江苏省扬中高级中学高三第2轮复习[下学期]

江苏省扬中高级中学高三数学组 2005.10
2005-2006年高3第一轮复习1------ 函数的性质
函数的单调性、奇偶性、周期性，函数的图像
1、 复习指导
函数的单调性，对我们研究函数的图像，解不等式，求函数的最值和极值，证明不等式都有着非常重要的意义。
研究函数的单调性，有两种方法：一是根据定义，先确定单调区间，再根据定义加以证明；一是求出函数的导函数，求出使f/(x)=0的点（驻点）再根据这一点左、右导函数的符号是否发生了变化。如果没有变化，说明单调性没有改变，该点不是单调区间的端点；如果由f/(x)＞0变为f/(x)＜0，说明该点是一个减区间的右端和一个增区间的左端点，函数在这点取得极大值；如果由f/(x)＜0，说明该点是一个减区间的右端点和一个增区间的左端点，函数在该点取得极小值。
要分清极值与最值这两个不同的概念，极值是一个局部的概念，最值是一个整体的概念，一个函数可解没有极值也可能有无数个极值，而最值可能没有，但若有，只能是一个；极值不存在不意味着最值不存在；反之，最值不存在也不意味着极值不存在；最值可能是极植中的某一个，也可能是一个“边界点”的函数值而不是极值。这些情况可参看下列图形：
y=，无极值，无最值 y=x， x∈[0，1]
无极值，有最值
y=x3－x
有极值，无最值 y=x3－x
x∈[－，] 有极值，有最值，但最值 不是极
关于函数的奇偶性和周期性，要特别注意以下几点：
1．奇函数和偶函数的定义域必然是关于x=0对称的区域，故定义域不是关于x=0对称的函数必不是奇函数，也不是偶函数。
2．奇函数的图像至于原点对称，偶函数的图像关于y的轴对称。注意“图像关于原点对称的函数必是奇函数”与“关于原点对称的图形必是奇函数的图像”的区别。
3．在x=0处有定义的奇函数必满足f(0)=0，即图像过原点（想一想，为什么？）
4．奇函数，偶函数仅仅是图像的对称中心，对称轴位置较特殊的函数，奇函数，偶函数的图像经过平移后，未必还表示奇、偶函数，而不是奇函数，偶函数的函数，只要它们的图像是轴对称图形或中心对称图形，就可经适当平移，成为奇（偶）函数的图像。
5．定义域有界的函数不可能是同期函数。同期函数不一定有最小正周期。若T（T≠0）是函数y=f(x)的周期，则T的非零整数倍也是它的周期。
6．一个函数的图像，如果有两条对称轴：x=a和x=b（a≠b）就必有无数条对称轴，∵f(x)=f(2a－x)=f(2b―(2a―x))=f(2b－2a+x)，∴f(x)为周期函数2(b－a)为它的一个周期；如果有两个对称中心：（a，0），（b，0）（a≠b），则有无数个对称中心，设（x，y）为函数y=f(x) 图像上任意一点，则(2a―x，―y)在函数图象上，从而[2b―(2a―x)，―(―y)]即（2b―2a+x，y）也在函数图像上，∴f(x)为周期对称，2(b－a)当它的一个周期；如果有一条对称轴x=a和一个对称中心(b，0)（a≠b）则函数图像也有无数条对称轴和无数个对称中心，设(x―y)当函数图像上任意一点，则(2a―x，y)在图像上，(2b―2a+x，―y)在图象上，从而f(4b―4a+x)=f(x)，∴f(x)当周期函数4b―2a当其一个周期。
7．两个单调性相同的函数的和在它们的公共定义域内仍保持原来的单调性；当a＞0时，单调函数f(x)与af(x)有相同的单调性，当a＜0时，单调函数f(x)与af(x)有相反的单调性；
8．若函数f(x)在A上单调，值域为B，函数g(x)在B上单调，则复合函数g[f(x)]在A上单调，当前两者单调性相同时，复合函数g[f(x)]单调增，前两者单调性相反时，复合函数g[f(x)]单调减。
9．同为奇（偶）函数的两函数，在其公共定义域内的和或差仍为奇（偶）函数，同奇偶的两函数的积（商）在其公共定义域内为偶函数，一个奇函数与一个偶函数的积（商）在其公共定义域内与奇函数，由奇、偶函数复合而成的函数中，有奇数个奇函数，复合函数才是奇函数，否则就是偶函数。
10．若f(x)有反函数f—1(x)，则f(x)与f/(x)在相应的区间中有相同的单调性；奇函数的反函数（如果有反函数的话），仍为奇函数，偶函数一般没有反函数（除非它的定义域为）.
以上规律，想一想，为什么？你会证明吗？
11．把函数y=f(x)的图像按向量=（m，n）平移后图像对应解分析式为y―n=f(x―m)，变即y=f(x－m)+n.
把函数y=f(x)的图像每一点纵坐标变为原来的A倍，横坐标不变，新图像的解析式，为y=Af(x)；把函数y=f(x)图像上每一点横坐标变为原来的倍，纵会标不变，新图像的解析式为y=f(ωx)；
把函数y=f(x)图像沿x轴翻转1800，新图像解析式为y=－f(x)；沿y轴翻转1800，新图像解析式为y=f(－x)；把函数y=f(x)图象上x轴上方（含x轴上）的部分保持不变，下方的部分沿x轴翻转1800，所得新图形解析式为y=；保持图形在y轴右边（含y轴上）的部分不变，左方部分取消改为右方关于y轴对称的图形，新图形的解析式为y=f()
二、典型例题
例1．判断下列函数的奇偶性：
（1）f(x)=
（2）f(x)=+（a＞0且a≠1）
这两个函数的解析式都很难直接看出奇偶数，但绝不能据此下“不是奇函数，也不是偶函数”的结论，因为形式经过恒等变形后有可能直接可以判断。例如（2）中f(x)=·
∵==－，可知f(x)为两个奇函数之积，在其定义域中为偶函数，（1）中f(x)===tan，此时从形式上看应为奇函数，但因约去了因式ε·+cos，故应加注使ε·+cos≠0，即≠kπ－，即x≠kπ－（k∈Z）这显然关于原点不对称，故结论为“不是奇函数，也不是偶函数”其实这一点在一开始求定义域1+cosx+sinx≠0时即可得知。
综上，要判断一个函数的奇偶性，应先求其定义域，如定义域不关于原点对称，即可下“非奇、非偶”的结论，如对称，再进一步考虑，或进行恒等变形，变成我们熟悉的情况加以判断，或利用定义，“若f(x)+f(－x)≡0则f(x)当奇函数，f(x)―f(―x)≡0为则f(x)为偶函数
例2．已知2为函数y=f(x)的一个周期，当x∈[0，2]时，f(x)=，求证f(x)为偶函数。
本题没有给出[0，2]外的函数表达式，如何判断奇偶性？故应先据T=2，写出一般区间[2k，2(k+1)]上函数表达式，再看[―2(k+1)，―2k]上的表达式与之是否有f(x)+f(―x)≡0或f(x) ―f(―x)≡0的关系，具体解法参看附录
例3．已知函数h(x)=2x，y=g(x)为它的反函数，y=g(x)的图像上有横坐标分别为a，a+4，a+8的三点，A、B、C（a＞1）,△ABC的面积记为S。
（1）求S=f(a)的表达式；
（2）求S=f(a)的值域；
（3）判断S=f(a)的单调性
g(x)=log2x，关键是△ABC面积，怎样求
设A、B、C在x轴上的射影是A/、B/、C/
则=+－=×4+×4－）×8
=2[2log2(a+4) －log2a－log2(a+8)]=2log2
值域和单调性只要考虑，亦即只要考虑的值域和单调性就可以了。
例4．已右函数f(x)=是奇函数，解关于x的不等式；＜m，
先根据f(x)为奇函数，求得a=－1，从而求得=log2，x∈(－1，1).
不等式即＜2m，0＜＜2m+1， －1＜x＜1－
例5．当点P（x，y）在函数f(x)=loga(x－3a)（a＞0且a≠1）的图像上运动时点Q（x－2a，－y）运动的轨迹为函数，函数y=g(x)的图像
（1）写出g(x)的解析式；
（2）若当a∈(0，1)，x∈[a+2，a+3]时，≤1恒成立，试确定a的取值范围。
解：当P（x，y）为g(x)图像上任一点时，P/(x+2a，－y)在f(x)图象上故有－y=loga(x+2a－3a)得出
f(x)= －loga(x－a)
=≤1要恒成立，应有
，当x∈[a+2，a+3]时恒成立.
y=(x－5a)(x－a)在(3a，+∞)单调递增，而圆a∈(0，1)知a+2＞3a.故
，解得a∈
例6．已知函数f(x)的图像与曲线C关于y轴对称，把曲线C按向量(－1，0)平移后，恰为函数y=的图像.
（1）求y=f(x)的解析式及其定义域；
（2）若1＜a＜b，f(a)＜f()，则a＜2＜b；
（3）在（2）中，若f(b)=2f()，则4＜b＜3+
（1）先把y=按=（1，0）平移，得到曲线C的解析式：y=
∴f(x)=，定义域为（1，+∞）
当x∈时，f(x)=－log2(x－1)单调递减；当x≥2时，f(x)=log2(x－1)单调递增。
（2）条件即===
又1＜a＜b，故a≠b ∴=b－1.
∴b－1＞1，a－1∈（0，1） 从而a＜2＜b；
（3）－1=（a－1+b－1）=（+b－1）＞1（∵b－1＞0）
∴log2(b－1)=2log2（+b－1），令 =t＞1，则t4－2t3+1=0
约去t－1（C≠0） t5－t2－t－1=0
证g(t)=t3－t2－t－1，g()=2－4＜0，g()=(1+)－(3+)＞0
g/(t)=3t2－2t－1，当t＞1或t＜－为正.
说明g(t)在单调递增
令t＞1 ∴t∈(，) 即b∈（4，3+）.
巩固练习
1．y=f(1－3x)的图像不能由y=f(x)经由下列变换中的（ ）得到
（A）向右平移1个单位，每点纵坐标不变，横坐标变为原来的－
（B）每点纵坐标不变，横坐标变为原来的－，向右平移1个单位；
（C）绕y轴旋转1800，左移1个单位后每点纵坐标不变，横坐标变为原来的
（D）绕y轴旋转1800，每点纵坐标不变，横坐标变为原来的，右移.
2．已知y=f(x)是奇函数，在（－∞，0）上单调递减，则函数y=f(1－)满足（ ）
（A）是奇函数在（－∞，－）单调递增.
（B）是增函数在（－∞，－）单调递减
（C）不是奇函数，也不是偶函数，在（－∞，－）单调递减
（D）是偶函数在（－∞，0）单调递减
3．作函数y=的草图
4．设函数f(x)是k上的增函数，若不等式f(1－ax－ax2)＜f(2－a)对于任意的，x∈[0，1]都成立，求a的取值范围.
5．已知f(x)=是奇函数
（1）求a、b的值
（2）判断f(x)的单调区间，并加以证明。
（3）求f(x)的值域
6．函数y=f(x)定义在非零实数集上，且对定义域内任意的x1，x2，都有f(x1，x2)=f(x1)+f(x2)，试判断y=f(x)的奇偶性
7．已知y=f(x)是k上的偶函数，当x≤－1时，图像为斜率为1，经过（－2，0）点的射线，又知图像的后部分是以（0，2）为顶点过（－1，1）的抛物线的一部分，求函数y=f(x)的解析式.
8．x、y∈[－，]，且，求cos(+y)的值.
9．已知y=f(x)是k上的偶函数，f(－x)=f(+x)；对任意的x1、x2∈[0，]，都有f(x1+x2)=f(x1)(x2)，且f(1)=a＞0
（1）求f()、f()的值.
（2）若在[0，1]上f(x)是基本初等函数，求其解析式.
10．设f(x)=－ax（a＞0）
（1）解不等式：f(x)≤1
（2）求a的取值范围，使函数y=f(x)在上单调.
11．设f(x)定义在（0，1）上，函数值恒正，对任意的x1，x2∈（0，1），恒有=≤2 。
（1）求证：对任意的x∈（0，1），恒有f(x)=f(1－x)
（2）求函数g(x)= 的值域和单调性
12．定义在R上的函数f(x)满足：f(a+b)≡f(a)+f(b)，（a，b为任意实数），又当f＞0时，f(t)＜0
①求f(0)，并判断f(x)的奇偶数；
②若f(1)=－2，求f(x)当x∈[－3，3]时的取值范围.
参考答案
1．B
2．B
3．y=
4．1－ax－ax2＜2－a.
即ax2+ax+1－a＞0
当a=0时，即1＞0，当然成立
当a＜0时，须 ， ∴a∈(－1，0)
当a＞0时，须△≤0， 即a∈[0，]
或，即a∈(，1)， ∴a∈
总之，a∈（－1，1）
解法二 1－ax－ax2＜2－a， 即a(x2+x－1)＞－1 ①
当x=时，x2+x－1=0 ①式当然成立.
当x∈时，a＜，此时右边∈[1，+∞]
∴a＜+1，
当x∈时，a＞，此时右边∈
∴a＞－1，
总之，a∈（－1，1）.
5．（1）∵f(x)是奇函数，∴+≡0.
化简得(a+b)x2+a≡0. ∴，即a=b=0.
（2）由（1）知f(x)=
对任意的x1＜x2，y1－y2=,易知，
当x1，x2∈或时，y1－y2＞0，而当x1，x2∈[－1，1]时，y1－y2＜0，故f(x)在[－1，1]上单调递增，而在及单调递减.
(3)∵x2+1≥2，∴∈[－，].
6．令x1=x2=1，知f(1)=0，令x1=x2=－1，知f(－1)=0
令x1=x，x2=－1，知f(－x)=f(x)，∴f(x)为偶函数
7．当x≤－1时，f(x)=x+2，故当x≥1时，因f(x)为偶函数，故f(x)=f(－x)= －x+2；
当x∈（－1，1）时，y=ax2+2，过（－1，1），∴a=1
∴f(x)=
8．由已知+=(－2y)3+ε·(－2y)=2a.
又函数f(t)=t3+sint在[－，]单调递增。
∴x=－2y， ∴+y=0， cos（+y）=1,
9.由已知，f[1+(－x)]=f[1－(－x)]，知f(1+x)=f(1－x)
x=1是y=f(x)图像的一条对称轴，∵f(x)为偶函数，
∴f(x)=f(－x)=f[1－(x+1)]=f[1+(x+1)]=f(x+2)
∴f(x)为周期函数，T=2为其一周期.
（1）a=f(1)=f(+)=[f()]2， ∴f()=±，但f()=f(+)=[f()]2，∴f()=，类似地f()=.
（2）基本初等函数中，仅指数函数满足f(x1+x2)=f(x1)f(x2)
∴在x∈[0，1]时，f(x)=ax，从而当x∈[－1，0]时，f(x)=a—x
当x∈[2k－1，2k+1] （k∈Z）时，
f(x)=
10．（1）令－ax≤1，则≤ax+1，同解于
10，当a∈(0，1)时，即，∴x∈[0，]，
20，当a∈（1，+∞）时，即，
∵－(－)=＜0，∴x∈
30， 当a=1时，即，∴∈
（2）f(x)=
∵y=+ax（x∈），当a＞0时值，恒正且单调递增
而当a=1时，y=(1－a2)x2+1≡1，为正常数，
当a＞1时，y=(1－a2)x2+1在单调递减
∴当a≥1时，原函数y=f(x)在单调递减
当a∈（0，1）时，由（1）知f(0)=f()=1
不可能在上单调
∴a∈
11．(1)当x∈（0，1）时，1－x∈(0，1)，令x1=x，x2=1－x，由
已知有+≤2
但因f(x)＞0，∴＞0，∴+≥2
∴+=2，且=
∴f(x)=f(1－x)=1
（2） 由（1）知，当x∈（0，1）时，f(x)=1，∴g(x)=，在（0,1）单调递减
g(x)∈（1，+∞）
12． （1）令a=b=0，知f(0=2f(0)) ∴f(0)=0
令b=－a，则有f(0)=f(a)+f(－a)=0，∴f(－a)= －f(a)
∴f(x)为奇函数
（2）令b＞0，则f(a+b)=f(a)+f(b)＜f(a)，故f(x)单调递减
又f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)= －6
∴当x∈[－3，3]时，f(x)∈[－6，6]
六、附录
例1．（1）令1+cosx+sinx=0，即2cos2+2sincos=0
cos(cos+sin)=0，cos=0或tan=－1
x=(2x+1)π或x=2kπ－，（k∈Z）
故原函数定义域为 关于原点不对称，∴f(x)既非奇函数，也非偶函数
(2) f(－x)=+=－=－=+=f(x)
∴f(x)为偶函数
例2．对任意的x∈R，必存在整数k，使x∈[2k，2k+2]，则－x∈[－2k－2，－2k]，
又T=2，∴2k亦为f(x)的周期，∴f(x)=f(x－2k)=
f(－x)=f(－x+2k+2)== =f(x)
∴f(x)为偶函数
例3．g(x)=log2x，当a＞1时，△ABC的面积可看作梯形AA/B/B与梯形BB/C/C的面积之和减去梯形AA/C/C的面积. （A/、B/、C/分别为A、B、C在x轴上的射影）
∴f(a)=×4+×4－×8=2log2，（a＞1）
∵ =1+在（1，+∞）单调递减，故取值范围为（1，），从而f(a)在(1，+∞)单调递减，值域为（0，4(log25－log2)）.
例4．∵f(x)为奇函数，∴+=0，即
（1+a）(2x+1)≡0，∴a=－1，f(x)=，
∴x∈（－1，）
例5．（1）设Q（x，y）为g(x)图像上任意一点，则(x+2a，－y)在f(x)图像上，故有
－y=loga(x+2a－3a)，即y=loga
（2）=≤1 当x∈[a+2，a+3]
时恒成立，即当x∈[a+2，a+3]时，恒有
∵y=(x－3a)(x－a)在（3a，+∞）单调递增，而a∈(0，1)时，
a+2＞3a，所以
解得a∈
例6．（1）把y=的图像向右平移1个单位，故曲线C之解析式为
y==
f(x)的图象与曲线C关于y轴对称，∴f(x)= (x＞1)
（2）当x∈时，f(x)单调递减，当x∈时，f(x)单调递增.
f(a)=f() 即==
又1＜a＜b，故=b―1 ，b―1＞1，a－1∈（0，1）
∴a＜2＜b
（3） f(b)=2f()，即=2
∵b－1＞1，a－1=，且b－1≠1 ∴=log2(b－1)，
2=2=2
=2log2(+b－1).
∴log2(b－1)=log2(+b－1)， =（+b－1）
证 t=＞0，即知t4―2t3+1=0，∵t―1≠0
∴g(1)=t3―t2―t―1=0
∵g()=2―4＜0，g()=[(2+)―1]―[(2+)+1]= (1+)―(3+)=―
=－＞0
g/(t)=3t2―2t―1 当t＞1时为正，∴t∈(，)
即b∈(4，3+)
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2005-2006年高3第一轮复习----直线和圆的方程
一、复习要求
1、 直线方程的五种表现形式，如何求直线方程；二元一次不等式的几何意义及运用。
2、圆的方程三种形式，如何求圆的方程。
3、直线和圆位置关系的研究。
二、学习指导
1、 曲线和方程是中学数学的两种常见研究对象。借助于平面直角坐标系，形和数可以得到高度的统一，它们最基本的对应关系是点和有序数对的一一对应。当点运动形成轨迹时，对应坐标便会满足一个方程。当曲线C和方程F(x，y)=0满足如下关系时：①曲线C上点的坐标都是方程F(x，y)=0的解；②以方程F(x，y)=0的解为坐标的点都在曲线C上，则称曲线C为方程F(x，y)=0表示的曲线；方程F(x，y)=0是曲线C表示的方程。从集合角度看，点集（曲线）与方程解集相等。解析几何研究的内容就是给定曲线C，如何求出它所对应的方程，并根据方程的理论研究曲线的几何性质。其特征是以数解形。坐标法是几何问题代数化的重要方法。
2、 直线的倾斜角α和斜率k是描述直线位置的重要参数，它们之间关系是正切函数关系：
k=tanα，α∈[0，，当α=时，直线斜率不存在，否则由α求出唯一的k与之对应。
当已知k，求倾斜角α时：k≥0时，α=arctank；k<0时，α=π+arctank。
或：k=0时，α=0；k≠0时，cotα=,α=arccot。
由正切函数可知，当α∈（0，），α递增时，斜率k→+∞。当α∈（，π），α递减时，斜率k→-∞。
当涉及到斜率参数时，通常对k是否存在分类讨论。
3、直线是平面几何的基本图形，它与方程中的二元一次方程Ax+By+C=0（A2+B2≠0）一一对应。
从几何条件看，已知直线上一点及直线方向与已知直线上两点均可确定直线；从对应方程看，直线方程两种典型形式：点斜式（斜截式），两点式（截距式），因此求直线方程，常用待定系数法。即根据题意，选择方程的适当形式；由已知条件，列关于参数的方程（组）。
当点P(x0，y0)在直线Ax+By+C=0上时，其坐标满足方程Ax0+By0+C=0；当P不在直线Ax+By+C=0上时，Ax0+By0+C≠0，即Ax0+By0+C>0或Ax0+By0+C<0。这就是二元一次不等式的几何意义：二元一次不等式Ax+By+C>0（或<0）表示直线Ax+By+C=0上方或下方区域，其具体位置的确定常用原点（0，0）代入检验。利用此几何意义，可以解决一类二元函数的最值问题。这就是线性规划的内容。
因直线与二元一次方程Ax+By+C=0（A2+B2≠0）一一对应，即由有序数组（A，B，C）确定，因此研究直线与直线之间的位置关系就是考察直线对应的数组间关系。
设直线 1：A1x+B1y+C1=0（A12+B12≠0），直线 2：A2x+B2y+C2=0（A22+B22≠0）
则： 1∥ 2
1与 2相交A1B2≠A2B1
其夹角公式为，其中k1，k2分别表示 1及 2斜率，当 1或 2斜率不存在时，画图通过三角形求解， 1与 2夹角为θ∈（0，]
特例： 1⊥ 2A1A2+B1B2=0（此时不能用夹角公式求解）
利用点P(x0，y0)到直线 ：Ax+By+C=0的距离公式d=可以求出两平行直线：Ax+By+C1=0，Ax+By+C2=0（C1≠C2）间的距离d=。
4、当直线位置不确定时，直线对应的方程中含有参数。含参数方程中有两种特殊情形，它们的对应的直线是有规律的，即旋转直线系和平行直线系。
在点斜式方程y-y0=k(x-x0)中，当（x0，y0）确定，k变化时，该方程表示过定点（x0，y0）的旋转直线系，当k确定，(x0，y0)变化时，该方程表示平行直线系。
这些直线系还有其它表示形式：
（1） 已知直线 ：Ax+By+C=0，则
方程Ax+By+m=0（m为参数）表示与 平行的直线系；方程-Bx+Ay+n=0（n为参数）表示与 垂直的直线系。
（2）已知直线 1：A1x+B1y+C=1=0，直线 2：A2x+B2y+C2=0，则方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0表示过 1与 2交点的直线系（不含 2）
掌握含参数方程的几何意义是某种直线系，不仅可以加深数形结合的思想，还可以优化解题思想。
5、圆与二元二次方程一一对应，这些二元二次方程方程特征为：（1）二次项中无xy交叉项；（2）x2，y2项前面系数相等；（3）x，y的一次项系数D，E及常数项F满足D2+E2-4F>0。
圆方程常见形式：（1）标准式：(x-a)2+(y-b)2=R2（R>0），其中（a，b）为圆心，R为半径；（2）一般式：x2+y2+Dx+Ey+F=0；（3）参数式：(x-a)2+(y-b)2=R2（R>0）的参数式为：x=a+Rcosθ，y=b+Rsinθ，其中θ为参数，表示旋转角，参数式常用来表示圆周上的点。
求圆方程的原理与求直线方程完全类似。
直线和圆位置关系及圆和圆位置关系常借助于平面几何知识，而不采用方程组理论（△法）。
6、对称是平面几何的基本变换。在掌握点关于点及直线对称的基础上，理解曲线与曲线之间的中心对称及轴对称。善于利用对称的知识解题。
7、本章主要思想方法：数形结合，分类讨论，函数与方程，等价变换等。
三、典型例题
例1、已知定点P（6，4）与定直线 1：y=4x，过P点的直线 与 1交于第一象限Q点，与x轴正半轴交于点M，求使△OQM面积最小的直线 方程。
分析：
直线 是过点P的旋转直线，因此是选其斜率k作为参数，还是选择点Q（还是M）作为参数是本题关键。
通过比较可以发现，选k作为参数，运算量稍大，因此选用点参数。
设Q（x0，4x0），M（m，0）
∵ Q，P，M共线
∴ kPQ=kPM
∴
解之得：
∵ x0>0，m>0
∴ x0-1>0
∴
令x0-1=t，则t>0
≥40
当且仅当t=1，x0=11时，等号成立
此时Q（11，44），直线 ：x+y-10=0
评注：本题通过引入参数，建立了关于目标函数S△OQM的函数关系式，再由基本不等式再此目标函数的最值。要学会选择适当参数，在解析几何中，斜率k，截距b，角度θ，点的坐标都是常用参数，特别是点参数。
例2、已知△ABC中，A（2，-1），B（4，3），C（3，-2），求：
（1）BC边上的高所在直线方程；（2）AB边中垂线方程；（3）∠A平分线所在直线方程。
分析：
（1）∵ kBC=5
∴ BC边上的高AD所在直线斜率k=
∴ AD所在直线方程y+1=(x-2)
即x+5y+3=0
（2）∵ AB中点为（3，1），kAB=2
∴ AB中垂线方程为x+2y-5=0
（3）设∠A平分线为AE，斜率为k，则直线AC到AE的角等于AE到AB的角。
∵ kAC=-1，kAB=2
∴
∴ k2+6k-1=0
∴ k=-3-（舍），k=-3+
∴ AE所在直线方程为(-3)x-y-2+5=0
评注：在求角A平分线时，必须结合图形对斜率k进行取舍。一般地涉及到角平分线这类问题时，都要对两解进行取舍。也可用轨迹思想求AE所在直线方程，设P(x，y)为直线AE上任一点，则P到AB、AC距离相等，得，化简即可。还可注意到，AB与AC关于AE对称。
例3、（1）求经过点A（5，2），B（3，2），圆心在直线2x-y-3=0上圆方程；
（2）设圆上的点A（2，3）关于直线x+2y=0的对称点仍在这个圆上，且与直线x-y+1=0相交的弦长为，求圆方程。
分析：
研究圆的问题，既要理解代数方法，熟练运用解方程思想，又要重视几何性质及定义的运用，以降低运算量。总之，要数形结合，拓宽解题思路。
（1） 法一：从数的角度
若选用标准式：设圆心P（x，y），则由|PA|=|PB|得：(x0-5)2+(y0-2)2=(x0-3)2+(y0-2)2
又2x0-y0-3=0
两方程联立得：，|PA|=
∴ 圆标准方程为(x-4)2+(y-5)2=10
若选用一般式：设圆方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，则圆心（）
∴
解之得：
法二：从形的角度
AB为圆的弦，由平几知识知，圆心P应在AB中垂线x=4上，则由得圆心P（4，5）
∴ 半径r=|PA|=
显然，充分利用平几知识明显降低了计算量
（2） 设A关于直线x+2y=0的对称点为A’
由已知AA’为圆的弦
∴ AA’对称轴x+2y=0过圆心
设圆心P（-2a，a），半径为R
则R=|PA|=(-2a-2)2+(a-3)2
又弦长，
∴
∴ 4(a+1)2+(a-3)2=2+
∴ a=-7或a=-3
当a=-7时，R=；当a=-3时，R=
∴ 所求圆方程为(x-6)2+(y+3)2=52或(x-14)2+(y+7)2=244
例4、已知方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0表示一个圆，（1）求实数m取值范围；（2）求圆半径r取值范围；（3）求圆心轨迹方程。
分析：
（1）m满足[-2(m+3)]2+[2(1-4m2)]2-4(16m4+9)>0，即7m2-6m-1<0
∴
（3） 半径r=
∵
∴ 时，
∴ 0（3）设圆心P（x，y），则
消去m得：y=4(x-3)2-1
又
∴
∴ 所求轨迹方程为(x-3)2=(y+1)（）
例5、如图，过圆O：x2+y2=4与y轴正半轴交点A作此圆的切线 ，M为 上任一点，过M作圆O的另一条切线，切点为Q，求△MAQ垂心P的轨迹方程。
分析：
从寻找点P满足的几何条件着手，着眼于平几知识的运用。
连OQ，则由OQ⊥MQ，AP⊥MQ得OQ∥AP
同理，OA∥PQ
又OA=OQ
∴ OAPQ为菱形
∴ |PA|=|OA|=2
设P(x，y)，Q(x0，y0)，则
又x02+y02=4
∴ x2+(y-2)2=4（x≠0）
评注：一般说来，当涉及到圆的切线时，总考虑过焦点的弦与切线的垂直关系；涉及到圆的弦时，常取弦的中点，考虑圆心、弦的中点、弦的端点组成的直角三角形。
同步练习
（1） 选择题
1、 若直线(m2-1)x-y+1-2m=0不过第一象限，则实数m取值范围是
A、-12、 已知直线2x+y-2=0和mx-y+1=0的夹角为，则m值为
A、 或-3 B、-3或 C、-3或3 D、或3
3、 点P在直线x+y-4=0上，O为原点，则|OP|的最小值是
A、 2 B、 C、 D、
4、 过点A（1，4），且横纵截距的绝对值相等的直线共有
A、 1条 B、2条 C、3条 D、4条
5、 圆x2+y2-4x+2y+C=0与y轴交于A、B两点，圆心为P，若∠APB=900，则C的值是
A、 -3 B、3 C、 D、8
6、若圆(x-3)2+(y+5)2=r2上有且只有两个点到直线4x-3y-2=0距离等于1，则半径r取值范围是
A、 （4，6） B、[4，6） C、（4，6] D、[4，6]
7、将直线x+y-1=0绕点（1，0）顺时针旋转后，再向上平移一个单位，此时恰与圆x2+(y-1)2=R2相切，则正数R等于
A、 B、 C、1 D、
8、 方程x2+y2+2ax-2ay=0所表示的圆
A、关于x轴对称 B、关于y轴对称
C、关于直线x-y=0对称 D、关于直线x+y=0对称
（2） 填空题
9、直线ax+by+c=0与直线dx+ey+c=0的交点为（3，-2），则过点（a，b），（d，e）的直线方程是___________________。
10、 已知{(x，y)|(m+3)x+y=3m-4}∩{(x，y)|7x+(5-m)y-8=0}=φ，则直线(m+3)x+y=
3m+4与坐标轴围成的三角形面积是__________________。
11、 已知x，y满足，则x-y的最大值为________，最小值为________。
12、 过点A（2，1），且在坐标轴截距相等的直线方程是_________________。
13、 已知圆：(x-1)2+y2=1，作弦OA，则OA中点的轨迹方程是__________________。
（3） 解答题
14、 已知y=2x是△ABC中∠C平分线所在直线方程，A（-4，2），B（3，1），求点C坐标，并判断△ABC形状。
15、 已知n条直线：x-y+ci=0（i=1，2，…，n），其中C1=，C116、 已知与曲线C：x2+y2-2x-2y+1=0相切的直线 交x、y轴于A、B两点，O为原点，|OA|=a，|OB|=b，a>2，b>2，（1）求证：(a-2)(b-2)=2；（2）求线段AB中点的轨迹方程；（3）求△AOB面积的最小值。
17、 已知两圆x2+y2=4和x2+(y-8)2=4，（1）若两圆分别在直线y=x+b两侧，求b取值范围；（2）求过点A（0，5）且和两圆都没有公共点的直线的斜率k的范围。
18、当0参考答案
（一）1、D 2、C 3、C 4、C 5、A 6、A 7、B 8、D
（二）9、3x-2y+C=0 10、2 11、6，-5 12、x+y=3或x-2y=0
13、（x≠0）
（三）14、C（2，4），∠C=900
15、（1） （2） （3）n3
16、（1）利用圆心到直线距离等于半径
（2）(x-1)(y-1)=(x>1，y>1)
（3）
17、（1）画图 3≤b≤5
（2）k∈（）
18、
12
1江苏省扬中高级中学高三数学组 2005.10
2005-2006年高3第一轮复习----不等式
一、复习要求
1、 不等式的概念及性质；
2、不等式的证明；
3、不等式的解法；
4、不等式的应用。
二、学习指导
1、 不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础。不等式的基本性质有：
（1） 对称性或反身性：a>bb（2） 传递性：若a>b，b>c，则a>c；
（3） 可加性：a>ba+c>b+c，此法则又称为移项法则；
（4） 可乘性：a>b，当c>0时，ac>bc；当c<0时，ac不等式运算性质：
（1） 同向相加：若a>b，c>d，则a+c>b+d；
（2） 正数同向相乘：若a>b>0，c>d>0，则ac>bd。
特例：（3）乘方法则：若a>b>0，n∈N+，则；
（4）开方法则：若a>b>0，n∈N+，则；
（5） 倒数法则：若ab>0，a>b，则。
掌握不等式的性质，应注意：
（1） 条件与结论间的对应关系，如是“”符号还是“”符号；
（2） 不等式性质的重点是不等号方向，条件与不等号方向是紧密相连的。
2、均值不等式；利用完全平方式的性质，可得a2+b2≥2ab（a，b∈R），该不等式可推广为a2+b2≥2|ab|；或变形为|ab|≤；
当a，b≥0时，a+b≥或ab≤.
在具体条件下选择适当的形式。
3、不等式的证明：
（1） 不等式证明的常用方法：比较法，公式法，分析法，反证法，换元法，放缩法；
（2） 在不等式证明过程中，应注重与不等式的运算性质联合使用；
（3） 证明不等式的过程中，放大或缩小应适度。
4、 不等式的解法：
解不等式是寻找使不等式成立的充要条件，因此在解不等式过程中应使每一步的变形都要恒等。
一元二次不等式（组）是解不等式的基础，一元二次不等式是解不等式的基本题型。利用序轴标根法可以解分式及高次不等式。
含参数的不等式应适当分类讨论。
5、不等式的应用相当广泛，如求函数的定义域，值域，研究函数单调性等。在解决问题过程中，应当善于发现具体问题背景下的不等式模型。
用基本不等式求分式函数及多元函数最值是求函数最值的初等数学方法之一。
研究不等式结合函数思想，数形结合思想，等价变换思想等。
三、典型例题
例1、 已知f(x)=ax2-c，-4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5，试求f(3)的取值范围。
分析：
从条件和结论相互化归的角度看，用f(1)，f(2)的线性组合来表示f(3)，再利用不等式的性质求解。
设f(3)=mf(1)+nf(2)
∴ 9a-c=m(a-c)+n(4a-c)
∴ 9a-c=(m+4n)a-(m+n)c
∴
∴
∴ f(3)=
∵ -4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5
∴ ≤≤,≤≤
∴ -1≤f(3)≤20
说明：
1、本题也可以先用f(1)，f(2)表示a，c，即a=[f(2)-f(1)]，c=[f(2)-4f(1)]，然后代入f(3)，达到用f(1)，f(2)表示f(3)的目的。
2、本题典型错误是从-4≤a-c≤-1，-1≤4a-c≤5中解出a，c的范围，然后再用不等式的运算性质求f(3)=9a-c的范围。错误的原因是多次运用不等式的运算性质时，不等式之间出现了不等价变形。
2、 本题还可用线性规划知识求解。
例2、 设a>0，b>0，求证：≥。
分析：
法一：比差法，当不等式是代数不等式时，常用比差法，比差法的三步骤即为函数单调性证明的步骤。
左-右=
≥0
∴ 左≥右
法二：基本不等式
根据不等号的方向应自左向右进行缩小，为了出现右边的整式形式，用配方的技巧。
∵ ≥
≥
∴ 两式相加得：≥
例3、 设实数x，y满足y+x2=0，0分析：
∵ ≥，≤，0∴ ≥
∴ ≥
∴ ≤
说明：本题在放缩过程中，利用了函数的单调性，函数知识与不等式是紧密相连的。
例4、已知a，b为正常数，x，y为正实数，且，求x+y的最小值。
分析：
法一：直接利用基本不等式：≥当且仅当，即时等号成立
说明：为了使得等号成立，本题利用了“1”的逆代换。
法二：消元为一元函数
途径一：由得
∴
∵ x>0，y>0，a>0
∴ 由>0得y-b>0
∴ x+y≥
当且仅当，即时，等号成立
途径二：令，，∈（0，）
∴ ，
∴ x+y=≥
当且仅当时，等号成立
说明：本题从代数消元或三角换元两种途径起到了消元作用。
例5、已知f(x)=-3x2+a(6-a)x+b
（1） 解关于a的不等式f(1)>0；
（2） 当不等式f(x)>0的解集为（-1，3）时，求实数a，b的值。
分析：
（1） f(1)=-3+a(6-a)+b=-a2+6a+b-3
∵ f(1)>0
∴ a2-6a+3-b<0
△ =24+4b
当b≤-6时，△≤0
∴ f(1)>0的解集为φ；
当b>-6时，
∴ f(1)>0的解集为
（2）∵ 不等式-3x2+a(6-a)x+b>0的解集为（-1，3）
∴ f(x)>0与不等式(x+1)(x-3)<0同解
∵ 3x2-a(6-a)x-b<0解集为（-1，3）
∴
解之得
例6、设a，b∈R，关于x方程x2+ax+b=0的实根为α，β，若|a|+|b|<1，求证：
|α|<1，|β|<1。
解题思路分析：
在不等式、方程、函数的综合题中，通常以函数为中心。
法一：令f(x)=x2+ax+b
则 f(1)=1+a+b>1-(|a|+|b|)>1-1=0
f(-1)=1-a+b>1-(|a|+|b|)>0
又∵ 0<|a|≤|a|+|b|<1
∴ -1∴
∴ f(x)=0的两根在（-1，1）内，即|α|<1，|β|<1
法二：∵α+β=-a，αβ=b
∴ |α+β|+|αβ|=|α|+|β|<1
∴ |α|-|β|+|α||β|<|α+β|+|αβ|<1
∴（|α|-1）（|β|+1）<0
∵ |β|+1>0
∴ |α|<1
同理：|β|<1
说明：对绝对值不等式的处理技巧是适度放缩，如|a|-|b|≤|a+b|及|b|-|a|≤|a±b|的选择等。
例7、某人乘坐出租车从A地到乙地，有两种方案：第一种方案，乘起步价为10元，每km价1.2元的出租车；第二种方案，乘起步价为8元，每km价1.4元的出租车，按出租车管理条例，在起步价内，不同型号的出租车行驶的里路是相等的，则此人从A地到B地选择哪一种方案比较适合？
分析：
设A地到B地距离为mkm，起步价内行驶的路为akm
显然，当m≤a时，选起步价为8元的出租车比较合适
当m>a时，设m=a+x（x>0），乘坐起步价为10元的出租车费用为P(x)元，乘坐起步价为8元的出租车费用为Q(x)元，则P(x)=10+1.2x，Q(x)=8+1.4x
∵ P(x)-Q(x)=2-0.2x=0.2(10-x)
∴ 当x>0时，P(x)当x<10时，P(x)>Q(x)，此时选起步价为8元的出租车比较合适
当x=10时，此时两种出租车任选
同步练习
（1） 选择题
1、“a>0且b>0”是“≥”的
A、充分而非必要条件 B、必要而非充要条件
C、充要条件 D、既非充分又非必要条件
2、设a<0，则关于x的不等式42x2+ax-a2<0的解集为
A、（） B、（） C、（） D、φ
3、 若0A、 B、b C、2ab D、a2+b2
4、 已知x>0，f(x)=，则
A、f(x)≤2 B、f(x)≥10 C、f(x)≥6 D、f(x)≤3
5、 已知，（a>2），则
A、 p>q B、p6、 若|a-c|A、 |a-b|<2h B、|a-b|>2h C、|a-b|h
7、 关于x的方程9x+(a+4)·3x+4=0有解，则实数a的取值范围是
A、 （-∞，-8]∪[0，+∞） B、（-∞，-4）
B、 [-8，4） D、（-∞，-8]
8、 若a>0，b>0，且2a+b=1，则S=2-4a2-b2的最大值是
A、 B、 C、 D、
（2） 填空题
9、 设a>0，b>0，a，b是常数，则当x>0时，函数f(x)=的最小值是______。
10、周长为的直角三角形面积的最大值为__________。
11、记S=，则S与1的大小关系是__________。
12、不等式|x2-2x+3|<|3x-1|的解集为__________。
（3） 解答题
13、要使不等式≤对所有正数x，y都成立，试问k的最小值是多少？
14、解关于x的不等式
15、已知a≠0，求证：≥
16、已知不等式对n∈N+都成立，试求实数a的取值范围。
17、若a是正实数，2a2+3b2=10，求的最值。
18、商店经销某商品，年销售量为D件，每件商品库存费用为I元，每批进货量为Q件，每次进货所需费用为S元，现假定商店在卖完该货物时立即进货，使库存量平均为件，问每批进货量Q为多大时，整个费用最省？
参考答案
（1） 选择题
1、A 2、A 3、B 4、C 5、A 6、A 7、D 8、A
（2） 填空题
9、 10、 11、S<1 12、（1，4）
（3） 解答题
13、
14、当a≤-1时，x∈(-∞，a)∪(-1，2)
当-1当a=2时，x∈(-∞，-1)
当a>2时，x∈(-∞，-1)∪(2，a)
15、当|a|≤|b|时，不等式显然成立
当|a|>|b|时，
左=≥≥
=
16、或
17、，此时
18、
12
2江苏省扬中高级中学高三数学组 2005.10
2005-2006年高3第一轮复习------二次函数的图像与性质
1、 复习指导
一次函数与二次函数在高中数学中占有重要位置，一次函数内容较简单；二次函数虽在初中已学过，但那时遇到的情况较简单，对了二次函数在定义域受限制时的值域、单调区间、二次方程根的分布，二次不等式及它们之间的关系等都未涉及，字母系数的二次函数更是同学们学习的一个难点，所以，应占在新的高度重新认识。
(1)在一元二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，a＞0时开口向上，a＜0时开口向下；c=f(0)是图象在y轴上的截距；对称轴为x=，a、b同号时在左半平面，a、b 异号时在右半平面；判别式△决定了图象与x轴的位置关系：△＜0时，不相交，△=0时，有一个交点(，0)，当△＞0 时，有两交点，两交点间距离(弦点)=；
当a＞0，x∈［m，n］时，若≤m，则f(x)∈［f(m)，f(n)］；若≥n时，f(x)∈［f(n)，f(m)］；若m＜≤，则f(x)∈［，f(n)］；若＜＜n，则f(x) ［，f(m)］.
当a＜0，x∈［m，n］时，若≤m，则f(x)∈［f(n)，f(m)］；若≥n时，f(x)∈［f(m)，f(n)］；若m＜≤，则f(x)∈［f(n)，］；若＜＜n，则f(x)∈［f(m)，］.对一元二次方程f(x)=ax2+bx+c=0(a≠0)，x∈(m，n).
解集为单元素集 f(m)f(n)＜0或 △=0
∈(m，n)；
解集含两个元素 △＞0 △＞0
f(m)＞0 f(m)＜0
f(n)＞0 或 f(n)＜0
∈(m，n) ∈(m，n)
a＞0 a＜0；
解集为空集 △≥0 △≥0
f(m)＞0 或 f(m)＜0
f(n)＞0 f(n)＜0
(m，n) (m，n)
a＞0 a＜0
若既x∈(m，n)为x∈［m，n］，则除去对(m，n)的一般讨论外，要具体关注x=m，x=n的情形.
对一元二次不等式，为简单化、程式化计，我们先使二次项系数变正.(即使a＞0)：
ax2+bx+c＞0 ax2+bx+c＜0
△＜0 R
△=0 ｛｝
△＞0 两根之外(开区间) 两根之间(开区间)
二、典型例题
例1．设二次函数y=f(x)在x=m(m≥0)时有最大值5，二次函数y=g(x)在x=m时值为25，g(x)有最小值－2，又f(x)+g(x)=x2+16x+13. 求m及g(x).
根据条件表达二次函数有三种常见模式可供选择：①当图象通过的已知点较多(三个，至少两个)时，采用一般式：y=ax2+bx+c (a=0).②当已知二次函数图象的顶点(至少知道对称轴)时，常单用的y=a(x－xO)2+yO形式；③如知道相应二次方程f(x)=0的两个根x1，x2. 则采用y=a(x－x1)(x－x2)的形式较简单.
本题中，我们可设f(x)=a(x－m)2+5 ＜ 则g(x)=x2+16x+13－a(x－m)2－5 令x=m知25=m2+16m+8. m=1或－17 (m=－17＜0. 舍去＝
∴g(x)=(1－a)x2+(16+2a)+8－a 令8a－=－2便可求出a的值.
例2 已知函数f(x)=ax2+4x+b ＜，设关于x的方程f(x)=0的两实根为x1、x2，方程f(x)=x的两实根为、.
(1)若a、b均为负整数，且=1.求f(x)的解析式；
(2)若仅a为负整数，且f(1)=0，则1≤＜2.
(3)若＜1＜＜2. 则x1x2＜2.
本题中两个方程：ax2+4x+b=0和ax2+3x+b=0第(1)题中只涉及第二个方程，由已知1=两边平方化简后有a (a+4b)=9. 因a、b故均为负整数，故a+4b也为负整数.
由
a －1 －3 －9
a+4b －9 －3 －1
a －1 －3 －9
b －2 0 2
只有第一组符合题意 ∴f(x)=－x2+△x－2.
第(2)小题中a +4+b=0，故==2=2
=2∈ (这是因为仅a为负整数，b=－(a+4)≥0. a≤－4.
故)
第(3)小题中，记g(x)=ax2+3x+b. 由已知 g(1)=a+3+b＞0 ①
g(2)=4a +6+b＜0 ②
①×2－②式得：
－2a+b＞0 而a＜0. ∴＜2 即x1、x2＜2
例3 已知二次函数f(x)=ax2+bx+c (a＞b＞c)的图象上有两点A(m1，f(m1))、B(m2、f(m2))的坐标满足a2+［f(m1)+f(m2)］a+ f(m1) f(m2)=0, f(1)=0.
(1)求方程f(x)=0另一个根的取值范围；
(2)求证：b≥0；
(3)求证：f(m1+s)与f(m2+3)两数中至少有一个为正数，别一根为：因a＞b＞c，a+b+c=0.知a＞0, c＜0必小于零，又=＞=－2 故另一根∈(－2，0).
由已知 f(m1)、f(m2)中至少有一个等于－a＜0，故f(x)的最小值C－≤－a. 即4ac+4a2=b2. －4ab≤b2. b≥0或b≤－4a. 但若b≤－4a 则c＜b≤－4a. 0=a+b+c＜－7a＜0矛盾. ∴b≥0.
不妨设f(m1)=－a＜0. 则m1∈(－2，1) 于是m1+3∈(1，4)
f(x)在单调增. ∴f(m1+3)＞f(1)=0.
例4 二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象经过点(－1，0)，问是否存在常数a、b、c，使x≤f(x)≤(1+x2)对一切实数都成立？证明你的结论.
由已知，a－b+c =0，a≠0.
原不等式组即 ax2+(b－1)x+c≥0 ①
(2a－1)x2+2bx+2c－1≤0 ②
都成立 当 a=
b=0 时
c≤
①为x2－x+c≥0，其判别式△=1－2c≥1－1=0知a=, b=0, c=时，①、②两式均能恒成立. 但与a－b+c =0矛盾，舍去.
另当 a＞0
(b－1)2－4ac≤0
2a－1＜0
4b2－4(2a－1)(2c－1)≤0
a－b+c =0
∴ a∈(0，)
(a +c)2－2(a+c)+1≤4ac
(a +c)2≤4ac－2(a+c)+1
两不等式相等， (a +c)2≤4ac ∴a=c代回两不等式分别得a≤和 a≥，∴a=c=，从而b=, 故存在唯一一组常数(,,), 满足题没条件.
另：若x≤ax2+bx+c≤(1+x2)恒成立，则当x=1时成立. 1≤a+b+c≤1. 知a+b+c =1，又知a－b+c=0 故b=a+c=.
此时f(x)≥x即ax2－x+－a≥0要恒成立.
故 a＞0 a＞0
－4a(－a)≤0 (a－)2≤0 ∴a=.
从而a=c=, b=.
例5．a、b、c∈R，m∈R，=0. f(x)= ax2+bx+c
(1)若a=0，试判断方程f(x)=0在(0，1)中是否有解；
(2)若a≠0，试证明af()＜0. 并证明方程f(x)=0在(0，1)中必有解.
a=0时，情形比较简单：已知条件即+=0. 方程即bx+c=0. ∵f(0) f (1)=c(b+c)=
c(－+c)= ≤0 知当c≠0时，b≠0在(0,1)中f(x)=0有且只有一解，当c=0时，b应为0，f(x)=0, 在(0,1)中有无数个解.
当a≠0时，af()=a［a +b+c］
=am［++］=am［］
=＜0
当ac＞0时，∵f(0)f()=cf()=(af())＜0. f(x)=0在(0，)中必有一解，故在(0,1)中必有一解；当ac≤0时，f(1)f()=(a+b+c)f()
=(m+1)(++)f()
=(m+1)(+－－)f()
=［－］(af())＜0
∴f(x)=0在（，1）中必有一解，即在(0,1)中必有一解.
综上，f(x)=0在（0，1）中必有解.
巩固练习
1．已知二次函数f(x)当x=时取得最小值－，方程f(x)=0的两根的四次方程为337，
求f(x)的解析式.
2．把函数y=按向量=(－2，－2)平移后得到函数g(x)的图象，已知二次函数f(x)图象
的一部分与y=g－1(x)图象重合，若y= f(x)的图象与直线y=ax+1相切，求切是坐标.
3．已知函数f(x)=ax2+2ax+1 x∈［－3，2］的最大值为4，求其最小值.
4．若f(x)=8x4+8(a－2)x2－a+5恒正，求a的取值范围.
5．若二次函数f(x)=4x2－2(p－2)x－2p2－p+1在［－1，1］中至少存在一实数C，使f(c)＞0，
求P的取值范围.
6．已知二次函数y=f(x)图象的顶点为A，与x轴交y B、C，若f(x)满足f(2+x)=f(2－x).
f(－1)=0. △ABC面积为18，求此二次函数解析式.
7．已知函数f(x)=ax2+a2x+2b－a3
(1)当x∈(－2，6)时，f(x)＞0，而当x∈(－∞，－2)∪(6，+∞)时，f(x)＜0，求a、b的值，
及f(x)表达式；
(2)设F(x)=－f(x)+4(k+1)+2(6k－1). K取何值时，F(∞)恒负？
8．已知函数f(x)=ax2+bx+c
(1)若a+c=0，且x∈［－1，1］时f(x)的最大值为2，最小值为－，则a≠0且＜2；
(2)若a＞0，且P+=1，Pf(x)+f(y)≥f(px+y)恒成立，求p、q的取值范围.
9．二次函数f(x)=ax2+bx+c (a＞0). 已知方程f(x)=x的两个根x1、x2满足0 ＜x1＜x2＜，
(1)当x∈(0，x1)时，必有x＜f(x)＜x1;
(2)设f(x)图象的对称轴为x=xO，则xO＜.
10．一质点运动轨道方程为y=ax2+c (a＞0). 经过点A(0，9). D为x轴上［6，7］原域.
(1) 若质点落在D中，求a的取值范围；
(2)若质点经过点P(2，8.1)，它能否落在D内？说明理由.
参考答案
1．设f(x)=a(x－) 2－. (a＞0)
则f(x)=0两根为±，两根之和为1，两根之积为，由已知，
337=+=(x1+x2)4－4x1x2(x1+x2)2+2(x1x2)2
=1－4()+2()2. 记=t. 则t2－2t－168=0 t=14或－12.
=14或－12 =49或－55（－55舍去）.
∴a=1. f(x)=x2－x－12.
2．g(x)=－2. f(x)=x2+4x+2 与y=ax+1
联立有x2+(4－a)x+1=0
△=(4a)2－4=0 a=6或2， ∴x=1或－1
切点(1，7)或(－1，－1)
3．当a=0时，f(x)≡0 与已知不符.
当a≠0时，f(x)的图象为对称轴是x=－1的抛物线上的一段，当a＜0时，
4=f(－1)=－a+1. ∴a=－3 此时最小值为f(2)=1；当a＞0时，4=f(2)=8a+1. ∴a=. 此时最小值为f(－1)=.
4．记u=x2≥0，则f(x)=g(u)=8u2+8(a－2)u－a+5.
当△=64(a－2)2－32(5－a)＜0 即＜a＜3
或 △≥0
g(0)=5－a＞0 时g(u)＞0
＜0
∴ a∈(，5)
5．解法一：若［－1，1］中所有实数都不满足f(x)＞0. 则应有
f(－1)=4+2(p－2)－2p2－p+1≤0
解得 p≤－3或p≥
f(1)=4－2(p－2)－2p2－p+1≤0
∴符合题意的P的取值范围是(－3，)
解法二，要使［－1，1］中有C，使f(C)＞0, 只要f(1)＞0或f(－1)＞0即可，即p∈(－3，+)或p∈(－，+1) ∴p∈(－3，)
6．设此二次函数解析式为f(x)=a(x－2)2+b 因与x轴相交，故ab＜0，f(－1)=0.
∴f(5)=f(2+3)=f(2－3)=f(－1)=0 ×［5－(－1)］|b|=18. |b|=6. 0=9a+6 ∴a=b
f(x)=－(x－2)+6或(x－2)－6.
7．(1)由已知a＜0且 －a=6－2 a=－4
=6(－2) b=－8
∴f(x)=－4x2+16x+48
(2)F(x)=kx2+4x－2 要恒负 k＜0
16+8＜0
∴k＜－2.
8．(1)(反证法)
反设a=0，则由a+c=0知c=0 f(x)=bx. 为［－1，1］上的奇函数，最大、最小值必互为相反数，与已知矛盾. ∴a≠0；
反设≥2，则f(x) x∈［－1，1］为单调函数，由已知 a+|b|+c=2
a－|b|+c=－
而a+c=0 从而 |b|=2
|b|= 不可能.
∴||＜2.
(2)由题设 p(ax2+bx+c)+E(ay2+by+c)≥a(px+y)2+b(ax+qy)+c恒成立.
即ap(1－p)x2+aq(1－q)y－2xyapq+c(p+q－1)≥0 apq(x－y)2≥0
∴pq≥0 又p+q=1 故p(1－p)≥0 p∈［0,1］
同理 q∈［0,1］
9．(1)设f(x)－x=a(x－x1)(x－x2)
∵x＜x1＜x2, a＞0. ∴a(x－x1)(x－x2)＞0. 即f(x)＞x.
而f(x)－x =a(x1－x)(x2－x)＜a(x1－x)(－0)= x1－x
∴f(x)＜x1
(2)xO=－=－－=－=+(x2－)
10．(1)过(0,9) ∴c=9 f(x)=ax2+9
f(6)=36a+9＞0
∴a∈(－,－)
f(7)=49a+9＜0
(2) 8.1=4a+9 ∴a=－
令－x2+9=0 正根x=2∈(6,7) 故质点可以距在D区域内.
六、附录
例1．设f(x)=a(x－m)2+5 ＜. 则g(x)=x2+16x+13－a(x－m)2－5. 令x=m,
g(m)=m2+16m+8=25. ∴m=1或－17.(－17舍去) ∴g(x)=(1－a)x2+2(8+a)x+8－a
令8－a－=－2 解得a=－2.
∴m=1. g(x)=3x2+12x+10
例2．(1)方程ax2+3x+b=0中，1=－. y是有a(a+4b)=9. 又a、b故为负整数，故a与a+4b均为负整数，且a＞a+4b. 故a=－1. a+4b=－9. 从而a=－1, b=－2.
f(x)=－x2+4x－2.
(2)由f(1)=0和a+b=－4. a为负整数， 故b亦为整数，且b=－a－4≥0， a≤－4，∈(－，0)
∴|x1－x2|===2=2|+1|∈
(3)记g(x)=ax2+3x+b 要使 ＜1＜＜2，应有
g(1)=a+3+b＞0
g(2)=4a+6+b＜0
又a＜0 ∴＜2 ∴x1x2＜2.
例3．(1)由韦达定理，另一根为，
∵f(1)=0. ∴a+b+c=0 又a＞b＞c. ∴a＞0且c＜0
∴＜0 另一方与=－＞=－2
∴另一根∈(－2,0)
(2)由已知f(m1)与f(m2)中至少有一个为－a＜0. f(x)的最小值C－≤－a.
4a(a+c)－b2≤0. 即b2+4ab≥0 ∴b≥0或b≤－4a.
若b≤－4a, 则c＜－4a. a+b+c＜a－8a=－7a＜0. 与已知a+b+c=0矛盾，∴b≥0.
(3)不妨设f(m1)=a1＜0. 则m1∈(－2,1) 于是m1+3∈(1,4)而f(x)在(－∞，)∪(1,+ ∞)均正，∴f(m1+3)＞0.
例4．在x≤f(x)≤中，令x=1，1≤f(1)≤1.
∴a+b+c=1. 又a－b+c=0 故若a、b、c存在必满足a+c=b=.
要ax2+x+(－a)≥x恒成立，即ax2－x+－a≥0恒成立，a＞0. 且－4a(－a)≤0. (a－)2≤0. ∴a=. C=. 此时，x2+x+≤(1+x2)即
∴存在a=c= b= 满足题设条件
例5．见(三)典型例题讲解.
∴
即 3≤a＜5
即
时，两式恒成立
②式恒成立，但此时不等式
要对一切x∈R
知
消去常数 有－2a+b＞0
12
1江苏省扬中高级中学高三数学组 2005.10
2005-2006年高3第一轮复习----平面向量的数量积及其应用
一、学习指导
要深刻理解向量数量积的定义：、=cos＜、＞.它是数（可正、可负，也可以为零），但不是向量，因此，·=·，λ（·）=·λ，·（+）=·=·，·=0（而不是！）特别地，（·）≠·（·），因为左边是与共线的向量，而右边是与共线的向量，除特殊情况外，两者不相等。
我们利用向量的数量积（又称为点积）可以解决向量的夹角问题，特别地，利用向量的数量可以很方便地解决垂直问题，：⊥·=0，（，非零向量）
cos ＜、＞是在上的射影，值得注意的是它仍是一个数（可正，可负，可以为0）而不是向量。
特别地，·=2cos＜·=2，由此，可把点积与模长（距离）挂上钩。
二、典型例题
例1．证明三角形中的射影定理：a=bcosC+ccosB用向量证明一些三角问题，如正弦定理，余弦定理等很方便，但同学们却觉得不好掌握，这里我们再看一个例子。
=+，两边同等，2=·+·=cosB+cosC
两边约去，可得=cosB+cosC，即a=ccosB+bcosC
例2．平面内有四点，O、A、B、C，记=，=，=若++=且·=·=·=－1，试判断△ABC的形状，并求其面积.
千万不能由·=·约得到=，一是过程差无根据，二是合得到A、B、C当同一点的荒谬结论。
也不能由·=·+=·=－1得到===1，从而===1，圆为≠·，前者=|+cos<·＞|≤，等号当且仅当，共线且同面或，中有当者
其他条件当然不是可有可无的，故应出现向量和，于是我们想到·=·和·=·相加，得到了2·=（+）=－(+)2，进而有2=2= 4·=0如无·=－1的条件就做不下去了，故在此时引入有2=2= 4，因原来的条件都是、、的轮换对称式，当然想到2=2= 4和2=2= 4，至此距解决问题已经不远了。
例3．设、分别为方向与x轴，y轴的正向相同的单位向量，A、B、C为同一直线上的三点，O为坐标原点，已知=－2tm，=n+，=5－，又知⊥，求m、n的值.
求m、n两个未知数，有⊥及A、B共线两个条件，代入计算即可.
例4．求证：三角形三角高线交于一点.
设三顶点后，表示出三边向量、、，设a、b两边的高线交点为H，表示、=0和·=0去证·=0，从而说明三高共点.
为减少计算量，当然应当选取合适的坐标系，以一边及其上的高所在直线上为两坐标轴较好。
例5．已知三不共线向量、、两两所成角相等，
且=1，=2，=3，求++的模长及已知三向量间的夹角.
要想把、、两两所成角相等体现出来，我们以同一点O为始点作三有向线段、、两两夹角相等，均为π.
于是要求，只要先求(++)2即可.
例6．已知、是两个非零向量，求证：当⊥(+x)时，|+x|最小.
要求 |+x|最小，等价于求何(+x)2最小.
∵(+x)2=x22+2x·+2三项均为实数且平方项系数2=2＞0，故当x=－时原式有最小值，此处，向量竟与二次函数挂上了钩.
例7．设、为相互垂直的两个单位向量，问是滞存在整数k，使得向量=k+与向量=+k夹角为比？证明你的结论.
已知夹角应使用向量的数量积：cos600=其中===
(因⊥，∴·=0，因、为单位向量，∴2=1，2=1)，如求出k合整值或k无解或无整数解，问题均告解决.
例8．已知、均为非零向量，且==的夹角.
根据公式cos<，+＞==应先求与·的值.
==，也归纳到、上了，且、应通过==，故2=2=(－)2=2+2―2·求出.
例9．求证：菱形的两条对角线互相垂直.
菱形是边长都相等的平行四边形“边长相等”怎么用？对菱形ABCD，记=·=，则=+，=－，·=(+)·(－)=2－2，到此，可看出边长相等的作用了.
例10．单位向量、夹角为1200，求向量=2+3和向量=－2的夹角.
求·，，时，都需用到、应先行计算出来.
巩固练习
1．已知向量=(－1)，=（，）
（1）求证：⊥；
（2）若存在不同时为零的实数k和t，使=+(t2－3) ，=－k+t，且⊥，写出函数关系式k=f(t)；
（3）在（2）中，确定函数k=f(t)的单调区间.
2．已知向量=(cosα，sinα)，=(cosβ，sinβ)又知=其中k＞0
（1）用k表示、.
（2）、的最小值，并求此时与的夹角。
3．已知O是△ABC所在平面内一点，且满足2+2=2+2=2+2，求证：O是△ABC的垂足.
4．已知、为两个非零向量，且+3与7－5互相垂直，－4与7－2互相垂直，求与的夹角.
5．（1）已知=2，=1，与夹角为，求+与－2的夹角
（2）已知=4，=3，且（3－）(－2)为最小.
7．A、B、C、D为平面内任意四点，证明2+2+2+2≥2+2
8．a1、a2、b1、b2∈R，求证：·≥.又等号何时成立？
9．△ABC中，AB=AC，D为AB中点，E为△ADC的重心，O为△ABC的外心，求证：OE⊥CD
10．在平面四边形ABCD中，记=，=，=，=，若·=·=·=·试判断此四边形形状，并说明理由。
参考答案
1．（1）∵·=（，－1），（，）=－=0，∴⊥
（2）∵⊥，∴[+(t2—3)]·[－k+t]=0
―k2+t(t2―3)2+[t―k(t2―3)] ·=0
―4k+t(t2―3)=0. ∴k=t(t2―3)
（3）令k/=t2－＞0，t＞1或t＜－1.
故f(t)的单调递增区间为和 单调递减区间为[－1，1]
2．（1）由已知(k+)2=3(－k)2，即(k2－3) 2+(1－3k2)2+(2k+bk) ·=0，整理解得k2―3+1―3k2+8k·=0 ∴·=
（2）k＞0，故·≥=，此时. cosθ== ∴θ=
3．记=，·，=，则=―，=―，=―，则已知条件可表为2+(―)2=2+(－)2=2+(－)2，从而·=·=·
∴·(―)=0，即⊥(－) ⊥
同理，⊥, ∴O为△ABC的垂心.
4．∵(+3)⊥(7－5) ∴(+3)·(7－5)=0
即72－152+16·=0 ①
∵(－3)⊥(7－2) ∴(－4)·(7－2)=0
即72+82－302·=0 ②
②－①23=46·=46cos＜· ③
把·=代入①，知2=2，=，代回③
232=462cos＜，＞ cos(2，)=
∴与夹角为
5．(1)（+2）·(－2)=2－22－·=4―2―2·1cos=1
==，==2
∴cos＜+，－2＞
∴夹角为arccos
（2）由已知0=32+2－7·=66－7·
∴cos＜， ＞===.
夹角为arccos
6．记=，=, =，则=－， =－
PA2+PB2+PC2=2+2=2
=32－2(+)+2+2
当=时,上式有最小值,此时P点恰为重心.
7．记=，=，=则=－，=－，=－，原式中2+(－)2+2+ (－)2≥2+2(－)－2(－)+2≥0. 亦即(－－)2≥0 . 2≥0. 显然成立.
∴原命题成立.
8．=1≤=等号当且仅当＞共线时成立.
记=（a1，a2） =（b1 ，b2）
则左， 右=,∴左≥右.
9．以O为原点，底BC上的高为y轴建立直
角坐标系，记A：（O，R），B：（Rcosθ，Rεθ）
C：（－Rcsoθ，Rsinθ）则D（cosθ，
(1+sinθ) E：（－cosθ，(1+sinθ)）
=(－cosθ，(1+sinθ))
=(Rcosθ，(1+sinθ)
∵·=－cos2θ+(1－sinθ)=0 ∴OE⊥CD
10．∵ABCD为四边形 ∴+++=.
记·=·=·=·=k，则·+·=·+·=2k，即·（+）=·（+）移项，有(－)(+)=0，∴(－)(+)=0，2=2==，同理可证=，∴ABCD为平形四边形，从而k=cos＜，＞=cos＜，＞=∴cos＜，＞=cos＜，＞，∴四外角相同，故ABCD为矩形.
附 录
∵=+，两边同乘以，有2=·+·=|||| cosB+||||cosC 即=|| cosB+|| cosC，亦即a=ccosB+bcosC.
例2．·=· ， ·=·，两式相加得
2·=(+) 又++=. 故有
(+)2=2·=0，2+2+4·=0
由已知·=－1 ∴||2+||2=4
同理||2=||2=4，||2+||2=4，∴||2=||2=||2=2
∴||2=||2=||2=，△ABC为正三角形
S△=()2=.
例3．∵⊥，∴[－2+m]·(n+)=－2n+m=0 ①
又=－7+(m+1)，=(n－5) +22，= ②
由①、②解得或
例4．以AB边所在直线为x轴，AB边上的高所在直线为y轴建立直角坐标系.
记A：（a，0），B（b，0），C（0，c）并记BC边上的
高与y轴交点为H（0，h），则=（－b，h），
=（－b，c） =（－a，c）
∵·=（－b，h）（－a，c）=ab+ch=0..
∴⊥
∴三高AH，CH，BH交于一点.
例5．在平面内取定一点O，作有向线较=，=，=，则，，两两夹角相等，均π，
∵(++)2=2+2+2+2·+2·+2·
=12+22+32+2·1·2cosπ+2·2·3cosπ+2·1·3cosπ=3
∴|++|=
例6．要使最小，即要使(+x)2最小.(+x)2=2+x22+2x·，三项均为实数，且2=2＞0，可看作关于x的二次函数，当x=－亦即∴·+x2=0, ·(a+x)=0，也就是⊥(a+x)时有最小值.
例7． Cos600=cos∠，＞===，
k2－4k+1=0，k=2±，Z
所求整数k不存在.
例8．∵== ∴2=2=(－)2=2+2－2·
故·=2
∴===
cos＜，+＞====
∴与+的夹角为300
例9．对菱形ABCD，记=，=，则=+. =－其中=.
∵·=（+）·（－）=2－2=2－2=0.
∴⊥即对角钱互相垂直.
例10．·=cos1200=－
·=2（2+3）(－2)=2―6―=－
===
∴cos＜，＞==－.故与夹角为π.
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1江苏省扬中高级中学高三数学组 2005.10
2005-2006高3第一轮复习------三角函数的概念、图象、性质
角的定义，弧度制，终边相同的角，象限角，三角函数的定义，各象限三角函数的符号，同角三角函数间关系，诱导公式，三角函数线，三角函数的图象和性质。
二、学习指导
用平面内射线端点旋转的观点定义角，由于运动中存在“向什么方向转”和“转多少”的问题，从而把角的范围扩大到了整个实数集。
用弧长与半径的比值来度量角，单位是统一的——弧度、而无须象角度制那样用分级单位：度、分、秒……，比较先进在数学研究中统统采用它。
把角置于直角坐标系中，同角的终边上非顶点的一点的坐标（x，y）及它列顶点的距离r来定义三角函数，克服了初中时定义的局限性，适应了角的概念的推广，由此定义就可确定各象限角三角函数的符号和同角三角函数间的关系（按记忆法则牢记）以及诱导公式的推导。
根据三角函数的图象记忆三角函数的性质——定义域、值域、对称轴方程，对称中心，奇偶性，单调性，周期性，不仅行之有效，而且有列于对数形结合能力的培养。
三角函数线是作三角函数图象的基础，特别二、三、四象限角的三角函数线是难点之一，应予重视。
三、典型例题讲评
例1．（1）周长为定值m的扇形的最大面积是多少？此时扇形的中心角是多少？
（2）一扇形周长为m，面积为S，这样的扇形是确定的吗？满足怎样的条件，扇形是确定的？此时中心角是多少？内切圆半径是多少？
第（1）小题中可设扇形半径为r，则弧长为m－2r，则其面积S=r(m－2r)的最大值，只要利用二次函数或基本不等式即可求出：
第（2）小题是“开放性问题”，由（1）知，S=r(－r)是关于r的二次方程，如果有实根，两根均正，故可用判解式解决它。
例2．α是第三象限角，是否存在实数m，使关于x的方程8x2+6mx+2m+1=0的两根恰当sinα和cosα？若存在求出相应的m，若不存在，说明理由。
α为第三象限角，故sinα，cosα∈(－1，0)如果这样的m存在，
则故m＞0，由两式消α，9m2－8m－20=0，m=2（－舍去）
若此时不仅使+cosα∈，cosα∈，还使与方程判别式≥0，则此m即为所求，但本领中m=2，－m=－＜－，故不存在.
例3．设sinα+cosα=k，若sin3α+cos3α＜0成立，求k的取值范围.
用k来表示sin3α+cos3α：k(1－)＜0成立，亦即k(k2－3)＞0，同时注意到k=sin(α+) 的取值范围即可求了k的范围.
例4．设函数f (x)满足2f (－sinx)+3f (sinx)= 4sinxcosx（x∈[－，]）
（1）判断f(x)的奇偶性。
（2）求出f(x)的解析式
由2f(－sinx)+3f(ε·x)= 4ε·xcosx，以－x代x，有2f(sinx)+3f(－sinx)=－4sinxcosx两式相加，5(f(－sinx)+f(sinx))=0，知f(x)为奇函数于是原式即f(sinx)= 4sinxcosx，∵x∈[－，] ∴cosx=，∴f(x)=4x x∈[－1，1]
例5．已知函数f(x)=Asinωx+Bcosωx （ω＞0）的最小正周期为2，当x=时，f(x)取得最大值2.
（1）求f(x)的表达式；
（2）在[，]上是否有x0，使x=x0是f(x)的对称轴？
如果存在，求对称轴方程，如不存在，说明理由。
f(x)=sin(ωx+)，其中tan=，由T==2，
知ω=，故+=2kπ+，tan=与=2联立，可解得A、B.
第（2）小题只须写出对称轴的一般方程，看有无合适的k即可。
例6．讨论函数f(x)=cos2(x－α)－2 cos(x－α)cosxcosα+cos2α的奇偶性，周期性，单调性，值域。
本题中把f(x)化简是关键，配方后，利用两角差的余弦公式，做三角题，相关公式要熟记，才能“见景生情”、“浮想联翩”
例7．已知函数f(x)=a+bcosx+csinx的图象过A（0，1）和B（，1）两点，当x∈
[0，]时，恒有≤2，求实数a的取值范围。
当a上述范围内的最大整数值时，若存在实数m、n、，使mf(x)+nf(x－)=1，求m、n、的值
f(x)图象过A、B可求得b与a、c与a的关系。
恒有≤2，即最大值≤2，最小值大于等于－2，可以讨论a与1的大小关系加以解决，也可换无后无作直线段，加以解决（见附录）
后半题一下涌出3个未知数的m、n、，似使人无所适从，因是寻找m、n、，使式子恒成立，故可取n个特殊值，解出m、n、后再以验证。
巩固练习
1．已知函数f(x)=1―2a―2acosx―2sin2x的最小值为f(a).
（1）用a表示f(a)
（2）求使f(a)=的a的值，并对此a求f(x) 最大值.
2．已知函数f(x)=2asin2x－2sinx+a+b的定义域为[0，]值域为[－5，1]求a、b的值.
3．把函数y=sin(π－x)cos(x+)的图象向右平移a（a＞0）个单位后，图象关于直线x=对称。
（1）求a的最小值；
（2）当a取最小值，x∈(π，―π)时，图象上任意两点连线的斜率恒大于零。
4．化简：
（1）tanθtan2θ+tan2θtan3θ+…+tan nθtna(n+1)θ
（2）(1+tan10)(1+tan20)…(1+tan450)
5．若函数y=f(x)图象上每一点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再将图象按=(－，－1)平移，所得新图象的解析式为y=sinx，求f(x)表达式。
6．右图为函数y=Acos(ωx+θ)－B的图象的一
部分，式中A，ω＞0写出该图象的解析式，并
求a的值。
7．求下列函数的值域和单调递增区间。
（1）y=；
（2）y=sinxcosx+sinx+cosx+1
（3）y=log3
8．讨论函数的奇偶性：
（1）y=
（2）y=sin4x－cos4x+cos2x
（3）y=lg
9．函数y=5cos(πx－)对任意实数a，在[a，a+3]上的值出现的次数不少于4次且不多于8次，求k.
10．α、β∈(cos)，x＞0，f(x)=()x+()x，α+β＞是f(x)＜2的什么条件？证明你的结论。
参考答案
1．（1）f(x)=2cos2x－2acosx－2a－1
当∈[－1，1]，即a∈[－2，2]时，f(a)=－2a－1.
当a＞2时，f(a)=2－2a－2a－1=1－4a
当a＜－2时，f(a)=2+2a－2a－1=1
∴f(a)= －－2a－1 x∈[－2，2]
1－4a x∈（2，+∞）
1 x∈（－∞，－2）
（2）令－－2a－1= a=－1或－3 ∴a=－1
令1－4a=, a=＜2， 舍去.
∴a=－1，此时f(x)=2a2x+2ax+1，最大值为2+2+1=5
2．记t=sinx∈[0，1]，f(t)=2at2－2at+a+b的对称轴为t=，故f()=b和f(0)=a+b为其最值，当a＞0时
当a＜0时
3．（1）把函数y=sin(π－x)·cos(x+)=sin[π－(π－x)]cos(x+)=sin(x+π+x)=
sin(2x+)，它关于x=对称，故2×－2a+=kπ+（k∈Z）a=－π+，（k∈Z）a的最小正值为.
（2）此时，y=sin2x x∈(－π，－π).
y/=·cos2x·2=cos2x，∵2x∈(－π，－π)，恒正故比较函数图象上任两点连线斜率恒正。
设学过导数的同学，也可采用如下办法：对任意的－π＜x1＜x2＜－π，
k===
∵x1+x2∈(－π，－π)，∴cos(x1+x2)＞0
∵x2－x1∈（0，），∴sin(x2－x1)＞0.
又x2－x1＞0 ∴k＞0
4．（1）∵tan[(k+1)θ－kθ]=
∴tankθtan(k+1)θ=－1.
分别取k=1，2，…，n，并把这n个式子相加，即得原式=－n=(n+1)。
（2）∵(1+tank0)(1+tan(45－k)0)=1=tank0tan(45－k)0+tank0+tan(45－k)0=1+tank0tan(45－k)0+tan[k+(45－k)]0. (1－tank0tan(45－k)0)=1+tank0tan(45－k)0+tan450(1－tank0tan(45－k)0)=2，又1+tan450=2 ∴原式=223.
5．把y=sinx按=(，1)平移后解析式为y=sin(x－)+1，纵坐标不变，横坐标变为原来的，则其解析式为y=sin(2x－)+1. 也可表示为y=1－cos2x.
6．A==2，B==－1。
y=2cos(ωx+θ)－1.
过原点，故0=2cosθ－1，取θ=或－.
过（，1）故1=2cos(+θ)－1，+θ=2kπ.
ω= 4kπ－2θ（k∈Z）
过（1，0）故0=2cos(ω+θ)－1 *
若θ=，则ω= 4kπ－π，*式为2cos(4kπ－π+)－1=0.成立.
若θ=－，则ω= 4kπ+π，*式为2a(4kπ+π－)－1=0，也成立.
又T=＞2，∴ω＜π，∴ω=π.
f(x)=2cos(πx－)－1.
T==3，∴a=3+1= 4.
7．（1）y==2cosx(1+cosx) （cosx≠1）
∴y∈[－，4]
原函数的单调递增区间，即使cosx∈的单调递减空间和使cosx∈[－，1]的单调递增区间。
∴原函数的单调递增区间为及[2kπ－π，2kπ] （k∈Z）
（2）Y=sin2x+cos(x－)+1=cos(2x－)+cos(x－)+1=cos2(x－)+cos(x－)+∈[0，+]
单调增区间：x－∈[2kπ+π，2kπ+π]或[2kπ－π，2kπ]
即x∈[2kπ+π，2kπ+π]及[2kπ－，2kπ+] (k∈Z)
（3）y=log3=log3tan(x－)∈R.
单调增区间：x－∈(kπ，kπ+)，x∈(kπ+，kπ+π) （k∈Z）
8．（1）y==tan=tan (tan≠－1)
≠kπ+且kπ－，x≠2kπ+π且x≠2kπ－. (k∈Z)。定义域不是关于原点的对称区域，不是奇偶数，也不是偶函数。
（2）y=(sin2x+cosx)(sin2x－cos2x)+cos2x
=－cos2x+cos2x=0
∴f(x)是奇函数，也是偶函数.
（3）定义域：esinx＞e—sinx sinx＞0，x(2kπ，2kπ+π)（k∈Z）不是奇函数，也不是偶函数。
9．
又T==，arccos=
∴2k+1∈， ∴2k+1=7， k=3.
10．充要条件
α+β＞，故α＞－β，两边均∈(0，)，∴sinα＞sin (－β)=cosβ＞0
∴∈(0，1)， 同理∈(0，1)，而x＞0.
∴()x∈（0，1），()x∈(0，1)
∴()x+()x＜2。
类似地，若α+β=，则==1，f(x)=2，若α+β＜，则，均大于1，f(x)＞2.
∴f(x)＜2的充要条件是α+β＞.
六、附录
例1．（1）设扇形半径为r，则弧长为m－2r，于是扇形面积S=r(m－2r)=(2r)(m－2r)≤·()2=，等号当且仅当r=时，此时l=m－=，中心角θ==2.
（2）设扇形半径为r，则S=r(m－2r).
r2－r+S=0， △=－4S
当m2＞16S时，上方程有两不等正根，故m3=16S时，
方程仅有一正根，即r是唯一确定的，此时r=，中
心角θ==2.
2r+rθ=m，∴=，sin=sin.
证内切圆半径为R，则sin=.
∴=sin1 R=
例2．若这样的m存在，则应有 sinα+cosα=－m ①
sinαcosα=(2m+1) ②
①2－2×②. 9m2－8m－20=0，m=2或－.
又α为第三象限内，∴sinα+cosα=sin(α+)∈而当m=2时，－m=－,
m=－时，－m=，均不在上述范围内，故这样的m不存在.
例3．由已知,k=sin(α+)∈[－，]，又k2=1+sinαcosα.
∴sin3α+cos3α=(sinα+cosα)(1－sinαcosα)=k(1－)＜0.
即k(k－)（k+）＞0，得k∈(，+∞)∪(－，0).
∴k∈.
例4．由已知2f(－sinx)+3f(sinx)= 4sinxcosx. 以－x代x
2f(sinx)+3f(－sinx)=－sinxcosx.
两式相加，可得f(sinx)+f(－sinx)=0，∴f(x)必当奇函数.
从而原式即f(sinx)= 4ε·xcosx.
又x∈[－，]，∴cosx=. sinx∈[－1，1].
∴f(x)= 4x，x∈[－1，1].
例5．f(x)=sin(ωx+)，其中tan=.
由T==2知ω=π.
当x=时，sin(+)=1， =2。
+=2θπ+，=tan=+，解得 3x
∴f(x)=sinπx+cosπx=2sin(πx+
或f(x)=－sinπx－cosπx=－2sin(πx+)=2sin(πx+π).
对称轴方程为πx+=πx+, x=k+，取k=5时恰在[，]中，对称轴方程：x=.
例6．f(x)=cos2(x－α)－2cos(x－α)cosxcosα+cos2xcos2α+cos2α－cos2xcos2α
=[cos(x－α)－cosxcosα]2+cos2αsin2x
=(sinxsinα)2+cos2αsin2x=sin2x=(1－cos2x)
∴f(x)为偶函数，T==π，值域为[0，1]
单调递增区间：[kπ，kπ+] （k∈Z）
单调递减区间：[kπ－，kπ] (k∈Z)
例7．y=f(x)图象过A、B两点，故有
a+b=1和a+c=1.
∴f(x)=a+(1－a)cosx+(1－a)sinx=a+(1－a)cos(x－).
X∈[0，]，x－∈[－，]，cos(x－)∈[，1]
记cos(x－)=t 则f(t)=a+(1－a)t，t∈[1，]图象为线段，故f(1)=1∈[－2，2]，f()=a+(－a)∈[－2，2] ∴a∈[－，4+3]
最大整数为8，此时f(x)=8－7cos(x－).
m[8－7cos(x－)]+n[8－7cos(x－－)]=1 *
令x=π，有8m+n(8－7sin)=1 ①
令x=，有8m－7m+n(8－7cos)=1. ②
令x=+，有m[8－7cos]+n[8－7]=1 ③
令x=+π有m(8+7cos)+8n=1 ④
由①、④消sin，得(m+n)(8m+8n－1)=0
由②、③消cos，得(m－n)[(8－7)(m+n)－1]=0
若，则m=n=0 *式从不成立.
若无解.
若 m=n=.
若 无解.
把m=n=代入①②sin=0，cos=－1，取=π
此时*式恒为0
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1江苏省扬中高级中学高三数学组 2005.10
2005-2006年高3第一轮复习------数列的综合问题
一、学习指导
无论是给了递推公式，还是给了前n项的和与通项之间的关系式。都不能直接知晓它与我们所熟悉的等差数列或等比数列的哪一种有关，以及是怎样一种关系。这就需要我们仔细观察题设条件及结论的特点，适当进行变化，间接地与等差，等比数列挂上钩，这之中不乏探索的过程，也就是说，这种变化并无明确的法则，只能是依据经验和题目特点进行尝试，这也就是难点之所在。
二、典型例题讲评
例1．已知数列｛an｝的前n项和为Sn，且满足对一切正整数n，有Sn=(an－1)，在数列｛bn｝中，bn= 4n+3。
（1）求数列｛an｝的通项公式
（2）把两个数列的公共项按它们的原先的顺序排成新数列｛Cn｝，求它的通项公式。
用Sn－Sn—1即可求出an，但此式成立的前提是n≥2，在此外得到an=3an—1后不能立即得出｛an｝成等比的结论，一定要先验证a1 ≠0，切记！
在第（2）小题中，如何求出“公共项”是关键，首先应注意，“公共项”是指在｛an｝和｛bn｝中都出现了的项，但相应项数未必一样，不能出现“令an=bn”这样的式子，而只能令an=bm，得出n与m间关系，在本题中，我们不难求出an=3n，令3n=4m+3，n与m的关系怎样求？如写为n=log3(4m+3)或m=，前者来的必是整数，后者亦来必是整娄，只有当n为奇数（记n=2k－1）时才是整数，（可用二项式定理说明）了即便这样因b1=7，故｛a2｝中奇数项并不能从1开始，而只能从3开始，这都是解题时必须加以注意的。
例2．已知在△ABC中，三边长的平方a2、b2、c2成等差数列。
（1）求证：cotA、cotB、cotC成等差数列；
（2）求证：、、成等差数列。
在第（1）小题中，cotA、cotB、cotC成等差如何用a2、b2、c2成等差挂上钩？极易盲目转换，误入歧途，已知为边际关系，欲证为角际关系，应往边上靠，但余切公式甚少，化为弦：要证cotA、cotB、cotC成等差，即证、、成等差，由正、余弦定理知，即证、、成等差，由已知立得。
在第（2）小题中，已知，求证均为边际关系，就需把所求式值a2、b2、c2上靠拢；要证、、成等差，这就很好证了，所需注意的是，上面的证明中须d≠0（否则b－a、c－a、c－b等均为0）而d=0时，a=b=c，可推得==，原结论当然也成立。
例3．求和：
（1）++……+
（2）－+－+……+(－1)n.
求n项之和，常常使用的策略是“拆项”，即把一项变为两项，使两两相抵，只剩下前面和后面的有限个项，如何拆须看题目的特点，如第（1）小题中通项ak=，注意到分子恰为分母两因式之差：an==－，“如可拆”也就不成其问题了。
在第（2）小题中，通项ak=(－1)k=(－1)k[1+]=(－1)k[1+]，分拆方案也就出来了，所要注意的是前面的整数部分：偶数项时恰为0，而奇数项时为－1，故和式也应分n当奇数，偶数两种情形加以考虑。
例4．在数列｛an｝中，前n项和Sn=na+n(n－1)b，（b≠0）
（1）求证｛an｝是等差数列；
（2）求证：点Pn(a n，－1)都落下在同一条直线上；
（3）若a=1，b=，且P1，P2，P3三点都在以（r，r）为圆心，r为半径的圆外，求r的取值范围。
在（1）中，应先根据an与Sn，Sn—1的关系，求出a1和n≥2时的an，要证｛an｝成等差，有三条途径：①把n≥2时的an=f(n)写为等差数列通项一般表达式：a1+(n－1)d，并验证n=1时，值恰为a1；②证明an+1－an为与n无关的定值，要特别检验a2－a1是否也是通信定值；③证明2an+1=an+an+2，并特别验证2a2=a1+a3，（注意，切不可由2a2=a1+a3，2a3=a2+a4等具体项得出结论）。
在（2）中把消去n，得一直线方程，即可说明问题。
第（3）小题中，称确定P1，P2，P3坐标，使到（r r）距离大于r，解不等式组即可。
例5．已知函数f(x)=，g(x)=sinx，α、β、x、y∈（－，）且x≠y，若f(x)、f(α)、f(y)成等差数列，g(x)，g(β)、g(y)也成等差数列，试判断α与β的大小，证明你的结论。要比α与β大小，因α、β均在y=sinx的一个单调区间（－，）中，故只要比较sinα与sinβ的大小。
由已知f(α)=，即=，形式臃肿，故分离常数，消肿，=，从而1－sinα= ，为调和平均值形式，再化反而繁杂了。
又sinβ=，形式虽然简洁，但与上面的形式有距离，故改写为1－sinβ=，为算术平均值形式。
至此，问题迎刃而解，只须再把等号问题说清楚即可。
例6．已知数列｛an｝是等差数列，在数列｛bn｝中，bn=anan+1an+2，若3a5=8a12＞0，问何时Sn=b1+b2+…+bn，取得最大值？证明你的结论。
由3a5=8a12＞0，可知an=(n－)d，且d＜0。
bn=(n－)(n－)(n－)d3，由它去求Sn，过程很烦，不如判定bn何时为正，何时为负，详见附录。
巩固练习
1．定义在N上的函数f(x)满足：f(0)=2，f(1)=3，且f(k+1)=3f(k) －2f(k－1)，（k≥1）。
（1）求f(n) （n∈N）
（2）求f(0)+f(1)+…+f(n)
2．（1）已知数列｛an｝中，an=，求其前n项和。
（2）已知数列｛bn｝中，b1=1，b2=－1. bn+2=bn+1－bn，求其通项及前n项之和。
3．在数列｛an｝中，an=(－1)n+1（1－+－…+(－1)n+1）。求其前n项之和。
4．已知函数f(x)=（a≠0），f(2)=。又知方程2f(x)=x的解集为｛0｝，在数列｛Cn｝中，C1=1，Cn+1=f(Cn)。求｛Cn｝的通项。
5．在数列｛an｝中，a1=1，an，an+1是方程x2－Cnx+=0的两实根，求数列｛Cn｝的通项公式。
6．数列｛an｝中，a1=1，Sn为其前n项之和，对任意正整数n，Sn+1= 4an+2。
（1）求证：数列｛an+1－2an｝是等比数列；
（2）求证：数列｛｝是等差数列；
（3）求Sn.
7．p、q、r为两两不等的三个正整数，数列｛en｝中，ep=a，eq=b，er=c，a、b、c两两不等。
（1）若｛en｝为等差数列，则(q－r)a+(r－p)b+(p－q)c=0
（2）若｛en｝为等比数列，则aq—rbr—pcp—q=1
8．｛an｝为等差数列，Sn为其前n项之和，若Sn=()2. 数列｛bn｝中，bn=(－1)nSn，求｛bn｝前n项和Tn.
9．从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规则，本年度投入800万元，以后每年的投入较上一年减少，本年度当地旅游业收入预计为400万元，由于该项目对旅游业的促进作用，今后旅游业收放每年将比上一年增加。
（1）设n年内（本年度为第一年）总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an，bn的表达式；
（2）至少经过几年，旅游业总收放才能超过总投入？
10．数列｛an｝中，a1=1，a2=r＞0，数列｛anan+1｝为公比为q（q＞0）的等比数列，数列｛bn｝中，bn=a2n—1+a2n.
（1）求使anan+1+an+1an+2＞an+2an+3成立的公比q的取值范围；
（2）求｛bn｝的通项
（3）若r=219.2－1，q=，求数列｛｝的最大项和最小项。
参考答案
1．解法一， f(k+1)－2f(k)=f(k)－2f(k－1)=…=f(2)－2f(1)=f(1)－2f(0)=－1，∴f(k)－1=2[f(k－1)－1]，又f(0)－1=1， ∴f(n)=1+1·2n=2n+1，(n∈N)
解法二，f(k+1)－f(k)=2[f(k)―f(k―1)]。又f(1)－f(0)=1.
∴f(n)=[f(n)―f(n―1)]+[f(n－1)―f(n―2)]+…+[f(1)－f(0)]+f(0)=+2=2n+1. (n∈N)
f(0)+f(1)+…+f(n)=(20+21+…+2n)+(n+1)
=+n+1=2n+1+n。
2．（1）an=1+=1+(－)
∴Sn=n+(1－)=.
（2）b1=1，b2=－1，b3=－2，b4=－1，b5=1，b6=2，b7=1，b8=－1，至此，知｛bn｝为周期6的周期数列，S1=1，S2=0，S3=－2，S4=－3，S5=－2，S6=0
∴bn= Sn=
(k∈N*)
3．an=(－1)n+1=(－1)n—1·+·(－)n—1.
=(－1)n—1·+·()n—1
∴Sn= +=－ n当奇数
(1－) n为偶数
4．由已知，=，∴2a+b= 4
方程=x中，若b=0，则a=2，x=1为其解，而不足0，故b≠0，此时，x=0为其一解，除此之外，则=1，x=，必须为0（否则与解集为｛0｝矛盾），∴b=2，从而a=1，f(x)=.
Cn+1=，∴=1+，+1=2(+1)
又+1=2 ∴+1=2·2n—1=2n，Cn=.
5．anan+1=，以n=1代入知a2=.
又an+1an+2=，两式相除，=，说明｛an｝的奇数项构成首项为1，公比为的等比数列，偶数项构成以为首项，为公比的等比数列。
∴an= () n为奇数
() n为偶数
Cn=an+an+1= ()+()=3() n为奇数
()+()=() n为偶数.
6．（1）Sn+1= 4a2+2，Sn+2=4an+1+2，两式相减，有
an+2= 4an+1－4an. 即an+2－2an+1=2(an+1－2an).
又a1+a2=S2= 4a1+2， ∴a2－2a1=a1+2=3.
∴数列｛an+1－2an｝是首项为3，公比为2的等比数列。
（2）由（1）an+1－2an=3×2n—1， 即－=，故数列｛｝构成首项，公差的等差数列；
（3）由（2）=(n－1)×， ∴an=(3n－4)·2n—1+2，
当n≥2时，Sn=4an—1 +2=(3n－4)·2n—1+2.
当n=1时，上式值为－1+2=1，恰为S1.
∴Sn=(3n－4)·2n—1+2
7．p、q、r为两两不等之正整数，a、b、c也两两不等，数｛en｝不是常数列.
（1）b－c=(q－r)d, c－a=(r－p)d，a－b=(p－q)d.
∴左=a+b+c=0 （d｛an｝之公差）
（2）=Qq—r，=Qr—p ，=Qp—q （Q为｛an｝之公比）
∴左abc.
logQ左=logQa(logQb－logQc)+logQb(logQc－logQa)+logQc(logQa－logQb)=0
∴左=1
8．a1=S1=，解得a1=1，a2+1=，解得
a2=－1或3，但若a2=－1，则d=－2，从S3起Sn必为负数，与Sn=矛盾，∴a2=3，d=2。
Sn=n+×2=n2.
Tn=－12+22－32+42+…+(－1)nn2.
= (2－1)(2+1)+(4－3)(4+3)+…+[n－(n－1)][n+(n－1)] n为偶数
(2－)(2+1)+…+[(n－1)－(n－2)][(n－1)+(n－2)]－n2 n为奇数
= 1+2+3+4+…+(n－1)=n n为偶数
1+2+3+4+…+(n－2)+(n－1)－n2 n为奇数
= n为偶数
n为奇数
= n为偶数
n为奇数
=(－1)n
9．an== 4000(1－0.8n)
bn==1600(1.25n－1)
令1600(()n－1)＞4000(1－()n). 整理得
()2n－·()n+＞0， ()n＞ 或＜1（舍去）
n＞＞4， 至少需要5年。
10．（1）1+q＞q2，∴q∈(，0)∪(0，). 又q＞0
∴q∈(0，)
（2）q==，说明｛an｝的奇数项构成首项为1，公比为q的等比数列，偶数项构成首项r，公比q的等比数列，bn=a2n—1+a2n=(1+r)qn—1.
（3）由已知，bn=219。2()n—1=220·2—n ，log2bn=20.2－n，故｛｝的通项（第n项为），当n=20时为负值－4，为最小项，上式可与1－，在[1，19]并调减减且小于1，故n=21时当最大项是
附录
例1．（1）当n=1时，a1=S1=(a1－1)， ∴a1=3
当n≥2时，Sn=(a1－1)
an=3an—1. ∴an=3n
（2）设an=bm，即3n=4m+3 (4－1)n= 4m+3 ，左边按二项式定理展开后，被4除余
(－1)n=－1，故n为奇数，又b1= 4×1+3，故与之相应的an中的n应从3开始，即｛Cn｝中，C1=33，q==9 ∴Cn=33·9n—1=32n+1
例2．（1）要证cotA、cotB、cotC成等差，即证、、成等差，由正余弦定理，即证2R、2R、2R成等差。
亦即b2+c2－a2，c2+a2－b2，a2+b2－c2成等差。
由已知a2、b2、c2成等差，∴－2a2，－2b2、－2c2成等差。
∴a2+b2+c2－2a2、a2+b2+c2－2b2，a2+b2+c2－2c2成等差.
即b2+c2－a2，c2+a2－b2，a2+b2－c2成等差
cotA、cotB、cotC成等差。
（2）记a2、b2、c2的公差为d
若d=0即a2=b2=c2，从而a=b=c则==，它们当然成等差数列。
若d≠0，要证、、成等差，即证、、成等差，亦即、、成等差，为此，只要证明2= 即可，此式显然成立，∴、、构成等差数列。
例3．（1）原式=++…+
=（－）+（－）+…+（－）
=1－=。
（2）原式=－(1+)+(1+)－(1+)+…+(－1)n(1+)
=－1+1－1+…+(－1)n －(－)+(－)－(－)+…+(－1)n(－)
=－1++(－1)n—1+(－1)n
= －+ 当n为奇数时
－－ 当n为偶数时
=－1++。
例4．（1）a1=s1=a
当n≥2时，an=Sn－Sn—1=a+(n－1)·2b，当n=1时值恰为a.
∴｛a1｝是首项为a，公关为2b的等差数列，an=a+2(n－1)b.
（2） 故pn都在直线y=+－1上.
（3）P1=（a，a－1），P2（a+2b，a+b－1），P3=（a+4b，a+2b－1）
令a=1，b=，故P1（1，0），P2（2，）， P3（3，1）
由题设，解得r∈（－∞，）∪（4+，+∞）
例5．∵f(x)=－1 +，∴f(x)，f(α)，f(y)成等差数列。
则，，也成等差数列，∴1－sinα=
而·β=，故1－·β=
若a、b＞0，则+＞0，≥，∴≥，又≥，
∴≥，等号当且仅当a=b时成立，今令1－sinx=a，1－·y=b，且圆x、y∈(－，)，x≠y，∴sinx≠siny，∴1－·x≠1－·y，从而有1－sinβ＞1－sinα，
sinα＞sinβ，＞α＞β＞－。
例6．3a 5=8a12=8(a5+7d)，∴5a5=－56d＞0，∴d=0，a5=－d，从而
an=－d+(n－5)=(n－)d. bn=(n－)(n－)(n－)d3，∴d＜0，故知当n∈｛1，2，…，14｝∪｛16｝时bn为正数，其余为负数，故知当n=14或16时，Sn才有可能最大.
b15+b16=d3[(15－)(15－)(15－)+(16－)(16－)(16－)]
=d3(15－)[(15－)(15－)+(15－)(15－)]
=d3(+)(+)＜0
∴S14最大。
12
4江苏省扬中高级中学高三数学组 2005.10
2005-2006年高3第一轮复习-----指数函数与对数函数
一、学习指导
指数函数与对数函数的底a取值范围为(0,1)∪(1，+∞). 在底确定的前提下，指数函数与对数函数互为反函数，指数运算与对数运算互为逆运算.
指数 对数
形式 ab=c logac=b
性质 ab·ac=ab+c=ab－c(ab)c=abc logab+logac=loga(bc)logab－logac=logalogab=logablogab= logablogab logac= logab= logacb=clogab=(换底公式)
指数函数与对数函数的性质，应结合它们的图象进行对比、记忆、要特别注意区分a＞1与a∈(0,1)这两种不同情况.
二、典型例题
例1．求函数y=|2|x－2|－2|的值域，单调区间，并作出它的草图.
本题关键是理解并处理好两层绝对值的意义，作图时着重它由y=2x图象经过怎样的变化而得，而不能盲目列表作图。
由f(x)=|2|x－2|－2|知f(x)=f(4－x), x=2为其对称轴，故先考虑x≥2的一部分即可，此时f(x)= |2|x－2|－2|，当x≥3时值非负，故f(x)= 2x－2－2 当x≥3
2－2x－2 当x∈
至此，值域单调性一目了然.
例2．f(x)=lg 若当x∈∞，时，f(x)有意义，就a的取值范围，又若a∈0，，求证f(2x)≥2f(x).
∞，应为f(x)定义域的子集，即当x∈∞，时，必使1+2x+4xa＞0，即a＞－［()x+()x］.故当x∈∞，－时，a大于右边最大值即可.
第二小题中，即证≥()2. 可改写为了(1+22x+42xa)≥(1+2x+4xa)2.
∵a∈0，，故1，22x，42xa均为正数，且1+22x+42xa≥1+22x+42xa2. 再根据基本不等式，先证了3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2(等号当且仅当a=b=c时成立). 即可得到3(1+22x+42xa2)≥(1+2x+4xa)2的结论.
例3．某厂今年头三个月产量分别为1，1.2，1.3（单位：万件）四月初，甲、乙两统计员根据第一季度情况分别给出了全年产量模拟函数：甲：f(x)=ax2+bx+c 乙：g(x)=pgx+r
(1)试写甲、乙所给的模拟函数解析式；
(2)若该厂四月份实际产量为1.33万件，而五月份上半月产量超过了四月份同期水平，据此，你认为哪一个模拟函数较切实际？说明你的理由.
两模拟函数中都各有三个待定系数，由前三个月数据不难求出具体解析式，据此推测发展趋势，看与实际的差距程度来到定孰优熟者，而不能拘泥于个制数据，立足于全局，放眼于未来，是本题立意所在。
例4．已知不等式loga(2－)＞loga(a－x)有且仅有一个整数解，求a的取值范围.
整数解问题是同学们比较陌生的，而本题的“题眼”也正在于“整数解”.
显然，不等式两边要有意义，须2－＞0，(当然也须a－x＞0). 故整数解只可能是－1、0、1中的一个，我们分别考察－1、0、1是不等式解时，a的取值范围，（分别记为A、B、C）由逻辑关系，有且仅有一个整数解的a的取值范围为［A∩(CR(B∪C))］∪［B∩CR(A∪C)］∪［C∩CR(B∪C)］
例5．已知函数f(x)的函数是y=－1. 函数g(x)的图象与函数y=的图象关于y=x－1对称，F(x)=f(x)+g(x).
(1)求函数F(x)的解析式并写出它的定义域；
(2)F(x)的图象上是否存在两个不同的点A、B，使直线AB与y轴垂直？若存在，求出A、B两点的坐标，若不存在，说明理由f(x)的解析式可通过求反函数的步骤求出，而求g(x)的解析式，我们可有两种选择：①设P(x,y)为y=g(x)的图象上任意一点，则它关于直线y=x－1的对称点(，). 在已知曲线上，满足：y=；也可先把y=向左平均1个单位，得到y=，它关于y=x的对称图形的解析式为y=.再把它向右平均一个单位，得y=. 即为y=g(x)的解析式，而F(x)的定义域则应为f(x)与g(x)定义域的交集.
在第(2)小题中，KAB=0，若存在，应有(x1，y). (x2，y) (x1≠x2)均在F(x)图象上.
例6．a、b为两上不同的正数，变量m∈(0,1)∪(1,+∞).
(1)求证：过A(a, logma)、B(b, logmb)两点的直线恒过一定点；
(2)求上述定点恰为坐标原点的条件；
(3)②中若1＜a＜b. 取m1=2，m2=8, 且log2a=log8b，求A、B两点的坐标.
先写出直线AB的方程，要过定点，即与m无关，应把方程按m进行整理，令与m有关的项的系数为0，即可求设定点坐标，令此点标为(0,0)并进行化简，便可提出条件，再结合第三小题的特有条件，即可求出A、B坐标.
巩固练习
1．已知集合A=｛x|x2－ax≤x－a｝，B=｛x|1≤log2(x+1)≤2｝,C=｛x|x2+bx+c＞0｝
(1)若A∩B=A，求a的取值范围.
(2)若B∩C=，且B∪C=R，求b、c的值.
2．已知f(log2x)=
(1)求函数y=f(x)的解析式；
(2)写出f(x)的单调区间；
(3)讨论f(x+1)与f(x)的大小关系.
3．设函数f(x)=log
(1)求f(x)的定义域；
(2)求不等式f(x)＞0的解集.
4．设函数f(x)=
(1)试判断f(x)的单调性，并证明之；
(2)求证方程f－1(x) =0有唯一解
(3)解不等式：f［x(x－)］＜
5．已知函数f(x)=log(x+a)的图象经过原点.
(1)若f(x－3)，f(－1)，f(x－4)构成等差数列，求x的值.
(2)设g(x)=f(x)+1 m, n∈R+且n2=mt. m、n、t互不相等，比较g(m)+g(t)与2g(n)的大小.
6．已知f(x)=lg(1+x)－x在上单调递减，解不等式；lg(1+)＞+lg2－1
7．已知函数f(x)=是奇函数.
(1)求a的值；
(2)判断函数f(x)的单调性，并用定义证明；
(3)k＞0时，解关于x的不等式；f－1 (x)＞log2
8．a∈(0,1)，f(x)=loga(x+). 已知关于x的方程f－1 (x)+a－x=k 在上有两相
异实解，求k的取值范围，并求此两根之和.
9．已知常数a＞1，变量x、y满足3logxa+logax－logxy=3
(1)若x=at(t≠0)，试以a、t表示y；
(2)若t∈，y有最小值8，求此时a和x的值各为多少？
10．已知函数f(x)= (d＞0且d≠1)
(1)求f－1(x)
(2)已知当f－1(x)的定义域为［a、b］时，值域为［logd，logd］，试判断函数f－1(x)的单调性
(3)在(2)中，求d的取值范围.
参考答案
1．①2≤x+1≤22. x∈［1，3］ ∴B=［1，3］
A= ｛1｝ 当a=1
［1，a］ 当a＞1 今由A∩B=A，知AB.
［a，1］ 当a＜1
②由题得知，C=(－∞，1)∪(3，+∞). ∴ －b=3+1 b=－4
c=3×1 c=3
2．设t=log2x，则x=2x，故f(t)=|2t－1|
∴f(x)= 2x－1 当x≥0
1－2x 当x＜0 它在上单调递减，在上单调递增.
f(x+1)－f(x)= (2x+1－1)－(2x－1)=2x 当x≥0
－(1－2x)=3·2x－2 当x∈
－2x 当x＜－1
故当x＞log2时，f(x+1)大，当x＜log2时，f(x)大，而为x= log2时，两者相等,
3．(1)令＞0，即1+2ax＞0. 当a=0，定义域为R，当a＞0时，定义域为(－，+∞)，当a＜0时，定义域为(－∞，－)；
(2)log＞0 0＜＜1. 由(1)知，在定义域范围内，即解x2－2x+2＜1+2ax. 亦即x2－2x(1+a)+1＜0.
1O 当a=0时 x∈R
(x－1)2＜0
2O 当a＞0时 x∈(－,+∞)
x∈(1+a－, 1+a+)
原不等式解集为(1+a－, 1+a+).(此时1+a－＞－)
3O 当a∈时，x2－2x(1+a)+1＜0解集为，从而原不等式解集为.
4O 当a＜－2时， x∈(－∞, －)
x∈(1+a－, 1+a+)
原不等式解集为(1+a－, 1+a+) (此时1－a+＜－
4．(1) ＞0
x+2≠0
当x∈(－1，1)时，函数y=单调递减，函数y==－1也单调递减，从而y=lg 单调递减. ∴f(x)在(－1，1)单调递减.
(2)在f(x)=+lg中，令x=0，知y=，故x=是f－1(x)=0的一个解，又f(x)单调减，故f－1(x)也单调递减，故f－1(x)=0至多一解.
综上 f－1(x)=0 有唯一解
(3)由②知，f(0)= ，故不等式即f［x(x－)］＜f(0). 又f(x)为(－1，1)上的减函数，故1＞x(x－)＞0. 解集为(－，0)∪(，1)
5．由已知，log(0+a)=0 ∴a=1
(1)2 log(－1+1)= log(x－3+1)+log( x－4+1)
x＞3
2=(x－2)( x－3) ∴x=4
(2)∵g(m)+g(t)－2g(n)=f(m)+f(t)－2g(n)
= log(m+1)+ log(t+1)－2log(n+1)
= log(mt+m+t+1)－log(n+1)2
=log(mt+2+1)－log(n+1)2
= log(n2+2n+1)－log(n+1)2=0
∴g(m)+g(t)＞2g(n)
6．正确理解f(x)的含义，把不等式与f(x)挂上钩是本题的钥匙.
lg(1+)－＞lg(1+1)－1
即f()＞f(1). 0≤x－＜1
≥0 x≥1或－1≤x＜1
＜0 x＜或0＜x＜
不等式解集为 ∪
7．(1)∴f(x)为奇函数. ∴+=0
(2a－2)(2x+1)=0 ∴a=1.
(2)f(x)==1－. 在R上单调递增，证明如下：对任意的x1＜x2.
f(x1)－f(x2)=(1－)－()=＜0. ∴f(x)单调递增.
(3)f－1(x)=log2 x∈(－1，1) 单调递增.
原不等式同解于 ＞
x∈(－1，1) x＞1－k
x∈(－1，1)
故当k≥2时，原不等式解集为(－1，1)
当k∈(0，2)，原不等式解集为(1－k，1)
8．y=loga(x+) ∴ay= x+ a－y== x－两式相.加
ay+a－y=2x ∴f－1(x)= x∈k 方程即k=. 记t=ax∈ 则k= 任取t1＜t2. k1－k2=. 故当t1，t2∈［1，］时，k1－k2＞0，单调递减，当t1，t2∈［，时，k1－k2＜0，单调递增，当t=时，k有最小值，当t=1或3时，k=2；当t(3,4)时，k∈(2,).
∵y=ax单调，故对每一个适合题意的x，有且只有一个<>与之对应，故当k∈时，方程有两相异实解；ax1+x2=ax1·ax2=t1t2=3 ∴两根之和x1+x2=loga3
9．由已知，3logxa+logax－logxy=3. 换为以a为底logay=log2ax－3logax+3=t2－3t+3
(t≠0) ∴y=a－3t+3 当t=时，t2－3t+3有最小值，从而y有最小值a，令a=8，a=16.
10．(1)由y=知dx=. ∴f－1(x)=logd
又∵dx∈(0,1)∪(1,+∞) ∴原函数值域，亦即f－1(x)的定义域∈(－∞，－)∪(，+∞)
(2)若f－1(x)单调递增，则 logd=logd
logd=logd
即 (da+2)(db－1)=d(da－2)
(db+2)(da－1)=d(db－2) 两式相减，得－3d(a－b)=d2(a－b). ∵b＞a, d＞0 且≠1. 故无解；若f－1(x)单调递减，则应有 logd=logd
logd=logd
即a、b为方程d2x2+d(1－d)x+2(d－1)=0的两不等根.
△=d2(d2－10d+9)＞0 d＞9或d∈(0,1).
若d∈(0,1)由韦达定理知，方程一正根一负根，且负根绝对值大，
∴正根＞ ＞5－d. 两边非负、平方9＞25，不可能
若d＞9, 由韦达定理，两根均正，小根＞，d－5＞两边均正，平方25＞9，成立 . ∴d＞9
此时f－1(x)=logd(1+)单调递减.
六、附录
例1．∵2|x－2|∈ ∴2|x－2|－2∈. ∴y∈
y=|2|x－2|－2|的对称轴为x=2.
又当x≥3时，y=|2x－2－2|=2x－2－2
单调递增；当x∈［2,3］时，y=|2x－2－2|=2－2x－2单调递减；
∴原函数在及［2,3］单调递减，而在［1,2］及单调递减.
图象如图1中的曲线 (表示废弃的部分)
例2．①令＞0，当x≤1时恒成立，记2x=t∈
g(t)=1+t+at2，t∈, 当a=0时，g(t)=1+t＞1＞0;
当a＞0时，g(t)在单调递增，g(t)＞g(0)=1＞0；
当a＜时，g(t)在单调递减，g(t)≥g(x)=4a+3，为正即可，故a∈(，0)
综上a∈(，+∞)
解法二 令1+2x+△xa＞0. ∴a＞－(()x+()x)，函数g(x)=－(t2+t) t∈的最
大值为g()=, ∴a＞.
解法三 令1+2x+△xa＞0. ∴a＞－(()x+()x)，∵、均为(0，1)中的数，∴y=()x
y=()x均为减函数，从而y=［()x+()x ］为增函数，最大值为－［()1+()1 ］=
∴a＞.
②证法一 ∵a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca. 三式相加有a2+b++c2≥ab+bc+ca
∴3(a2+b++c2)≥(a+b+c)2. 其中等号当且仅当a=b=c时成立，又a∈ ∴42xa≥42xa2
从而3(1+22x+42xa)≥3(1+22x +42xa2)≥(1+2x+4xa)2 即f(2x)≥2f(x) 或中等号当且仅当x=0且a=1时取得.
证法二 ∵a∈，∴(y－1)2+(y－2x)2+(y－△xa)2+42xa(1－a)≥0恒成立.
从而△=4(1+2x+△xa)2－12(1+22x+42xa)≤0 即≥()2恒成立.∴原不等式恒成立.
例3．由已知 f(1)=a+b+c=1 解得 p=－0.05
f(2)=4a+2b+c=1.2 q=0.35
f(3)=9a+3b+c=1.3 r=0.7
∴f(x)=－0.05x2+0.35x+0.7. 开口向下，对称轴为x=3.5，故四月份应与三月份持平，且以后显下降趋势与四月及五月上半月显示的发展趋势介速；
g(1)=pq+r=1 解得 p=－0.8
g(2)=pq2+r=1.2 q=0.5
g(3)=pq3+r=1.3 r=1.4
∴8(x)= －0.8·0.5x+1.4，为单调递增函数，由后来的实际产量的，此模拟函数较符合实际.
例4．∵ 2－＞0 ∴x∈｛－1，0，1｝
x∈E
若－1为原不等式的一个整数解，则有loga＞loga(a+1) 当a＞1时，a+1＞2＞.
原不等式不成立. 当a∈(0，1)时，＜a+1 ∴a∈(，1).
若0为原不等式的一个整数解，则有loga2＞logaa. 当a＞1时，2＞a，∴a∈(1，2)
当a∈(0，1)时，2＜a. 无解； ∴a∈(1，2)
若1为原等式的一个整数外，则有lga＞lga(a－1). 故a必大于1，＞a－1.
∴a∈(1，)
今不等式只有唯一的整数解，∴a∈(，1)∪
例5．由y=－1 知 10x+1=. 反函数f(x)=lg(x∈(－1,1))
记r(x)=，则r(x+1)=. 它的反函数为y=.
∴g(x)= (x≠－2)
∴F(x)=lg+ x∈(－1,1)
y=F(x) 若存在A(x1，y) B(x2，y) (x1≠x2) 使AB⊥y轴，则不妨设x1＜x2.
y=lg+=lg+于是lg=
∵x1x2∈(－1,1) ∴1－x1 1+x1 1－x2 1+x2 2+ x1 2+x2 均正.
又(1－x1)(1+x2)－(1+x2)(1－x1)=2(x2－x1)＞0. 故＞1,
lg＞0. 而右边为负值，故这样的A、B不存在.
例6．①KAB= 直线AB的方程为(logma－logmb)x－(a－b)y+alogmb－blgma=0. 亦即(lga－lgb)x－(a－b)lgm·y+algb－blga=0. 恒过定点(,0)
②要使上述定点是原点，该blga=algb 即ab=ba
③log2a=log8b ∴b=a3 又a= a.
从而a3=3a, 又a＞0， ∴a=
A：(,log2) B：(3,log83)
解得f(x)的定义域为(－1，1)
解集为
即
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3江苏省扬中高级中学高三数学组 2005.10
2005-2006年高3第一轮复习-----平面向量及其运算
一、学习指导
向量有两要素：方向及大小（亦即摸长），特别地规定模长为零的向量为零向量，它的方向不定，与任何向量共线，向量可以用字母表示（AB、、等）。可用坐标（x,y）表示，也可用有向线段表示。值得指出的是，向量不同于有向线段。有向线段有大小，有方向，有起点，面向量有大小、有方向，但与起点无关。例如；若O(0,0) ,A(1,1) B(1,0) C(2,1) OA 与BC 是两个不同的有向线段，可以通过平移使它们重合，但它们却是同一个向量，从这个意义上说，向量谈不上平移，也无须平移。
任意两个不共线的向量都可构成基底，对平面内的任一向量，都可用这一对基底哆一点表示，当这一对基底是互相垂直的单位向量时，就是所谓的“坐标表示”，当向量用以原点为始点的有向线段表示时，终点的坐标与这向量的坐标是一致的。
两向量的和、差、数平的坐标运算法则及几何意义要深刻了解。
向量与非量向量共线的充要条件是=入（入），A、B、C三是共线的充要条件是OC =nOA + nOB 且m+n=1（O为平方内任意一点）。
二、典型例题
例1．非零向量与不共线，若AB =2+3, BC =6+23,CD=4-8，则A、B、D三点共线
要证A、B、D三点共线，只要看，是否存在实数入，使AB=入BD，故应先求BD。（BD=BC+CD）
也可先求CA=-(AB+BC)=-8-26 CB=6-23 设-8-26=m(-6-23)+n(4-8)求得m=、n=。
∵m+n=1 ∴A、B、D共线
例2．用向量的方法证明：三角形三中线交于一点，且此点与各顶点的距离等于相应中线长的。
向量知识是新内容，有些同学还不习惯，拿到题后觉得无从下手，这正是本讲内容的难点所在。
设中线AD与BE交于G，AG =AD 则AG=（AB+AC）/2=AB +AC
又AE=AC ∴AG=AB+AE
由E、G、B共线，知+=1，=
同理可证BG=BE 等，故三中线共点，且交点列三顶点距离是相应中线的。
例3．已知三点：A(2,1),B(3,4)，C(1,4) ，P为平面内一点是PA +PB+PC =O 求P点坐标。
设P（x,y）写出PA，PB，PC的坐标表示，再依据向量相等的条件，列方程组解出即可。
例4．在四边形ABCD中，E，F分别为对角线AC、BD的中点，记AB=，BC=，CD=。求EF（用、、表示）
向量的加法遵循平行四边形法则，故若AD为△ABC的中线，则AD=（AB+BC），本题中有两个中点，设法把它们逐次化为中线问题，即可解得。
我们也可连结CF并延长一倍到G，∵BD、CG互相平分，BCDG为平行四边形，BG=CD=，在△AGC中，EF为中位线，∴EF=AG+（AB+BG）=（+）
例5．把抛物线y=-x2按向量平移后与抛物线y=x2-x-2的两个交点关于坐标原点对称，求。
设出=(m,n)写出平移后的抛物线方程与抛物线y= x2-x-2联点，利用“关于原点对称”，解出 m,n但求出后，必须验明此时两面曲线相交（即相应二次方程二判别式＞0）
例6．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD=BC，设BA=, BC=，试以，为基底表示BF、DF、CD
寻找需表示的向量与基底间直接或间接的关系，熟悉向量的和、差、数积的几何意义，是解这一类题所要求的素养。
例7．已知向量=（x,y）与向量=(y,zy-x)的对应关系记作=f()
（1） 求证：对于任意向量、及常数m,n恒有f(m+n)=mf()+nf()
（2） 若=(1,1) ,=(1,0) 用坐标表示f()和f()
（3） 求使f()=(p、q) (p、q为常数)的向量的坐标。
本题出现了“向量函数” =f()，这是我们所陌生的，故做题之前，先克服因陌生而产生的情意，弄清f()的含义，定义f()时使用了向量的坐标，故应先把、用坐标表示出来，按定义代入，看左、右所得向量的坐标表示是否相同。（因=(x1·y1), =（x2·y2）则=
做了第一小题后，（2）（3）两小题就显得很简单了
例8．已知点O（0,0）A(1,2) B（4，5）OP=OA +tAB（tR）
(1) 要使P点在x轴、y轴、第二象限t分别应取什么值？
(2) 四边形OABP是否有可能是平行四边形？如可能，求出相应的t的值，如不可能说明理由。
设p(x,y)∵OA+tAB=OA+t（OB-OA）=（1-t）OA+tOB=（1-t+4t，2（1-t）+5t）=（1+3t，2+3t），可知再要据题中要求，求出相应t值即可。
在第（2）小题中，OABP为平行四边形OB=OA+OP，列出方程组，有解，则t已求出，无解，则证明不可能。
例9．已知正方形ABCD过B作直线BE∥AC，E是在BE上，且CE=AC，直线CE交直线AB于F，用向量证明：AF=AE
正方形为我们建立直角坐标系，用坐标表示向量提供了很好的条件，已知和求证中的线段相等与相应向量的模长相等是等价的，而平行或共线可用向量共线的条件来替代，由此题，我们可以体会向量与解析几何之间的密切关系。
例10．已知A（0，8），B（-4，0）C（5，-3）点D分AB为，E点在BC上，使△ABC面积的一半，求E点坐标。
由D分AB 为1∶3知B分DA为-3∶4
又△BDE面积少成多为△ABC面积的一半，故知，E分BC为2∶1，由定比分点公式即可求出E点坐标。
巩固练习
1． 已知点P（2，3）分P1P2为，其中P1（4,y）P2(x,1)又知|P1P|=4，求x，y及的值。
2． ABC的三顶点分别为A(1,2) B(2,3) C(3,1) 把△ABC按向量=（m,n）平移，得到
△，若△的重心为G’（3，3），求的坐标及。
3． 已知||=10，=（3，-4）//，求。
4． 在正六边形ABCDEF中，记AB=，BC=，试用，表示CD. CE
5． 已知一个平行四边形的三个顶点分别为( 3,-2)、（5,2）和（-1，4）求它的第四个顶点的坐标。
6． 与为两个不共线的向量，AB=2+k，CB=+3，CD=2-，若AB//BD 求k的值。
7． 在△OAB中，记OA=，OB=，M、N分别在边OA、OB上，且OM=，ON=（），记AN与BN的交点为P，试用与表示。
8． 已知四点A（-3，12）B（3，-4），C（5，-4）D（5，8）求AC与BD的交点 P的坐标，并求直线AC分BD所得的此入及P分BD所得的此。
9． △OAB中，4OC=OA=，2OD=OB=，AD与BC的交点为M。
（1） 用、表示OM；
（2） 过M点作直线与OA、OB边分别交于E、F点，若OE=P·OF=q，求证：=1
10．△ABC中A（-3，7）B（2，5），又知AC边中点在x轴上，BC边中点在y轴上，求顶点C的坐标及△ABC的重心G的坐标。
参考答案
1．∵|p1p|=△ ∴(4-2)2+(y-3)2=32 y=3±2
又P分P1P2 为 ∴
∴
或
2．设△ABC的重心为G，G（x,y）则x= y= ∴G(2,2)
=GG’=(3-2,3-2)=(1,1) ∴(0,1)
3．∵∥ 故可设=（3k,-4k）()
∵||=10 ∴9k2+16k2=100 k=±2
∴=(6,-8)或（-6,8）
4．CD=CB+BA+AD=
CE=CD+DE=()+(-)=
5．记A(3,-2) B(5,2) C(-1,4)
(1) 若为平行四边形ABCD，则AC中点（亦即平行四边形对角线交点）为(1,1) 则D(2-5,2-2)即（-3,0）
(2) 若为平行四边形ABCD，则BC中点（亦即平行四边形对角线交点）为（2,3）则D(4-3,6+2)即(1,8)
(3) 若为平行四边形ADBC，则AB中点(亦即平行四边形对角线交点)为(4,0)则D(8+1,0-4)即（9,-4）
6．BD=CD-CB=（2）-（）= 又AB//BD
∴ ∴k=-8
7．设OP=mOA+ON
∵N、P、A共线 ∴①
同样OP=OM+nOB 而B、P、M共线　　　∴②
由①②可解得 ∴OP=
8．设P(x,y)由定此化分点上式
①两边减5，可得
代入② 从而
p()
9．（1）设=
∵D、M、A共线， ∴m+2n=1①
又=4m
∵B、M、C共线 ∴4m+n=1②
由①、②解得 ∴
（2）由（1）=
∵E、M、F共线 ∴
10．记AC边中点M(m,o) BC边中点n(o,n)C(x,y)由中点公式：
∴C(-2,-7) 重心G：x= y=
∴G(-1,)
附录
例1． BD=BC+CD=(6)+(4)=10=5(2)=5
∴A、B、D三点共线
例2． 记两中线AD、BE交点为G，记
∵E、G、B共线 ∴ 同理可证 ∴原命题是真命题
例3．设P（x,y）则
∴ 令 解得 ∴P (2,3)
例4． ∵F为BD中点 ∴ 而E为AC中点
∴
∴
例5．设
2x2-(2m+1)x+m2-n-2=0 令2m+1=0 m=-
此时原方程组即两式相加，有2y-n=-2x- (x1,y2),(x2,y2)都满足此式，代入后相加，2(y1+y2)-2n=-2(x1+x2)- ∵x1+x2与y1+y2均为0，∴ 此式方程≯之判别式△=(2m+1)2-8(m2-n-2)=0-8()=32＞0
∴
例6．
例7．（1）证：设 则
∴ 而
∴
(2)f()=(1,2-1)=(1,1)
f()=(0,0-1)=(0,-1)
(3)设 则f()=(y,2y-x) 令 解得
∴
例8．（1）设P（x,y） 则
=(1-t)(1,2)+t(4,5)=(1+3t,2+3t)
要使P点在x轴上，须y=2+3t=0 t= -
要使P点在y轴上，须x=1+3t=0 t= -
要使P点在第二象限，须 t∈（-）
（2）要使OABP是平行四边形
应使 即（4，5）=（1，2）+（1+3t,2+3t）
∴t∈Ф
△ ABP不可能是平行四边形
例9．分别以CD、AD两边所在直线为x,y轴，以正方形边长为单位长建立直角坐标系，则D(0,0) C(1,0) A(0,1) B(1,1) 设E(m,n) 则
解得
设F(f ,-1) 则 共线 故
∴f=或—
∵
∴ 即AE=AF
例10．由已知 即 设E分为 则有
设E(x,y) ∴
①
②样
①内②
②代入① x=2
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1江苏省扬中高级中学高三数学组 2005.10
2005-2006年高3第一轮复习----排列、组合、二项式定理和概率
一、复习要求
1、排列数、组合数的计算、化简、证明等；会解排列、组合应用题，掌握常见应用题的处理思路。
2、掌握二项式定理，会用展开式通项求有关展开式的问题。
3、理解随机事件的概率，会求等可能事件的概率，能用加法公式和乘法公式求互斥事件和相互独立事件同时发生的概率。
二、复习指导
1、分类计数原理和分步计数原理是排列组合的基础和核心，既可用来推导排列数、组合数公式，也可用来直接解题。它们的共同点都是把一个事件分成若干个分事件来进行计算。只不过利用分类计算原理时，每一种方法都可能独立完成事件；如需连续若干步才能完成的则是分步。利用分类计数原理，重在分“类”，类与类之间具有独立性和并列性；利用分步计数原理，重在分步；步与步之间具有相依性和连续性。比较复杂的问题，常先分类再分步。
2、排列数与组合数都是计算完成事件方法个数的公式，排列数是研究排列（既取又排）个数的公式，组合数是研究组合（只取不排）个数的公式，是否有序是它们之间的本质区别。
排列数公式：，当m=n时，，其中m，n∈N+，m≤n，规定0!=1
组合数公式：
组合数性质：，规定，其中m，n∈N+，m≤n
3、处理排列组合应用题的规律
（1） 两种思路：直接法，间接法
（2） 两种途径：元素分析法，位置分析法
（3）对排列组合的混合题，一般先选再排，即先组合再排列。弄清要完成什么样的事件是前提
（4）基本题型及方法：捆绑法，插空法，错位法，分组分配法，均匀分组法，逆向思考法等
4、二项式定理
通项公式，r=0，1，2，…，n
二项式系数的性质：
（1）对称性，在展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即，；
（2）增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值，当n是偶数时，中间一项最大；当n是奇数时，中间两项，相等，且为最大值；
（3）
5、概率
（1） 概率是频率的近似值，两者是不同概念
（2） 等可能事件中概率，P(A)∈[0，1]
（3） 互斥事件A，B中有一个发生的概率：加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)
特例：时，，即对立事件的概率和为1
（4）相互独立事件A，B同时发生的概率P(A·B)=P(A)P(B)
（5）事件A在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率Pn(k)=CnkPk(1-P)n-k，其中P为事件A在一次试验中发生的概率，此式为二项式[(1-P)+P]n展开的第k+1项
三、典型例题
例1、用n种不同颜色为下列两块广告牌着色（如图），要求在①，②，③，④个区域中相邻（有公共边界）的区域不用同一种颜色。
（1） 若n=6，为甲着色时共有多少种不同方法？
（2） 若为乙着色时共有120种不同方法，求n。
解：完成着色这件事，共分四个步骤，可依次考虑为①、②、③、④着色时各自的方法数，再由乘法原理确定决的着色方法数。因此
（1）为①着色有6种方法，为②着色有5种方法，为③着色有4种方法，为④着色也只有4种方法。
∴ 共有着色方法6×5×4×4=480种
（2）与①的区别在于与④相邻的区域由两块变成了三块，同理，不同的着色方法数是n(n-1)(n-2)(n-3)
由n(n-1)(n-2)(n-3)=120
∴ （n2-3n）(n2-3n+2)-120=0
即(n2-3n)2+2(n2-3n)-12×10=0
∴ n2-3n-10=0
∴ n=5
例2、计算下列各题：
（1）
（2）
（3）
解：（1）原式=
（2）原式=
（3）原式=
=
例3、按以下要求分配6本不同的书，各有几种分法？
（1） 平均分给甲、乙、丙三人，每人2本；
（2） 平均分成三份，每份2本；
（3） 甲、乙、丙三人一人得1本，一人得2本，一人得3本；
（4） 分成三份，一份1本，一份2本，一份3本；
（5） 甲、乙、丙三人中，一人得4本，另二人每人得1本；
（6） 分成三份，一份4本，另两份每份1本；
（7） 甲得1本，乙得1本，丙得4本（均只要求列式）
解：（1）；
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
评注：有关排列组合混合题常常是先组合再排列。
例4、四面体的顶点和各棱中点共有10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（ ）
A、150种 B、147种 C、144种 D、141种
解：从10个点中任取4个点有种取法，其中4点共面的情况有三类。第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面内，有种；第二类，取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点，这4点共面，有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的4个点共面，有3种。以上三种情况不合要求应减掉，所以不同的取法共有（种）
例5、求(4+2x+x2)(2-x)7的展开式中x5的系数。
解：(4+2x+x2)(2-x)7=(8-x3)(x-2)6
=(8-x3)[(x6-2C61x5+(-2)2C62x4+(-2)3C63x3+(-2)4C64x2+…]
∴ 含x5的项为-2×8×C61·x5-(-2)4C64x5=-336x5
∴ x5的系数为-336
例6、已知的展开式前三项中的x的系数成等差数列。
（1） 求展开式里所有的x的有理项；
（2） 求展开式里系数最大的项。
解：（1）∵
由题设可知
解得n=8或n=1（舍去）
当n=8时，通项
据题意，必为整数，从而可知r必为4的倍数，而0≤r≤8
∴ r=0，4，8，故x的有理项为，，
（3） 设第r+1项的系数tr+1最大，显然tr+1>0，故有≥1且≤1
∵
由≥1得r≤3
又∵
由≤1得：r≥2
∴ r=2或r=3所求项为和
例7、设a>1，n∈N，且n≥2，求证：
证明：设，则(x+1)n=a
欲证原不等式，即证nx<(x+1)n-1，其中x>0
∵
即(x+1)n>nx+1，原不等式成立。
评注：由于(a+b)n的展开式共有n+1项，故可通过对某些项的取舍来达到近似计算或证明不等式的目的。
例8、盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回地从中任取两次，每次取一只，试求下列事件的概率：
（1） 取到的2只都是次品；
（2） 取到的2只中正品、次品各一只；
（3） 取到的2只中至少有一只正品。
解：从6只灯泡中有放回地任取两只，共有62=36种不同取法
（1）取到的2只都是次品情况为22=4种，因而所求概率为
（2）由于取到的2只中正品、次品各一只有两种可能：第一次取到正品，第二次取到次品；及第一次取到次品，第二次取到正品。因而所求概率为
（3）由于“取到的两只中至少有一只正品”是事件“取到的两只都是次品”的对立事件，因而所求概率为
例9、甲、乙两人独立地破译1个密码，他们能译出的密码的概率分别为和，求：
（1） 恰有1人译出的密码的概率；
（2） 至多1人译出的密码的概率；
（3） 若达到译出的密码的概率为，至少需要多少个乙这样的人。
解：记“甲译出密码”为事件A，“甲译不出密码”这事件；记“乙译出密码”为事件B，“乙译不出密码”为事件；“两人都译出密码”为事件C，“两人都译不出密码”为事件D；“恰有1人译出密码”为事件E；“至多1人译出密码”为事件F。
（1）“恰有1人译出密码”是包括2种情况：一种是，另一种是。这两种情况不能同时发生，是互斥的。
∴
（2）“至多1人译出密码”包括两种情况：“2人都译不出密码”或“恰有1人译出密码”，即事件D+E，且事件D、E是互斥的
∴
（3）n个乙这样的人都译不出密码的概率为，根据题意得：
解得：n=16
例10、某数学家有两盒火柴，每盒都有n根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中抽出一根，求他发现用完一盒时另一盒还有r根（1≤r≤n）的概率。
解析：由题意知：数学家共用了2n-r根火柴，其中n根取自一盒火柴，n-r根取自另一盒火柴。
由于数学家取火柴时，每次他在两盒中任取一盒并从中抽取一根，故他用完的那一盒取出火柴的概率是，他不从此盒中取出一根火柴的概率也是。
由于所取的2n-r根火柴，有n根取自用完的那一盒的概率为：
同步练习
（1） 选择题
1、某一排共12个座位，现甲、乙、丙三人按如下要求入座，每人左右两旁都有空座位，且三人的顺序是甲必须在另两人之间，则不同的座法共有
A、60种 B、112种 C、242种 D、672种
2、某同学从6门课中选学2门，其中有2门课上课时间有冲突，另有2门不允许同时选学，则该同学可选学的方法总数有
A、8种 B、13种 C、12种 D、9种
3、如图，在某城市中，M、N两地间有整齐的道路网，若规定只能向东或向北两个方向沿图中的矩形的边前进，则从M到N不同的走法共有
A、13种 B、15种 C、25种 D、10种
4、将n个不同的小球放入n个不同的盒子里，恰好有一个空盒的放法种数是
A、 B、 C、 D、
5、若(1-2x)9=a0+a1x+a2x2+…+a8x8+a9x9，则a1+a2+…+a8的值为
A、-1 B、-2 C、-512 D、510
6、 展开式中，x4的系数为
A、-40 B、10 C、40 D、45
7、的展开式中无理项的个数是
A、84 B、85 C、86 D、87
8、的展开式中系数最大的项是
A、第3项 B、第4项 C、第2或第3项 D、第3或第4项
9、掷三颗骰子（各面上分别标以数字1到6的均匀正方体玩具），恰有一颗骰子出1点或6点的概率是
A、 B、 C、 D、
10、一工人看管三台机床，在一小时内甲、乙、丙三台机床需要工人照看的概率分别是0.9，0.8和0.85，那么在一小时中至少有一台机床不需要照看的概率是
A、0.003 B、0.612 C、0.388 D、0.027
11、在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率P的取值范围是
A、[0.4，1] B、（0，0.4] C、（0，0.6] D、[0.6，1）
12、一批零件10个，其中有8个合格品，2个次品，每次任取一个零件装配机器，若第一次取得合格品的概率是P1，第二次取得合格品的概率是P2，则
A、P1>P2 B、P1=P2 C、P113、一个学生通过某种英语听力测试的概率是1/2，他连续测试n次，要保证他至少有一次通过的概率大于0.9，那么n的最小值为
A、3 B、4 C、5 D、6
14、甲、乙两人投篮命中的概率分别为p、q，他们各投两次，若p=1/2，且甲比乙投中次数多的概率恰好等于7/36，则q的值为
A、 B、 C、 D、
（2） 填空题
15、空间12个点，其中5个点共面，此外无任何4个点共面，这12个点最多可决定_________个不同的平面。
16、(4+2x+x2)(2-x)7展开式中x5的系数为________。
17、=__________。
18、有1个数字难题，在半小时内，甲能解决它的概率是，乙能解决它的概率是，两人试图独立地在半小时内解决它，则：
（1） 两人都未解决的概率为__________；
（2） 问题得到解决的概率为__________。
19、一次考试出了10个选择题，每道题有4个可供选择的答案，其中1个是正确的，3个是错误的，某学生只知道5个题的正确答案，对其他5个题全靠猜回答，那么这个学生卷面上正确答案不少于7个题的概率是________________。
（3） 解答题
20、某天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共6节课，如果第1节不排体育，最后1节不排数学，那么共有多少种不同的排课表的方法。
21、有甲、乙、丙三位老师，分到6个班上课：
（1） 每人上2个班课，有多少种分法？
（2） 甲、乙都上1个班课，丙上4个班课，有多少种分法？
（3） 2人各上1个班课，1个人上4个班课，有多少种分法？
22、在x(1-x)k+x2(1+2x)8+x3(1+3x)12的展开式中，含x4的系数是144，求k的值并求出含x2项的系数等于多少？
23、某气象站天气预报的准确率为80%，求：
（1）5次预报中恰有4次准确的概率；
（2）5次预报中至少有4次准确的概率（结果保留2位有效数字）。
24、有6个房间安排4个旅游者住，每人可以进住任一房间，且进住房间是等可能的，试求下列事件的概率：
（1） 事件A：指定的4个房间各有1人；
（2） 事件B：恰有4个房间中各有1人；
（3） 事件C：指定的某个房间中有2人；
（4） 事件D：第1号房间有1人，第2号房间有3人。
25、有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8，0.7，从两批种子中各取1粒，求：
（1）2粒种子都能发芽的概率；
（2）至少有1粒种子发芽的概率；
（3）恰好有1粒种子发芽的概率。
26、如图构成系统的每个元件的可靠性为r（0参考答案
（1） 选择题
1、B 2、B 3、B 4、A 5、D 6、D 7、A 8、C 9、C 10、C
11、A 12、B 13、B 14、C
（2） 填空题
15、211 16、-336 17、 18、（1）1/3 （2）2/3 19、0.3671875
（3） 解答题
20、504 21、（1）90 （2）30 （3）90 22、4，-3
23、（1）0.41 （2）0.74
24、（1） （2） （3） （4）
25、（1）0.56 （2）0.94 （3）0.38
26、（1）rn(2-rn) （2）rn(2-r)n （2）比（1）可靠
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1江苏省扬中高级中学高三数学组 2005.10
2005-2006年高3第一轮复习----三角形内的三角函数问题
与三角形有关的三角函数问题，解三角形
一、学习指导
在三角形这个特定条件下：三角函数问题有哪些变化呢？通性是永远不会改变的，三角函数的性质，公式等当然继续有效，只是多出了一些特性罢了，例如，P：∠A＞∠B， q：sinA＞sinB，一般地说，P不是q的充分条件，也不是q的必要条件，但加了“在三角形中”这个前提后，p是q的充要条件，这是因为：在△ABC中A＞B.q：cosA＜cosB，p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件，但在三角形中，却有A＞BcosA＜cosB，这是因为，三角形内角不同在（0，π）而余弦函数在其间单调递减等等，那么“在三角形中”给我们增添了一些什么条件呢？
1．A、B、C、E（0，π），且A+B+C=π.
2．a2+b2+c2－2bccosA.
b2=c2+a2－2cacosB
c2=a2+b2－2abcosC
及其特殊情形：勾股定理；
4．a=bcosC+ccosB
b=acosC+ccosA
c=acosB+bcosA
（这个式子叫三角形中的射影定理，其证明见下一讲“平面向量”）
直角三角形中的射影定理.
5．三角形面积S=aha=absinC=2 R2sinAsinBsinC
=abc=pr(p=(a+b+c))=
（最后一式已称为“海伦公式”）
二、典型例题
例1．已知在△ABC中，sinA=，判断它们形状，已知条件是角际关系，我们可以利用差化积（使出现B+C）以便利用内角和定理与A挂上钩，（见附录解法一）
我们也可利用正、余弦定理，把已知条件化为边际关系，以便利用勾股定理逆定理或分解因式，出现a=b，a2=b2，a2+b2－c2=0等情况
例2.在锐角△ABC中， p=+.
（1）比较p与1的大小，说明理由.
（2）求证：p＜+ .
条件为什么要“锐角三角”？无非要任一角均为锐角（从而三角函数值为正），任两角的和为钝角而已.A+B＞. ∴A＞－B. 左右均为锐角，∴sinA＞(－B)=cosB.同理，sinB＞cosA，这就为我们的大小比较开辟了道路。
第（2）小题中用比较法，得等，易知即tan(－A).再此比试处理.
例3．已知△ABC的面积为S，若S=.
（1）求ab的值；
（2）若C=3，求角C的取值范围.
同角的正余切相加减一般化为弦，tanα+catα==2csc2α，tanα－catα==－2cot2α.于是已知条件可写为absinC=9sinC，sinC≠0，∴ab=18.
有了第（1）小题的结论，在cosC=中使用基本不等式就可求及cosC的取值范围，从而确定C的范围.
例4．△ABC的三内角A、B、C成等差数列，若B的两斜边之差恰好等于B时边上的高，求sin的值.
由A、B、C成等差数列，知B=.
不妨设A≤C（注意若ε·不为0，则应有正负两值）
hb=c－a，这个条件怎么用？当然会想到面积：
b(c－a)=bhb=acsinB，所求为角，故利用正弦定理有sinB(sinC－sinA)=sinAsinCsinB，约去sinB=.和积函化，便出现A+C（为已知，1200）与A－C，目的便可达到.
例5．已知圆内接四边形中，A=2，BC=6，CD=DA=4求其面积.
圆内接四边形的重要性质之一是“对角互补”从而对角的正弦值的相同，余弦值互为相反数，这样，我们就可以用对角线作为过渡，求出一组对角的余弦值，四边形面积就用此对角线分成的两个三角形面积之和来计算.
例6．△ABC中，sinAcos2+sinCcos2=sinB.
（1）求证：a、b、c成等差数列；
（2）若A、B、C成等差数列，判断△ABC的形状.
（3）若最大角为π，求最小角.
在（1）中，条件是“半角”“平方”，应想到降次，于是出现了sinA+sinAcosC+sinC+sinccosA=3sinB. 利用和角公式变为sinA+sinC=2sinB就是很自然的事了.
（2）中相当于加了条件B=，A+C=π，化积或直接代入，都可得出A=B=C
（3）中，用余弦定理，求a、b、c相对关系，再用余弦乐定理求最小角，不是难事；也可利用正弦定理和此例性质：====
∴=2sin(－A)－sinA，展开后即cosA－
=2sinA 两边平方化简可得28cos2A－12cosA－B
=0 cosA=(－舍去，因A是最小角，为锐角)
∴最小角当arccos
例7．△ABC的外接圆的半径为R，若2R（sin2A－sin2C）=(a－b)sinB，求△ABC面积S的最大值。
已知式中有角的正弦，有边，还有R，着手点无非化为边和化为角两条。
若化为边，则两边周来2R， a2－c2=ab－b2，由余弦定理可推知C=450.
若化为角，则2(sin2A－sin2C)=2sinB(sinA－sinB)左边降次，cos2C－cos2A=2sinB(sinA－sinB).
左化积，2sin(A+C)sin(A－C)=2sinB(sinA－sinB)，亦即sin(A－C)= sinA－sinB sinA=sin(A－C)+sin(A+c)=2ε·AcosC， ∴cosC= C=.
因R为已知数，故面积离不开R：
S△=absin450=2R2·sinAsinB=R2≤R2(1+)=R2(+)
例8．在△ABC中，sin2A－sin2B+sin2C=sinAsinC. 且cosA+cosC=－2cosAcosC. 求三内角.
由第一个条件化为边，即可用余弦定理求得B=.再把第二个条件和积互化，目的是出现A+C，A－C，这样使可求出A－C，从而进一步可写出三个内角.
例9．在三边长两两不等的锐角三角形ABC中.
（1）求y=2sin2B+sin(2B+)的最大值.
（2）求证：a+c＜2b
把sin2B降次，与sin(2B+)展开重新整合，可知y=1+sin(2B－)，扰锐角三角形条件，B∈（0，），即可求得y的最大值.
要证a+c＜2b，化为证sinA+sinA+sinC＜2sinB. 因在三角形中，化积，把A+C化为π－B把cos放大为1，且说明不可能取到1即可.
例10．海岛A的礁顶海拔1千米，礁顶的观测站P在n时测得一船在此300东，11时10分，船行至此600西方向又首测中俯角300，二测中俯角为600
（1）求船速（假设船在此段时间内匀速直线运动）
（2）何时船至岛的正面？此时船距岛多远？
首先接俯角及山高，求出两次测量中船与岛的距离此后，就变成了平面问题，此300东至600面，夹角恰为直角，故用句股定理即可求得航程，从而求出船速，用两次船的位置与过多的东西方向线的距离之比，可求得第（2）小题答案
巩固练习
1． △ABC中，=且cos2C+cosC=1－cos(A－B).试判别其形状.
2．求证：△ABC中必有=
3．△ABC中，2b=a+c，求cosA+cosC－cosAcosC+sinAsinC的值.
4．A、B、C是一条直路上的三点，且AB=BC=1km，从A点看塔M在北450东，B点看塔M在正东方向，在C点看塔M在南600东，求塔M到这段路的最短距离。
5．在△ABC中，求sin2+sin2+sin2的最小值及此时三角形的形状。
6．△ABC中，A、B、C成等差数列，tanAtanC=2+，又知三角形面积为.求三边长.
7．在△ABC中，a、b、c成等差数列，求∠B的取值范围.又若a、b、c成等比数列呢？
8．在△ABC中，已知cos2(－A)=，且b+c=a，求cos
9．在△ABC中，=，求cos
10．在△ABC中，sinA+sinB=2(cosA+cosB)
（1）求sinC
（2）若a+b=10，求S△的最大值
11．△ABC中，a+b=10，c=8，求tantan
参考答案
1．由已知==. ∴b2－a2=ab ①
又cosC+cos(A－B)=1－cos2C. 即cos(A－B)－cos(A+B)=2sin2C.
亦即2sinAsinB=2sin2C， 2ab=2c2 ②
由①、②，b2－a2=c2 ，该三角形长Rt△
2．证：右边==
===左边
3．∵2b=a+c ∴2sinB=sinA+sinC=2sincos
∴2sincos=sincos ∵=为锐角
∴cos=2a
∴原式=2coscos－(2cos2－1)－[cos(A+C)+cos(A－C)]
=2coscos－cos2+－[2cos2－2cos2－1]
=4cos2－cos2－cos2－×4cos2+=1
4．易知，∠BMA=450，∠CMB=300.
在△ABM中=
在△BCM中，=.
∴CM=AM, 又∠CMA=450+300=750，
∴22=CM2+AM2－2·CM·Amcos750.
2H=CM·Amsin750， ∴h=
答：塔M到路的最短距离为m
5．sin2+sin2+sin2=++sin2
=1－coscos+sin2=1－sin(cos－sin)≥1－sin(1－sin)=sin2－sin+1≥.
等号当且仅当即A=B=C=时取得.
此时△ABC为正三角形
6．
tanA+tanC=tan(A+C)(1－tanAtanC)=―(―2―)=+3 ,tanA、tanC为方程n2―(3+)n+2+=0的两根：1与2+，故A、C ―为450 ―为750
S=2R2sin600sin750sin450=k2=. ∴k=1
B=2sin600=, a与c为2sin750或2sin450即―为，―为
7．（1）∵a、b、c成等差数列，∴2b=a+c
∴cosB===≥= ∴B∈
（2）∵a、b、c成等比数列，∴b2=ac
∴cosB==≥=.
∴B∈
8．由已知，sin2A+cosA=，cos2A－cosA+=0.
∴cosA= A=
∵b+c=a ∴sinB+sinC=sinA=
2sincos= ∴cos=
9．在已知条件的右端使用正弦定理有
=， 即2sin (A－B)sin(A+B)
=2sin2C－sinCsinB 亦即cos2B－cos2A=2sin2C－sinCsinB 2sin2A－2sin2B=2sin2C－sinCsinB 再用正弦定理 a2－b2=c2－
∴cosA== 1－2sin2=，sin=
∴cos=sin=
10．（1）由已知，2sincos=4coscos
∵∈(－，) cos≠0 ∴tan=2 即tan=，sinC==.
（2）S=absinC≤×=×=10.
11．记内切圆半径为r，a=y+z，b=z+x
C=x+y 由已知
∴
tantan=. 又（－tantan）
==tan( tan+tan)
∴1－=r(+)==8
∴tantan==.
六、附录
例1．解法一. 由已知，sinA==tan=cat
即=， tan2=11 又为锐角，故tan=1. =.
A=. Rt△
解法二，把已知式两边都乘以2R，由正弦定理和余弦定理，有a(+)=b+c
b(a2+c2－b2)+c(a2+b2－c2)=abc(b+c)
(b+c)[a2+bc－(b2+c2－bc)]=2bc(b+c)， 又b+c≠0
∴a2－b2－c2+2bc=2bc a2=b2+c2. 直角三角形
例2．（1）p=+＜+=1
（2）p－(+)=+
=tan(－A)+tan(－B)=
==*
∵A、B、C为锐角，∴cosC＞0，－A －B∈（－，）
余弦值均正，故*式值为负，即p＜+
例3．（1）S==9sinC. 又S=absinC.
∴ab=18
（2）cosC=≥=1－=.
∴C∈
例4．B=.
不妨暂设C≥a，则c－a=hb， 即b(c－a)=bhb=2S△=acsinB. 由正弦定理，可化为
sinB(sinC－sinA)=sinAsinCsinB 约去sinB=.
2cossin=. 亦即
－4··sin=－－(1－2sin2)整理得
4sin2+4sin－3=0 sin=(－舍去)
∴sin=±.
例5．AC2=22+62－2×2×6cosB=42+42－2×4×4cosD.
又D=π－B 故cosB=. 从而sinB=sinD=
S=×(42+2×6)=8.
例6．（1）把已知式两边乘以2，除以：
sinA(1+cosC)+sinC(1+cosA)=3sinB. 即
sinA+sinC+sin(A+C)=3sinB. 又A+C=π－B.
∴sinA+sinC=2sinB 两边同乘以2R，即得
a+c=2b ∴a、b、c成等差数列.
（2）B=.于是有
2sincos=2×. cos=1 A=C==.
∴△ABC为正三角形.
（3）不妨设C为最大角，则cosC===－.
解得a=b. ∴c=b.
cosA==. ∴最小角为arccos.
例7．由已知可得a2－c2=ab－b2. ∴cosC=
==. c=
S=absin=2R2sinAsinB×=R2[cos(A―B)―cos(A+B)]≤R2(1+)=R2.
例8．由已知a2－b2+c2=ac , ∴cosB===.
∴B=. A+C=π.
又由已知，2coscos+(cos(A+C)+cos(A－C))=0.
即cos+(－+2cos2－1)=0. 解得cos=. (－舍去).
=± A－C=±。
∴ 或
例9．（1）y=1－cos2B+sin2B+cosB
=1+ε·2B－cos2B=1+sin(2B－)
B∈(0，)，∴2B－∈(－，π) ∴y≤1+1=2.
等号当且仅当B=时.
（2）要证a+c＜2b，即证sinA+sinC－2sinB＜0即可.
左=2sincos－2sinB=2sinB(cos－1)≤0. 又三边长两环等，故cos＜1. 等号不取.
例10．岛上礁顶高1千米 ，两次俯角为300、600，故两次船与岛的距离为，千米。又∠AOB=600+300=900.
∴AB=千米 ，V船==2千米/小时
又AA/=千米. BB/=千米.
==. t=小时.
11++=11+=11+时到达岛面.
OC=OB/+B/C=×+×(+×)
=（千米）
答：船速为2千米/小时.（11+）点到达岛面，此时船岛间距离为千米.
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1江苏省扬中高级中学高三数学组 2005.10
2005-2006年高3第一轮复习------等差数列与等比数列
数列的概念，分类、表达、两种重要数列：等差数列与等比数列的定义，通项，前n项和、性质等。
一、学习指导
数列的特点是“有序”，数列的实质是函数——定义域为N*或｛1，2，3…，n｝的函数，故按定义域，数列分为有穷数列与无穷数列；按值域，数列分为有界数列与无界数列；按取值变化情况，分为常数列，单调数列，摆动数列，周期数列。
数列的表达式一一顺序列出（也可用图、表）在可能的情况下，还可用通项公式或递推式（须加初始条件）表示，高中阶段接触的大都是后者。
等差数列与等比数列是两个基础性的数列，对它们的定义、性质、公式，建议同学们进行对比性地理解和记忆，常数列必为 等差数列（公差d=0），非零常数列必同时也是等比数列（公比q=1），反之亦然，对等比数列求和。切记要分为q=1与q≠1两种情况，等比数列的公比q及任意一项均不能为零。
任意两个数都有等差中项，而且是唯一的；在实数范围内，同号的两个数才有等比化中项，且为一对相反数，在实数范围内，等比数列的各奇数项符号相同，各偶数项符号相同。
要注意可以化为等差，等比数列的转化技巧。
二、典型例题
例1．是否存在公差不为零的等左数列｛a2｝，使对任意正整数n，为常数？若存在，示出这个数列；若不存在，说明理由。
存在性问题，往往先假设它存在，根据题设条件列式，若据此能求出欲求，则“事实胜于雄辩”不仅证明了“存在”，还解决了“是什么”；若据此推得矛盾，则说明假设错误，从而证明了“不存在”。
若存在，记首项为a1，公差为d(≠0) ，据题设，应有A==
要与n无关，应有－2= 4(－1)，求得a1=，说明存在。
例2．三个实数10a2+81a+207，a+2，26－2a经适当排列，它们的常用对数值构成公差为1的等差数列。求a的值。
先扫清外围：证明三个数的常用对数构成公差为1的等差数列，它们本身必构成公比为10的等比数列。
再考虑“适当排序”。（10a2+81a+207）－（a+2）=10a2+80a+205=10(a+4)2+45＞0，（10a2+81a+207）－(26－2a)=10a2+83a+181=10(a+)2+＞0，故10a2+81a+207为最大项，又由各项为正数知a∈(－2，13) 故10a2+81a+207=10(a+2)=100(26－2a)或
10a2+81a+207=10(26－2a)=100(a+2)解出即可。
例3．数列｛a2｝的前n项之和为Sn，对任意正整数n，有an+Sn=n，数列｛bn｝中，b1=a1，bn+1=an+1－an，求｛bn｝前n项之和Pn及通项bn。
an与Sn间的关系要牢记：an= 由此我们不难得出a1=,an+1=an+
至此，我们要把它与等比数列挂钩，有两种选择：
（1）两边同减1： an+1－1=(an－1) （此处1可用待定系数法确定），从而说明｛an—1｝，（此外1可用待定系数法确定），从而说明｛an－1｝构成以－，且an=an－1+，两式相减，得an+1－an=(an－an－1)，说明了差数列构成公比为的等比数列。
例4．已右曲线xy－2kx+k2=0与x－y+8=0有且只有一个为共点，数列｛an｝中，a1=2k，n≥2时，｛an－1，an｝均在曲线xy－2kx+k2=0上，数列｛bn｝中，bn=.
（1）求证：｛bn｝是等差数列；
（2）求an
先由方程组解唯一，求出k与a1，再由逆推式an－1an－2kan－1+k=0推及｛bn｝成等差，进而求出an，在对an－1an－4an－1+4=0变化时，应把目标紧紧盯在an－2，an－1－2上。
例5．已知递增的等比数列｛an｝前三项之积为512，它们分别减去1，3，9后，又构成等差数列，则+++…+＜1.
先由题设条件求出an，而++…+可看作等差数列，1，2，…，n……与等比数列，，…，，…对应项相来得到的新数列，要求它的前n项之和，一般把和式两边同来以公比q（或），错位相减（目的是列出“等比数列求和”）从而求出这个和。
例6．某企业在年初创办时投入资金1000万元，年资金增长率为50%，但每年年终要扣除消费基金x万元，其余校入再生产，要想经过5年扣除其金后的资金达到2000万元，消费基金x最多为多少万元（精确到万元）？
写出递推式，并把递推式改造为等比数列是这一类问题的通常解法，如本题中，第一年底记为a1，则a1=1000×1.5－x，an+1=1.5an－x，进而写为an+1－2x=1.5(an－2x)
巩固练习
1．数列｛an｝中，a1=3，对一切正整数n，关于x的方程anx2－2an+1x+1=0的两实数α、β都是满足(α－1)(β－1)=2
（1）求证：数列｛an－｝是等比数列；
（2）求数列｛an｝的通项公式。
2．已知数列｛an｝是各项均为正数的等比数列，bn=[lga1+lga2+…+lgan－1+lg(kan )]，问是否存在正数k，使｛bn｝是等差数列？若存在，求出这样的k，若不存在，说明理由。
3．设数列｛an｝前n项和Sn= 4an－a1－n
（1）求an+1与an的关系
（2）求通项an
4．Sn为数列｛a2｝的前n项之和，a1=3，2an=SnSn－1（a≥2）
（1）求证：｛｝是等差数列，并求出公差。
（2）求｛an｝的通项公式
（3）是否存在正整数k，使ak＞ak+1，ak+1＞ak+2，…都成立（亦即从从第k项起单调递减）？若存在，求出最小的k值，若不存在，说明理由。
5．等差数列｛an｝与｛bn｝的前n项和分别记为Sn、Tn.
（1）若=，求；
（2）若=，求.
6．是否存在常数k和等差数列｛an｝，使得ka－1=S2n－Sn+1，对任意正整数n都成立？
7．已知数列｛an｝是等差数列，｛bn｝是等比数列，且a1=b1=1，a2+a4=b3，b2b4=a3，Cn=anbn，求｛an｝前n项之和
8．一个水池有几个相同的进水龙头，如果全部打开，24分钟可注满水池；如果开始到此时所用的时间，恰为关闭第一个水龙头所用时间的5倍，问整个过程一共花费了多长时间？
9．等比数列｛an｝的各项均为正数，Sn为其前n项之和.
（1）求证：＜lgSn+1.
（2）是否存在正的常数C，使=lg(Sn+1－C)成立？证明你的结论。
10．招来20名新工人，随着对工作熟练程度的提高，从第二周起每周工效都比前一周提高10%，但由于各种原因，每周减员1人。
（1）第几周他们完成的周工作量最大？
（2）他们总共完成了多少工作量？（以招工后第一周每人每周工作量为1计算）
11．已知等比数列｛an｝的公比q＞1，且a=a15，且前n项之和为Sn，前n项倒数之和为Tn，求满足Sn＞Tn的最小正整数n。
12．等差数列｛an｝不是常数列，从中抽取一些项，按它们原先的相对顺序排列的新数列ak1，ak2，…，akn，…构成等比数列，若k1=1，k2=5，k3=17。
（1）求｛｝的公比q；
（2）记kn=f(n)，求f(n)的解析式。
参考答案
1．由已知αβ－(α+β)=1，即－=1，即an+1=－an+，亦即an+1－=－(an－)，又a1－=≠0 ∴｛an－｝是首次，公比－的等比数列.
an－=·(－)n—1，∴an=+(－)n—1
2．bn=lg(ka1a2…an)= lglk·aq=+lga1+(n－1) .故存在k=1，使bn=lga1+(n－1) ，从而使｛bn｝构成首项lga1，公差的等差数列.
3．Sn+1=4an+1－2—n，Sn=4an－a1—n，两式相减，有an+1= 4an+1－4an+，即3an+1= 4an－
2n+1an+1=(2nam)－. （2n+1an+1－）=(2nan－)，说明｛2nan－｝构成首项，2a1－，公比的等比数列，而S1=a1= 4a1－1，a1= ∴2nan－=(－)()n—1.
an=·21—n+()n
4．（1）当n≥2时，2(Sn－Sn－1)=SnSn－1，即－=－.
∴｛｝构成首次，公差－的等差数列.
（2）=－， ∴Sn=.
当n≥2时，an=Sn－S n－1=. 当n取值1时，值恰为3=a=1
∴an=.
（3）令＞. k∈(，)∪（，+∞）要从k项后这样的式子都成立，k＞，又k∈N+ ∴k≥3，最小的k为3.
5．（1）=====
（2）由①知===，∴=
6．若存在，则有k[a1+(n－1)d]2－1=[2na1+d]－[(n+1)a1+d]
kd2n2+2kd(a1－d)n+k(a1－d)2－1=dn2+(a1－)n－a1
kd2=d ①
2kd(a1－d)=a1－ ②
k(a1－d)2－1=－a1 ③
由①，d=0，或kd=.
若d=0. 则②、③式即a1=0，ka12－1=－a1，两式矛盾，若kd=， 则②即a1=d≠0，③即k(－d)2－1=－d，×d－1=－d. d=1. d=. a1=. k=.
7．由已知，a3=b2b4=b=(a2+a4)2= 4a. 又a3=b2b4≠0. 故a3=. d==－.
∴an=+(n－3)(－)=. 此时, b3=2a3=. q=±=±. bn=(±)1—n
∴Cn=(±)1—n
当q=时，Sn=1+·+…+()n—1
Sn=+++…+()n—2
∴(－1)Sn=－(1++…+()n—2)－()n—1
=－－()n—1
∴Sn=+()n—1
类似地可求及当q=－时，Sn=1－+…+()n—1
Sn=－+……+－(－)n—1)
∴Sn=[4+―(20―23―3(―1)n) (－)n—1]
8．从开始到最后所用时间为关闭第一个所用时间的5倍，故进水龙头的人数为5，每个水龙头十分钟可注水池容量的：(5+4+3+2+1)=1，∴t=8，总共用了40分钟
9．（1）原不等式等价于SnSn+2＜S
若公式q=1，则即证na1(n+z)a1＜(n+1)2a，∴左―右=―a＜0；∴原不等式成立；
若q＞0且q≠1，则即证·＜
亦即(qn―1)(qn+2―1)＜(qn+1―1)2
左―右=2qn+1―qn―qn+2=―qn(q―1)2＜0，∴原不等式成立。
（2）若存在这样的C， 则Sn―C＞0，（n∈N+）且(Sn―C)(Sn+2―C)=(Sn+1―C)2.
SnSn+2―S2n+1+C(2Sn+1―Sn―Sn+2)=0。
若q=1，则n(n+2)a12―(n+1)2a12+C[2(n+1)a1―na1―(n+2)a1]=0
即a12=0，a1=0，C＞0，从而S1―C＜0，不合题意，
若q≠1，则―+C[2――]=0，亦即a12(2qn+1―qn―qn+2)+a1C(q―1)[2qn+1―qn―qn+2]=0，―a1qn(q―1)2[a1+C(q―1)]=0 ∵a1qn(q―1)2≠0，∴C=，此时Sn―C=―=＜0 （∵C＞0，∴q＜1＝亦不合题意
∴这样的正数C不存在。
10．第k周完成的工作量为ak=[20―(k―1)]×1.1k—1。 （k∈｛1，2，…，20｝）当n≥2时，==令≥1，有k≤11，∴a11=a10=10×1.110最大。
S=20+19×1.1+18×1.12+…+1×1.119
1.1S= 20×1.1+19×1.12+…+2×1.119+1.120
两式相减，0.1S=－20+1.1+1.12+…+1.119+1.120
=－20+=10×1.121－31
∴S=100×1.121×310
答：第十、十一两周完成工作量最大，他们共完成工作量为100×1.121－310
11．由已知，a=a15=a10q5， ∵a10=q5， an=a10qn—10=qn—5。
Sn=，Tn=，令Sa＞Tn. 解得qn—9＞1。n＞9，n最小值为10
12．由已知a=a1a17，即(a1+4d)2=a1(a1+16d)。 又d≠0，故a1=2d， an=(n+1)d，q===3.
是原数列的第kn项，是新数列的第n项，故=(kn+1)d=2d·3n—1，
∴f(n)=kn=2·3n—1－1.
六、附录
例1．若这样的等差数列存在，记首项为a1，公差d≠0，则有A==
.需为与n无关的常数，须－2= 4()，解得a1=，此时A===，满足题设条件.
∴｛a2｝：an=(2n－1)d （d≠0）
例2．若lgb=lga+1，则b=10a，故知x适当排序后三数应成公比为10的等比数列。
又因（10a2+81a+201）－(a+2)=10(a+4)2+45＞0及(10a2+81a+201)－(26－a)=10(a+)2+＞0，知10a2+81a+201为最大数
故10a2+81a+201=10(a+2)=100(26－2a)＞0或10a2+81a+201=10(26－2a)=100(a+2)＞0
分别解得a∈ 及a=
∴a=
例3．当n=1时，a1=S1，由已知，2a1=1，∴a1=.
当n≥2时，把an+1+Sn+1=n+1与an+Sn=n两式相减，得a n+1=an+ ①
于是a2=×+=，a2－a1=.
把an+1=an+与an=an—1+ （n≥2）两式相减，得an+1－an=(an－an—1)
∴Pn=b1+(a2－a1)+…+(an―an—1)==1－()n。
bn= 即bn=()n
也可由①式得an+1―1=(an―1)，又a1―1=― ∴｛an－1｝构成首项－，公比之等比数列，an=1+(－)·()n—1=1－()n
Pn=(an－an—1)+(an—2－an—3)+…+(a2－a1)+a1=an=1－()n
从而bn n=1
Pn－Pn—1=()n n≥2， 即bn=()n.
例4． 消去y，x2+(8－2k)x+k2=0
有且只有一个解，∴△=(8－2k)2－4k2=0，k=2，a1=4，
故当n≥2时，an—1an－2kan—1+k2=0， 即an—1(an－2)=2(an—1－2)·=an－2.亦即an－2=+ ∴｛bn｝构成公差为的等差数列
bn=+(n－1)×=， ∴an－2=,an=2+.
例5．设前三项为，b，bq，则有
解得b=8，q=2，（舍去），∴an=2n+1
记Sn=++…+，则2Sn=++…+
两式相减，Sn=++…+－=－
=1－－＜1.
例6．a1=1000×1.5－x，an+1=an×1.5－x.
∴an+1－2x=1.5(an－2x) a1－2x=1500－3x
a5－2x=(1500－3x)×1.54 令2x+(1500－3x) ×1.54≥2000.
x≤424（万元）
12
1江苏省扬中高级中学高三数学组 2005.10
2005-2006年高3第一轮复习----圆锥曲线方程
一、复习要求
1、 三种圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质等。
2、直线和圆锥曲线位置关系。
3、求轨迹方程的常规方法。
二、学习指导
1、上一章已经复习过解析几何的基本问题之一：如何求曲线（点的轨迹）方程。它一般分为两类基本题型：一是已知轨迹类型求其方程，常用待定系数法，如求直线及圆的方程就是典型例题；二是未知轨迹类型，此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外，通常设法利用已知轨迹的定义解题，化归为求已知轨迹类型的轨迹方程。因此在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点坐标有关的方程（等量关系），侧重于数的运算，一是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用。
在基本轨迹中，除了直线、圆外，还有三种圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线。
2、 三种圆锥曲线的研究
（1）统一定义，三种圆锥曲线均可看成是这样的点集：，其中F为定点，d为P到定直线的 距离，F ，如图。
因为三者有统一定义，所以，它们的一些性质，研究它们的一些方法都具有规律性。
当01时，点P轨迹是双曲线；当e=1时，点P轨迹是抛物线。
（2）椭圆及双曲线几何定义：椭圆：{P||PF1|+|PF2|=2a，2a>|F1F2|>0，F1、F2为定点}，双曲线{P|||PF1|-|PF2||=2a，|F1F2|>2a>0，F1，F2为定点}。
（3）圆锥曲线的几何性质：几何性质是圆锥曲线内在的，固有的性质，不因为位置的改变而改变。
1 定性：焦点在与准线垂直的对称轴上
椭圆及双曲线中：中心为两焦点中点，两准线关于中心对称；椭圆及双曲线关于长轴、短轴或实轴、虚轴成轴对称，关于中心成中心对称。
2 定量：
椭 圆 双 曲 线 抛 物 线
焦 距 2c
长轴长 2a ——
实轴长 —— 2a
短轴长 2b
焦点到对应准线距离 P=2 p
通径长 2· 2p
离心率 1
基本量关系 a2=b2+c2 C2=a2+b2
（4）圆锥曲线的标准方程及解析量（随坐标改变而变）
举焦点在x轴上的方程如下：
椭 圆 双 曲 线 抛 物 线
标准方程 （a>b>0） （a>0，b>0） y2=2px（p>0）
顶 点 （±a，0） （0，±b） （±a，0） （0，0）
焦 点 （±c，0） （，0）
准 线 X=± x=
中 心 （0，0）
有界性 |x|≤a|y|≤b |x|≥a x≥0
焦半径 P(x0，y0)为圆锥曲线上一点，F1、F2分别为左、右焦点
|PF1|=a+ex0 |PF2|=a-ex0 P在右支时： |PF1|=a+ex0 |PF2|=-a+ex0P在左支时： |PF1|=-a-ex0 |PF2|=a-ex0 |PF|=x0+
总之研究圆锥曲线，一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质，以简化运算。
3、 直线和圆锥曲线位置关系
（1） 位置关系判断：△法（△适用对象是二次方程，二次项系数不为0）。
其中直线和曲线只有一个公共点，包括直线和双曲线相切及直线与双曲线渐近线平行两种情形；后一种情形下，消元后关于x或y方程的二次项系数为0。
直线和抛物线只有一个公共点包括直线和抛物线相切及直线与抛物线对称轴平行等两种情况；后一种情形下，消元后关于x或y方程的二次项系数为0。
（2） 直线和圆锥曲线相交时，交点坐标就是方程组的解。
当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理；二是点差法。
4、圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考，一是建立函数，用求值域的方法求范围；二是建立不等式，通过解不等式求范围。
三、典型例题
例1、 根据下列条件，求双曲线方程。
（1） 与双曲线有共同渐近线，且过点（-3，）；
（2） 与双曲线有公共焦点，且过点（，2）。
分析：
法一：（1）双曲线的渐近线为
令x=-3，y=±4，因，故点（-3，）在射线（x≤0）及x轴负半轴之间，
∴ 双曲线焦点在x轴上
设双曲线方程为，（a>0，b>0）
解之得：
∴ 双曲线方程为
（2）设双曲线方程为（a>0，b>0）
则
解之得：
∴ 双曲线方程为
法二：（1）设双曲线方程为（λ≠0）
∴
∴
∴ 双曲线方程为
（3） 设双曲线方程为
∴
解之得：k=4
∴ 双曲线方程为
评注：与双曲线共渐近线的双曲线方程为（λ≠0），当λ>0时，焦点在x轴上；当λ<0时，焦点在y轴上。与双曲线共焦点的双曲线为（a2+k>0，b2-k>0）。比较上述两种解法可知，引入适当的参数可以提高解题质量，特别是充分利用含参数方程的几何意义，可以更准确地理解解析几何的基本思想。
例2、设F1、F2为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|>|PF2|，求的值。
解题思路分析：
当题设涉及到焦半径这个信息时，通常联想到椭圆的两个定义。
法一：当∠PF2F1=900时，由得：
，
∴
当∠F1PF2=900时，同理求得|PF1|=4，|PF2|=2
∴
法二：当∠PF2F1=900，
∴
∴ P（）
又F2（，0）
∴ |PF2|=
∴ |PF1|=2a-|PF2|=
当∠F1PF2=900，由得：
P（）。下略。
评注：由|PF1|>|PF2|的条件，直角顶点应有两种情况，需分类讨论。
例3、设点P到M（-1，0），N（1，0）的距离之差为2m，到x轴、y轴的距离之比为2，求m取值范围。
分析：
根据题意，从点P的轨迹着手
∵ ||PM|-|PN||=2m
∴ 点P轨迹为双曲线，方程为（|m|<1） ①
又y=±2x（x≠0） ②
①②联立得：
将此式看成是关于x的二次函数式，下求该二次函数值域，从而得到m 的取值范围。
根据双曲线有界性：|x|>m，x2>m2
∴
又0∴ 1-5m2>0
∴ 且m≠0
∴
评注：利用双曲线的定义找到点P轨迹是重要一步，当题目条件有等量关系时，一般考虑利用函数思想，建立函数关系式。
例4、已知x2+y2=1，双曲线(x-1)2-y2=1，直线 同时满足下列两个条件：①与双曲线交于不同两点；②与圆相切，且切点是直线与双曲线相交所得弦的中点。求直线 方程。
分析：
选择适当的直线方程形式，把条件“ 是圆的切线”“切点M是弦AB中点”翻译为关于参数的方程组。
法一：当 斜率不存在时，x=-1满足；
当 斜率存在时，设 ：y=kx+b
与⊙O相切，设切点为M，则|OM|=1
∴
∴ b2=k2+1 ①
由得：(1-k2)x2-2(1+kb)x-b2=0
当k≠±1且△>0时，设A（x1，y1），B（x2，y2），则中点M（x0，y0），
∴ y0=kx0+b=
∵ M在⊙O上
∴ x02+y02=1
∴ (1+kb)2+(k+b)2=(1-k2)2 ②
由①②得： 或
∴ ：或
法二：设M（x0，y0），则切线AB方程x0x+y0y=1
当y0=0时，x0=±1，显然只有x=-1满足；
当y0≠0时，
代入(x-1)2-y2=1得：(y02-x02)x2+2(x0-y0)2x-1=0
∵ y02+x02=1
∴ 可进一步化简方程为：(1-2x02)x2+2(x02+x0-1)x-1=0
由中点坐标公式及韦达定理得：∴
即2x03-x02-2x0+1=0
解之得：x0=±1(舍)，x0=
∴ y0=。下略
评注：不管是设定何种参数，都必须将形的两个条件（“相切”和“中点”）转化为关于参数的方程组，所以提高阅读能力，准确领会题意，抓住关键信息是基础而又重要的一步。
例5、A、B是抛物线y2=2px（p>0）上的两点，且OA⊥OB，
（1） 求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积；
（2） 求证：直线AB过定点；
（3） 求弦AB中点P的轨迹方程；
（4） 求△AOB面积的最小值；
（5） O在AB上的射影M轨迹方程。
分析：
设A（x1,y1），B（x2,y2），中点P（x0,y0）
（1）
∵ OA⊥OB
∴ kOAkOB=-1
∴ x1x2+y1y2=0
∵ y12=2px1，y22=2px2
∴
∵ y1≠0，y2≠0
∴ y1y2=-4p2
∴ x1x2=4p2
（2）∵ y12=2px1，y22=2px2
∴ （y1-y2）(y1+y2)=2p(x1-x2)
∴
∴
∴ 直线AB：
∴
∴
∵
∴
∴
∴ AB过定点（2p，0），设M（2p，0）
（3）设OA∶y=kx，代入y2=2px得：x=0，x=
∴ A（）
同理，以代k得B（2pk2，-2pk）
∴
∵
∴
即y02=px0-2p2
∴ 中点M轨迹方程y2=px-2p2
（4）
≥
当且仅当|y1|=|y2|=2p时，等号成立
评注：充分利用（1）的结论。
（5）法一：设H（x3,y3），则
∴
∴ AB：
即代入y2=2p得
由（1）知，y1y2=-4p2
∴
整理得：x32+y32-2px3=0
∴ 点H轨迹方程为x2+y2-4x=0（去掉（0，0））
法二：∵ ∠OHM=900，又由（2）知OM为定线段
∴ H在以OM为直径的圆上
∴ 点H轨迹方程为(x-p)2+y2=p2，去掉（0，0）
例6、设双曲线上两点A、B，AB中点M（1，2）
（1） 求直线AB方程；
（2）如果线段AB的垂直平分线与双曲线交于C、D两点，那么A、B、C、D是否共圆，为什么？
分析：
（1） 法一：显然AB斜率存在
设AB：y-2=k(x-1)
由得：(2-k2)x2-2k(2-k)x-k2+4k-6=0
当△>0时，设A（x1,y1），B（x2,y2）
则
∴ k=1，满足△>0
∴ 直线AB：y=x+1
法二：设A（x1,y1），B（x2,y2）
则
两式相减得：(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2)
∵ x1≠x2
∴
∴
∴ AB：y=x+1
代入得：△>0
评注：法一为韦达定理法，法二称为点差法，当涉及到弦的中点时，常用这两种途径处理。在利用点差法时，必须检验条件△>0是否成立。
（2）此类探索性命题通常肯定满足条件的结论存在，然后求出该结论，并检验是否满足所有条件。
本题应着重分析圆的几何性质，以定圆心和定半径这两定为中心
设A、B、C、D共圆于⊙OM，因AB为弦，故M在AB垂直平分线即CD上；又CD为弦，故圆心M为CD中点。因此只需证CD中点M满足|MA|=|MB|=|MC|=|MD|
由得：A（-1，0），B（3，4）
又CD方程：y=-x+3
由得：x2+6x-11=0
设C（x3,y3），D（x4,y4），CD中点M（x0,y0）
则
∴ M（-3，6）
∴ |MC|=|MD|=|CD|=
又|MA|=|MB|=
∴ |MA|=|MB|=|MC|=|MD|
∴ A、B、C、D在以CD中点，M（-3，6）为圆心，为半径的圆上
评注：充分分析平面图形的几何性质可以使解题思路更清晰，在复习中必须引起足够重视。
同步练习
（1） 选择题
1、 方程表示的曲线是
A、 椭圆 B、双曲线 C、抛物线 D、不能确定
2、把椭圆绕它的左焦点顺时针方向旋转，则所得新椭圆的准线方程是 A、 B、
C、 D、
3、方程的曲线形状是
A、圆 B、直线 C、圆或直线 D、圆或两射线
4、F1、F2是椭圆（a>b>0）的两焦点，过F1的弦AB与F2组成等腰直角三角形ABF2，其中∠BAF2=900，则椭圆的离心率是
A、 B、 C、 D、
5、若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则它的半焦距C的取值范围是
A、（0，1） B、（1，2） C、（1，+∞） D、与m有关
6、以抛物线y2=2px（p>0）的焦半径|PF|为直径的圆与y轴位置关系是
A、相交 B、相切 C、相离 D、以上三种均有可能
7、直线y=kx-2交抛物线y2=8x于A、B两点，若AB中点横坐标为2，则|AB|为
A、 B、 C、 D、
8、已知圆x2+y2=1，点A（1，0），△ABC内接于圆，∠BAC=600，当BC在圆上运动时，BC中点的轨迹方程是
A、x2+y2= B、x2+y2=
C、x2+y2= D、x2+y2=
（二）填空题
9、已知A（4，0），B（2，2）是椭圆内的点，M是椭圆上的动点，则|MA|+|MB|的最大值是____________。
10、椭圆的离心率为，则a=__________。
11、高5米和3m的旗竿在水平地面上，如果把两旗竿底部的坐标分别定为A（-5，0），B（5，0），则地面上杆顶仰角相等的点的轨迹是__________。
12、若x，y∈R,且3x2+2y2=6，则x2+y2最大值是________，最小值是________。
13、抛物线y2=2x上到直线x-y+3=0距离最短的点的坐标为__________。
（三）解答题
14、求以达原点与圆x2+y2-4x+3=0相切的两直线为渐近线且过椭圆4x2+y2=4两焦点的双曲线方程。
15、已知P（x，y）为平面上的动点且x≥0，若P到y轴距离比到点（1，0）距离小1
（1） 求点P轨迹C的方程；
（2）设过M（m，0）的直线交双曲线C于A、B两点，问是否存在这样的m，使得以线段AB为直径的圆恒过原点。
16、设抛物线y2=4ax（a>0）的焦点为A，以B（a+4，0）为圆心，|BA|为半径，在x轴上方画圆，设抛物线与半圆交于不同两点M、N，点P是MN中点
（1） 求|AM|+|AN|的值；
（2）是否存在这样的实数a，恰使|AM|，|AP|，|AN|成等差数列？若存在，求出a；若不存在，说明理由。
17、 设椭圆中心为0，一个焦点F（0，1），长轴和短轴长度之比为t
（1） 求椭圆方程；
（2）设过原点且斜率为t的直线与椭圆在y轴右边部分交点为Q，点P在该直线上，且，当t变化时，求点P轨迹。
18、已知抛物线y2=2px（p>0），过动点M（a，0）且斜率为1的直线 与该抛物线交于不同两点A、B，|AB|≤2p，
（1） 求a取值范围；
（2） 若线段AB垂直平分线交x同于点N，求△NAB面积的最大值。
参考答案
（一）选择题
1、A 2、A 3、D 4、B 5、C 6、B 7、D 8、D
（2） 填空题
9、 10、或 11、圆， 12、3，2
13、，1）
（3） 解答题
14、
15、（1）y2=4x （2）0，4
16、（1）8 （2）不存在
17、（1）
（2）抛物线的部分弧，，
18、（1） （2）
12
1江苏省扬中高级中学高三数学组 2005.10
2005-2006年高3第一轮复习----立体几何
一、复习要求
空间几何图形的证明及计算。
二、学习指导
1、 空间基本元素：直线与平面之间位置关系的小结。如下图：
条件 结论 线线平行 线面平行 面面平行 垂直关系
线线平行 如果a∥b，b∥c，那么a∥c 如果a∥α，aβ，β∩α=b，那么a∥b 如果α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，那么a∥b 如果a⊥α，b⊥α，那么a∥b
线面平行 如果a∥b，aα，bα，那么a∥α —— 如果α∥β，aα，那么α∥β ——
面面平行 如果aα，bα，cβ，dβ，a∥c，b∥d，a∩b=P，那么α∥β 如果aα，bα,a∩b=P,a∥β,b∥β，那么α∥β 如果α∥β，β∥γ，那么α∥γ 如果a⊥α，a⊥β，那么α∥β
条件 结论 线线垂直 线面垂直 面面垂直 平行关系
线线垂直 二垂线定理及逆定理 如果a⊥α，bα，那么a⊥b 如果三个平面两两垂直，那么它们交线两两垂直 如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c
线面垂直 如果a⊥b，a⊥c，bα，cα，b∩c=P，那么a⊥α —— 如果α⊥β，α∩β=b，aα,a⊥b，那么a⊥β 如果a⊥α，b∥a，那么b⊥α
面面垂直 定义（二面角等于900） 如果a⊥α，aβ，那么β⊥α —— ——
2、 空间元素位置关系的度量
（1）角：异面直线所成的角，直线和平面所成的角，二面角，都化归为平面几何中两条相交直线所成的角。
异面直线所成的角：通过平移的变换手段化归，具体途径有：中位线、补形法等。
直线和平面所成的角：通过作直线射影的作图法得到。
二面角：化归为平面角的度量，化归途径有：定义法，三垂线定理法，棱的垂面法及面积射影法。
（2）距离：异面直线的距离，点面距离，线面距离及面面距离。
异面直线的距离：除求公垂线段长度外，通常化归为线面距离和面面距离。
线面距离，面面距离常化归为点面距离。
3、 两个重要计算公式
（1） cosθ=cosθ1·cosθ2
其中θ1为斜线PA与平面α所成角，即为∠PAO，θ2为PA射影AO与α内直线AB所成的角，θ为∠PAB。
显然，θ>θ1，θ>θ2
（2） 异面直线上两点间距离公式
设异面直线a，b所成角为θ
则EF2=m2+n2+d2±2mncosθ
4、棱柱、棱锥是常见的多面体。在正棱柱中特别要运用侧面与底面垂直的性质解题，在正棱锥中，要熟记由高PO，斜高PM，侧棱PA，底面外接圆半径OA，底面内切圆半径OM，底面正多边形半边长OM，构成的三棱锥，该三棱锥四个面均为直角三角形。
5、球是由曲面围成的旋转体。研究球，主要抓球心和半径。
6、立体几何的学习，主要把握对图形的识别及变换（分割，补形，旋转等），因此，既要熟记基本图形中元素的位置关系和度量关系，也要能在复杂背景图形中“剥出”基本图形。
三、典型例题
例1、在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点，O为AC与BD的交点（如图），求证：（1）EG∥平面BB1D1D；（2）平面BDF∥平面B1D1H；（3）A1O⊥平面BDF；（4）平面BDF⊥平面AA1C。
解析：
（1）欲证EG∥平面BB1D1D，须在平面BB1D1D内找一条与EG平行的直线，构造辅助平面BEGO’及辅助直线BO’，显然BO’即是。
（2）按线线平行线面平行面面平行的思路，在平面B1D1H内寻找B1D1和O’H两条关键的相交直线，转化为证明：B1D1∥平面BDF，O’H∥平面BDF。
（3） 为证A1O⊥平面BDF，由三垂线定理，易得BD⊥A1O，再寻A1O垂直于平面BDF内的另一条直线。
猜想A1O⊥OF。借助于正方体棱长及有关线段的关系计算得：A1O2+OF2=A1F2A1O⊥OF。
（4）∵ CC1⊥平面AC
∴ CC1⊥BD
又BD⊥AC
∴ BD⊥平面AA1C
又BD平面BDF
∴ 平面BDF⊥平面AA1C
例2、在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M为DD1中点，O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任意一点，则直线OP与直线AM所成的角是
A、 B、 C、 D、
解析：
取P点的特殊点A1，连OA1，在底面上过O作OE⊥AD于E，连A1E
∵ OE⊥平面ADD1A1，AM⊥A1E
根据三垂线定理，得：AM⊥OA1
∴ 选D
评注：化“动”为“定”是处理“动”的思路
例3、如图，三棱锥D—ABC中，平面ABD、平面ABC均为等腰直角三角形，∠ABC=
∠BAD=900，其腰BC=a，且二面角D—AB—C=600。
（1） 求异面直线DA与BC所成的角；
（2） 求异面直线BD与AC所成的角；
（3） 求D到BC的距离；
（4） 求异面直线BD与AC的距离。
解析：
（1） 在平面ABC内作AE∥BC，从而得∠DAE=600
∴ DA与BC成600角
（2） 过B作BF∥AC，交EA延长线于F，则∠DBF为BD与AC所成的角
由△DAF易得AF=a，DA=a，∠DAF=1200
∴ DF2=a2+a2-2a2·()=3a2
∴ DF=a
△ DBF中，BF=AC=a
∴ cos∠DBF=
∴ 异面直线BD与AC成角arccos
（3）∵ BA⊥平面ADE
∴ 平面DAE⊥平面ABC
故取AE中点M，则有DM⊥平面ABC；取BC中点N，由MN⊥BC，根据三垂线定理，DN⊥BC
∴ DN是D到BC的距离
在△DMN中，DM=a，MN=a
∴ DN=a
（4）∵ BF平面BDF，AC平面BDF，AC∥BF
∴ AC∥平面BDF
又BD平面BDF
∴ AC与BD的距离即AC到平面BDF的距离
∵ ，
∴
由 ，即异面直线BD与AC的距离为
评注：三棱锥的等体积变换求高，也是求点到面距离的常用方法。
例4、如图，在600的二面角α—CD—β中，ACα，BDβ，且ACD=450，tg∠BDC=2，CD=a，AC=x，BD=x，当x为何值时，A、B的距离最小？并求此距离。
解析：
作AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，则EF为异面直线AE、BF的公垂段，AE与BF成600角，可求得|AB|=，当x=时，|AB|有最小值。
评注：转化为求异面直线上两点间距离的最小值。
例5、如图，斜三棱柱ABC—A’B’C’中，底面是边长为a的正三角形，侧棱长为 b，侧棱AA’与底面相邻两边AB、AC都成450角，求此三棱柱的侧面积和体积。
解析：
在侧面AB’内作BD⊥AA’于D
连结CD
∵ AC=AB，AD=AD，∠DAB=∠DAC=450
∴ △DAB≌△DAC
∴ ∠CDA=∠BDA=900，BD=CD
∴ BD⊥AA’，CD⊥AA’
∴ △DBC是斜三棱柱的直截面
在Rt△ADB中，BD=AB·sin450=
∴ △DBC的周长=BD+CD+BC=(+1)a，△DBC的面积=
∴ S侧=b(BD+DC+BC)=(+1)ab
∴ V=·AA’=
评注：求斜棱柱的侧面积有两种方法，一是判断各侧面的形状，求各侧面的面积之和，二是求直截面的周长与侧棱的乘积，求体积时同样可以利用直截面，即V=直截面面积×侧棱长。
例6、在三棱锥P—ABC中，PC=16cm，AB=18cm，PA=PB=AC=BC=17cm，求三棱锥的体积VP-ABC。
解析：
取PC和AB的中点M和N
∴
在△AMB中，AM2=BM2=172-82=25×9
∴ AM=BM=15cm，MN2=152-92=24×6
∴ S△AMB=×AB×MN=×18×12=108(cm2)
∴ VP-ABC=×16×108=576(cm3)
评注：把一个几何体分割成若干个三棱锥的方法是一种用得较多的分割方法，这样分割的结果，一方面便于求体积，另一方面便于利用体积的相关性质，如等底等高的锥体的体积相等，等底的两个锥体的体积的比等于相应高的比，等等。
同步练习
（1） 选择题
1、 1∥ 2，a，b与 1， 2都垂直，则a，b的关系是
A、平行 B、相交 C、异面 D、平行、相交、异面都有可能
2、异面直线a，b，a⊥b，c与a成300，则c与b成角范围是
A、[600，900] B、[300，900] C、[600，1200] D、[300，1200]
3、正方体AC1中，E、F分别是AB、BB1的中点，则A1E与C1F所成的角的余弦值是
A、 B、 C、 D、
4、在正△ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B—AD—C后，BC=AB，这时二面角B—AD—C大小为
A、600 B、900 C、450 D、1200
5、一个山坡面与水平面成600的二面角，坡脚的水平线（即二面角的棱）为AB，甲沿山坡自P朝垂直于AB的方向走30m，同时乙沿水平面自Q朝垂直于AB的方向走30m，P、Q都是AB上的点，若PQ=10m，这时甲、乙2个人之间的距离为
A、 B、 C、 D、
6、E、F分别是正方形ABCD的边AB和CD的中点，EF交BD于O，以EF为棱将正方形折成直二面角如图，则∠BOD=
A、1350 B、1200 C、1500 D、900
7、三棱锥V—ABC中，VA=BC，VB=AC，VC=AB，侧面与底面ABC所成的二面角分别为α，β，γ（都是锐角），则cosα+cosβ+cosγ等于
A、1 B、2 C、 D、
8、正n棱锥侧棱与底面所成的角为α，侧面与底面所成的角为β，tanα∶tanβ等于
A、 B、 C、 D、
9、一个简单多面体的各面都是三角形，且有6个顶点，则这个简单多面体的面数是
A、4 B、6 C、8 D、10
10、三棱锥P—ABC中，3条侧棱两两垂直，PA=a，PB=b，PC=c，△ABC的面积为S，则P到平面ABC的距离为
A、 B、 C、 D、
11、三棱柱ABC—A1B1C1的体积为V，P、Q分别为AA1、CC1上的点，且满足AP=C1Q，则四棱锥B—APQC的体积是
A、 B、 C、 D、
12、多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF=，EF与面AC的距离为2，则该多面体的体积为
A、 B、5 C、6 D、
（2） 填空题
13、已知异面直线a与b所成的角是500，空间有一定点P，则过点P与a，b所成的角都是300的直线有________条。
14、线段AB的端点到平面α的距离分别为6cm和2cm，AB在α上的射影A’B’的长为3cm，则线段AB的长为__________。
15、正n棱锥相邻两个侧面所成二面角的取值范围是____________。
16、如果一个简单多面体的每个面都是奇数的多边形，那么它的面数是__________。
（3） 解答题
17、如图，在斜边为AB的直角三角形ABC中，过A作AP⊥平面ABC，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，CG⊥AB于G，CD⊥PB于D。
（1）求证∠AEF=∠CDG；（2）求△AEF面积的最大值。
18、等边三角形ABC的边长为a，沿平行BC的线段PQ折起，使平面APQ⊥平面PBCQ，设点A到直线PQ的距离为x，AB的长为d
（1） x为何值时，d2取得最小值，最小值是多少？
（2） 若∠BAC=θ，求cosθ的最小值。
19、如图，ABCD是矩形，其4个顶点在平面α的同一侧，且它们在平面α内的射影分别为A’，B’，C’，D’，直线A’B与C’D’不重合，
（1） 求证：A’B’C’D’是平行四边形；
（2） 在怎样的条件下，A’B’C’D’是矩形？并证明你的结论。
20、正三棱锥V—ABC的底面边长为a，侧棱与底面所成的角等于θ（θ>），过底面一边作此棱锥的截面，当截面与底面所成二面角为何值时，截面面积最小？并求出最小值。
参考答案
（1） 选择题
1、D 2、A 3、C 4、A 5、B 6、B 7、A 8、B 9、C 10、B
11、B 12、D
（2） 填空题
13、2 14、5或 15、（） 16、偶数
（3） 解答题
17、（2）
18、（1） （2）
19、（2）一边与α平行或在α内
20、
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1江苏省扬中高级中学高三数学组 2005.10
2005-2006年高3第一轮复习-----三角函数式的恒等变形
一、学习指导
本讲公式较多，应搞清它们的来龙去脉和相互关系，以便于记忆和应用。
本讲的基础是两角和的余弦公式，在坐标平面的单位图中，利用α+β=α―(―β)，从而使（0，0）与（cos(α+β)，sin(α+β)）两点间距离等于（cosα，sinα）与(cos(―β)，sin(―β))两点距离，推导而得，以－β代β，即得两角差的余弦公式：利用诱导公式及余弦的两角和差公式，即可推出两角和，差的正弦公式；利用商数关系推得两角和、差的正切公式：在和角公式中，令β=α，即得倍角公式，由余弦的倍角公式，即得半角公式，（半角公式sin2=，cos2=，tan==应加记忆），把两角和、差的公式相加减，即得积化和差公式，在积化和差公式中进行变量代换：α=，β=，即是和差公积公式，两角和、差公式的另一个重要形式是asinx+bcosx=sin(x+)，其中tan=，（当然，根据需要，也可写为cos(x－)的形式）
二、典型例题
例1．讨论函数f(x)=－的性质。
显然，要先进行化简，而化简过程中要注意“保真”即必须是恒等变形，任何微小差异都必须注明。
本题中，角各不相同，（计有x、，－，+4种之多）函数名称不同。第一步用商数关系进行切、弦互化这一步为恒等变形：f(x)=tan －；第二步，诱导公工化去+x，半角公式，把向x推进：f(x)=－－.这一步亦为恒等变形，第三步，cos(－x)即sinx，约去1－sinx，这是否恒等变形？要看原式中sinx对x取值范围没有影响：f(x)=－==－cta2x，至此，问题已大半解决了。
例2．化简：
（1）++.
（2）sin(α+β)cosα－[sin(2α+β)－sinβ].
第（1）小题为α、β、γ的轮换对称式，故抓住一项变形，其余的进行轮换即可.
第（2）小题中，把2α+β及β改选为(α+β)+α和(α+β)－α，按和角公式展开，问题即没到解决。
例3．求使f(θ)=+值为4的最小正角θ.
先化简可减少计算量，把1－cosθ写为2sin2，1+cosθ=2cos2，sinθ=2sincos 原式可写为－cat－tan原题就成为关于tan的二次方程，另应注意，2+，2分别是tanπ，tan的值.
例4．求值：
（1） coscosπcosπcosπcosπ
（2）tan(150－α)tan(750－α)+tan(150－α)tan2α+tan(750－α)tan2α
本题体现了公式的活用，如第（1）题中cosα=，第（2）小题中tanα+tanβ=1－tanαtanβ，等.
例5．求值域：
（1）y= x∈[0，π]
（2）y=
在第（1）小题中，用2y－ysinx=cosx+1，sin(x+)=2y－1，≤1的办法求y的范围是不可取的。因为x∈[0，π]，故cosx，sinx取值都受限是否取满[0，1]是有疑问的，我们另辟蹊径：
法一，看作(－sinx，cosx)与（－2，－1）两点间连线斜率的取值范围，其中第一点轨道为单位圆的一部分（见图示）
法二、记t=tan∈[0，+1]
则y==
=，可先求出分取值范围，再求y的范围.
在第（2）小题中，可以使用第（1）小题中的法二，也可改写为y=
=[()2+()]看作有条件的二次函数的值域.
例6．是否存在实数a，使得函数y=sin2x+acosx+a－ x∈[0，]的最大值为1？若存在，求出这个a；若不存在，说明理由.
这是一个关于cosx的二次函数，应根据cosx的取值范围与对称轴的位置关系，讨论其最大值的情况.
例7．已知cos(+x)=，x∈(π，π)，求的值.
(π，π)横跨三、四象限，求x的三角函数值有诸多不便，而(+x)∈(π，2π)，故以(+x)为“基本角”较为方便，剩下的工作就是把往(+x) 的这角函数靠拢，切化弦，分子提取2sinx，出现原式=是很自然的，下面就要看你的经验了
巩固练习
1．已知sin=，cos=，＜θ＜＜＜π，求cos(－θ)
2．已知tan=，tanαtanβ=，求cos(α－β)
3．求证：++=
4．不查表，求值：
5．一元二次方程mx2+(2m－3)x+(m－2)=0的两根为tanα和tanβ，求tan(α+β)的取值范围.
6．一扇形半径为1，圆心角为，求其一边在一条半径上的内接矩形的最大面积。
又若此矩形以扇形的对称轴为对称轴，则其最大面积是多少？
7．已知函数f(x)=asinx+bcosx.
（1）若f()=，且f(x)的最大值为，求a、b的值；
（2）若f()=1，且f(x)的最小值为k，求k的取值范围.
8．一段直河道宽1km，两岸边各有一镇A、B，已知两地间直线距离为4km，今欲在两镇间敷设电缆，已知陆上修建费用为2万元/km，水下修建费为4万元/km，为何设计，可使工程总费用最低？
9．已知sinA+sinB=sinC，且cosA+cosB=cosC. 求值：sin2A+sin2B+sin2C
10．求证：（1）=
（2）=.
11．求证： =－.
12．对于函数f(x)=x2+bx+c，无论α、β为何值，恒有f(sinα)≥0，f(2+cosβ)≤0.
（1）求证：b+c=－1
（2）求证：c≥ 3
（3）若f(sinα)的最大值为8，求b、c的值.
参考答案
1．θ∈(，)，∈(，)，sin=，∴cos=.
∈(，π)，∈(，π)，cos= ∴sin=.
Cos(－)=·+·=.
Cos(－θ)=2·()2－1=.
2．tan(α+β)== 4， tanα+tanβ= 4(1－)=－，即
cosαcosβ===－.
∴sinαsinβ=×(－)=－.
Cos(α－β) =－－=－.
3．左=++
==
===右
4．原式=
==
===.
5．一元二次方程有实根，∴
解得m∈(－∞，0)∪.
此时，tan(α+β)===－m∈∪（，+∞）
6．设∠AOD=θ，则AD=sinθ
AO=cosθ，从而OB=BC=AD=sinθ，矩形面积S
=sinθ(cosθ－sinθ)=sin2θ－(1－cos2θ)
=sin(2θ+)－
显然θ∈(0，)，∴2θ+∈(，π)，故当2θ+=，
即θ=时，矩形面积有最大值.
若矩形一条对称轴与扇形的对称轴重合，（如图）
记∠AOE=θ，则OE=cosθ，AB=CD=2sinθ，AD=
EF=OE－OF=cosθ－sinθcot=cosθ－(+1)sinθ，
矩形面积S=2sinθ[cosθ－(+1)sinθ]=
sin2θ－(+1)(1－cos2θ)
=sin[2θ+arctan(+1)]－(+1).
θ∈(0，)，∴2θ+arctan(+1)∈(arctan(+1)，+arctan(+1)
而+arctan(+1)＞，故当θ=－+arctan(+1)时S有最小值－(+1).
7．（1）已知解得或
（2）由已知a+b=1 ∴k=－=－
=－∈
8．设过河电缆与河岸夹角当θ，则水中电缆线路长
cscθ，陆上电缆线路长－cotθ，θ∈，
则工程总费用S=2(－cotθ)+4scsθ=2+2
先求（θ∈）的取值范围，它是
单位圆的同弧上的点与（0，2）连线斜率，取值范围
为，故当θ=600时工程总费用最低，为2
+2万元.
故水下部为与河岸成600（西北，东南向）且在A、B间即可.
9．已知两式平方相加有2+2cos(A－B)=1，平方相减，有
cos2C=cos2A+cos2B+2cos(A+B)
=2cos(A+B)cos(A－B)+2cos(A+B)
=－cos(A+B)+2cos(A+B)=cos(A+B)
sin2A+sin2B+sin2C=++
=－cos(A+B)cos(A－B)－
=－cos(A+B)(－)－=
10．即证(1+tanA－secA)(1+tanA+secA)=(secA+tanA－1)(secA－tanA+1)
亦即(1+tanA)2－sec2A=sec2A－(tanA－1)2 2(1+tan2A)=2sec2A
此式显然成立，故原式成立.
左=
===右
11．∵==
==
两式相减，右==左
12．（1）要f(2+cosβ)≤0恒成立，①②
要f(sinα)≥0恒成立，由上面已知△＞0，故须③或④， ③中f(－1)是最小值，故f(1)也≥0，又由①
∴f(1)=0，即b+c=－1
（2）由②9+3(b+c)≤2C， 即C≥3
（3）∵C≥3，即－1－b≥3，∴b≤－4，－≥2，故f(sinα)的最大值为f(－1)=1－b+c=8，与b+c=－1联立，解得c=3，b=－4.
附录
例1．f(x)=tan(－)－
=·－
=－=(－)
==－=－cot2x
定义域：，值域R，T=，奇函数在（π，π）（k∈Z）单调递减.
例2．（1）=，轮换所得分两式为
及显然，它们的和为0（上端打相同点的顶相互抵消）
（2）原式sin(α+β)cosα－[sin(α+β+α)－sin(α+β－α)]
=sin(α+β)cosα－[sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα－sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα]
=sin(α+β)cosα－×2cos(α+β)sinα=sin[(α+β)－α]
=sinβ
例3．==－cot(≠kπ+)，∴f(0)=－(cot+tan) 令f(0)=4，解得tan=－2±, 的最小正值为π，θ最小正值为π.
例4．（1）∵cosα=.
∴原式=·=
（2）原式=tan(150－α)tan(750－α)+tan2a(tan(150－α)+tan(750－α))
=tan(150－α)tan(750－α)+tan2α·tan(900－α)[1－tan(15－α)·tan(750－α)]
=tan(150－α)tan(75－α)+tan2αcot2α[1－tan[150－α]tan(750－α)]
=1
例5．（1）解法一，设P：(－sinx，cosx)（x∈[0，π]）
为单位圆一段弧上的一点（如图）Q：(－2，－1) k切=，
kQB==
∴y∈[，]
解法二，∈[0，π]，记t=tan∈[0，+1]
y==，此时t2－t+1∈[，3+]
∴y∈[，]
（2）解法一，y为两点P（cos2x，cosx），Q(－1，－1)两点间连接斜率取值范围，P在抛物线y2=(x+1)，x∈[－1，1]上，∴y∈.
例6．记cosθ=t∈[0，1]，则y=－t2+at+a－
当∈[0，1]，即a∈[0，2]时，最大值为f()=a－+，令f()=1，得2a2－5a－12=0，a= 4或－均不在[0，2]中，∴a∈Φ.
当a＜0时，最大值为f(0)=a－，令f(0)=1，得a=， (－∞，0)，∴a∈Φ.
当a＞2时，最大值为f(2)=－1+a+a－，令f(2)=1，得a=(2，+∞)，∴a∈Φ.
综上，这样的a不存在.
例7．原式==
==tan(x+)·(－cos(2x+))
∵x∈(π，π) . ∴x+∈(π,2π) ∴t=tan(x+)=－.
从而原式=－=
12
1江苏省扬中高级中学高三数学组 2005.10
2005-2006年高3数学第一轮复习----导数应用的题型与方法
一、复习内容
导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数
两个函数的和、差、积、商的导数，复合函数的导数，基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值
二、复习要求
⑴了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等），掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念。
　　⑵熟记基本导数公式（c,x (m为有理数)，sin x, cos x, e, a,lnx, logx的导数）。掌握两个函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。
　　⑶了解可导函数的单调性与其导数的关系，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数要极值点两侧异号），会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值。
三、复习目标
　 1．了解导数的概念，能利用导数定义求导数．掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念．了解曲线的切线的概念．在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率的概念．
2．熟记基本导数公式（c,x (m为有理数)，sin x, cos x, e, a, lnx, logx的导数）。掌握两个函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数，利能够用导数求单调区间，求一个函数的最大(小)值的问题，掌握导数的基本应用．
　 3．了解函数的和、差、积的求导法则的推导，掌握两个函数的商的求导法则。能正确运用函数的和、差、积的求导法则及已有的导数公式求某些简单函数的导数。
　　4．了解复合函数的概念。会将一个函数的复合过程进行分解或将几个函数进行复合。掌握复合函数的求导法则，并会用法则解决一些简单问题。
四、双基透视
导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。在高中阶段对于导数的学习，主要是以下几个方面:
1．导数的常规问题：
（1）刻画函数（比初等方法精确细微）；
（2）同几何中切线联系（导数方法可用于研究平面曲线的切线）；
（3）应用问题（初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便）等关于次多项式的导数问题属于较难类型。
2．关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便。
3．导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向，应引起注意。
4．曲线的切线
　　在初中学过圆的切线，直线和圆有惟一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，惟一的公共点叫做切点．圆是一种特殊的曲线，能不能将圆的切线的概念推广为一段曲线的切线，即直线和曲线有惟一公共点时，直线叫做曲线过该点的切线，显然这种推广是不妥当的．如图3—1中的曲线C是我们熟知的正弦曲线y=sinx．直线与曲线C有惟一公共点M，但我们不能说直线与曲线C相切；而直线尽管与曲线C有不止一个公共点，我们还是说直线是曲线C在点N处的切线．因此，对于一般的曲线，须重新寻求曲线的切线的定义．所以课本利用割线的极限位置来定义了曲线的切线．
　　5．瞬时速度
　　在高一物理学习直线运动的速度时，涉及过瞬时速度的一些知识，物理教科书中首先指出：运动物体经过某一时刻(或某一位置)的速度叫做瞬时速度，然后从实际测量速度出发，结合汽车速度仪的使用，对瞬时速度作了说明．物理课上对瞬时速度只给出了直观的描述，有了极限工具后，本节教材中是用物体在一段时间运动的平均速度的极限来定义瞬时速度．
　　6．导数的定义
　　导数定义与求导数的方法是本节的重点，推导导数运算法则与某些导数公式时，都是以此为依据．
　　对导数的定义，我们应注意以下三点：
　　(1)△x是自变量x在 处的增量(或改变量)．
　　(2)导数定义中还包含了可导或可微的概念，如果△x→0时，有极限，那么函数y=f(x)在点处可导或可微，才能得到f(x)在点处的导数．
　　(3)如果函数y=f(x)在点处可导，那么函数y=f(x)在点处连续(由连续函数定义可知)．反之不一定成立．例如函数y=|x|在点x=0处连续，但不可导．
　　由导数定义求导数，是求导数的基本方法，必须严格按以下三个步骤进行：
　　(1)求函数的增量；
　　(2)求平均变化率；
　　(3)取极限，得导数。
　　7．导数的几何意义
　　函数y=f(x)在点处的导数，就是曲线y=(x)在点处的切线的斜率．由此，可以利用导数求曲线的切线方程．具体求法分两步：
　　(1)求出函数y=f(x)在点处的导数，即曲线y=f(x)在点处的切线的斜率；
　　(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为
　　
　　特别地，如果曲线y=f(x)在点处的切线平行于y轴，这时导数不存，根据切线定义，可得切线方程为
　　8．和（或差）的导数
　　上一节我们学习了常见函数的导数公式，那么对于函数的导数，又如何求呢？我们不妨先利用导数的定义来求。
　　
　　
　　我们不难发现，即两函数和的导数等于这两函数的导数的和。
　　由此我们猜测在一般情况下结论成立。事实上教材中证明了我们的猜想，这就是两个函数的和（或差）的求导法则。
　　9．积的导数
　　两个函数的积的求导法则的证明是本节的一个难点，证明过程中变形的关键是依据导数定义的结构形式。（具体过程见课本P120）
　　说明：
　　（1）；
　　（2）若c为常数，则(cu) ′=cu′。
　　10．商的导数
　　两个函数的商的求导法则，课本中未加证明，只要求记住并能运用就可以。现补充证明如下：
　　设
　　
　　
　　因为v(x)在点x处可导，所以它在点x处连续，于是△x→0时，v(x+△x)→v(x)，从而　　即。
　　说明：（1）；　　（2）
　　学习了函数的和、差、积、商的求导法则后，由常函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘、除运算得到的简单的函数，均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求。
11. 导数与函数的单调性的关系
㈠与为增函数的关系。
能推出为增函数，但反之不一定。如函数在上单调递增，但，∴是为增函数的充分不必要条件。
㈡时，与为增函数的关系。
若将的根作为分界点，因为规定，即抠去了分界点，此时为增函数，就一定有。∴当时，是为增函数的充分必要条件。
㈢与为增函数的关系。
为增函数，一定可以推出，但反之不一定，因为，即为或。当函数在某个区间内恒有，则为常数，函数不具有单调性。∴是为增函数的必要不充分条件。
函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理。
㈣单调区间的求解过程，已知
（1）分析 的定义域； （2）求导数
（3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间
（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间
我们在应用导数判断函数的单调性时一定要搞清以下三个关系，才能准确无误地判断函数的单调性。以下以增函数为例作简单的分析，前提条件都是函数在某个区间内可导。
㈤函数单调区间的合并
函数单调区间的合并主要依据是函数在单调递增，在单调递增，又知函数在处连续，因此在单调递增。同理减区间的合并也是如此，即相邻区间的单调性相同，且在公共点处函数连续，则二区间就可以合并为以个区间。
12.
（1）恒成立 ∴为上
∴ 对任意 不等式 恒成立
（2）恒成立 ∴ 在上
∴ 对任意不等式 恒成立
五、注意事项
1．导数概念的理解．
　　2．利用导数判别可导函数的极值的方法及求一些实际问题的最大值与最小值．
复合函数的求导法则是微积分中的重点与难点内容。课本中先通过实例，引出复合函数的求导法则，接下来对法则进行了证明。
　　对于复合函数，以前我们只是见过，没有专门定义和介绍过它，课本中以描述性的方式对复合函数加以直观定义，使我们对复合函数的的概念有一个初步的认识，再结合以后的例题、习题就可以逐步了解复合函数的概念。
　　3．要能正确求导，必须做到以下两点：
　　（1）熟练掌握各基本初等函数的求导公式以及和、差、积、商的求导法则，复合函数的求导法则。
　　（2）对于一个复合函数，一定要理清中间的复合关系，弄清各分解函数中应对哪个变量求导。
　　4．求复合函数的导数，一般按以下三个步骤进行：
　　（1）适当选定中间变量，正确分解复合关系；
　　（2）分步求导（弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导）；
　　（3）把中间变量代回原自变量（一般是x）的函数。
　　也就是说，首先，选定中间变量，分解复合关系，说明函数关系y=f(μ)，μ=f(x)；然后将已知函数对中间变量求导，中间变量对自变量求导；最后求，并将中间变量代回为自变量的函数。整个过程可简记为分解——求导——回代。熟练以后，可以省略中间过程。若遇多重复合，可以相应地多次用中间变量。
六、范例分析
例1． 在处可导，则
思路： 在处可导，必连续 ∴
∴
例2．已知f(x)在x=a处可导，且f′(a)=b，求下列极限：
　　（1）； （2）
　　分析：在导数定义中，增量△x的形式是多种多样，但不论△x选择哪种形式，△y也必须选择相对应的形式。利用函数f(x)在处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等变形转化为导数定义的结构形式。
　　解：（1）
　　
　　（2）
　　
说明：只有深刻理解概念的本质，才能灵活应用概念解题。解决这类问题的关键是等价变形，使极限式转化为导数定义的结构形式。
例3．观察，，，是否可判断，可导的奇函数的导函数是偶函数，可导的偶函数的导函数是奇函数。
解：若为偶函数 令
∴ 可导的偶函数的导函数是奇函数
另证：
∴ 可导的偶函数的导函数是奇函数
例4．（1）求曲线在点（1，1）处的切线方程；
　　（2）运动曲线方程为，求t=3时的速度。
　　分析：根据导数的几何意义及导数的物理意义可知，函数y=f(x)在处的导数就是曲线y=f(x)在点处的切线的斜率。瞬时速度是位移函数S(t)对时间的导数。
　　解：（1），
　　，即曲线在点（1，1）处的切线斜率k=0
　　因此曲线在（1，1）处的切线方程为y=1
　　（2）
　　
　　。
　　
例5． 求下列函数单调区间
（1）
（2）
（3）
（4）
解：（1） 时
∴ ，
（2） ∴ ，
（3）
∴
∴ ， ，
（4） 定义域为
例6．求证下列不等式
（1）
（2）
（3）
证：（1）
∴ 为上 ∴ 恒成立
∴
∴ 在上 ∴ 恒成立
（2）原式 令
∴ ∴
∴
（3）令
∴
∴
例7．利用导数求和：
　　（1）；
　　（2）。
　　分析：这两个问题可分别通过错位相减法及利用二项式定理来解决。转换思维角度，由求导公式，可联想到它们是另外一个和式的导数，利用导数运算可使问题的解决更加简捷。
　　解：（1）当x=1时，
　　；
　　当x≠1时，
　　∵，
　　两边都是关于x的函数，求导得
　　
　　即
　　（2）∵，
　　两边都是关于x的函数，求导得。
　　令x=1得
　　，
　　即。
例8．求满足条件的
（1）使为上增函数
（2）使为上……
（3）使为上
解：（1） ∴
时 也成立 ∴
（2） 时 也成立 ∴
（3）
例9．（1）求证
（2） 求证
（1）证：令 ∴
原不等式 令 ∴
∴ ∴
∴ 令 ∴
∴
∴ ∴ ∴
（2）令 上式也成立
将各式相加
即
例10．（2003年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷，理工农医类19））
设，求函数的单调区间.
分析：本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力.
解：.
当时 .
（i）当时，对所有，有.
即，此时在内单调递增.
（ii）当时，对，有，
即，此时在（0，1）内单调递增，又知函数在x=1处连续，因此，
函数在（0，+）内单调递增
（iii）当时，令，即.
解得.
因此，函数在区间内单调递增，在区间
内也单调递增.
令，
解得.
因此，函数在区间内单调递减.
说明：本题用传统作差比较法无法划分函数的单调区间，只有用导数才行，这是教材新增的内容。其理论依据如下（人教版试验本第三册P148）：
设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数。如果，则为常数。
　　例11．已知抛物线与直线y=x+2相交于A、B两点，过A、B两点的切线分别为和。
　　（1）求A、B两点的坐标；
　　（2）求直线与的夹角。
　　分析：理解导数的几何意义是解决本例的关键。
　　解 （1）由方程组
　　
　　解得 A(-2，0)，B(3，5)
　　（2）由y′=2x，则，。设两直线的夹角为θ，根据两直线的夹角公式，
　　
　　所以
　　说明：本例中直线与抛物线的交点处的切线，就是该点处抛物线的切线。注意两条直线的夹角公式有绝对值符号。
例12．（2001年天津卷）设，是上的偶函数。
（I）求的值；
（II）证明在上是增函数。
解：（I）依题意，对一切有，即，
∴对一切成立，
由此得到，，
又∵，∴。
（II）证明：由，得，
当时，有，此时。
∴在上是增函数。
例13．（2000年全国、天津卷）设函数，其中。
（I）解不等式；
（II）证明：当时，函数在区间上是单调函数。
解1：（I）分类讨论解无理不等式（略）。
（II）作差比较（略）。
解2：
（i）当时，有，此时，函数在区间上是单调递减函数。但，因此，当且仅当时，。
（ii）当时，解不等式，得，在区间上是单调递减函数。
解方程，得或，
∵，
∴当且仅当时，，
综上，（I）当时，所给不等式的解集为：；
当时，所给不等式的解集为：。
（II）当且仅当时，函数在区间上时单调函数。
例14．（2002年普通高等学校招生全国统一考试（新课程卷理科类20））
已知，函数设，记曲线在点处的切线为。
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）设与轴的交点为，证明：①②若，则
解：（1）的导数，由此得切线的方程
，
（2）依题得，切线方程中令，得
，其中，
（ⅰ）由，，有，及，
∴，当且仅当时，。
（ⅱ）当时，，因此，，且由（ⅰ），，
所以。
例15．（2003年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷21））
已知为正整数.
（Ⅰ）设；
（Ⅱ）设
分析：本小题主要考查导数、不等式证明等知识，考查综合运用所数学知识解决问题的能力。
证明：（Ⅰ）因为，
所以
（Ⅱ）对函数求导数:
∴
即对任意
七、巩固练习
1．设函数f(x)在处可导，则等于 （ ）
　　A． B． C． D．
2．若，则等于 （ ）
A． B． C．3 D．2
3．曲线上切线平行于x轴的点的坐标是 （ ）
　　A．（-1，2） B．（1，-2） C．（1，2） D．（-1，2）或（1，-2）
4．若函数f(x)的导数为f′(x)=-sinx，则函数图像在点（4，f（4））处的切线的倾斜角为（ ）
　　A．90° B．0° C．锐角 D．钝角
5．函数在[0，3]上的最大值、最小值分别是 （ ）
A．5，－15 B．5，－4 C．－4，－15 D．5，－16
6．一直线运动的物体，从时间t到t+△t时，物体的位移为△s，那么为（ ）
　　A．从时间t到t+△t时，物体的平均速度
　　B．时间t时该物体的瞬时速度
　　C．当时间为△t 时该物体的速度
D．从时间t到t+△t时位移的平均变化率
7．关于函数，下列说法不正确的是 （ ）
A．在区间（，0）内，为增函数
B．在区间（0，2）内，为减函数
C．在区间（2，）内，为增函数
D．在区间（，0）内，为增函数
8．对任意x，有，f(1)=-1，则此函数为 （ ）
　　A． B． C． D．
9．函数y=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最大值与最小值分别是 （ ）
A.5 , -15 B.5 , 4 C.-4 , -15 D.5 , -16
10．设f(x)在处可导，下列式子中与相等的是 （ ）
　　（1）； （2）；
　　（3） （4）。
　　A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3）（4）
11．（2003年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷理工农医类16））
f()是定义在区间[－c,c]上的奇函数，其图象如图所示：令g（）=af（）+b，则下
列关于函数g（）的叙述正确的是（ ）
A．若a<0,则函数g（）的图象关于原点对称.
B．若a=－1，－2C．若a≠0,b=2,则方程g（）=0有两个实根.
D．若a≥1,b<2,则方程g（）=0有三个实根.
12．若函数f(x)在点处的导数存在，则它所对应的曲线在点处的切线方程是_____________。
13．设，则它与x轴交点处的切线的方程为______________。
14．设，则_____________。　
15．垂直于直线2x-6y+1=0，且与曲线相切的直线的方程是________．
16．已知曲线，则_____________。
17．y=x2ex的单调递增区间是
18．曲线在点处的切线方程为____________。
19．P是抛物线上的点，若过点P的切线方程与直线垂直，则过P点处的切线方程是____________。
20．在抛物线上依次取两点，它们的横坐标分别为，，若抛物线上过点P的切线与过这两点的割线平行，则P点的坐标为_____________。
　　
21．曲线在点A处的切线的斜率为3，求该曲线在A点处的切线方程。
22．在抛物线上求一点P，使过点P的切线和直线3x-y+1=0的夹角为。
23．判断函数在x=0处是否可导。
24．求经过点（2，0）且与曲线相切的直线方程。
25．求曲线y=xcosx在处的切线方程。
26．已知函数f(x)=x2+ax+b，g(x)=x2+cx+d. 若f(2x+1)=4g(x)，且f'x=g'(x)，f(5)=30，求g(4).
27．已知曲线与。直线l与、都相切，求直线l的方程。
28．设f(x)=(x-1)(x-2)…(x-100)，求f′(1)。
29．求曲线在点处的切线方程。
30．求证方程在区间内有且仅有一个实根
31． 、、、均为正数 且
求证：
32．（1）求函数在x=1处的导数；
　　（2）求函数（a、b为常数）的导数。
　　
33．证明：如果函数y=f(x)在点处可导，那么函数y=f(x)在点处连续。
34．（2002年普通高等学校招生全国统一考试（新课程卷文史类21））
已知函数，设，记曲线在点处的切线为。
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）设与轴的交点为，证明：①；②若，则。
八、参考答案
1－5 CBDCA； 6－10 BDBAB； 11 B
12． 13．y=2(x-1)或y=2(x+1)
14．-6 15．3x+y+6=0 16．
17．(-∞,-2)与(0,+ ∞) 18．
19．2x-y-1=0 20．（2，4）
21．由导数定义求得，
　　令，则x=±1。
　　当x=1时，切点为（1，1），所以该曲线在（1，1）处的切线方程为y-1=3(x-1)即3x-y-2=0；
　　当x=-1时，则切点坐标为（-1，-1），所以该曲线在（-1，-1）处的切线方程为y+1=3(x+1)即3x-y+2=0。
22．由导数定义得f′(x)=2x，设曲线上P点的坐标为，则该点处切线的斜率为，根据夹角公式有
　　解得或，　　由，得；
　　由，得；　　则P（-1，1）或。
23．，
　　，
　　∵，
　　∴不存在。
∴函数f(x)在x=0处不可导。
24．可以验证点（2，0）不在曲线上，故设切点为。
　　由
　　 ，
　　得所求直线方程为
　　。
　　由点（2，0）在直线上，得，
　　再由在曲线上，得，
　　联立可解得，。所求直线方程为x+y-2=0。
25．Y’=x'cosx+x·(cosx)'=cosx-xsinx
　　，切点为，
　　∴切线方程为：
　　即。
26解：由已知(2x+1)2+a(2x+1)+b=4(x2+cx+d)
　　 　∴
　　=2x+a　　 =2x+c　　 ∴a=c ③
　　又知52+5a+b=30　　　　　　　 ∴5a+b=5　 ④　
　　由①③知a=c=2. 依次代入④、②知b=－5，
　　d=－g(4)=42+2×4－=23
27．解：设l与相切于点，与相切于。对，则与相切于点P的切线方程为，即。 ①
　　对，则与相切于点Q的切线方程为 ，即。 ②
　　∵ 两切线重合，∴，
　　解得或，
　　∴直线方程为y=0或y=4x-4。
28．解：
　　∴
　　
　　令x=1得
　　
29．解：，则
　　。
　　∴切线方程为　　即5x+32y-7=0。
30解：
在
∴ 在内与轴有且仅有一个交点
∴ 方程 在内仅有一解
31．证：由对称性不妨设
（1）若 显然成立
（2）若 设
∴
∵ ∴ ∴ 时
∴ ∴
32．分析：根据导数的定义求函数的导数，是求导数的基本方法。
　　解（1）　　，
　　，　　∴。
　　（2）
　　 ，
　　。
　　
　　∴y′=2x+a
说明 应熟练掌握依据导数的定义求函数的导数的三个步骤。
33．分析：从已知和要证明的问题中去寻找转化的方法和策略，要证明f(x)在点处连续，必须证明，由于函数f(x)在点处可导，因此根据函数在点处可导的定义，逐步实现这个转化。
　　已知：　　求证：
　　证明：考虑，令，则，等价于△x→0，于是
　　
　　∴函数f(x)在点处连续。
说明：函数f(x)在点处连续、有极限以及导数存在这三者之间的关系是：导数存在连续有极限。反之则不一定成立，例如y=|x|在点x=0处有极限且连续，但导数不存在。
34．解：（1）的导数，由此得切线的方程
，
（2）依题意，在切线方程中令，得，
（ⅰ），
∴，当且仅当时取等成立。
（ⅱ）若，则，，且由（ⅰ），
所以。
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3江苏省扬中高级中学2005-2006年度高三数学复习
1、函数的性质
2、二次函数的图像与性质
3、指数函数与对数函数
4、等差数列与等比数列
5、数列综合问题
6、三角函数的概念、图象、性质
7、平面向量的运算及其应用
8、平面向量的数量积及其应用
9、三角函数式的恒等变形
10、解三角形的问题
11、不等式与证明
12、直线和圆的方程（含线性规划）
13、圆锥曲线方程
14、立体几何
15、排列、组合、二项式定理和概率
16、导数应用的题型与方法