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17.3一次函数
2.一次函数的图像 ( 21世纪教育网版权所有 )
学习目标
1.理解一次函数和正比例函数的图象是一条直线；21cnjy
2.熟练地作出一次函数和正比例函数的图象，掌握 k与b的取值对直线位置的影响．
3.探索某些一次函数图象的异同点；
4.体会用类比的思想研究一次函数，体验研究数学问题的常用方法：由特殊到一般，由简单到复杂．
学习方法21cnjy
合作研究学习法 发现学习法
学习重难点
画函数图像及k值对图像位置的影响 ( 21世纪教育网版权所有 )
学习过程
一、合作探究21cnjy
前面我们学习了用描点法画函数的图象的方法，下面请同学们根据画图象的步骤：列表、描点、连线，在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象．
(1)； (2)；
(3) y＝3x； (4) y＝3x＋2．
同学们观察并互相讨论，并回答：你所画出的图象是什么形状．
二、探究归纳
观察右面四个函数的图象，发现它们都是直线．请同学举例对你们的发现作出验 ( 21世纪教育网版权所有 )证．21cnjy
一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线，这条直线通常又称为直线y＝kx＋b(k≠0)．特别地，正比例函数y＝kx(k≠0)是经过原点的一条直线．
问 几点可以确定一条直线
答 两点．21cnjy
结论 那么今后画一次函数图象时只要取两点，过两点画一条直线就可以了．
请同学们在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象．
(1)y＝-x、y＝-x＋1与y＝-x-2；
(2)y＝2x、y＝2x＋1与y＝2x-2．
通过观察发现:21cnjy
(1)第一组三条直线互相平行，第二组的三条直线也互相平行．为什么呢 因为每一组的三条直线的k相同；还可以看出，直线y＝-x＋1与y＝-x-2是由直线y＝-x分别向上移动1个单位和向下移动2个单位得到的；而直线y＝2x＋1与y＝2x-2是由直线y＝2x分别向上移动1个单位和 ( 21世纪教育网版权所有 )向下移动2个单位得到的．
(2)y＝-x与 y＝2x、y＝-x＋1与y＝2x＋1、y＝-x-2与y＝2x-2的交点在同一点，为什么呢？因为每两条直线的b相同；而直线与y轴的交点纵坐标取决于b．
所以，两个一次函数，当k一样，b不一样时（如y＝-x、y＝-x＋1与y＝-x-2；y＝2x、y＝2x＋1与y＝2x-2），有
共同点：直线平行，都是由直线y＝kx(k≠0)向上或向下移动得到；
不同点：它们与y轴的交点不同 ( 21世纪教育网版权所有 )．21cnjy
而当两个一次函数，b一样，k不一样时（如y＝-x与 y＝2x、y＝-x＋1与y＝2x＋1、y＝-x-2与y＝2x-2），有
共同点：它们与y轴交于同一点(0,b)；
不同点：直线不平行．
三、实践应用21cnjy
例1 在同一平面直角坐标系中画出下列每组函数的图象．
(1)y＝2x与y＝2x＋3；(2)y＝3x＋1与．
注 画出图象后，同学间互相讨论、交流，看看是否与上面的结果一样．
想一想21cnjy
(1)上面每组中的两条直线有什么关系？
(2)你取的是哪几个点，互相交流，看谁取的点比较简便．
通过比较，老师点拨，得出结论：一般情况下，要取直线与x轴、y轴的交点比较简便．
例2 直线分别是由直线经过怎样的移动得到的．
分析 只要k相同，直线就平行，一次函数y＝kx＋b(k≠0)是由正比例函数的图象y＝kx(k≠0)经过向上或向下平移个单位得到的．b＞0，直线向上移；b＜0，直线向下移．
解 是由直线向上平移3个单位得到的；而是由直线向下平移5个单位得到的．21cnjy
例3 说出直线y＝3x＋2与；y＝5x-1与y＝5x-4的相同之处．
分析 k相同，直线就平行．b相同，直线与y轴交于同一点，且交点坐标为(0,b)．
解 直线y＝3x＋2与的b相同，所以这两条直线与y轴交于同一点，且交点坐标为(0,2)；21cnjy
直线y＝5x-1与y＝5x-4的k都是5，所以这两条直线互相平行．
例4 画出直线y＝-2x＋3，借助图象找出:
(1)直线上横坐标是2的点；
(2)直线上纵坐标是-3的点；
(3)直线上到y轴距离等于1的点 ( 21世纪教育网版权所有 )．
解 (1)直线上横坐标是2的点是A(2,-1)；
(2)直线上纵坐标是-3的点B(3,-3)；
(3)直线上到y轴距离等于1的点C(1,1)和D(-1,5)．
四、交流反思 ( 21世纪教育网版权所有 )21cnjy
通过这节课的学习，我们学到了哪些新知识？
1．一次函数的图象是一条直线．
2．画一次函数图象时，只要取两个点即可，一般取直线与x轴、y轴的交点比较简便．
3．两个一次函数，当k一样，b不一样时，共同之处是直线平行，都是由直线y＝kx(k≠0)向上或向下移动得到，不同之处是它们与y轴的交点不同；当b一样，k不一样时，共同之处是它们与y轴交于同一点(0,b)，不同之处是直线不平行．
五、检测反馈21cnjy
1.在同一坐标系中画出下列函数的图象，并说出它们有什么关系？
(1)y＝―2x； (2) y＝―2x―4．
2.(1)将直线y＝3x向下平移2个单位，得到直线 ；
(2)将直线y＝-x-5向上平移5个单位，得到直线 ；
(3)将直线y＝-2x＋3向下平移5个单位，得到直线 ．
3.函数y＝kx-4的图象平行于直线y＝-2x，求函数的表达式．
4.一次函数y＝kx＋b的图象与y轴交于点(0,-2)，且与直线平行，求它的函数表达式 ( 21世纪教育网版权所有 )．21cnjy
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–2
–1
–1
–2
–3
–3
5
y
x
作出一次函数y=2x+1的图象
解:
x … -2 -1 0 1 2 …
y=2x+1 … -3 -1 1 3 5 …
作函数图象的一般步骤：
列表:找到一些满足条件的点。
描点:以表中各组对应值作为点的坐标,在直角坐标系内描出相应的点。
连线:把这些点按自变量由小到大的顺序，用平滑依次连接起来,即可得函数得到y=2x+1的图象,它是( 一条直线 )。
y=2x+1
知识回顾
在平面直角坐标系中画出下列函数的图像:
(1) (2)
(3) (4)
合作探究
探究活动：小组内画出下列函数图像。
1
-1
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0
观察:这些函数的图像有什么特点
x
y
探究思考
一次函数y=k x+b(k≠0)的图像是一条直线.通常也称为直线y=kx+b .
1
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-5
0
几个点可以确定一条直线 画一次函数图像时,只要取几个点
y
x
探究思考
两个一次函数,当k一样、b不一样时，如 y=3x 与y=3x+2 时，有什么共同点与不同点？
1、观察与比较：一次函数y=kx+b(k≠0）的图像有何特点
（1）一次函数的图像是一条直线
（3）一次函数的图像都过三个象限
（2）一次函数的图像过（0，b）点和
探究归纳
2、如何画一次函数y=kx+b的图像？
画出一次函数图象的关键是选取适当的两点，然后连线即可。为了描点方便，对于一次函数y=kx+b(k,b是常数,k≠0)通常选取(0,b)与(－b/k ,0 )两点。
（1）直线y＝4x－3过点（___，0）、（0，___）
（2）直线 过点（___，0）、（0，__）
－3
6
2
（3）直线y=5x+2与x轴的交点A的坐标为 ，
与y轴的交点B的坐标为 。
（4）直线y=-2x+6呢？
（3,0）、（0,6）
（5）直线y=kx+b呢？
(0,b)
新知应用
x
y
2
0
.
.
.
.
.
.
.
1、请大家在同一坐标系内作出下列函数y=x, y=x+2,y=x-2的图象。
x -2 -1 0 1 2
y=x
y=x+2
y=x-2
-2
0
-3
-1
1
-4
0
2
-2
1
3
-1
2
4
0
.
.
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y=x
.
.
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y=x+2
y=x-2
合作探究
x
y
2
0
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y=x
.
.
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.
.
y=x+2
y=x-2
1、这几个函数的图象形状都是 并且倾斜程度 即相互平行
2、函数y=x的图象经过(0,0)，函数y=x+2的图象与y轴交于点____ ，即它可以看作由直线y=x向__平移 个单位长度而得到．函数y=x-2的图象与y轴交于点_ __，即它可以看作由直线y=x向 平移___ 个单位长度而得到．
直线
相同
（0，2）
上
2
（0，-2）
下
2
2
探究归纳
x
y
2
0
.
.
.
.
1、请大家在同一坐标系内作出下列函数y=-x, y=-x+2,y=-x-2的图象。
.
.
y=-x
y=-x+2
y=-x-2
x
y=-x
x
y=-x+2
x
y=-x-2
0
-2
0
-2
0
0
1
-1
0
0
2
2
新知应用
思考：一次函数y=kx+b的图象与正比例函数y=kx图象有什么关系？
一次函数y=kx+b的图象它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到。当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移
小明暑假第一次去北京．汽车驶上A地的高速公路后，小明观察里程碑，发现汽车的平均速度是95千米/时．已知A地直达北京的高速公路全程570千米，小明想知道汽车从A地驶出后，距北京的路程和汽车在高速公路上行驶的时间有什么关系，以便根据时间估计自己和北京的距离．
设汽车在高速公路上行驶时间为t小时，汽车距北京的路程为s千米，则s与t的函数关系式为
___________________________________________________________________
s＝570－95t
问题：画出上述问题中小明距北京的路程s 与开车时间t 之间函数s＝570－95t的图象．
新知应用
这里s和t取的值悬殊较大，怎么办？
分析:在实际问题中，我们可以在表示时间的 t 轴和表示路程的s轴上分别选取适当的单位长度，画出平面直角坐标系并画出这个函数的图象（如图）：
讨 论： 1. 这个函数是不是一次函数？
2. 这个函数中自变量t的取值范围是什么？函数的图象是什么？
3. 在实际问题中，一次函数的图象除了直线和本题的图形外，还有没有其他情形？你能不能找出几个例子加以说明？
新知应用
令y=0, 得 x-1=0, 解得x=2
1
2
1、直线y = x - 1与两坐标轴围成的三角形的面
积是多少？
1
2
解: 令x=0, 得y = -1
∴直线经过点(0,-1)、(2,0)
-1
2
-1
-2
1
1
x
y
2
3
-2
-3
∴S = × 2×1 = 1
1
2
新知拓展
1、已知直线y=kx+5与直线y=3x-7平行
则k= .
变式一：已知直线y=(3k-5)x+7与直线y=-2x+9平行，则k= .
变式二：已知直线y=(a+3)x-5与直线y=(15-2a)x+4平行，则a= .
3
解：∵3k-5=-2, ∴3k=3,即k=1
1
解： ∵a+3=15-2a,
∴3a=12,即a=4.
4
拓展应用
1、拖拉机开始工作时，油箱中有油24L，那么油箱中剩余原油量y（L）与工作时间x（h）之间的函数关系式和图象是( )
A. y=4x-24（0≤x ≤ 6） B. y=24-4x
C. y=24-4x (0≤x ≤ 6 ) D. y=-24+4x
D
拓展练习
请谈谈你的收获是什么？
1、直线y=kx+b与x轴的交点坐标为 与y轴的交点坐标为 。
(0,b)
2、若直线y1=k1x+b1与直y2=k2x+b2平行，则k1=k2，b1≠b2，反之亦成立。
课堂小结
