§10排列、组合与概率 《高中数学学案教学方法的研究》课题组编写
南化一中高三数学第三轮复习讲义10 高中数学基础知识整理篇
§10排列、组合与概率
一、排列、组合的知识结构
二、加法原理与乘法原理
两个基本原理，不仅是推导排列数公式、组合数公式的基础，而且可以直接运用它们去解决某些问题．两个原理的区别是前者与分类有关；后者与分步有关．在分析问题和指导解题中起着关键作用，运用加法原理的关键在于恰当地分类（分情况），要使所分类别既不遗漏，也不重复；运用乘法原理的关键在于分步，要正确设计分步的程序，使每步之间既互相联系，又彼此独立．
三、有限制条件的排列、组合混合应用题
1．“在与不在”、“邻与不邻”是带限制条件的排列应用题的两种重要题型，处理这类问题的基本思路，有“直接”、“间接”之分．
2．对“在与不在”问题，优先考虑受限制的特殊元素或特殊位置的思想方法，是解题的基本策略；而处理“邻与不邻”问题，使用捆绑和插空法是十分有效的．
3．关于“元素和位置”的认识，是排列、组合概念中的一个重要问题，解题总是从元素或位置出发，要注意即使在同一问题中，把什么看作元素（或位置）并不是一成不变的．
4．排列、组合的混合问题，主要指既与组合有关，又与排列有关的应用问题.如分配问题. 解这类问题的基本思路是先分组，再分配，即先组合、后排列．同时注意在分组时，若出现平均分组（即两组元素个数相同）的情况，则要除以组数（即平均分组的数目）的阶乘．
5．在求解排列与组合应用问题时，应注意：（1）把具体问题转化或归结为排列或组合问题；（2）通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；（3）分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；（4）列出式子计算和作答.经常运用的数学思想是：①分类讨论思想；②转化思想；③对称思想.
四、二项式定理
1．定理 (a+b)n=Cn0an +Cn1an－1b1+ Cn2an－2b2+ Cn3an－3b3+…+ Cnran－rbr+ …+ Cn n－1abn－1+ Cnnbn
特别地：(1+x)n=1+Cn1x+Cn2x2+…+Cnrxr+…+Cnnxn
通项（第r+1项）Tr+1= Cnran－rbr 作用：处理与指定项、特定项、常数项、有理项等有关问题。
2．主要性质和主要结论：
（1）对称性Cnm=Cnn－m
（2）最大二项式系数在中间（要注意n为奇数还是偶数，答案是中间一项还是中间两项）.
（3）所有二项式系数的和：Cn０+Cn1+Cn2+ Cn3+ Cn4+…+Cnr+…+Cnn=2n
（4）奇数项二项式系数的和＝偶数项而是系数的和
Cn０+Cn２+Cn４+ Cn６+ Cn８+…＝Cn１+Cn３+Cn５+ Cn７+ Cn９+…=2n -1
3.注意
（1）二项式系数与项的系数（字母项的系数，指定项的系数等，指运算结果的系数）的区别，在求某几项的系数的和时注意赋值法的应用。
（2）求特定项：应用通项公式求二项展开式的特定项，如求某一项，含x某次幂的项，常数项，有理项，系数最大的项等，一般是应用通项公式根据题意列方程，在求得n或r后，再求所需的项（要注意n和r的数值范围及大小关系）．
（3）解决有关近似计算、求余数、整除问题，运用二项展开式定理并且结合放缩法证明与指数有关的不等式。
五、概率
1．必然事件 P(A)=1，不可能事件 P(A)=0，随机事件的定义 0
2.等可能事件的概率：（古典概率）P(A)=，理解m、ｎ的意义是关键，即“一次试验”的含义及“一次试验”所含基本事件的总数、事件A所含基本事件的数目.
3．互斥事件A、B（A、B互斥，即事件A、B不可能同时发生）有一个发生（事件和A+B）的概率：P(A+B)=P（A）+ P(B).
对立事件A、B（A、B对立，即事件A、B不可能同时发生，但A、B中必然有一个发生）的概率关系：P（A）+ P(B)＝１.
4．独立事件A、B（事件A、B的发生相互独立，互不影响）同时发生（事件积A·B）的概率：P(A B)＝P(A) P(B).
5．独立重复事件（贝努里概型）
Pn(K)=Cnkpk(1－p)k 表示事件A在n次独立重复试验中恰好发生了k次的概率.其中P为在一次独立重复试验中事件A发生的概率.
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1§6不等式 《高中数学学案教学方法的研究》课题组编写
南化一中高三数学第三轮复习讲义6 高中数学基础知识整理篇
§6不等式
一、不等式的基本性质与定理
1．实数的大小顺序与运算性质之间的关系：
； ； .
2．不等式的性质：
（1）或（反对称性）
（2）或（传递性）
（3）
推论1：（移项法则）；推论2：（同向不等式相加）
（4），
推论1：；推论2：
（5）（）
（6）（倒数法则）
3．常用的基本不等式和重要的不等式
（1）， 当且仅当取“=”.
（2）（当且仅当时取“=”）
（3），则（当且仅当时取“=”）
注：——算术平均数，——集几何平均数.
（4）（当且仅当时取“=”）
（5）（当且仅当时取“=”）
（6）（当且仅当时取“=”）（柯西不等式）
4、最值定理：设得
（1）如积为定值，则当且仅当时有最小值；
（2）如和为定值，则当且仅当时有最大值.
即：积定和最小，和定积最大.
注：运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等.
5．含绝对值的不等式性质： （注意等号成立的情况）.
二、不等式的证明方法
1．比较法
（1）作差比较法：作差——变形（通分、因式分解等）——判别符号；
（2）作商比较法：作商——变形（化为幂的形式等）——与1比大小.（分母要为正的）
2．综合法——由因导果（由前面结论）
3．分析法——执果索因
注：（1）一般地常用分析法探索证题途径，然后用综合法；
（2）还可以用放缩法、换元法等综合证明不等式.
三、解不等式
1．一元一次不等式 （1） ；（2）.
2．一元二次不等式
（1）步骤：一看开口方向（的符号），二看判别式 的符号，三看方程的根写解集.
（2）重要结论：解集为R（即对恒成立），则.（注：若二次函数系数含参数且未指明不为零时，需验证）.
3．绝对值不等式
（1）零点分段讨论
（2）转化法：
（3）数形结合
4．高次不等式、分式不等式——序轴标根法
步骤：①形式：或（移项，一边化为0，不要轻易去分母）；
②因式分解，化为积的形式（系数符号>0——标准式）；
③序轴标根；
④写出解集.
5．注意含参数的不等式的解的讨论.
四、一个有用的结论
关于函数
1．时，当时；当时.在、上是减函数；在、上是增函数.
2．时，在、上为增函数.
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1§4三角函数 《高中数学学案教学方法的研究》课题组编写
南化一中高三数学第三轮复习讲义4 高中数学基础知识整理篇
§4三角函数
一、三角函数的基本概念
1．终边相同的角的表示方法（终边在轴上；终边在轴上；终边在直线上；终边在第一象限等），理解弧度的意义，并能正确进行弧度和角度的换算；
2．任意角的三角函数的定义（三个三角函数）、三角函数的符号规律、特殊角的三角函数值、同角三角函数的关系式（三个：平方关系、商数关系、倒数关系）、诱导公式（奇变偶不变，符号看象限、、、、、）；
3．有用的结论
（1）半角所在的象限：
（2）和的符号规律：
二、两角和与差的三角函数
1．和（差）角公式
（1）= ；（2）= .
（3）= ；（4）= .
（5）= ；（6）= .
2．二倍角公式
（1）= ；（2）= = = ；
（3）= .
3．有用的公式
（1）升（降）幂公式：、、；
（2）辅助角公式：（由具体的值确定）；
（3）正切公式的变形：.
4．有用的解题思路
（1）“变角找思路，范围保运算”；
（2）“降幂——辅助角公式——正弦型函数”；
（3）巧用与的关系；
（4）巧用三角函数线——数形结合.
三、三角函数的图象与性质
1．列表综合三个三角函数，，的图象与性质，并挖掘：
（1）最值的情况；
（2）了解周期函数和最小正周期的意义．会求的周期，或者经过简单的恒等变形可化为上述函数的三角函数的周期，了解加了绝对值后的周期情况；
（3）会从图象归纳对称轴和对称中心；
的对称轴是，对称中心是；
的对称轴是，对称中心是
的对称中心是
注意加了绝对值后的情况变化.
（4）写单调区间注意.
2．了解正弦、余弦、正切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数的简图，并能由图象写出解析式．
（1）“五点法”作图的列表方式；
（2）求解析式时处相的确定方法：代（最高、低）点法、公式.
3．正弦型函数的图象变换
切记：
注意图象变换有时用向量表达，注意两者之间的转译.
四、解三角形
1．三个重要结论
（1）正弦定理：（为三角形ABC的外接圆直径）或写成
（2）余弦定理：，或写成
（3）三角形ABC面积公式：
2．在使用正弦定理时判断一解或二解的方法：⊿ABC中，
3．解三角形在测量等中的实践运用.
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1考前训练题 《高中数学学案教学方法的研究》课题组编写
南化一中高三数学第三轮复习讲义17 考前训练题（内部资料，请勿外传）
考前训练题
说明：本讲义提供2005年高考考前训练20题。有的已在前面练习过（记号※），切记重要的是提示题型和方法！
1※．已知A (3，0)，B (0，3)，C
（1）若=－1,求的值；
（2）若,且∈(0,),求与的夹角.
2．已知向量，，，.
（1）求证：；
（2）设，求的值域.
3．已知函数.
（1）求图象的一个对称中心；
（2）如果三角形ABC的三边满足，且边所对的角为，求的取值范围及此时函数的值域.
4．在⊿ABC中，角A、B、C所对的边分别为，且.
（1）求角B的大小；
（2）若，，求的值.
5※．如图，三棱锥P – ABC中，PB⊥底面ABC于B，∠BCA = 90，PB = BC = CA = 4，点E，点F分别是PC，AP的中点.
（1）求证：侧面PAC⊥侧面PBC；
（2）求A到平面BEF的距离；
（3）求二面角A – BE – F的平面角．
6※．如图，四棱锥P－ABCD中， PB⊥底面ABCD，CD⊥PD．底面ABCD为直角梯形， AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3．点E在棱PD上，且PE=2ED．
（1）求证：PB∥平面AEC；
（2）求直线CE与平面PAB所成的角；
（3）求二面角P－CE－A的大小．
7．已知四棱锥P-ABCD，PB⊥AD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°.
（1）求点P到平面ABCD的距离；
（2）求面APB与面CPB所成二面角的大小.
8．如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，D、E分别是CC1与A1B的中点.
（1）当是多少时，点E在平面ABD上的射影是⊿ABD的垂心？
（2）在（1）的条件下，求A1B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.
9．某电视台游戏节目想利用若干大小、形状相同的小球设计一个摸球抽奖的游戏。游戏者要连过两关才能赢得大奖，第一关：在一个放有3个红球和7个白球的暗箱中，一次摸取三个球，若摸出的球中有红球，即可过关；第二关：在与第一关相同的暗箱中，一次摸取三个球，若摸出的球恰好同色，即可过关.
（1）求第一关过关的概率；
（2）求赢得大奖的概率.
10※．经统计，某大型商场一个结算窗口每天排队结算的人数及相应的概率如下：
排队人数 0—5 6—10 11—15 16—20 21—25 25人以上
概 率 0.1 0.15 0.25 0.25 0.2 0.05
（1）每天不超过20人排队结算的概率是多少？
（2）一周7天中，若有3天以上（含3天）出现超过15人排队结算的概率大于0.75，商场就需要增加结算窗口，请问该商场是否需要增加结算窗口？
11．某乡镇为了发展地方经济，在2000年新建了一个转瓦厂。2001年，转瓦厂处于设备调试和原料准备阶段，没有利润。从2002年起，该转瓦厂连续三年的利润（单位：百万元）如下表：
（年份） 2002 2003 2004
P（利润） 0.295 0.960 1.965
若该转瓦厂的年利润可用三次函数近似地表示（其中表示从2001年起的年数，=0，1，2，3，…）
（1）写出三次函数的表达式；
（2）该转瓦厂能连续几年处于赢利生产？
（3）该转瓦厂哪一年赢利最大？
12．某港口的水深（）是时间（，单位：小时）的函数，下面是该港口的水深表：
（） 0 3 9 15
（） 10 13 7 13
经长时间的观察，描出的曲线如图，经拟合，该曲线可近似地看成正弦曲线的图象.
（1）试根据数据表和曲线，求出函数的表达式；
（2）一般情况下，船舶航行时船底同海底的距离不小于4.5时是安全的.如果某船的吃水深度（船底与水面的距离）为7，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间（忽略离港所用的时间）？
13．某企业有一条价值为万元的生产线，现要通过技术改造提高生产线的生产能力和产品的增加值．市场调查显示，产品的增加值万元与技术改造投入万元的关系满足：①与成正比，且当时，，②技术改造的投入比率为，且．
（1）设，求的解析式及定义域；
（2）求产品增加值的最大值．
14．已知函数.
（1）若的极大值为8,求的极小值；
（2）的图象是否有轴对称性,若有求出对称轴方程，若没有说明理由．
15※．数列的前n项和记为Sn，已知证明：
（1）数列是等比数列；
（2）求数列的前项和.
16※．已知数列中，，，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：.
17※．过抛物线外一点向抛物线作两切线于切点、，为坐标原点．
（1）求证：直线的方程为；
（2）若在上运动，而直线在、轴上交于、两点，求面积的最小值．
18※．无论为何实数，直线：与双曲线C：恒有公共点。
（1）求双曲线C的离心率的取值范围；
（2）若直线过双曲线C的右焦点F，与双曲线C交于P、Q两点，并且，求双曲线C的方程.
19※．（第二轮讲义：§7.2轨迹法求曲线方程）在平面直角坐标系内，设O是坐标原点，，。点A满足，点集S= {P| P为平面上的点，且}.
（1）求点A的坐标；
（2）若、，且，又点Q满足，求点Q的轨迹方程。
20.椭圆C1：的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，P为椭圆C1上的任意一点，且的最大值的取值范围是，其中.
（1）求椭圆C1的离心率的取值范围；
（2）设双曲线C2以椭圆C1的焦点为顶点，顶点为焦点，B是双曲线C2在第一象限上任意一点，当取最小值时，猜想是否存在常数（）使得恒成立？若存在求的值；若不存在，请说明理由.
E
C
B
D
A
P
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1§3数列 《高中数学学案教学方法的研究》课题组编写
南化一中高三数学第三轮复习讲义3 高中数学基础知识整理篇
§3数列
一、数列的定义和基本问题
1．通项公式：（用函数的观念理解和研究数列，特别注意其定义域的特殊性）；
2．前n项和：；
3．通项公式与前n项和的关系（是数列的基本问题也是考试的热点）：
二、等差数列
1．定义和等价定义：是等差数列；
2．通项公式：；推广：；
3．前n项和公式：；
4．重要性质举例
①与的等差中项；
②若，则；特别地：若，则；
③奇数项，…成等差数列，公差为；偶数项，…成等差数列，公差为.
④若有奇数项项，则；
⑤设，，， 则有；
⑥当时，有最大值；当时，有最小值.
⑦用一次函数理解等差数列的通项公式；用二次函数理解等差数列的前n项和公式.
三、等比数列
1．定义：成等比数列；
2．通项公式：；推广；
3．前n项和；（注意对公比的讨论）
4．重要性质举例
①与的等比中项G（同号）；
②若，则；特别地：若，则；
③设，，， 则有；
④用指数函数理解等比数列（当时）的通项公式.
四、等差数列与等比数列的关系举例
1．成等差数列成等比数列；
2．成等比数列成等差数列.
五、数列求和方法
1．等差数列与等比数列；
2．几种特殊的求和方法
（1）裂项相消法；
（2）错位相减法：, 其中是等差数列， 是等比数列
记；则，…
（3）通项分解法：
六、递推数列与数列思想
1．递推数列
（1）能根据递推公式写出数列的前几项；
（2）常见题型：由，求.解题思路：利用
2．数学思想
（1）迭加累加（等差数列的通项公式的推导方法）若，则……；
（2）迭乘累乘（等比数列的通项公式的推导方法）若，则……；
（3）逆序相加（等差数列求和公式的推导方法）；
（4）错位相减（等比数列求和公式的推导方法）.
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1§1集合与简易逻辑 《高中数学学案教学方法的研究》课题组编写
南化一中高三数学第三轮复习讲义1 高中数学基础知识整理篇
§1集合与简易逻辑
一、理解集合中的有关概念
（1）集合中元素的特征： 确定性 ， 互异性 ， 无序性 。
集合元素的互异性：如：，，求；
（2）集合与元素的关系用符号，表示。
（3）常用数集的符号表示：自然数集 ；正整数集 、 ；整数集 ；有理数集 、实数集 。
（4）集合的表示法： 列举法 ， 描述法 ， 韦恩图 。
说说下列集合的区别：；； ；；.
（5）空集是指不含任何元素的集合
、和的区别；0与三者间的关系；空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；注意：条件为，在讨论的时候不要遗忘了的情况，如：，如果，求的取值。
二、集合间的关系及其运算
（1）符号“”是表示元素与集合之间关系的，如立体几何中的体现 点与直线（面）的关系 ；
符号“”或“，”或“”等是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现 面与直线(面)的关系 。
（2）= ；= ；= .
（3）交、并、补的运算性质：对于任意集合A、B，则：…（见课本习题）
切记：；.
（4）集合中元素的个数的计算：
若集合A中有个元素，则集合A的所有不同的子集个数为_ __ ，所有真子集的个数是__ _，所有非空真子集的个数是 。
（5）韦恩图的运用：
三、逻辑联接词与真值表
1．逻辑联接词：或、且、非（命题的否定）
2．真值表（见课本）
四、四个命题与充要条件
1．四个命题
（1）写原命题的逆命题、否命题和逆否命题时，首先要分清条件p（题设）和结论q；其次要正确写出非p和非q；再次，有时命题带有大前提，在写逆命题、否命题和逆否命题时，大前提不能变化；
（2）注意否命题与命题的否定的区别，不能将两者混淆；
2．充要条件
（1）定义：命题：若，则.
若 ；则是的充分非必要条件；
若 ；则是的必要非充分条件；
若 ；则是的充要条件；
若 ；则是的既非充分又非必要条件.
在判断p是q的什么条件时，由定义，一般要考察命题（充分性）和命题（必要性）的正确性，后者是前者的逆命题；而判断一个命题的正确与否，可以用其等价命题（逆否命题）来解决，尤其命题是否定性的结论时，即原命题与逆否命题，否命题与逆命题具有相同的真值.
（2）证明充要条件时，首先要弄清楚充分性和必要性是指什么命题成立，再分别去证明，从而下结论，这样证起来层次分明，条理清楚.
五、反证法
1．步骤：①假设结论反面成立；②从这个假设出发，推理论证，得出矛盾（与定理、定义等矛盾、与假设矛盾、推出自相矛盾）；③由矛盾判断假设不成立，从而肯定结论正确。
2．当证明“若，则”感到困难时，改证它的等价命题“若则”成立。
3．适用与待证命题的结论涉及“不可能”、“不是”、“至少”、“至多”、“唯一”等字眼时。
原词语 = ＞ ＜ 是 都是 至多有一个 至多有n个 至少有一个 任意的…都是
否定词语 ≠ ≤ ≥ 不是 不都是 至少有两个 至少有n+1个 一个也没有 存在一个…非
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1§3向量与三角函数 《高中数学学案教学方法的研究》课题组编写
南化一中高三数学第三轮复习讲义14 查漏补缺篇（内部资料，请勿外传）
§3向量与三角函数
例1 已知A、B、C三点共线，O是该直线外一点，设且存在实数使成立，则点A分的比是 ．
例2 已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.若a=2，B=，△ABC的面积为S=2．
（Ⅰ）判断函数f(x)＝asin(bx＋A)＋bcos(ax＋B)的奇偶性；
（Ⅱ）若函数f(x)的图象按平移后所得图象关于点(C，c)成对称，求使得||最小的向量．
例3 已知向量.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若的值.
例4在中，角A、B、C所对边分别为a、b、c，已知且
（Ⅰ）求的值
（Ⅱ）设向量，，求向量的值.
例5 在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若=（sin2, 1）, =（cos2A+, 4）,且∥.
（Ⅰ）求角A的度数;
（Ⅱ）当a=，S△ABC=时，求边长b和角B的大小.
例6 已知A、B、C三点的坐标分别是A（3,0），B（0,3），C（cosα,sinα）,其中
（Ⅰ）若,求角的值；
（Ⅱ）若,求的值．
例7 已知A (3，0)，B (0，3)，C
（Ⅰ）若=－1,求的值；
（Ⅱ）若,且∈(0,),求与的夹角.
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1§7直线与圆 《高中数学学案教学方法的研究》课题组编写
南化一中高三数学第三轮复习讲义7 高中数学基础知识整理篇
§7直线与圆
一、直线的基本量
1．两点间距离公式：若，则
特别地：轴，则 ；轴，则 .
2．直线：与圆锥曲线C：相交的弦AB长公式
消去y得（务必注意），设A则：
3．直线的倾斜角与斜率
（1）倾斜角；当时，直线的斜率.
（2）常见问题：倾斜角范围与斜率范围的互化——右图
4．直线在轴和轴上的截距
（1）截距非距离；（2）“截距相等”的含义.
5．直线的方向向量
（1）若直线的斜率为，则直线的方向向量是（1，）；
（2）若直线的方程为，则直线的方向向量是（B，－A）.
二、直线的方程
1．五种形式：点斜式、斜截式y=kx+b、两点式、截距式、一般式.
2．一般不用“两点式”；注意每一种形式的适用条件；注意两种形式之间的转换.
三、两条直线的位置关系
1．判断方法：系数判断法、斜率判断法、方向向量判断法.
2．有用的结论
两条直线、垂直.
四、到角与夹角（前提是与相交）
1．到的角，指从按逆时针方向旋转到所成的角，范围，若直线的斜率为k1，直线的斜率为k2，则.
2．与的夹角，指、相交所成的锐角或直角，范围是，若与的夹角为，则，适用范围：k1，k2都存在且k1k2－1.
3．注意：时，夹角=到角=；当与中有一条不存在斜率时，画图，求到角或夹角.
五、点到直线的距离
1．点到直线的距离：
2．平行线间距离：若、，则.
注意点：x，y对应项系数应相等.
六、圆
1．确定圆需三个独立的条件
（1）标准方程：， 其中圆心为，半径为.
（2）一般方程：（其中圆心为，半径为.
（3）圆的参数方程：（为参数），其中圆心为，半径为.
2．直线与圆的位置关系
（1）位置关系判断方法：半径比较法（首选）、判别式法.
（2）求圆的弦长方法：垂径定理.
（3）求圆的切线：“”.
（2）一个结论：过圆上的点P的切线的方程为.
3．两圆的位置关系：当两圆相交时，公共弦所在的直线方程为…
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1§5代数中档题（不等式方向） 《高中数学学案教学方法的研究》课题组编写
南化一中高三数学第三轮复习讲义16 查漏补缺篇（内部资料，请勿外传）
§5代数中档题
例1 已知：条件p:,q: ,则，是的 （ ）
A．充分条件但不必要条件 B．必要条件但不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要。
例2 从装有个球（其中n个白球，1个黑球）的口袋中取出m个球（，共有种取法. 在这种取法中，可以分成两类：一类是取出的m个球全部为白球，共有种取法；另一类是取出的m个球有个白球和1个黑球，共有种取法. 显然成立. 试根据上述思想化简下列式子：= .
例3 若向量= ()－()，则与的的夹角是 90° ．
例4 在平面几何中有如下特性：从角的顶点出发的一条射线上任意一点到角两边的距离之比
为定值. 类比上述性质，请叙述在立体几何中相应的特性 .
例5 三个数成等比数列，若有成立，则的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
例6 已知，解关于的不等式.
例7数列的前n项和记为Sn，已知证明：
（Ⅰ）数列是等比数列；
（Ⅱ）求数列的前项和.
例8 已知数列中，，，且.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求证：.
2
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1§2应用题 《高中数学学案教学方法的研究》课题组编写
南化一中高三数学第三轮复习讲义13 查漏补缺篇（内部资料，请勿外传）
§2应用题（统计与概率方向）
例1下图是一次数学考试成绩的样本频率分布直方图（样本容量n=200），若成绩在60分以上为及格，则样本中及格人数是 .
例2 一个容量为20的样本数据，分组后，若组距与频数如下：
样本在区间内的频率是 （ ）
A．0.05 B．0.25 C．0.50 D．０.70
例3 王先生购买了一部手机，欲使用中国移动“神州行”卡或加入联通的130网，经调查其收费标准见下表：（注：本地话费以分为计费单位，长途话费以秒为计费单位.）
网 络 月租费 本地话费 长途话费
甲：联通130 12元 0.36元/分 0.06元/秒
乙：移动“神州行” 0.6元/分 0.07元/秒
若王先生每月拨打本地电话的时间是拨打长途电话时间的5倍，若要用联通130应最少打多长时间的长途电话才合算 （ ）
A．300秒 B．400秒 C．500秒 D．600秒
例4 线性规划的考察今年不会再考察解答题，也可能不再停留在考与直线的截距有关的最值上，会进行变化，如（1）与斜率的结合；（2）与两点间的距离有关的组合；（3）可行域的迁移.
已知点（a,b）在所表示的可行域内移动，则点所经过的平面区域的面积为 （ ）
A．48 B．36 C．24 D．12
例5 在一次由三人参加的围棋对抗赛中，甲胜乙的概率为0.4，乙胜丙的概率为0.5，丙胜甲的概率为0.6，比赛按以下规则进行；第一局：甲对乙；第二局：第一局胜者对丙；第三局：第二局胜者对第一局败者；第四局：第三局胜者对第二局败者，求：
（1）乙连胜四局的概率；
（2）丙连胜三局的概率．
例6 经统计，某大型商场一个结算窗口每天排队结算的人数及相应的概率如下：
排队人数 0—5 6—10 11—15 16—20 21—25 25人以上
概 率 0.1 0.15 0.25 0.25 0.2 0.05
（1）每天不超过20人排队结算的概率是多少？
（2）一周7天中，若有3天以上（含3天）出现超过15人排队结算的概率大于0.75，商场就需要增加结算窗口，请问该商场是否需要增加结算窗口？
例7 某人居住在城镇的A处，到单位B处上班. 若该地各路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图. 请你为其选择一条由A到B的最短路线（即此人只选择从西向东和从南向北的路线），使得途中发生堵车事件的概率最小.
例7为防止某突发事件发生，有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙、丙、丁预防措施后此突发事件不发生的概率(记为P)和所需费用如下表：
预防措施 甲 乙 丙 丁
P 0．9 0．8 0．7 0．6
需用（万元） 90 60 30 10
预防方案可单独采用一种预防措施或联合采用几种预防措施，在总费用不超过120万元的前提下，请确定一个预防方案，使得此突发事件不发生的概率最大．
2
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1§6解析几何 《高中数学学案教学方法的研究》课题组编写
南化一中高三数学第三轮复习讲义17 查漏补缺篇（内部资料，请勿外传）
§6解析几何
例1 已知倾斜角为45o的直线与抛物线C：相交于A、B两点，求正方形ABCD的中心M的轨迹方程．
例2（南通市三模·20题）设M是椭圆C：上的一点，P、Q、T分别为M关于y轴、原点、x轴的对称点，N为椭圆C上异于M的另一点，且MN⊥MQ，QN与PT的交点为E，当M沿椭圆C运动时，求动点E的轨迹方程．
例3 无论为何实数，直线l：与双曲线C：恒有公共点．
（1）求双曲线C的离心率的取值范围；
（2）若直线过双曲线C的右焦点F，与双曲线C交于P、Q两点，且满足,求双曲线C的方程．
例4 （2005淮安三模）已知抛物线x2=4y的焦点为F，准线为，过上任意一点P作抛物线的两条切线，切点分别为A、B.
（1） 求证：PA⊥PB；
（2） 是否存在常数m，使恒成立？如果存在，请求出m的值；如果不存在，请说明理由。
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1高中数学易错、易混、易忘问题备忘录
１．在应用条件A∪B＝ＢA∩B＝ＡＡＢ时，易忽略Ａ是空集Φ的情况．
２．求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则．
３．判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称．
4．求反函数时，易忽略求反函数的定义域．
5．函数与其反函数之间的一个有用的结论：
6．原函数在区间[-a,a]上单调递增，则一定存在反函数，且反函数也单调递增；但一个函数存在反函数，此函数不一定单调．例如：.
7．根据定义证明函数的单调性时，规范格式是什么？(取值, 作差, 判正负.)
8. 求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”；单调区间不能用集合或不等式表示．
9. 用均值定理求最值（或值域）时，易忽略验证“一正二定三等”这一条件．
10. 你知道函数的单调区间吗？（该函数在或上单调递增；在上单调递减）这可是一个应用广泛的函数！
11. 解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗？（真数大于零，底数大于零且不等于1）字母底数还需讨论呀.
12. 用换元法解题时，易忽略换元前后的等价性．
13. 用判别式判定方程解的个数（或交点的个数）时，易忽略讨论二次项的系数是否为０．尤其是直线与圆锥曲线相交时更易忽略．
14. 等差数列中的重要性质：若m+n=p+q，则;
等比数列中的重要性质：若m+n=p+q,则.
15. 用等比数列求和公式求和时，易忽略公比ｑ＝１的情况．
16. 已知求时, 易忽略n＝１的情况．
17．等差数列的一个性质：设是数列{}的前n项和, {}为等差数列的充要条件是
（a, b为常数）其公差是2a.
18．你知道怎样的数列求和时要用“错位相减”法吗？（若其中{}是等差数列，{}是等比数列，求{}的前n项的和）
19. 你还记得裂项求和吗？（如）
20． 在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗？你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗？
21. 你还记得三角化简的通性通法吗？（切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊角. 异角化同角，异名化同名，高次化低次）
22. 你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗？）
23. 在三角中，你知道1等于什么吗？这些统称为1的代换) 常数 “1”的种种代换有着广泛的应用．
24. 反正弦、反余弦、反正切函数的取值范围分别是
25．与实数0有区别，的模为数0，它不是没有方向，而是方向不定。可以看成与任意向量平行，但与任意向量都不垂直。
26．，则 。。
27．
28．
29．在中，
30．使用正弦定理时易忘比值还等于2R．
31. 在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示；不能用不等式表示．
32. 两个不等式相乘时,必须注意同向同正时才能相乘,即同向同正可乘；同时要注意“同号可倒”即ａ＞ｂ＞ｏ，ａ＜ｂ＜ｏ．
33. 分式不等式的一般解题思路是什么？（移项通分）
34. 解指对不等式应该注意什么问题？（指数函数与对数函数的单调性, 对数的真数大于零.）
35. 在解含有参数的不等式时，怎样进行讨论？（特别是指数和对数的底或）讨论完之后，要写出：综上所述，原不等式的解是……．
36.常用放缩技巧：
37.解析几何的主要思想：用代数的方法研究图形的性质。主要方法：坐标法。
38.用直线的点斜式、斜截式设直线的方程时, 易忽略斜率不存在的情况．
39.用到角公式时，易将直线ｌ1、ｌ2的斜率ｋ1、ｋ2的顺序弄颠倒．
40.直线的倾斜角、到的角、与的夹角的取值范围依次是。
41.函数的图象的平移、方程的平移以及点的平移公式易混：
（１）函数的图象的平移为“左+右-,上+下-”；如函数y＝2x+4的图象左移2个单位且下移3个单位得到的图象的解析式为y=2（x＋2）+4－3．即y=2x+5．
（２）方程表示的图形的平移为“左+右-,上-下+”； 如直线2x－y+4=0左移2个单位且下移3个单位得到的图象的解析式为2(x＋2)-(y＋3)+4=0．即y=2x+5．
（３）点的平移公式：点P(x,y)按向量=(h，k)平移到点P/ (x/，y/)，则x/＝x+ h，y/ ＝y+ k．
42. 定比分点的坐标公式是什么？（起点，中点，分点以及值可要搞清）
43. 对不重合的两条直线，，有
； ．
44. 直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0.
45. 处理直线与圆的位置关系有两种方法：（1）点到直线的距离；（2）直线方程与圆的方程联立，判别式. 一般来说，前者更简捷．
46. 处理圆与圆的位置关系，可用两圆的圆心距与半径之间的关系.
47. 在圆中，注意利用半径、半弦长、及弦心距组成的直角三角形.
48.还记得圆锥曲线的两种定义吗？解有关题是否会联想到这两个定义？
49.还记得圆锥曲线方程中的a,b,c,p,的意义吗？
50. 在利用圆锥曲线统一定义解题时，你是否注意到定义中的定比的分子分母的顺序？
51．离心率的大小与曲线的形状有何关系？（圆扁程度，张口大小）等轴双曲线的离心率是多少？
52. 在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零？判别式的限制．（求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在下进行）.
53. 椭圆中，注意焦点、中心、短轴端点所组成的直角三角形．（a，b，c）
54. 通径是抛物线的所有焦点弦中最短的弦.
55. 点P在椭圆(或双曲线)上，椭圆中△PF1F 2的面积与双曲线中△PF1F 2的面积易混(其中点F1＼F 2是焦点).
56.如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,只有一个交点．此时两个方程联立，消元后为一次方程．
57．经纬度定义易混. 经度为二面角,纬度为线面角.
58.求两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角时，如果所求的角为90°，那么就不要忘了还有一种求角的方法即用证明它们垂直的方法．
59. 线面平行的判定定理和性质定理在应用时都是三个条件，但这三个条件易混为一谈；面面平行的判定定理易把条件错误地记为＂一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行＂而导致证明过程跨步太大．
60. 作出二面角的平面角主要方法是什么？（定义法、三垂线法、垂面法）三垂线法：一定平面，二作垂线，三作斜线，射影可见.
61. 求点到面的距离的常规方法是什么？（直接法、等体积法、换点法）
62. 求多面体体积的常规方法是什么？（割补法、等积变换法）
63. 两条异面直线所成的角的范围：0°<α≤90°
直线与平面所成的角的范围：0o≤α≤90°
二面角的平面角的取值范围：0°≤α≤180°
64．二项式展开式的通项公式中ａ与ｂ的顺序不变．
65．二项式系数与展开式某一项的系数易混, 第ｒ＋１项的二项式系数为.
66. 二项式系数最大项与展开式中系数最大项易混．二项式系数最大项为中间一项或两项；展开式中系数最大项的求法为用解不等式组来确定ｒ．
67. 解排列组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合．
68.解排列组合问题的规律是：相邻问题捆绑法；不邻问题插空法；多排问题单排法；定位问题优先法；定序问题倍缩法；多元问题分类法；有序分配问题法；选取问题先排后排法；至多至少问题间接法．
69. 二项式展开式的通项公式、n次独立重复试验中事件A发生k次的概率与二项分布的分布列三者易记混．
通项公式： （它是第ｒ＋１项而不是第ｒ项）．
事件A发生k次的概率：．
分布列： 其中ｋ＝0,1,2,3,…,n,且070. 正态总体N(μ，σ2)的概率密度函数与标准正态总体N(0，1)的概率密度函数为；．
71. 如下两个极限的条件易记混：
成立的条件为；成立的条件为．
72.常用导数公式：① C'=0(C为常数)；② (xn)'=nxn-1 (n∈Q)；③ (sinx)'=cosx； ④ (cosx)'=-sinx；
⑤ (ex)'=ex；⑥ (ax)'=axlna ⑦ ；⑧
73. 如果两个复数不全是实数,那么就不能比较大小.如果两个复数能比较大小,那么这两个复数全是实数.
74. 解答选择题的特殊方法是什么？(顺推法，估算法，特例法，特征分析法，直观选择法，逆推验证法等等)
75. 解答开放型问题时，需要思维广阔全面，知识纵横联系．
76. 解答信息型问题时，透彻理解问题中的新信息，这是准确解题的前提．
77. 解答多参型问题时，关键在于恰当地引出参变量, 想方设法摆脱参变量的困绕．这当中，参变量的分离、集中、消去、代换以及反客为主等策略，似乎是解答这类问题的通性通法．
78. 在分类讨论时,分类要做到“不重不漏、层次分明，最后要进行总结．
79. 在做应用题时, 运算后的单位要弄准，不要忘了“答”及变量的取值范围；在填写填空题中的应用题的答案时, 不要忘了单位．
80．在解答题中，如果要应用教材中没有的重要结论，那么在解题过程中要给出简单的证明。§2函数 《高中数学学案教学方法的研究》课题组编写
南化一中高三数学第三轮复习讲义2 高中数学基础知识整理篇
§1函数
一、函数的定义、分段函数的定义和理解
二、函数的性质
1．定义域（自然定义域、分段函数的定义域、应用题中的定义域、复合函数的定义域等）；
2．值域（求值域：分拆法、图象法、单调性法、基本不等式法、换元法、判别式法等）；
3．奇偶性（在整个定义域内考虑）
（1）定义：
（2）判断方法：
Ⅰ.定义法——步骤：求出定义域并判断定义域是否关于原点对称；求； 比较或的关系；
Ⅱ.图象法
（3）常用的结论
①已知：
若非零函数的奇偶性相同，则在公共定义域内为偶函数；
若非零函数的奇偶性相反，则在公共定义域内为奇函数；
②若是奇函数，且，则.
4．单调性（在定义域的某一个子集内考虑）
（1）定义：
（2）证明函数单调性的方法：
Ⅰ.定义法 步骤：设；作差（一般结果要分解为若干个因式的乘积，且每一个因式的正或负号能清楚地判断出）；判断正负号。
Ⅱ.（多项式函数）用导数证明： 若在某个区间A内有导数，则 在A内为增函数； 在A内为减函数.
（3）求单调区间的方法： a.定义法： b.导数法： c.图象法： d.复合函数在公共定义域上的单调性：若f与g的单调性相同，则为增函数； 若f与g的单调性相反，则为减函数。
注意：先求定义域，单调区间是定义域的子集.
（4）一些有用的结论：
①奇函数在其对称区间上的单调性相同；
②偶函数在其对称区间上的单调性相反；
③在公共定义域内：增函数增函数是增函数；减函数减函数是减函数；增函数减函数是增函数；减函数增函数是减函数。
④一个重要的函数：函数在上单调递增；在上是单调递减.
5．函数的周期性
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使恒成立，则叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期.
举例：若函数在R上是奇函数，且在上是增函数，且，则①关于 对称；②的周期为 ；③在（1，2）是 函数（增、减）；④若（0，1）时=，则= 。
三、函数的图象
1．基本函数的图象：
（1）一次函数、（2）二次函数、（3）反比例函数、（4）指数函数、（5）对数函数、（6）三角函数、（7）函数.
2．图象的变换
（1）平移变换
①函数的图象是把函数的图象沿轴向左平移个单位得到的；函数的图象是把函数的图象沿轴向右平移个单位得到的；
②函数的图象是把函数的图象沿轴向上平移个单位得到的；函数的图象是把函数的图象沿轴向下平移个单位得到的；
（2）对称变换
①函数与函数的图象关于直线x=0对称；
函数与函数的图象关于直线y=0对称；
函数与函数的图象关于坐标原点对称；
②如果函数对于一切都有 ，那么 的图象关于直线对称；如果函数对于一切都有，那么 的图象关于点对称。
③函数与函数的图象关于直线对称。
④
⑤
⑥与关于直线对称。
（3）伸缩变换（主要在三角函数的图象变换中）
举例：已知函数的图象过点（1，1），则的反函数的图象过点 。
四、函数的反函数
1．求反函数的步骤：
（1）求原函数的值域B
（2）把看作方程，解出（注意开平方时的符号取舍）；
（3）互换x、y，得的反函数为.
2．定理：（1），即点在原函数图象上点在反函数图象上；（2）原函数与反函数的图象关于直线对称.
3．有用的结论：原函数在区间上单调的，则一定存在反函数，且反函数也单调的，且单调性相同；但一个函数存在反函数，此函数不一定单调。
举例1：，的反函数为 。
2：设 。
五、函数、方程与不等式
1．“实系数一元二次方程有实数解”转化为“”，你是否注意到必须；当=0时，“方程有解”不能转化为。若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，你是否考虑到二次项系数可能为零的情形？
2、利用二次函数的图象和性质，讨论一元二次方程实根的分布。
设为方程的两个实根。
①若则；
②当在区间内有且只有一个实根，时，
③当在区间内有且只有两个实根时， ④若时
注意：①根据要求先画出抛物线，然后写出图象成立的充要条件。
②注意端点，验证端点。
六、指数函数与对数函数
1．指数式与对数式：
对数的三个性质：；；
对数恒等式：；
对数运算性质：. . .
2．指数函数与对数函数
（1）定义和关系：
（2）特征图象与性质归纳（列表）
指数函数y=ax (a>0,a≠1) 对数函数y=log ax (a>0,a≠1)
特征图象 01 01
定义域 （－∞，+∞） （0，+∞）
值域 （0，+∞） （－∞，+∞）
单调性 减函数 增函数 减函数 增函数
定点 （0，1） （1，0）
函数值分布 x<0时，y>1；x>0时，00时，y>1 00；x>1时，y<0 01时，y>0
（3）有用的结论
①函数与（且）图象关于直线对称；函数与（且）图象关于轴对称；函数与（且）图象关于轴对称.
②记住两个指数（对数）函数的图象如何区别？
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1§5平面向量 《高中数学学案教学方法的研究》课题组编写
南化一中高三数学第三轮复习讲义5 高中数学基础知识整理篇
§5平面向量
一、向量的基本概念
向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量.
二、加法与减法运算
1．代数运算
(1)．
(2)若=（）, =（）则=（）．
2．几何表示：平行四边形法则、三角形法则。
以向量=、=为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量=+,=－,=－.且有︱︱－︱︱≤︱︱≤︱︱+︱︱．
3．运算律
向量加法有如下规律：＋=＋(交换律)；
+(+ )=(+ )+ （结合律）；
+0= ＋(－)=0.
三、实数与向量的积
实数与向量的积是一个向量。
1．︱︱=︱︱·︱︱；
(1) 当＞0时，与的方向相同；当＜0时，与的方向相反；当=0时，=0．
(2)若=（），则·=（）．
2．两个向量共线的充要条件：
(1) 向量与非零向量共线的充要条件是：有且仅有一个实数，使得=．
(2) 若=（）, =（）则∥．
1． 四、平面向量基本定理
1．若、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使得=+ ．
2．有用的结论：若、是同一平面内的两个不共线向量，若一对实数，，使得+ =0，则==0.
五、向量的数量积
1．向量的夹角：
已知两个非零向量与，作=, = ,则∠AOB= （）叫做向量与的夹角（两个向量必须有相同的起点）。
2．两个向量的数量积：
已知两个非零向量与，它们的夹角为，则·=︱︱·︱︱cos．
其中︱︱cos称为向量在方向上的投影．
3．向量的数量积的性质：若=（）, =（）
（1）·=·=︱︱cos (为单位向量)；
（2）⊥·=0（，为非零向量）；
（3）︱︱= ；
（4）cos= =．（可用于判定角是锐角还是钝角）
4．向量的数量积的运算律：
·= ·；()·=(·)=·()；(＋)·=·+ ·．
六、点P分有向线段 EMBED Equation.3 所成的比
1．定义：设P1、P2是直线上两个点，点P是上不同于P1、P2的任意一点，则存在一个实数使=，叫做点P分有向线段所成的比。
2．位置讨论：
（1）当点P在线段上时，＞0；特别地：点P是线段P1P2的中点是.
（2）当点P在线段或的延长线上时，＜0；
3．分点坐标公式：若=；的坐标分别为（）,（）,（）；则，（≠－1）， 中点坐标公式：．
七、主要思想与方法
本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等。由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点。
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1§9立体几何 《高中数学学案教学方法的研究》课题组编写
南化一中高三数学第三轮复习讲义9 高中数学基础知识整理篇
§9立体几何
一、知识结构
二、空间的直线与平面
1．异面直线
（1）异面直线所成的角的范围.
（2）求异面直线所成的角——平移：中位线平移、几何体补形平移法.
2．直线与平面
（1）直线与平面平行的判断方法及性质,判定定理是证明平行问题的依据。
（2）直线与平面垂直的证明方法有哪些？
（3）直线与平面所成的角：关键是找它在平面内的射影，即解决线面垂直——依靠面面垂直作线面垂直；范围是.
（4）三垂线定理及其逆定理：三垂线定理及其逆定理主要用于证明垂直关系（尤其是异面垂直）与空间图形的度量。如：证明异面直线垂直，确定二面角的平面角，确定点到直线的垂线.
3．平面与平面
（1）掌握平面与平面平行的证明方法和性质.
（2）掌握平面与平面垂直的证明方法和性质定理。尤其是性质定理：已知两平面垂直，一般是依据性质定理，可以证明线面垂直。
（3）两平面间的距离问题→点到面的距离问题→直接法、转化法、体积法.
（4）二面角：二面角的平面角的作法及求法：
①定义法，一般要利用图形的对称性（如等腰三角形）；
②三垂线法，一般要求平面的垂线好找，在计算时要解一个直角三角形；
③垂面法，能方便地找到一个与二面角的棱垂直的面，而这个面与二面角的两个面的交线所成的角就是二面角的平面角.
三、简单几何体
1．棱柱
（1）掌握棱柱的定义、分类，理解直棱柱、正棱柱的性质。
（2）掌握长方体的对角线的性质。
（3）平行六面体→直平行六面体→长方体→正四棱柱→正方体这些几何体之间的联系和区别，以及它们的特有性质。
（4）S侧＝各侧面的面积和。思考：对于特殊的棱柱，又如何计算？
（5）V=Sh 特殊的棱柱的体积如何计算？
2．棱锥
（1）棱锥的定义、正棱锥的定义（底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面的中心）
（2）相关计算：S侧＝各侧面的面积和，V=Sh
3．球的相关概念：球的截面性质（重点），S球=4πR2，V球＝πR3，球面距离.
4．正多面体：掌握定义和正多面体的种数（是哪几个？）
5．了解欧拉公式：V+F-E=2，其中：V顶点数、E棱数、F面数.
四、主要思想与方法
1．计算问题：
（1）空间角的计算步骤：一作、二证、三算
异面直线所成的角 范围：0°＜θ≤90° 方法：①平移法；②补形法.
直线与平面所成的角 范围：0°≤θ≤90° 方法：关键是作垂线，找射影.
二面角 方法：①定义法；②三垂线定理及其逆定理；③垂面法. 注：二面角的计算也可利用射影面积公式S′=Scosθ来计算
（2）空间距离：两点之间的距离、点到直线的距离、点到平面的距离、两条平行线间的距离、两条异面直线间的距离、平面的平行直线与平面之间的距离、两个平行平面之间的距离.
七种距离都是指它们所在的两个点集之间所含两点的距离中最小的距离.七种距离之间有密切联系，有些可以相互转化，如两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离，平行线面间的距离或平行平面间的距离都可转化成点到平面的距离.
在七种距离中，求点到平面的距离是重点，求两条异面直线间的距离是难点.
求点到平面的距离：（1）直接法，即直接由点作垂线，求垂线段的长.（2）转移法，转化成求另一点到该平面的距离.（3）体积法.
2．平面图形的翻折，要注意翻折前后的长度、角度、位置的变化，翻折前后在同一个三角形中的角度、长度不变
3．在解答立体几何的有关问题时，应注意使用转化的思想：
①利用构造矩形、直角三角形、直角梯形将有关棱柱、棱锥的问题转化成平面图形去解决.
②将空间图形展开（移出）是将立体几何问题转化成为平面图形问题的一种常用方法.
③补法把不规则的图形转化成规则图形，把复杂图形转化成简单图形.
④利用三棱锥体积的自等性，将求点到平面的距离等问题转化成求三棱锥的高.
⑤平行转化
⑥垂直转化
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1§4立体几何 《高中数学学案教学方法的研究》课题组编写
南化一中高三数学第三轮复习讲义15 查漏补缺篇（内部资料，请勿外传）
§4立体几何
例1 如图，已知四棱锥P——ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面PDC为正三角形，且平面PDC⊥底面ABCD，E为PC的中点.
（1）求证：PA//平面EDB；
（2）求证：平面EDB⊥平面PBC；
（3）求二面角D—PB—C的大小．
例2 如图，三棱锥P – ABC中，PB⊥底面ABC于B，∠BCA = 90，PB = BC = CA = 4，点E，点F分别是PC，AP的中点.
(1) 求证：侧面PAC⊥侧面PBC；
(2) 求A到平面BEF的距离；
(3) 求二面角A – BE – F的平面角．
例3 如图，四棱锥P－ABCD中， PB⊥底面ABCD，CD⊥PD．底面ABCD为直角梯形， AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3．点E在棱PD上，且PE=2ED．
（Ⅰ）求证：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）求直线CE与平面PAB所成的角；
（Ⅲ）求二面角P－CE－A的大小．
B
D
C
A
P
E
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1§1导数综合 《高中数学学案教学方法的研究》课题组编写
南化一中高三数学第三轮复习讲义12 查漏补缺篇（内部资料，请勿外传）
§1导数综合
例1已知函数
（1）求函数的单调递增区间；
（2）当时，求函数的极大值．
例2 已知二次函数f(x)满足：①在x=1时有极值； ②图象上点（0，－3）处的切线与直线2x+y=0平行．（I）求f(x)的解析式；（II）若存在正数，使函数g(x)=f(x2)-f(x)在区间(1－，1)内为增函数，在(1，1＋)内为减函数，求的取值范围．
例3若函数的图象有且只有两条切线平行于x轴，且切点的横坐标均在内.
（Ⅰ）求实数a（）的值；
（Ⅱ）求在区间[－1，1]上的最值．
（Ⅲ）是对应图象上的一点，求以P为切点的切线的斜率的最大值.
例4已知函数在区间[0，1]上单调递增，在区间[1，2]上单调递减.
（1）求a的值；
（2）设，若方程的解集恰有3个元素，求b的取值范围；
（3）在（2）的条件下，是否存在实数对（m，n），使为偶函数？如存在，求出m，n；如不存在，说明理由.
例5已知：抛物线y=a x的焦点为F，过焦点F且与准线L平行的直线交抛物线于A，B，如=1 。
（1）求抛物线方程。
（2）若点P为L与Y轴的交点，过P作抛物线的两条切线，求证：切点为A，B。
（3）若点P为L上的任一点，过P作抛物线的两条切线PC，PD，求证：=0
例6过抛物线外一点向抛物线作两切线于切点、，为坐标原点．
（1）求证：直线的方程为；
（2）若在（）上运动，而直线在、轴上交于、两点，求面积的最小值．
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1§8圆锥曲线 《高中数学学案教学方法的研究》课题组编写
南化一中高三数学第三轮复习讲义8 高中数学基础知识整理篇
§8圆锥曲线
一、椭圆
1．定义
（1）第一定义：若F1，F2是两定点，P为动点，且 （为常数）则P点的轨迹是椭圆。
（2）第二定义：若F1为定点，为定直线，动点P到F1的距离与到定直线的距离之比为常数e（0（3）焦半径：
，
2．标准方程：
（1）焦点在轴上： ；焦点在轴上： ；
（2）焦点的位置标准方程形式
3．几何性质（以焦点在轴上为例）
（1）范围： 、
（2）对称性：长轴长=，短轴长=2b，焦距=2c
（3）离心率，准线方程
（4）有用的结论：，， ，，顶点与准线距离、焦点与准线距离分别与有关.
（5）中经常利用余弦定理、三角形面积公式将有关线段、、2c，有关角结合起来，建立+、·等关系
（6）椭圆上的点有时常用到三角换元：（椭圆的参数方程）
二、双曲线
1．定义：（1）第一定义：若F1，F2是两定点，（为常数），则动点P的轨迹是双曲线。（2）第二定义：若动点P到定点F与定直线l的距离之比是常数e（e>1），则动点P的轨迹是双曲线。（3）焦半径（点P在右支）：，
2．标准方程
（1）焦点在轴上： ；焦点在轴上： .
（2）焦点的位置标准方程形式
3．几何性质（以焦点在轴上为例）
（1）范围：或、
（2）对称性：实轴长=，虚轴长=2b，焦距=2c.
（3）离心率，准线方程
（4）渐近线方程：.与此有关的结论：若渐近线方程为双曲线可设为；若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在x轴上；，焦点在y轴上）.
（5）当离心率两渐近线互相垂直，分别为y=，此时双曲线为等轴双曲线，可设为；
（5）注意中结合定义与余弦定理，将有关线段、、和角结合起来。
三、抛物线
1．定义：到定点F与定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线。即：到定点F的距离与到定直线l的距离之比是常数e（e=1）。
2．标准方程（以焦点在轴的正半轴为例）： （其中为焦点到准线的距离——焦参数）；
3．几何性质
（1）焦点：，通径，准线：； 焦半径：，过焦点弦长.
（2）几何特征：焦点到顶点的距离=；焦点到准线的距离=；通径长=（通径是最短的焦点弦），顶点是焦点向准线所作垂线段中点。
（3）抛物线上的动点可设为P或或P，其中.
四、直线与圆锥曲线的关系判断
1．直线与双曲线：当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线仅有一个交点.
2．直线与抛物线：当直线与抛物线的轴平行时，直线与抛物线仅有一个交点.
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1§11统计与导数 《高中数学学案教学方法的研究》课题组编写
南化一中高三数学第三轮复习讲义11 高中数学基础知识整理篇
§11统计与导数
一、统计
1．总体、个体、样本、，样本个体、样本容量的定义；
2．抽样方法
（1）简单随机抽样（括随机数表法，标签法）——从个总体中抽取容量为的样本，则每一个个体被抽到的概率为.
（2）分层抽样.
3．样本平均数（数学期望）：
4．样本方差：S2 =[(x1－)2+(x2－)2+ (x3－)2+…+(xn－)2]
样本标准差：s=，作用：估计总体的稳定程度
5．理解频率直方图的意义（总坐标为），会用样本估计总体的期望值和方差，用样本频率估计总体分布。
二、导数
１．多项式函数的求导法则：
（1）(c)/=0，这里c是常数，即常数的导数值为０.
（2）(xn)/=nxn－1，特别地：(x)/=1.
2．导数的运算法则
（1）(f(x)±g(x))/= f/(x)±g/(x) （2）(k f(x))/= k f/(x)（k为常数）
3．导数的几何物理意义：
（1）几何意义：k＝f/(x0)表示曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))的切线的斜率。
（2）V＝s/(t)表示即时速度，a=v/(t) 表示加速度。
4．导数的应用：
（1）求切线的斜率。注意“曲线在点P处的切线”还是“曲线过点P的切线”的区别！！！
（2）导数与函数的单调性的关系（较高要求，供参考）
①与为增函数的关系：能推出为增函数，但反之不一定。如函数在上单调递增，但，∴是为增函数的充分不必要条件。
②时，与为增函数的关系：若将的根作为分界点，因为规定，即抠去了分界点，此时为增函数，就一定有.∴当时，是为增函数的充分必要条件。
③与为增函数的关系： 为增函数，一定可以推出，但反之不一定，因为，即为或。当函数在某个区间内恒有，则为常数，函数不具有单调性。∴是为增函数的必要不充分条件。
函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理。
单调区间的求解过程：已知
①分析的定义域；
②求导数 ；
③解不等式，解集在定义域内的部分为增区间；解不等式，解集在定义域内的部分为减区间。（或用列表法，见课本）
我们在应用导数判断函数的单调性时一定要搞清以下三个关系，才能准确无误地判断函数的单调性。以下以增函数为例作简单的分析，前提条件都是函数在某个区间内可导。
（3）求极大、极小值：已知
①分析的定义域；
②求导数 ；
③求解方程（设有根）；
④列表判断个区间内导数的符号，判断是否为极值，如果是，是极大还是极小值。
注意：f/(x0)＝0不能得到当x=x0时，函数有极值；但是，当x=x0时，函数有极值 f/(x0)＝0
（4）求函数在某闭区间[a,b]上的最大、最小值
①②③同上；
④比较、、，最大的为，最小的为.
注意：极值≠最值；最值问题一般仅在闭区间上研究（实际应用题除外，即应用题中有开区间问题）.
5.导数的综合应用
（1）刻画函数（比初等方法精确细微）；
（2）同几何中切线联系（导数方法可用于研究平面曲线的切线）；
（3）应用问题（初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便）等关于次多项式的导数问题属于较难类型；
（4）导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向，应引起注意。
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