参 赛 题 目
姜忠杰
变 题
原题：若在区间=在区间是减函数，则的取值范围是多少？
变1：若函数=在上是减函数，则的取值范围是多少？
变2、若函数=在上是增函数，则的取值范围是多少？
变3、若函数=在上是增函数，且函数的值域为R，则的取值范围是多少？
解：函数的减区间为，
-
变1、设，则在为减函数，且在，0
所以有且（），的取值范围是
变2：设，则在为减函数，且在，0-
所以有且（），的取值范围是
变3：设，则在减区间，在取到一切正实数
，，所以或
一题多解：
设 ，，求的值。
解法一（构造函数）：设，则，由于在上是单调递增函数，所以，故。
解法二（图象法）
因为是方程的一个根，也就是方程的一个根
是方程的一个根，也就是方程的一个根
令，，，在同一坐标系中作出他们的图象，如图所示：
是方程的根，即图中OA=
是方程的根，即图中OB=
易得OA+OB=10，所以
解法三：方程，的根为，由，得，，又，
，
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- 1 -江苏省盱眙中学高三数学组 2007-4-1
一题多解、一题多变
题目：已知函数若对任意恒成立，试求实数a的取值范围。
解法一：在区间上，恒成立恒成立，设在递增 ，当x=1时，于是当且仅当时，函数恒成立，故 a>—3。
解法二：当a的值恒为正,当a<0时,函数为增函数故当x=1时于是当且仅当3+a>)时恒成立, 故 a>—3。
解法三：在区间上恒成立恒成立恒成立，故a应大于时的最大值—3， 当x=1时，取得最大值 —3
题目： 将函数的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，求所得图象的函数表达式。
解： 将函数中的x换成x+1，y换成y-1得
变题1：作出函数的图象
解： 函数=，它是由函数的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到。图象为：
变题2：求函数的单调递增区间
解： 由图象知 函数的单调递增区间为：
变题3：求函数的单调递增区间
解： 由 得 所以函数的单调递增区间为
变题4： 求函数的单调递增区间
解： 由，所以函数的单调递增区间
为
变题5 函数的反函数的图象的对称中心为（-1，3），求实数a
解： 由知对称中心为（（a+1，-1），所以它的反函数的对称中心为（-1，a+1），由题意知：a+1=3 得a=2。
变题6 ：函数的图象关于y=x对称求a的值
解： 因为函数的反函数是它本身，且过点（2，0），所以其反函数的图象必过点（0，2），即函数也过点（0，2），代入得a=-1。
变题7 设（a，b）与（c，d）都是函数f（x）的单调区间， 且则与的大小关系为（ ）
（A）（B）（C）（D）不能确定
解 ： 构造函数它在上都是增函数，但在上无单调性，故选D
变题8：讨论函数在上的单调性。
解： 由的图象知 ，当 时在上是增函数；当时在上为减函数江苏省盱眙中学高三数学备课组 2007-4-1
一题多解、一题多变
考查知识点：函数的对称中心
原题：函数的图象关于原点对称。
解：该函数定义域为R，且+
==
，该函数图像关于原点对称
变题1：已知函数满足则的图象的关于对称
解：为奇函数，即的图象关于原点对称，故的图象关于对称。
变题2：已知函数满足，则函数的图象关于对称
解：由得，，－1为奇函数，即－1的图象关于（0，0）对称，的图象关于对称
变题3：已知函数满足，则的图象关于（1，1）对称
解：令，则，故由得，即
满足，即，的图象关于原点（0，0）对称，故的图象关于（1，1）对称。
结论：若函数满足，则的图象关于对称。
变题4：已知求证：（1）（2）指出该函数图象的对称中心并说明理由。
（3）求的值。
（1）证明：，得证。-
（2）解：该函数图象的对称中心为，由得
即，的图象关于原点中心对称，故的图象关于对称。
（3）解：，故，，……， =500
变题5：求证：二次函数的图象没有对称中心。
证明：假设是的图象的对称中心，则对任意，都有，即恒成立，
即有恒成立，也就是且与矛盾
所以的图象没有对称中心。一题多解、一题多变
一变题：课本P110 写出数列的前5项：
变题：已知函数，设的反函数为，
，求数列的通项公式。
解：由题意得，，
，令，则是以为首项，为公比的等比数列，
故
从而，
二、一题多解
已知函数
（1）当时，求函数的最小值；-
（2）若对于任意恒成立，试求实数的取值范围，
解：（1）当时，，当且仅当时取等号
由性质可知，在上是增函数
，所以在是增函数，在区间上的最小值为
（2）法一：在区间上，恒成立恒成立
设，在上增
所以时，，于是当且仅当时，函数恒成立，
故
法二：
当时，函数的值恒为正；
当时，函数为增函数，故当时，，于是当且仅当时，函数恒成，故
法三：在区间上，恒成立恒成立
恒成立，故应大于，时的最大值-3，
所以
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- 1 -原题 设有反函数，又与 互为反函数，则（《教学与测试》P77）
变题 设有反函数，又的图象与的图象关于对称
（1） 求及的值；
（2） 若均为整数，请用表示及
解(1)因的反函数是，从而,于是有，令得；同样，得反函数为，从而，于是，．
(2) ,而,故,即, …，从而．
同理，．
一题多解
1．函数，则( )
（A）
（B）
（C）
（D）
解法1. 由知的图象关于对称，得而，且，因此.
解法2.由知的图象关于对称，而，而在[－1,1]上递减，易得答案为B．
y
-1 0 1 x
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一题多解、一题多变
题目：求函数的值域
方法一：判别式法 --
设 ，则，由Δ-
当时，-， 因此当时，
有最小值2，即值域为
方法二：单调性法
先判断函数的单调性
任取，则
当时，即，此时在上时减函数
当时，在上是增函数
由在上是减函数，在上是增函数，知
时，有最小值2，即值域为
方法三：配方法
，当时，，此时
有最小值2，即值域为
方法四：基本不等式法
有最小值2，即值域为
变 题
原题：若函数的定义域为R，求实数a的取值范围
解：由题意得
在R上恒成立，则要求
且Δ
变式一：函数的定义域为R，求实数a的取值范围
解：由题意得
在R上恒成立，则要求
且Δ
变式二：函数的值域为R，求实数a的取值范围
解：令 能取到所有大于0的实数，则
时，能取到所有大于0的实数
时，且Δ
综上江苏省盱眙中学高三数学备课组 2007-4-1
一题多解、一题多变
一题多解-
1． 已知（，求的值
解法1 先求反函数
由得
且
故原函数的反函数是
解法2从互为反函数的函数的关系看
令解得
即
变题
2． 已知对于任意实数满足，当时，
（1） 求证
（2） 判断的单调性
证明 （1）令得
- 令，得
（2）设，则
在R上是单调函数
变题 1. 已知函数是定义R在上的增函数，且满足
（1） 求的值
（2） 若解不等式
解 （1） 令，得
-
（3） 在中，令得
从而
又原不等式可化为
，
且是上的增函数，
原不等式等价于
又
解得
原不等式的解集为（0，4）江苏省盱眙中学高三数学备课组 2007-4-1
一题多解、一题多变
参赛题目
例、-恒成立，求的取值范围
解：1、当 时
2、
-
∴
变式1：已知函数的定义域为，求实数的取值范围。
解：由题意得恒成立，
∴1、当 时
2、
-
∴
变式2、函数的定义域为的充要条件是什么
解：由题意得恒成立，
∴1、当 时
2、
-
∴
变式3、的定义域为，求实数的取值范围。
解：由题意得恒成立，
∴1、当 时
2、
-
∴
变式4、的定义域为R，求实数的取值范围。
解：由题意得-无解即-
或
∴
变式5、-的定义域为R，求的取值范围
解：由题意得恒成立，
∴1、当 时
2、
-
∴
一题多解
徐晓洲
求的值域
法一：常数分离法
∴ 即-
∴值域为[，1
法二：反解法
由
∴函数的值域为[，1
法三：判别式法
由
即：1、当时 故舍去
2、当时
所以函数的值域为[，1变 题
原题：:若,则
分析:用倒数换元
解: 令, 所以
将t换成x得到:
变题1：设满足关系式求的解析式
解：
将t换成x得到:
与原式联立方程组消去得到
变题2：已知，其中试求的解析式
解：用相反数换元 令代入到原式当中得到：
将t换成x得到:
与原式联立方程组，得到：
变题3：已知，试求的解析式
解：令，则
将 中t换－t得到:
与联立方程组得到：
变题4：已知求
解：设 代入原式得：
将t换成—t得到:
与上式联立方程组得到
的解析式为：
一题多解
题目：设二次函数满足且函数图象y轴上的截距为1，被x轴截的线段长为，求的解析式
分析：设二次函数的一般形式，然后根据条件求出待定系数a,b,c
解法一：设
由 得：
又
由题意可知 解之得：
解法二：
故函数的图象有对称轴
可设
函数图象与y轴上的截距为1，则
又 被x轴截的线段长为，则
整理得： 解之得：
解法三：： 故
函数的图象有对称轴，又
与x轴的交点为：
故可设
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一题多解、一题多变
（课本P102 ）证明：
变题：1、如图所示，是定义在[0，1]上的四个函数，其中满足性质：“对[0，1]中的任意的，任意恒成立”的只有（ A ）
A、 B、 C、 D、
变题2、定义在R上的函数满足：如果对于任意都有
则称函数是R上的凹函数。已知二次函数
（1）求证：当时，函数是凹函数；
（2）如果时，，试求实数的取值范围。
（1）证明：略
（2）实数的取值范围是
二、一题多解
不查表计算：
解法一：原式=
=
=
=
解法二：原式=
=1-
=1
解法三：原式=
=
=1
解法四：原式=
=
=1
解法五：原式=
=
=
=1一题多解
题目：求函数的值域
方法一：判别式法 --
设 ，则，由Δ-
当时，-， 因此当时，
有最小值2，即值域为
方法二：单调性法
先判断函数的单调性
任取，则
当时，即，此时在上时减函数
当时，在上是增函数
由在上时减函数，在上是增函数，知
时，有最小值2，即值域为
方法三：配方法
，当时，，此时
有最小值2，即值域为
方法四：基本不等式法
有最小值2，即值域为
变 题
原题：若函数的定义域为R，求实数a的取值范围
解：由题意得
在R上恒成立，则要求
且Δ
变式一：函数的定义域为R，求实数a的取值范围
解：由题意得
在R上恒成立，则要求
且Δ
变式二：函数的值域为R，求实数a的取值范围
解：令 能取到所有大于0的实数，则
时，能取到所有大于0的实数
时，且Δ
综上
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- 1 -一题多解
题目：椭圆的焦点是，椭圆上一点P满足，下面结论正确的是———————————————————————（ ）
（A）P点有两个 （B）P点有四个
（C）P点不一定存在 （D）P点一定不存在
解法一：
以为直径构圆，知：圆的半径，即圆与椭圆不可能有交点。故选D
解法二：
由题知，而在椭圆中：，不可能成立故选D
解法三：
由题意知当p点在短轴端点处最大，设，此时为锐角，与题设矛盾。故选D
解法四：
设，由知，而无解，故选D
解法五：
设，假设，则，而
即：，不可能。故选D
解法六：，故不可能。故选D
解法七：设由焦半径知：
而在椭圆中而>,故不符合题意，故选D
解法八.
设圆方程为：
椭圆方程为：
两者联立解方程组得：
不可能
故圆与椭圆无交点
即 不可能垂直
故选D
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- 1 -变 题
原题： 的定义域为R，求m的取值范围
解：由题意在R上恒成立
且Δ，得
变1：的定义域为R，求m的取值范围
解：由题意在R上恒成立
且Δ，得
变2：的值域为R，求m的取值范围
解：令，则要求t能取到所有大于0的实数，
当时，t能取到所有大于0的实数
当时，且Δ
变3：的定义域为R,值域为，求m,n的值
解：由题意，令，得
时，Δ-
1和9时的两个根
当时， ，也符合题意
一 题 多 解-
解不等式
解法一：根据绝对值的定义，进行分类讨论求解
（1）当时，不等式可化为
（2）当时，不等式可化为
综上：解集为
解法二：转化为不等式组求解
原不等式等价于
综上：解集为
解法三：利用等价命题法
原不等式等价于
，即
解集为
解法四：利用绝对值的集合意义
原不等式可化为
，不等式的几何意义时数轴上的点的距离大于，且小于，由图得， 解集为
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- 2 -江苏省盱眙中学高三数学备课组 2007-4-1
一题多解、一题多变
已知，求证：
变 题
1、已知数列满足，，试比较与的大小
2、已知，且，求证：
3、已知，求证：
解： 原题：证明：作差-‘
，
1、
2、-
，，又 ， -
3、作差
，
一 题 多 解
已知数列满足，，试比较与的大小
方法一：作差-=，
方法二：作商
-
方法三：（单调性），关于单调递增
方法四：浓度法 把看成是一杯溶液（糖）的浓度，随着的增大（相当于向溶液中加糖），浓度 当然增大，易得一题多解：
已知是等比数列的前n想项和，成等差数列，求证：成等差数列
法一：用公式，
因为成等差数列，所以且则
所以
所以 成等差数列｀
法二用公式，
则，所以 成等差数列｀
证法三：（用公式）
解得（下略）
变题：
已知且是第二象限角，求
解：是第二象限角，
变1：，求
解：，所以是第一或第二象限角
若是第一象限角，则
若是第二象限角，则
变2：已知求
解：由条件，所以
当 时，是第一或第二象限角
若是第一象限角时
若是第二象限角
当时不存在
变3：已知，求
解：当时，不存在
当时，
当时第一、第四象限角时，
当是第二、第三象限角时，
PAGE
- 2 -
