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章末小结
必修第二册 第七章《复数》
知识框架
知识网络
本章学习目标
(1)通过方程的解,认识复数引入的表现,理解复数的代数表示;
(2)理解复数的分类,掌握复数相等的充要条件;
(3)了解复平面的概念,理解复数的几何意义;
(4)掌握复数的模、共轭复数的概念,会求复数的模和一个复数的共轭复数;
(5)能熟练进行复数代数形式的加减乘除运算,了解加减法的几何意义;
知识梳理——1.数系扩充
自然数集N
整数集Z
引入负数(负号)
引入分数(分数线)
有理数集Q
引入无理数(根号)
实数集R
自然数
整数
有
理
数
实
数
引入虚数i
复数集
复数
知识梳理——2.复数的相关概念
(1)复数集C={a+bi|a,b∈R}
(2)复数z=a+bi(a,b∈R)
(3)虚数单位i:
规定i2=﹣1;
i的幂有周期性,周期为4.
知识梳理——2.复数的相关概念
(4)复数相等:
作用:将复数问题转化为实数问题.
注:①若两个复数能比较大小,则它们必为实数.
②一般对两个不全是实数的复数只能说相等或不相等,不能比较大小.
如:3与1+2i不能比较大小;2+3i与1+2i不能比较大小.
知识梳理——2.复数的相关概念
(5)复数的几何意义:
复数z=a+bi
复平面内的点Z(a,b)
一一对应
平面向量OZ=(a,b)
一一对应
→
①建立了直角坐标系来表示复数的平面叫复平面;
x轴叫实轴,y轴叫虚轴.
②实轴上的点都表示实数(b=0);
③虚轴上的点(除原点外)都表示纯虚数(a=0,b≠0);
知识梳理——2.复数的相关概念
(6)复数的模:
(7)共轭复数:实部相等,虚部互为相反数的两个复数叫做共轭复数.
知识梳理——2.复数的相关概念
(8)实系数一元二次方程在复数集内的解
知识梳理——3.复数的四则运算
(1)复数加法与减法的运算法则:实部和虚部分别相加/减
设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数,则
z1+z2= ,
z1-z2= ___.
(a+c)+(b+d)i
(a-c)+(b-d)i
对任意z1,z2,z3∈C,有加法交换律:z1+z2=z2+z1,
加法结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)
(2)复数加法与减法的几何意义:对应向量相加/减
复数差的模=对应向量差的模=两点距离
知识梳理——3.复数的四则运算
(3)复数乘法的运算法则:类似于多项式的乘法
设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数,则
z1z2=(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i
对于任意z1,z2,z3∈C,有
①乘法交换律:z1·z2=z2·z1
②乘法结合律:(z1·z2)·z3=z1·(z2·z3)
③乘法对加法的分配律:z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
(4)复数除法的运算法则:分母实数化(上下同乘分母的共轭复数)
方法与易错归纳
(1)对于复数z=a+bi,只有当a,b∈R时,a才是z的实部,b才是z的虚部,且注意虚部不是bi,而是b.
(2)不要将复数与虚数的概念混淆,实数也是复数,实数和虚数是复数的两大构成部分.
(3)注意分清复数分类中的条件:设复数z=a+bi(a,b∈R),则
①z为实数 b=0;②z为虚数 b≠0;③z为纯虚数 a=0,b≠0;
④z=0 a=0且b=0.
(4)|z-z0|(z,z0∈C)的几何意义是z, z0在复平面内的对应点Z, Z0的距离.
方法与易错归纳
(5)解决复数问题的主要思想方法有:
①转化思想:利用复数相等将复数问题实数化;
②数形结合思想:利用复数的几何意义数形结合解决;
③整体化思想:利用复数的特征整体处理,分清实部和虚部.
(6)常见结论:复平面内,z1,z2对应的点分别为A,B,z1+z2对应的点为C,O为坐标原点,则四边形OACB为平行四边形.
①若|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形OACB为矩形;
②若|z1|=|z2|,则四边形OACB为菱形;
③若|z1|=|z2|且|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形OACB为正方形.
方法与易错归纳
(7)复数模的最值问题解法
①|z-z0|表示复数z,z0的对应点之间的距离,在应用时,要把绝对值内变为两复数差的形式.
②|z-z0|=r表示z在以z0对应的点为圆心,r为半径的圆上.
③涉及复数模的最值问题,可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断,然后通过几何方法进行求解.
(8)复数范围内z2≥0不一定成立,|z|2≠z2.
(9)复数与平面向量联系时,必须是以原点为始点的向量.
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3.(2020年新课标Ⅱ)(1-i)4=( )
A.-4 B.4
C.-4i D.4i
析:(1-i)2=-2i,(1-i)4=-4.故选A.
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析:
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析:
END