新疆和田地区和田县2022-2023学年高二上学期数学11月期中教学情况调研试卷
一、单选题
1．（2022高二上·和田期中）已知 为实数，则“ ”是“方程 表示的曲线为椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】当 时，取 曲线 是圆而不是椭圆，故充分性不成立；
当方程 表示的曲线为椭圆时， 成立，所以“ ”是“方程 表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件.
故答案为：B
【分析】取 曲线 是圆而不是椭圆，充分性不成立，反之成立，即可得出答案。
2．（2022高二上·和田期中）若直线（为参数）与直线垂直，则常数（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【知识点】用斜率判定两直线垂直；参数方程化成普通方程
【解析】【解答】直线为参数），
消去参数，得
，
与直线垂直，
，
故答案为：A．
【分析】首先将参数方程化为普通方程，然后利用直线与直线的垂直关系，确定值.
3．（2022高二上·和田期中）方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意可知 解得 . 故答案为：D
【分析】由题意焦点在x轴的椭圆的性质得到关于k的不等式组求解即可。
4．（2022高二上·和田期中）直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】解：直线，
即，斜率为，
所以，设直线的倾斜角为，，
则，由正切函数的图象可知．
故答案为：D
【分析】根据题意，求出直线的斜率，所以，设直线的倾斜角为，，则，可得答案.
5．（2022高二上·和田期中）设复数，在复平面所对应的点为与，则关于点、与以原点为圆心，10为半径的圆的位置关系，描述正确的是（ ）
A．点在圆上，点不在圆上；
B．点不在圆上，点在圆上；
C．点、都在圆上；
D．点、都不在圆上．
【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示；点与圆的位置关系
【解析】【解答】由题意，，，因为到的距离，到的距离，故点在圆上，点不在圆上
故答案为：A
【分析】由复数的几何意义，以及点与圆的位置关系的判断可得结论.
6．（2022高二上·和田期中）直线的倾斜角为（ ）
A．75° B．105° C．165° D．15°
【答案】C
【知识点】直线的倾斜角；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：由，，
故答案为：C
【分析】由，得斜率，根据诱导公式化简即可.
7．（2022高二上·和田期中）如果圆（x﹣a）2+（y﹣1）2＝1上总存在两个点到原点的距离为2，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C．（﹣1，0）∪（0，1） D．（﹣1，1）
【答案】A
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：∵圆（x﹣a）2+（y﹣1）2＝1上总存在两个点到原点的距离为2，
∴圆O：与圆C：（x﹣a）2+（y﹣1）2＝1相交，
∵|OC|，
由R﹣r＜|OC|＜R+r得：13，
∴，
∴﹣2a＜0或0＜a＜2．
故答案为：A．
【分析】利用圆和圆相交，两圆圆心距大于两圆半径之差，小于两圆半径之和即可.
8．（2022高二上·和田期中）已知实数
构成一个等比数列，则圆锥曲线
的离心率为 （ ）
A． B． C．或
D．或7
【答案】C
【知识点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】因为，实数构成一个等比数列，所以，.
当时，圆锥曲线为 ，
表示焦点在x轴的椭圆，其离心率；
当时，圆锥曲线为-表示焦点在轴的双曲线，其离心率为 ． 故选C．
【分析】本题考查椭圆、双曲线的几何性质.
二、多选题
9．（2022高二上·和田期中）下列数学符号可以表示单位向量的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B,D
【知识点】单位向量
【解析】【解答】解：因为单位向量的模为1，
对于A：，A不符合题意；
对于B：，故为单位向量，B符合题意；
对于C：，为数量，不是向量，C不符合题意；
对于D：，由定义可得为单位向量，D符合题意；
故答案为：BD.
【分析】计算向量的模长可判断A和B；由平面向量数量积的定义可判断C；由与向量同向的单位向量的概念可判断D.
10．（2022高二上·和田期中）已知 的最小正周期为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．的最大值为2
C．为的一条对称轴
D．为的一个对称中心
【答案】A,C,D
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：
，
即，所以，解得，A符合题意；
所以，
因为，所以，B不符合题意；
，所以函数关于对称，C符合题意；
，所以为的一个对称中心，D符合题意；
故答案为：ACD
【分析】先利用三角函数恒等变换化简，由周期公式求出，得到，利用正弦函数的性质即可逐项判断.
11．（2022高二上·和田期中）在棱长为1的正方体中，点P满足，，，则以下说法正确的是（ ）
A．当时，平面
B．当时，存在唯一点P使得DP与直线的夹角为
C．当时，的最小值为
D．当点P落在以为球心，为半径的球面上时，的最小值为
【答案】A,C,D
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】当时，如图（1），的轨迹为线段，由正方体的结构特征，可知平面平面，而平面，∴平面，A符合题意；
当时，如图（1），点的轨迹为线段，直线直线，当与重合时，与直线所成角最大，即与直线所成角最大，最大为，B不符合题意；
当时，如图（2），点轨迹为线段，将三角形旋转至平面内，可知．C符合题意；
当点落在以为球心，为半径的球面上时，点的轨迹为以为圆心，1为半径的四分之一圆弧，建立如图所示的平面直角坐标系，则，
则的轨迹方程为：，设，
有可得，
故，故，
因为，故当时，．D符合题意．
故答案为：ACD．
【分析】根据已知条件，结合向量关系，分别对答案进行空间关系的判断和求值，求出结果即可.
12．（2022高二上·和田期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，定点，若点P是椭圆E上的动点，则的值可能为（ ）
A．7 B．10 C．17 D．19
【答案】A,B,C
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意可得，则，故．因为点P在椭圆E上，所以，所以，故，由于，所以，故的可能取值为7，10，17．
故答案为：ABC．
【分析】由椭圆的定义可得，再由可得，即可得解.
三、填空题
13．（2022高二上·和田期中）平行四边形ABCD的边AB和BC所在的直线方程分别是，，对角线的交点是，则平行四边形ABCD的面积为 .
【答案】50
【知识点】两条直线的交点坐标；平面内两点间的距离公式；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】设直线CD为，O到直线CD的距离，
解得或（舍去）．即．
直线为．由得即.
由得，即，所以.
O到BC的距离为，所以.
故答案为：50.
【分析】设直线CD为，O到直线CD的距离，解得，根据直线交点求出，，可得，结合点到直线的距离公式和平行四边形的面积公式，即可求解.
14．（2022高二上·和田期中）已知集合，，则 .
【答案】
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】因为集合，，
所以，
故答案为：
【分析】先求出集合A，B，然后根据交集的运算即可.
15．（2022高二上·和田期中）在平面直角坐标系中，若圆的圆心在第一象限，圆与轴相交于、两点，且与直线相切，则圆的标准方程为 .
【答案】
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】设圆：，
则，解得
【分析】设圆：，由题意得，求解即可.
16．（2022高二上·和田期中）若 点坐标为 ， 是椭圆 的下焦点，点 是该椭圆上的动点，则 的最大值为 ，最小值为 ，则 ．
【答案】
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】椭圆 即为 ，可得 ， ，那么 ， ，根据三角形三边关系可知， ， 即 最大值 ，最小值 ， 。
故答案为 ：
【分析】由椭圆的性质可得F1和F2的坐标，由椭圆定义得到|PF1|和|PF2|的关系，最后根据三角形的三边长度关系讨论最值。
四、解答题
17．（2022高二上·和田期中）已知椭圆的下焦点为，与短轴的两个端点构成正三角形，以（坐标原点）为圆心，长为半径的圆与直线相切．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点为直线上任意一点，过点作与直线垂直的直线，交椭圆于两点，的中点为，求证：三点共线．
【答案】（1）解：由题意得，，解得，
则椭圆的方程为
（2）解：由题意知，设，
当时，的中点为，此时三点共线，符合条件；
当时，，则，
∴直线的方程为，
联立得，，
设，则，
∴，
∴，
则的中点的坐标为，
∴，又 ，∴，
∴三点共线.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 由题意得，，解得， 即可得解；
（2） 由题意知，设，当时 不符合题意； 当时，，则，直线的方程为， 与椭圆方程联立，利用韦达定理求得的中点的坐标为，所以，又 ，即， 所以三点共线.
18．（2022高二上·和田期中）如图，在平面直角坐标系 中，点 ，直线 ，设圆 的半径为1， 圆心在 上.
（1）若圆心 也在直线 上，过点 作圆 的切线，求切线方程；
（2）若圆 上存在点 ，使 ，求圆心 的横坐标 的取值范围.
【答案】（1）解：由 得圆心 ，
∵圆 的半径为1，
∴圆 的方程为： ，
显然切线的斜率一定存在，设所求圆 的切线方程为 ，即 ．
∴ ，
∴ ，∴ 或 ．
∴所求圆 的切线方程为 或 ．
（2）解：∵圆 的圆心在直线 ： 上，所以，设圆心 为 ，
则圆 的方程为 ．
又∵ ，
∴设 为 ，则 ，整理得 ，设为圆 ．
所以点 应该既在圆 上又在圆 上，即圆 和圆 有交点，
∴ ，
由 ，得 ，
由 ，得 ．
综上所述， 的取值范围为 ．
【知识点】圆的标准方程；轨迹方程；圆的切线方程；圆方程的综合应用
【解析】【分析】（1）两直线方程联立可解得圆心坐标，又知圆 的半径为 ，可得圆的方程，根据点到直线距离公式，列方程可求得直线斜率，进而得切线方程；（2）根据圆 的圆心在直线 ： 上可设圆 的方程为 ，由 ，可得 的轨迹方程为 ，若圆 上存在点 ，使 ，只需两圆有公共点即可.
19．（2022高二上·和田期中）在平面直角坐标系中，点、、．
（1）求以线段为邻边的平行四边形两条对角线的长；
（2）在平面内一点满足，若为直角三角形，且为直角，试求实数的值．
【答案】（1）解：由题设知，，则
所以，故所求的两条对角线的长分别为、．
（2）解：由题设知：且，则，
由为直角三角形， 当，则，即，得，
所以，满足题意的实数.
【知识点】平面向量的坐标运算
【解析】【分析】（1） 计算对角线的向量坐标，得出模长；
（2） 由题设知：且，则， 根据列方程解出.
20．（2022高二上·和田期中）如图，已知矩形 所在平面垂直于直角梯形 所在平面，且 ， ， ，且
（1）设点M为棱 中点，求证 平面 ；
（2）线段 上是否存在一点N，使得直线 与平面 所成角的正弦值等 ？若存在，试求出线段 的长度；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明：∵平面 平面 ，
平面 平面 ， ，
∴ 平面 ，又 ，
∴直线 ， ， 两两垂直，
以 为原点，分别以 ， ， 为 轴， 轴， 轴
建立如图所示的空间直角坐标系．
则 ， ， ， ， ，∴
∴ ，
∵ 平面 ，∴ 为平面 的一个法向量，
∵
∴ ，又 平面 ，
∴ 平面
（2）解：∵ ，
设平面 的法向量为 ，则
∴ ，令 ，得
假设线段 上存在一点 ，
使得直线 与平面 所成角 的正弦值等于 ．
设 ，
∴
∴
∴ ， 或 ．
∴线段 上存在两个点 使当 或 时，
直线 与平面 所成角的正弦值等于 ．
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质；空间向量的数量积运算；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】 (1)由已知条件证明出BP⊥平面ABCD，以B为原点建立坐标系，则为平面ABCD的法向量，求出，从而有，由此得出EM//平面ABCD；
(2)假设存在点N符合条件，设，平面PCD的法向量的坐标，令解出入的值，根据入的值得出 直线 与平面 所成角的正弦值.
21．（2022高二上·和田期中）如图，多面体PQABCD中，四边形ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，，，，．
（1）设点F为棱CD的中点，求证：对任意的正数a，四边形PQFA为平面四边形；
（2）当时，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明：取棱的中点，则有，，
又，所以CD⊥平面AFQ，
在菱形中，，
所以，又平面，
所以有，，所以CD⊥平面PAF．
由AFQ与平面PAF均过点A可得平面AFQ与平面PAF重合．
即P、Q、F、A共面，所以PQFA为平面四边形；
（2）解：分别以AB、AF、AP所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则
当时，由可得，
设在平面内的射影为，
则有相似于，即，
所以Q的坐标为，
设平面的一个法向量为，
，
则有，即，
令，有．
设直线与平面所成角为，
则．
即直线与平面所成角的正弦值为．
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1） 取棱的中点 ，推出 CD⊥平面AFQ，在菱形中，由，推出，再由，得CD⊥平面PAF，由AFQ与平面PAF均过点A可得平面AFQ与平面PAF重合即可判断PQFA为平面四边形；
（2） 分别以AB、AF、AP所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系 ，利用空间向量求解直线与平面所成角的正弦值．
22．（2022高二上·和田期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线过点，与交于，两点，且的周长为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点关于原点的对称点为点，若面积为，求的值.
【答案】（1）解：在直线方程中，令，得，则，又的周长，
∴，∴，故椭圆的标准方程为；
（2）解：设，，
由消去得，
所以，，
易得，
所以，
解得，或.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由直线过点，令即可求得，再由的周长以及椭圆定义可求得，即可求解椭圆方程；
（2） 设，， 联立方程组消去x利用韦达定理可得，，易得代入即可求解的值.
1 / 1新疆和田地区和田县2022-2023学年高二上学期数学11月期中教学情况调研试卷
一、单选题
1．（2022高二上·和田期中）已知 为实数，则“ ”是“方程 表示的曲线为椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2022高二上·和田期中）若直线（为参数）与直线垂直，则常数（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．（2022高二上·和田期中）方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022高二上·和田期中）直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022高二上·和田期中）设复数，在复平面所对应的点为与，则关于点、与以原点为圆心，10为半径的圆的位置关系，描述正确的是（ ）
A．点在圆上，点不在圆上；
B．点不在圆上，点在圆上；
C．点、都在圆上；
D．点、都不在圆上．
6．（2022高二上·和田期中）直线的倾斜角为（ ）
A．75° B．105° C．165° D．15°
7．（2022高二上·和田期中）如果圆（x﹣a）2+（y﹣1）2＝1上总存在两个点到原点的距离为2，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C．（﹣1，0）∪（0，1） D．（﹣1，1）
8．（2022高二上·和田期中）已知实数
构成一个等比数列，则圆锥曲线
的离心率为 （ ）
A． B． C．或
D．或7
二、多选题
9．（2022高二上·和田期中）下列数学符号可以表示单位向量的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022高二上·和田期中）已知 的最小正周期为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．的最大值为2
C．为的一条对称轴
D．为的一个对称中心
11．（2022高二上·和田期中）在棱长为1的正方体中，点P满足，，，则以下说法正确的是（ ）
A．当时，平面
B．当时，存在唯一点P使得DP与直线的夹角为
C．当时，的最小值为
D．当点P落在以为球心，为半径的球面上时，的最小值为
12．（2022高二上·和田期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，定点，若点P是椭圆E上的动点，则的值可能为（ ）
A．7 B．10 C．17 D．19
三、填空题
13．（2022高二上·和田期中）平行四边形ABCD的边AB和BC所在的直线方程分别是，，对角线的交点是，则平行四边形ABCD的面积为 .
14．（2022高二上·和田期中）已知集合，，则 .
15．（2022高二上·和田期中）在平面直角坐标系中，若圆的圆心在第一象限，圆与轴相交于、两点，且与直线相切，则圆的标准方程为 .
16．（2022高二上·和田期中）若 点坐标为 ， 是椭圆 的下焦点，点 是该椭圆上的动点，则 的最大值为 ，最小值为 ，则 ．
四、解答题
17．（2022高二上·和田期中）已知椭圆的下焦点为，与短轴的两个端点构成正三角形，以（坐标原点）为圆心，长为半径的圆与直线相切．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点为直线上任意一点，过点作与直线垂直的直线，交椭圆于两点，的中点为，求证：三点共线．
18．（2022高二上·和田期中）如图，在平面直角坐标系 中，点 ，直线 ，设圆 的半径为1， 圆心在 上.
（1）若圆心 也在直线 上，过点 作圆 的切线，求切线方程；
（2）若圆 上存在点 ，使 ，求圆心 的横坐标 的取值范围.
19．（2022高二上·和田期中）在平面直角坐标系中，点、、．
（1）求以线段为邻边的平行四边形两条对角线的长；
（2）在平面内一点满足，若为直角三角形，且为直角，试求实数的值．
20．（2022高二上·和田期中）如图，已知矩形 所在平面垂直于直角梯形 所在平面，且 ， ， ，且
（1）设点M为棱 中点，求证 平面 ；
（2）线段 上是否存在一点N，使得直线 与平面 所成角的正弦值等 ？若存在，试求出线段 的长度；若不存在，请说明理由．
21．（2022高二上·和田期中）如图，多面体PQABCD中，四边形ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，，，，．
（1）设点F为棱CD的中点，求证：对任意的正数a，四边形PQFA为平面四边形；
（2）当时，求直线与平面所成角的正弦值．
22．（2022高二上·和田期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线过点，与交于，两点，且的周长为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点关于原点的对称点为点，若面积为，求的值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】当 时，取 曲线 是圆而不是椭圆，故充分性不成立；
当方程 表示的曲线为椭圆时， 成立，所以“ ”是“方程 表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件.
故答案为：B
【分析】取 曲线 是圆而不是椭圆，充分性不成立，反之成立，即可得出答案。
2．【答案】A
【知识点】用斜率判定两直线垂直；参数方程化成普通方程
【解析】【解答】直线为参数），
消去参数，得
，
与直线垂直，
，
故答案为：A．
【分析】首先将参数方程化为普通方程，然后利用直线与直线的垂直关系，确定值.
3．【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意可知 解得 . 故答案为：D
【分析】由题意焦点在x轴的椭圆的性质得到关于k的不等式组求解即可。
4．【答案】D
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】解：直线，
即，斜率为，
所以，设直线的倾斜角为，，
则，由正切函数的图象可知．
故答案为：D
【分析】根据题意，求出直线的斜率，所以，设直线的倾斜角为，，则，可得答案.
5．【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示；点与圆的位置关系
【解析】【解答】由题意，，，因为到的距离，到的距离，故点在圆上，点不在圆上
故答案为：A
【分析】由复数的几何意义，以及点与圆的位置关系的判断可得结论.
6．【答案】C
【知识点】直线的倾斜角；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：由，，
故答案为：C
【分析】由，得斜率，根据诱导公式化简即可.
7．【答案】A
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：∵圆（x﹣a）2+（y﹣1）2＝1上总存在两个点到原点的距离为2，
∴圆O：与圆C：（x﹣a）2+（y﹣1）2＝1相交，
∵|OC|，
由R﹣r＜|OC|＜R+r得：13，
∴，
∴﹣2a＜0或0＜a＜2．
故答案为：A．
【分析】利用圆和圆相交，两圆圆心距大于两圆半径之差，小于两圆半径之和即可.
8．【答案】C
【知识点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】因为，实数构成一个等比数列，所以，.
当时，圆锥曲线为 ，
表示焦点在x轴的椭圆，其离心率；
当时，圆锥曲线为-表示焦点在轴的双曲线，其离心率为 ． 故选C．
【分析】本题考查椭圆、双曲线的几何性质.
9．【答案】B,D
【知识点】单位向量
【解析】【解答】解：因为单位向量的模为1，
对于A：，A不符合题意；
对于B：，故为单位向量，B符合题意；
对于C：，为数量，不是向量，C不符合题意；
对于D：，由定义可得为单位向量，D符合题意；
故答案为：BD.
【分析】计算向量的模长可判断A和B；由平面向量数量积的定义可判断C；由与向量同向的单位向量的概念可判断D.
10．【答案】A,C,D
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：
，
即，所以，解得，A符合题意；
所以，
因为，所以，B不符合题意；
，所以函数关于对称，C符合题意；
，所以为的一个对称中心，D符合题意；
故答案为：ACD
【分析】先利用三角函数恒等变换化简，由周期公式求出，得到，利用正弦函数的性质即可逐项判断.
11．【答案】A,C,D
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】当时，如图（1），的轨迹为线段，由正方体的结构特征，可知平面平面，而平面，∴平面，A符合题意；
当时，如图（1），点的轨迹为线段，直线直线，当与重合时，与直线所成角最大，即与直线所成角最大，最大为，B不符合题意；
当时，如图（2），点轨迹为线段，将三角形旋转至平面内，可知．C符合题意；
当点落在以为球心，为半径的球面上时，点的轨迹为以为圆心，1为半径的四分之一圆弧，建立如图所示的平面直角坐标系，则，
则的轨迹方程为：，设，
有可得，
故，故，
因为，故当时，．D符合题意．
故答案为：ACD．
【分析】根据已知条件，结合向量关系，分别对答案进行空间关系的判断和求值，求出结果即可.
12．【答案】A,B,C
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意可得，则，故．因为点P在椭圆E上，所以，所以，故，由于，所以，故的可能取值为7，10，17．
故答案为：ABC．
【分析】由椭圆的定义可得，再由可得，即可得解.
13．【答案】50
【知识点】两条直线的交点坐标；平面内两点间的距离公式；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】设直线CD为，O到直线CD的距离，
解得或（舍去）．即．
直线为．由得即.
由得，即，所以.
O到BC的距离为，所以.
故答案为：50.
【分析】设直线CD为，O到直线CD的距离，解得，根据直线交点求出，，可得，结合点到直线的距离公式和平行四边形的面积公式，即可求解.
14．【答案】
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】因为集合，，
所以，
故答案为：
【分析】先求出集合A，B，然后根据交集的运算即可.
15．【答案】
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】设圆：，
则，解得
【分析】设圆：，由题意得，求解即可.
16．【答案】
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】椭圆 即为 ，可得 ， ，那么 ， ，根据三角形三边关系可知， ， 即 最大值 ，最小值 ， 。
故答案为 ：
【分析】由椭圆的性质可得F1和F2的坐标，由椭圆定义得到|PF1|和|PF2|的关系，最后根据三角形的三边长度关系讨论最值。
17．【答案】（1）解：由题意得，，解得，
则椭圆的方程为
（2）解：由题意知，设，
当时，的中点为，此时三点共线，符合条件；
当时，，则，
∴直线的方程为，
联立得，，
设，则，
∴，
∴，
则的中点的坐标为，
∴，又 ，∴，
∴三点共线.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 由题意得，，解得， 即可得解；
（2） 由题意知，设，当时 不符合题意； 当时，，则，直线的方程为， 与椭圆方程联立，利用韦达定理求得的中点的坐标为，所以，又 ，即， 所以三点共线.
18．【答案】（1）解：由 得圆心 ，
∵圆 的半径为1，
∴圆 的方程为： ，
显然切线的斜率一定存在，设所求圆 的切线方程为 ，即 ．
∴ ，
∴ ，∴ 或 ．
∴所求圆 的切线方程为 或 ．
（2）解：∵圆 的圆心在直线 ： 上，所以，设圆心 为 ，
则圆 的方程为 ．
又∵ ，
∴设 为 ，则 ，整理得 ，设为圆 ．
所以点 应该既在圆 上又在圆 上，即圆 和圆 有交点，
∴ ，
由 ，得 ，
由 ，得 ．
综上所述， 的取值范围为 ．
【知识点】圆的标准方程；轨迹方程；圆的切线方程；圆方程的综合应用
【解析】【分析】（1）两直线方程联立可解得圆心坐标，又知圆 的半径为 ，可得圆的方程，根据点到直线距离公式，列方程可求得直线斜率，进而得切线方程；（2）根据圆 的圆心在直线 ： 上可设圆 的方程为 ，由 ，可得 的轨迹方程为 ，若圆 上存在点 ，使 ，只需两圆有公共点即可.
19．【答案】（1）解：由题设知，，则
所以，故所求的两条对角线的长分别为、．
（2）解：由题设知：且，则，
由为直角三角形， 当，则，即，得，
所以，满足题意的实数.
【知识点】平面向量的坐标运算
【解析】【分析】（1） 计算对角线的向量坐标，得出模长；
（2） 由题设知：且，则， 根据列方程解出.
20．【答案】（1）证明：∵平面 平面 ，
平面 平面 ， ，
∴ 平面 ，又 ，
∴直线 ， ， 两两垂直，
以 为原点，分别以 ， ， 为 轴， 轴， 轴
建立如图所示的空间直角坐标系．
则 ， ， ， ， ，∴
∴ ，
∵ 平面 ，∴ 为平面 的一个法向量，
∵
∴ ，又 平面 ，
∴ 平面
（2）解：∵ ，
设平面 的法向量为 ，则
∴ ，令 ，得
假设线段 上存在一点 ，
使得直线 与平面 所成角 的正弦值等于 ．
设 ，
∴
∴
∴ ， 或 ．
∴线段 上存在两个点 使当 或 时，
直线 与平面 所成角的正弦值等于 ．
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质；空间向量的数量积运算；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】 (1)由已知条件证明出BP⊥平面ABCD，以B为原点建立坐标系，则为平面ABCD的法向量，求出，从而有，由此得出EM//平面ABCD；
(2)假设存在点N符合条件，设，平面PCD的法向量的坐标，令解出入的值，根据入的值得出 直线 与平面 所成角的正弦值.
21．【答案】（1）证明：取棱的中点，则有，，
又，所以CD⊥平面AFQ，
在菱形中，，
所以，又平面，
所以有，，所以CD⊥平面PAF．
由AFQ与平面PAF均过点A可得平面AFQ与平面PAF重合．
即P、Q、F、A共面，所以PQFA为平面四边形；
（2）解：分别以AB、AF、AP所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则
当时，由可得，
设在平面内的射影为，
则有相似于，即，
所以Q的坐标为，
设平面的一个法向量为，
，
则有，即，
令，有．
设直线与平面所成角为，
则．
即直线与平面所成角的正弦值为．
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1） 取棱的中点 ，推出 CD⊥平面AFQ，在菱形中，由，推出，再由，得CD⊥平面PAF，由AFQ与平面PAF均过点A可得平面AFQ与平面PAF重合即可判断PQFA为平面四边形；
（2） 分别以AB、AF、AP所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系 ，利用空间向量求解直线与平面所成角的正弦值．
22．【答案】（1）解：在直线方程中，令，得，则，又的周长，
∴，∴，故椭圆的标准方程为；
（2）解：设，，
由消去得，
所以，，
易得，
所以，
解得，或.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由直线过点，令即可求得，再由的周长以及椭圆定义可求得，即可求解椭圆方程；
（2） 设，， 联立方程组消去x利用韦达定理可得，，易得代入即可求解的值.
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