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16章 二次根式专项训练
参考答案与试题解析
训练角度1利用二次根式的性质解相关问题
对于二次根式，有两个“非负”：第一个是a≥0，第二个是≥0，这两个“非负”在解二次根式的有关题目中经常用到．二次根式的被开方数和值均为非负数，是常见的隐含条件．
一、利用被开方数a≥0及二次根式的性质解决有关问题
1．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是________．
1．x≥－1
2．若－＝，则3x－y的值为________．
二、利用≥0求代数式的值或平方根
3．若＋|2a-b+1|＝0，则＝( )
A．－1 B．1 C． D．－
3．A
4．若与互为相反数，求6x＋y的平方根．
4．解：由题意，得＋＝0，
∴x－3＝0，y＋2＝0，解得x＝3，y＝－2，则6x＋y＝16，∴6x＋y的平方根为±4.
三、利用≥0求最值
5．当x取何值时，＋3的值最小，最小值是多少？
5．解：∵≥0，∴当9x＋1＝0，即x=-时，式子＋3的值最小，最小值为3.
方法点拨：涉及二次根式的最小(大)值问题，要根据题目的具体情况来决定用什么方法．一般情况下利用二次根式的非负性求解．
利用二次根式的非负性解决代数式化简求值问题
6．设等式＋＝－＝0成立，且x，y，a互不相等，求的值．
6．解：因为＋＝0，
所以a(x－a)＝0且a(y－a)＝0.
又因为x，y，a互不相等，所以x－a≠0，y－a≠0，
所以a＝0.
代入有＝0，所以所以x＝－y.
所以＝＝＝
五、利用被开方数的非负性解与三角形有关的问题
7．已知实数x，y，a满足：＋＝＋，试问长度分别为x，y，a的三条线段能否组成一个三角形？如果能，请求出该三角形的周长；如果不能，请说明理由．21cn
7．解：能．根据二次根式的被开方数的非负性，得解得x＋y＝8，
∴＋＝0.根据非负数的性质，得解得∴可以组成三角形，它的周长为3＋5＋4＝12.
训练角度2比较二次根式大小的八种方法
含二次根式的数(或式)的大小比较，是教与学的一个难点，如能根据二次根式的特征，灵活地、有针对性地采用不同的方法，将会得到简捷的解法．较常见的比较方法有：平方法、作商法、分子有理化法、分母有理化法、作差法、倒数法、特殊值法等．2
一、平方法
1．比＋的大小．
1．解：因为＝17＋2，＝17＋2，
17＋2＞17＋2，所以>.又因为＋>0，>0，所以＋.
作商法
比较与的大小
2．解：因为÷＝＝＜1，易知>0，>0，所以
方法总结：作商比较两个二次根式的大小的方法：当两个二次根式(均为正数)均由分母和分子两部分组成时，常通过作商比较它们的大小，先计算两个二次根式的商，然后比较商与1的大小关系．已知a＞0，b＞0，若＞1，则a＞b；若＝1，则a＝b；若＜1，则a＜b.
三、分子有理化法
3．比较－与的大小．
3．解：－
＝
＝，
＝
＝，
∵＞，>0，>0，
∴<，
即－＜.
四、分母有理化法
4．比较与的大小
4．解：∵＝2＋，＝＋，
2＋＞＋，
∴＞.
五、作差法
5．比较与的大小．
5．解：因为－＝，>0，所以>0，所以>.
六、倒数法
6．已知x＝，y＝，试比较x，y的大小．
6．解：＝＝＞0，
＝＝＞0，
∵＞＞0，
∴＞＞0，∴x＜y.
七、特殊值法
7．用“<”连接x，，，(07．解：取特殊值x＝，则＝4，＝，＝，
∴＜x＜＜.
八、定义法
8．比较与的大小．
8．解：∵5－a≥0，∴a≤5.∴a－6＜0.
∴＜0.
又∵≥0，∴＞.
训练角度3常见二次根式化简求值的九种技巧
在有理数中学习的法则、性质、运算律、公式等在二次根式中仍然适用，在运算的最后注意结果要化成最简形式．在进行化简时，一定要注意所给出的条件或题中的隐含条件，根据题目的特点，选取适当的解题方法．
一、估算法
1．若将三个数表示在数轴上，则其中被如图所示的墨汁覆盖的数是________．
(第1题)
1. 点拨：因为，所以被墨汁覆盖的数为.
二、公式法
2．计算：
2．解：原式＝
m
三、拆项法
3．计算：.[提示：＝()＋3()
3．解：原式＝
＝＋
＝＋＝－＋－＝－
四、换元法
4．已知n＝＋1，求＋的值．
4．解：设x＝n＋2＋，y＝n＋2－，
则x＋y＝2n＋4，xy＝4n＋8.
原式＝＋＝＝＝－2＝－2＝n.
当n＝＋1时，原式＝＋1.
五、整体代入法
5．已知x＝，y＝，求＋－4的值．
5．解：由已知得：x＝，y＝，所以x＋y＝6，xy＝1，
所以原式＝＝＝30.
六、因式分解法
6．计算：.
6．解：＝＝
＝＝＝＝.
七、配方法
7．若a，b为实数，且b＝＋＋15，试求－的值．
7．解：由二次根式的定义，得
∴3－5a＝0，∴a＝.
∴b＝15，∴a＋b＞0，a－b＜0.
∴－＝－＝－＝(－)＝
当a＝，b＝15时，
原式＝×＝.
方法点拨：对于形如或的代数式一般要变为或的形式，当它们作为被开方式进行化简时，要注意a＋b和a－b以及ab的符号．
八、辅元法
8．已知x∶y∶z＝1∶2∶3(x>0，y>0，z>0)，求的值．
8．解：设x＝k(k＞0)，则y＝2k，z＝3k，
∴原式＝＝＝－2.
九、先判后算法
9．已知a＋b＝－6，ab＝5，求b＋a的值．
9．解：∵a＋b＝－6，ab＝5，∴a＜0，b＜0.
∴b＋a＝＝－·＝－＝－＝－＝－.
点拨：解此类题，应先考虑字母取值的正负情况，再进行二次根式的化简，同时运用整体思想代入求值，不能一味地想求出单一字母的值，导致问题复杂化，甚至无法求解。
训练角度4二次根式运算常见的题型
进行二次根式的运算时，(1)先将二次根式适当化简；(2)二次根式的乘法可以参照整式的乘法进行运算；(3)对于二次根式的除法运算，通常先将其写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；(4)二次根式的加减法与整式的加减法类似，即在化简的基础上去括号与合并被开方数相同的二次根式；(5)运算结果一般要化成最简形式．版权
一、利用运算法则进行计算
1．计算：
(1)(－1)(＋1)－＋|1-|－＋；
(2)·－2|-|.
1．解：(1)原式＝4－9＋－1－1＋2＝－7＋3.
(2)原式＝·(2＋)－2×＝2＋－＝2.
二、利用公式进行计算
2．计算：
(1)＋－2；
(2)(＋－)2－(－＋)2；
(3).
2．解：(1)原式＝＝(－)2＝9.
(2)原式＝(＋－＋))×(＋－－＋－)＝2×(2－2)＝4－4.
(3)原式＝－＝＝=
点拨：在进行二次根式的混合运算时，灵活运用乘法公式(如(1))和分解因式(如(2)(3))可简化计算过程．
三、利用二次根式的整数部分和小数部分求代数式的值
3．已知5＋和5－的小数部分分别为a，b，试求代数式ab－a＋4b－3的值．
3．思路导引：先明确的整数部分是1，然后再表示出5±的整数部分，再由5＋＝6＋a，5－＝3＋b可求得a，b的值，最后代入求值即可．
解：∵的整数部分为1，
∴5＋＝6＋a，5－＝3＋b，即a＝－1，b＝2－.
∴ab－a＋4b－3＝(－1)(2－)－(－1)＋4×(2－)－3＝－5＋3－＋1＋8－4－3＝1－2.
方法总结：确定二次根式整数部分和小数部分的方法：先采用缩放的方法确定二次根式的整数部分，然后用二次根式与整数部分的差确定小数部分，即由n≤四、利用化简求值
4．先化简，再求值：
÷，其中a＝.
4．思路导引：先化简分式，然后将a的值代入，利用二次根式的运算法则求出分式的值．
解：÷＝·＝·＝a＋1.
把a=代入，得原式＝＋1＝.
五、利用整体思想巧求值
5．已知x＝1－，y＝1＋，求＋－xy－2x＋2y的值．
5．解：∵x＝1－，y＝1＋，
∴x－y＝(1－)－(1＋)＝－2，
xy＝(1－)(1＋)＝－1，
∴＋－xy－2x＋2y＝－2(x－y)＋xy＝－2×(－2)＋(－1)＝7＋4.
六、利用二次根式加减运算的特征求字母的取值(范围)或式子的值
6．已知a，b是正整数，且＋＝，求a＋b的值．
6．思路导引：先将化成最简二次根式，由题意可知，，是可以合并的二次根式，可设出，，然后代入求解．
解：由＋＝可知，，是可以合并的二次根式．
∵＝＝3，故可设＝m，＝n，
则m＋n＝3，
即(m＋n)＝3，
∴m＋n＝3.
又∵m，n是正整数，
∴或
∴或
∴a＋b＝1 110.
点拨：本题容易产生的第一想法是把＝两边平方，这样虽然能够得到a＋b，但等式中增加了，同样不能求出结果，故只能根据“若＋＝，则，，是可以合并的二次根式”这一性质来解决问题．
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16章 二次根式专项训练
训练角度1利用二次根式的性质解相关问题
对于二次根式，有两个“非负”：第一个是a≥0，第二个是≥0，这两个“非负”在解二次根式的有关题目中经常用到．二次根式的被开方数和值均为非负数，是常见的隐含条件．
一、利用被开方数a≥0及二次根式的性质解决有关问题
1．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是________．
2．若－＝，则3x－y的值为________．
二、利用≥0求代数式的值或平方根
3．若＋|2a-b+1|＝0，则＝( )
A．－1 B．1 C． D．－
4．若与互为相反数，求6x＋y的平方根．
三、利用≥0求最值
5．当x取何值时，＋3的值最小，最小值是多少？
利用二次根式的非负性解决代数式化简求值问题
设等式＋＝－＝0成立，且x，y，a互不相等，求的值．
五、利用被开方数的非负性解与三角形有关的问题
7．已知实数x，y，a满足：＋＝＋，试问长度分别为x，y，a的三条线段能否组成一个三角形？如果能，请求出该三角形的周长；如果不能，请说明理由．21cn
训练角度2比较二次根式大小的八种方法
含二次根式的数(或式)的大小比较，是教与学的一个难点，如能根据二次根式的特征，灵活地、有针对性地采用不同的方法，将会得到简捷的解法．较常见的比较方法有：平方法、作商法、分子有理化法、分母有理化法、作差法、倒数法、特殊值法等．2
一、平方法
1．比＋的大小．
作商法
比较与的大小
三、分子有理化法
3．比较－与的大小．
四、分母有理化法
4．比较与的大小
五、作差法
5．比较与的大小．
六、倒数法
6．已知x＝，y＝，试比较x，y的大小．
七、特殊值法
7．用“<”连接x，，，(0八、定义法
8．比较与的大小．
训练角度3常见二次根式化简求值的九种技巧
在有理数中学习的法则、性质、运算律、公式等在二次根式中仍然适用，在运算的最后注意结果要化成最简形式．在进行化简时，一定要注意所给出的条件或题中的隐含条件，根据题目的特点，选取适当的解题方法．
一、估算法
1．若将三个数表示在数轴上，则其中被如图所示的墨汁覆盖的数是________．
(第1题)
二、公式法
2．计算：
三、拆项法
3．计算：.[提示：＝()＋3()
四、换元法
4．已知n＝＋1，求＋的值．
五、整体代入法
5．已知x＝，y＝，求＋－4的值．
六、因式分解法
6．计算：.
七、配方法
7．若a，b为实数，且b＝＋＋15，
试求－的值．
八、辅元法
8．已知x∶y∶z＝1∶2∶3(x>0，y>0，z>0)，求的值．
九、先判后算法
9．已知a＋b＝－6，ab＝5，求b＋a的值．
训练角度4二次根式运算常见的题型
进行二次根式的运算时，(1)先将二次根式适当化简；(2)二次根式的乘法可以参照整式的乘法进行运算；(3)对于二次根式的除法运算，通常先将其写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；(4)二次根式的加减法与整式的加减法类似，即在化简的基础上去括号与合并被开方数相同的二次根式；(5)运算结果一般要化成最简形式．版权
一、利用运算法则进行计算
1．计算：
(1)(－1)(＋1)－＋|1-|－＋；
(2)·－2|-|.
二、利用公式进行计算
2．计算：
(1)＋－2；
(2)(＋－)2－(－＋)2；
(3).
三、利用二次根式的整数部分和小数部分求代数式的值
3．已知5＋和5－的小数部分分别为a，b，
试求代数式ab－a＋4b－3的值．
四、利用化简求值
4．先化简，再求值：
÷，其中a＝.
五、利用整体思想巧求值
5．已知x＝1－，y＝1＋，求＋－xy－2x＋2y的值．
六、利用二次根式加减运算的特征求字母的取值(范围)或式子的值
6．已知a，b是正整数，且＋＝，求a＋b的值．
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