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16.3 二次根式的加减
第 2 课时 二次根式的混合运算
夯基训练
知识点1 二次根式的混合运算
1.下列计算正确的是( )
A.=
B.=-
C.=-4
D.=(a≥0,b>0)
2计算：
(1)×9÷；
(2)÷2＋；
(3)－(＋2)÷.
知识点2 乘法公式在二次根式中的应用
3(1)(＋－)(－＋)；
(2)(－1)2＋2(－)(＋)；
(3)×(－2)．
4.下列运算正确的是( )
A.-a·a3=a3
B.-(a2)2=a4
C.x-x=
D.(-2)(+2)=-1
5.已知a=1+,b=,则a与b的关系是( )
A.互为相反数 B.互为倒数
C.相等 D.互为负倒数
题型总结
题型1 二次根式的运算在求分式值中应用
6.先化简,再求值:,其中x=-1.
题型2 乘法公式在二次根式中的巧算
7.已知a=,b=,求的值.
8.已知x=,y=,,求的值.
拓展培优
拓展角度1整体思想在二次根式求值中巧用
9.利用乘法公式的变形解决下面的问题:
已知+=1 006,求的值.
拓展角度2二次根式中的探究规律
10.观察下列运算:
①=-1;
②=;
③=;
(1)通过观察你得出什么规律 用含n(n为正整数)的式子表示出来;
(2)利用(1)中你发现的规律计算:+++…+(+1).
拓展角度3 与二次根式的混合运算有关的新定义题型
11.(2015·钦州)对于任意的正数m,n,定义运算x
为:mxn=计算(3x2)×(8x12)的结果为( )
A.2-4 B.2
C.2 D.20
拓展角度4二次根式运算的拓展应用
12请阅读以下材料，并完成相应的任务．斐波那契(约1170～1250)是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列(按照一定顺序排列着的一列数称为数列)．后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵(如梅花、飞燕草、万寿菊等)的瓣数恰似斐波那契数列中的数．斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．斐波那契数列中的第n个数可以用表示(其中，n≥1)．这是用无理数表示有理数的一个范例．任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数．
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16.3 二次根式的加减
第 2 课时 二次根式的混合运算
参考答案与试题解析
夯基训练
知识点1 二次根式的混合运算
1.下列计算正确的是( )
A.=
B.=-
C.=-4
D.=(a≥0,b>0)
1.【答案】D
2计算：
(1)×9÷；
(2)÷2＋；
(3)－(＋2)÷.
解析：先把各二次根式化为最简二次根式，再把括号内合并后进行二次根式的乘法运算，然后进行加法运算．
解：(1)原式＝×9×＝×9×＝；
(2)原式＝÷2＋＝×＋＝＋＝5；
(3)原式＝－(＋2)÷＝－＝－1－.
方法总结：二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
知识点2 乘法公式在二次根式中的应用
3(1)(＋－)(－＋)；
(2)(－1)2＋2(－)(＋)；
(3)×(－2)．
3解析：先把各二次根式化为最简二次根式，再把括号内合并后进行二次根式的乘法运算，然后进行加法运算．
解析：(1)利用平方差公式展开然后合并即可；(2)先利用完全平方公式和平方差公式展开然后合并即可；(3)利用乘法分配律进行计算即可．
解：(1)原式＝[＋(－)][－(－)]＝()2－(－)2＝2－(9－2)＝2－9＋6＝－7＋6；
(2)原式＝2－2＋1＋2×(3－2)＝2－2＋1＋2＝3；
(3)原式＝×(－2)＝－×(－2)＝8.
方法总结：利用乘法公式进行二次根式混合运算的关键是熟记常见的乘法公式；在二次根式的混合运算中，整式乘法的运算律同样适用．
4.下列运算正确的是( )
A.-a·a3=a3
B.-(a2)2=a4
C.x-x=
D.(-2)(+2)=-1
4.【答案】D
5.已知a=1+,b=,则a与b的关系是( )
A.互为相反数 B.互为倒数
C.相等 D.互为负倒数
5.【答案】A
题型总结
题型1 二次根式的运算在求分式值中应用
6.先化简,再求值:,其中x=-1.
6.=·=-==.
当x=-1时,原式====-1.
题型2 乘法公式在二次根式中的巧算
7.已知a=,b=,求的值.
7.解:由已知得a=+2,b=-2,所以a+b=2,ab=1,
所以原式===5.
8.已知x=,y=,,求的值.
8.解:因为x=-,y=,
所以xy=()()=1,
x+y=+=2.
所以=xy()=xy[-2xy]=1×[(2)2-2×1]=10.
方法总结:用整体代入法求代数式的值的方法:求关于x,y的对称式(即交换两个字母的位置后,代数式不变)的值,一般先求出x+y,xy,x-y,等的值,然后将所求对称式进行适当变形,使之成为只含有x+y,xy,x-y,等的式子,最后将其值整体代入.
拓展培优
拓展角度1整体思想在二次根式求值中巧用
9.利用乘法公式的变形解决下面的问题:
已知+=1 006,求的值.
9.解:∵+·()=()2-()2=2 017+x-5-x=2012,
+=1 006
∴=2.
拓展角度2二次根式中的探究规律
10.观察下列运算:
①=-1;
②=;
③=;
(1)通过观察你得出什么规律 用含n(n为正整数)的式子表示出来;
(2)利用(1)中你发现的规律计算:+++…+(+1).
10.解:(1)=(n为正整数).
(2)原式=(-1+-+-+…
+-)·(+1)=(-1+)·(+1)=2017
拓展角度3 与二次根式的混合运算有关的新定义题型
11.(2015·钦州)对于任意的正数m,n,定义运算x
为:mxn=计算(3x2)×(8x12)的结果为( )
A.2-4 B.2
C.2 D.20
11.【答案】B
解：(3x2)×(8x12)=(-)×(+)=(-)(2+2)=2.
拓展角度4二次根式运算的拓展应用
12请阅读以下材料，并完成相应的任务．斐波那契(约1170～1250)是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列(按照一定顺序排列着的一列数称为数列)．后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵(如梅花、飞燕草、万寿菊等)的瓣数恰似斐波那契数列中的数．斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．斐波那契数列中的第n个数可以用表示(其中，n≥1)．这是用无理数表示有理数的一个范例．任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数．
12.解析：分别把n＝1、2代入式子化简即可．
解：第1个数，当n＝1时，＝＝×＝1；
第2个数，当n＝2时，＝＝＝×＝1.
方法总结：此题考查二次根式的混合运算与化简求值，理解题意，找出运算的方法是解决问题的关键．
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