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16.1 二次根式
第2课时 二次根式的性质
夯基训练
知识点1 性质1:
1.下列计算正确的是( )
A. B.
C. D
2.把写成一个正数的平方的形式是( )
A. B. C. D
知识点2 性质2:
3.下列式子成立的是( )
A. B
C. D.
4.如果则( )
A. B.
C. D.
知识点3 代数式
5.下列式子中不是代数式的为( )
A. B. C.2018 D.
6按照下列程序计算，表格内应输出的代数式是____________．
→→→→→
题型总结
题型1 利用、进行计算
7计算下列各式：
(1) (2); (3) (4)
题型2 (a≥0)的有关应用在实数范围内分解因式．
8(1)； (2)； (3).
题型3 结合数轴利用二次根式的性质求值或化简
9(1)若已知x,y,z为实数,并且,试求的值.
(2)(中考·广州)已知实数a,b在数轴上对应点的位置如图所示:
试化简:.
10.已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：.
拓展培优
拓展角度1 二次根式的化简与三角形三边关系的综合
11已知a、b、c是△ABC的三边长，化简
拓展角度2 利用分类讨论的思想对二次根式进行化简
12已知x为实数时，化简.
拓展角度3二次根式的规律探究性问题
13细心观察，认真分析下列各式，然后解答问题．
(，S1＝，
(，S2＝，
，S3＝.
(1)请用含n(n是正整数)的等式表示上述变化规律；
(2)推算出OA10的长；
(3)求出的值．
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16.1 二次根式
第2课时 二次根式的性质
参考答案与试题解析
夯基训练
知识点1 性质1:
1.下列计算正确的是( A )
A. B.
C. D
2.把写成一个正数的平方的形式是( B )
A. B. C. D
知识点2 性质2:
3.下列式子成立的是( C )
A. B
C. D.
3.【答案】C
解:因为,,,所以选项A、B、D均错误,故选C.
4.如果则( B )
A. B.
C. D.
4.【答案】B
解：1-2a≥0
2a≤1
a≤
则a的取值范围为a≤ ，故选B.
知识点3 代数式
5.下列式子中不是代数式的为( B )
A. B. C.2018 D.
5.【答案】B
解:选项A是二次根式,选项B是方程,选项C是整式,选项D是分式,故只有选项B不是代数式.
6按照下列程序计算，表格内应输出的代数式是____________．
→→→→→
解析：根据程序所给的运算，用代数式表示即可，
根据程序所给的运算可得输出的代数式－n.故答案为－n.方法总结：根据实际问题列代数式的一般步骤：(1)认真审题，对语言或图形中所代表的意思进行仔细辨析；(2)分清语言和图形表述中各种数量的关系；(3)根据各数量间的运算关系及运算顺序写出代数式．
题型总结
题型1 利用、进行计算
7计算下列各式：
(1) (2); (3) (4)
解：(1)18； (2)＋1； (3)-; (4)6．
题型2 (a≥0)的有关应用在实数范围内分解因式．
8(1)； (2)； (3).
解析：由于任意一个非负数都可以写成一个数的平方的形式，利用这个即可将以上几个式子在实数范围内分解因式．
解：(1)；
(2)；
(3)＝.
方法总结：一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式．这就需要把一个非负数表示成平方的形式．
题型3 结合数轴利用二次根式的性质求值或化简
9(1)若已知x,y,z为实数,并且,试求的值.
(2)(中考·广州)已知实数a,b在数轴上对应点的位置如图所示:
试化简:.
解:(1)∵
∴x+3=0,=0,0.
∴x=-3,y=1,=0.
∴z=1.
∴==-1.
(2)由数轴上点的位置可知,a>b,0
∴a-b>0,b-1<0,a-1<0.
∴
=|a|+|b|+|a-b|+|b-1|-|a-1|
=a-b+a-b+1-b-(1-a)=3a-3b.
10.已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：.
解析：根据数轴确定a和b的取值范围，进而确定a＋1、b－1和a－b的取值范围，再根据二次根式的性质和绝对值的意义化简求解．
解：从数轴上a，b的位置关系可知－2＜a＜－1，1＜b＜2，且b＞a，故a＋1＜0，b－1＞0，a－b＜0.原式＝|a＋1|＋2|b－1|－|a－b|＝－(a＋1)＋2(b－1)＋(a－b)＝b－3.
方法总结：结合数轴利用二次根式的性质求值或化简，解题的关键是根据数轴判断字母的取值范围和熟练运用二次根式的性质．
拓展培优
拓展角度1 二次根式的化简与三角形三边关系的综合
11已知a、b、c是△ABC的三边长，化简
解析：根据三角形的三边关系得出b＋c＞a，b＋a＞c.根据二次根式的性质得出含有绝对值的式子，最后去绝对值符号合并即可．
解：∵a、b、c是△ABC的三边长，∴b＋c＞a，b＋a＞c，∴原式＝|a＋b＋c|－|b＋c－a|＋|c－b－a|＝a＋b＋c－(b＋c－a)＋(b＋a－c)＝a＋b＋c－b－c＋a＋b＋a－c＝3a＋b－c.
方法总结：解答本题的关键是根据三角形的三边关系得出不等关系，再进行变换后，结合二次根式的性质进行化简．
拓展角度2 利用分类讨论的思想对二次根式进行化简
12已知x为实数时，化简.
解析：根据＝|a|，结合绝对值的性质，将x的取值范围分段进行讨论解答．
解：＝＝|x－1|＋|x|.当x≤0时，x－1＜0，原式＝1－x＋(－x)＝1－2x；当0＜x≤1时，x－1≤0，原式＝1－x＋x＝1；当x＞1时，x－1＞0，原式＝x－1＋x＝2x－1.
方法总结：利用二次根式的性质进行化简时，要结合具体问题，先确定出被开方数的正负，对于式子＝|a|，当a的符号无法判断时，就需要分类讨论，分类时要做到不重不漏．
拓展角度3二次根式的规律探究性问题
13细心观察，认真分析下列各式，然后解答问题．
(，S1＝，
(，S2＝，
，S3＝.
(1)请用含n(n是正整数)的等式表示上述变化规律；
(2)推算出OA10的长；
(3)求出的值．
解析：利用直角三角形的面积公式，观察上述结论，会发现第n个三角形的一直角边长就是，另一条直角边长为1，然后利用面积公式可得．
解：(1)＋1＝n＋1，Sn＝(n是正整数)；
(2)∵OA1＝，OA2＝，OA3＝，…∴OA10＝；
(3)＝＝(1＋2＋3＋…＋10)＝.
方法总结：解题时通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想．
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