则，
设，则，
所以，故或，
当时，位于轴同侧，故舍去，所以，
所以直线经过定点，由可知在以为直径的圆（原点除外）上.
故答案为：B
【分析】 设直线，将它与抛物线方程联立得：， 结合与韦达定理可得，故或，当时，不符合题意，即可得解.
二、多选题
9．（2022高二上·岳阳期中）已知数列的前项和，以下说法正确的是（ ）
A．数列是等差数列 B．当且仅当时，取最小值
C．若，则 D．若，则n的最小值为12
【答案】B,C,D
【知识点】二次函数的性质；数列的函数特性；等差关系的确定
【解析】【解答】当时，；当时，；
则，，由，A不符合题意；
，所以当且仅当时取最小值，B符合题意；
若，则，故，C符合题意；
令，由，则，
即当时，，而当时，，所以若，则的最小值为12，D符合题意.
故答案为：BCD.
【分析】对于A，根据（）可得数列的通项公式，验证，可得答案；对于B，，有二次函数的性质可得答案；对于C，由题意，建立方程，可得答案；对于D，由题意，建立不等式，结合二次函数的性质可得答案.
10．（2022高二上·岳阳期中）已知双曲线的焦点为，且到直线的距离为4，则以下说法正确的是（ ）
A．双曲线的离心率为
B．若在双曲线上，且，则或1
C．若过的直线交双曲线右支于，则的最小值为
D．若在双曲线上，且，则的面积为
【答案】A,C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由已知可得，到直线的距离为，
所以，即离心率为，所以A符合题意；
若在双曲线右支，由焦半径公式可知，所以只能在双曲线左支，
故，所以B不符合题意；
若过的直线交双曲线右支于，则的最小值为双曲线的通径，
即，C选项正确；
若在双曲线上，且，设，不妨设，
由双曲线定理和勾股定理得：
，
所以，
则的面积为；
即D不符合题意.
故答案为：AC.
【分析】由已知可得，求得a即可判断A；
若在双曲线右支，由焦半径公式可知，所以只能在双曲线左支，根据双曲线定理结课判断B不符合题意；若过的直线交双曲线右支于，则的最小值为双曲线的通径，即，C选项正确；若在双曲线上，且，设，不妨设，由双曲线定理和勾股定理得：，则的面积为即可判断D.
11．（2022高二上·岳阳期中）七面体中，为正方形且边长为都与平面垂直，且，则对这个多面体描述正确的是（ ）
A．当时，它有外接球，且其半径为
B．当时，它有外接球，且其半径为
C．当它有内切球时，
D．当它有内切球时，
【答案】A,B,D
【知识点】球内接多面体
【解析】【解答】以为底面作长方体，则这个长方体的外接球即为多面体的外接球，
当时，外接球半径为，
当时外接球半径为，AB均为真命题；
设分别为中点，若这个多面体有内切球，则其球心必在上，且半径为.
设垂足为，则由，可得，可得，C假D真.
综上，本题答案为ABD.
故答案为：ABD
【分析】以为底面作长方体，则这个长方体的外接球即为多面体的外接球，分别计算当，时外接球的半径即可判断AB选项；
设分别为中点，若这个多面体有内切球，则其球心必在上，且半径为.
设垂足为，则由，求得h=4即可判断CD.
12．（2022高二上·岳阳期中）已知函数，以下结论正确的是（ ）
A．它是偶函数
B．它是周期为的周期函数
C．它的值域为
D．它在这个区间有且只有2个零点
【答案】A,C,D
【知识点】函数的值域；函数的周期性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】由于，所以它是偶函数，A符合题意；
由于，它们不相等，所以它不是周期为的周期函数，即B不符合题意；
现在来考察这个函数在内的情况.
当时，
当时，
分别画出以上两个函数图象，并截取相关部分如图：
由此可知函数值域为，即C符合题意；
又由于这个函数是偶函数，它在内没有零点，而在有2个零点，D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】根据函数的奇偶性定义可知，，即A正确；由周期函数定义与
不一定相等，故B错误；将函数写成分段函数的形式并画出函数图象可得C正确；结合C以及偶函数的性质，可判断D正确.
三、填空题
13．（2022高二上·岳阳期中）复数，则 .
【答案】3
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】，则，解得：.
故答案为：3.
【分析】，实部虚部对应相等求解即可.
14．（2022高二上·岳阳期中）已知的最小值为 .
【答案】
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质
【解析】【解答】设，
任取，
，
其中，
所以，
所以在上递增，最小值为.
故答案为：
【分析】由函数单调性的定义判断在上递增，由单调性可得其最小值.
15．（2022高二上·岳阳期中）已知是定义在上的奇函数，且恒成立.当时，则的值为 .
【答案】
【知识点】函数的周期性；函数的值
【解析】【解答】由可知的图象关于对称，
因为是定义在上的奇函数，
所以是周期的周期函数，
所以
故答案为：
【分析】根据题意可得是周期的周期函数，进而得，即可得解.
16．（2022高二上·岳阳期中）线从出发，经两直线反射后，仍返回到点.则光线从P点出发回到P点所走的路程长度（即图中周长）为 .
【答案】
【知识点】平面内两点间的距离公式；空间中的点的坐标
【解析】【解答】显然关于直线的对称点，由反射光线性质知，
设关于直线的对称点，则，则，
故，由反射光线性质知
所以各边即为光线所走的路线，其周长等于线段的长度，
且.
故答案为：
【分析】利用点关于直线的对称点，结合两点之间的距离公式即可求解.
四、解答题
17．（2022高二上·岳阳期中）已知数列的前项和为，且满足，
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列的前项和为，求证：
【答案】（1）解：由已知，时，，
与已知条件作差得：
所以，
所以，n=1成立
（2）证明：因为，
所以.
得证.
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1） 由已知，时，，得，推出，验证n=1成立；
（2），求得前项和为，利用放缩法得到答案.
18．（2022高二上·岳阳期中）一块土地形状为四边形，其中，
（1）求这块土地的面积；
（2）若为中点，在CD边上，且EF将这块土地面积平分，求CF的长度.
【答案】（1）解：由已知得，，
，所以，
在三角形中，由余弦定理得，解得.
所以这个四边形的面积为：
.
（2）解：连接，
由于，又将四边形面积平分，
故，
设，则由正弦定理得，
所以，所以，
，
设，则，
解得，所以.
【知识点】解三角形；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由已知条件可推出，在三角形，利用余弦定理求得，四边形面积转化为三角形ADC和三角形ABC面积求解即可；
（2） 连接，由于，又将四边形面积平分，求得三角形FCE面积， 设，则由正弦定理得，， 设 利用面积即可求解CF的长度.
19．（2022高二上·岳阳期中）已知直线交圆于两点.
（1）当时，求直线的斜率；
（2）当的面积最大时，求直线的斜率.
【答案】（1）解：设圆心到直线的距离为（），圆的圆心为，
半径，直线，
当时，三角形是等边三角形，，
于是（负根舍去）.
（2）解：，
等号当且仅当时成立，
当时，（负根舍去）.
【知识点】基本不等式；平面内点到直线的距离公式
【解析】【分析】（1） 设圆心到直线的距离为（），圆的圆心为，当时，三角形是等边三角形，，求解即可；
（2） ，由基本不等式即可求解.
20．（2022高二上·岳阳期中）某校高二年级共有1000名学生，分为20个班，每班50人.为方便教学，将学生分为两个层次，其中A层次4个班，共200人，B层次16个班，共800人.某次数学考试，A层次200名学生成绩的频率分布直方图如图所示.
（1）根据频率分布直方图，估计A层次200名学生的平均成绩和方差；
（2）若层次800名学生的平均成绩为分，方差为.试根据以上数据估计该校高二整个年级此次考试的平均分和方差
【答案】（1）解：估计A层次200名学生的平均分为，
估计方差为
.
（2）解：由题意得，
设这1000名学生的成绩为，其中前200个数据为A层次学生成绩.
由于，
，
同理，
所以，
.
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图结合平均数以及方差的计算方法，求解即可；
（2）根据平均数的计算方法求得该校高二整个年级此次考试的平均分；利用方差公式展开计算，结合（1）的结果，可得答案.
21．（2022高二上·岳阳期中）四棱锥中，底面是菱形，交于，且底面
（1）若分别为中点，求四面体的体积；
（2）若二面角的余弦值为，求的长度.
【答案】（1）解：由底面是菱形，交于，且底面，分别为中点，
所以，
（2）解：由题知，以为原点，以为非负轴建立空间直角坐标系.
因为底面是菱形，交于，且，
所以，设，
所以，，
设平面的法向量为，
所以得，取，
设平面的法向量为，
所以得，取，
所以，解得，
所以.
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 由题意得底面，分别为中点，所以；
（2） 以为原点，以为非负轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量， 平面的法向量为，根据空间向量数量积的运算即可求解.
22．（2022高二上·岳阳期中）已知点在椭圆上，且椭圆的焦距为
（1）求椭圆的方程；
（2）过作倾斜角互补的两直线，这两直线与椭圆的另一个交点分别为，求的斜率.
【答案】（1）解：由题知，椭圆焦点在轴上，
因为
，解得
所以椭圆的方程为
（2）解：设直线的方程为并与椭圆方程联立得：
设，
所以
由已知，，
所以，从而，
即
整理得
将上述韦达定理关系式代入并整理得
即，
若，则直线经过点，不符合题意，
所以，
所以直线的斜率为1.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由点在椭圆上，椭圆的焦距为，列出关于a，b，c的方程组，即可求出椭圆的方程；
（2） 设直线的方程为 ，，联立方程组消元利用韦达定理得，由已知整理得将韦达定理的关系式代入整理即可取出的斜率.
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