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17.1 勾股定理
第 1 课时 勾股定理
参考答案与试题解析
夯基训练
知识点1 勾股定理
1..若一个直角三角形的两直角边的长分别为a,b,斜边长为c,则下列关于a,b,c的关系式中不正确的是( )
A.b2=c2-a2 B.a2=c2-b2 C.b2=a2-c2 D.c2=a2+b2
1.【答案】C
2.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是
∠BAC的平分线.已知AB=5,AD=3,则BC的长为( )
A.5 B.6 C.8 D.10
2.【答案】C
3．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直，若AB=3，BC=4，CD=5，则AD的长为（ ）版权所有
A．3 B．4 C．2 D．4
3.解：在Rt△AOB中，AO2=AB2﹣BO2；
Rt△DOC中可得：DO2=DC2﹣CO2；
∴可得AD2=AO2+DO2=AB2﹣BO2+DC2﹣CO2=18，
即可得AD==3．
故选A．
4.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，CD⊥AB于D，
求：
AC的长；(2)S△ABC；(3)CD的长．
4.解析：(1)由于在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，根据勾股定理即可求出AC的长；(2)直接利用三角形的面积公式即可求出S△ABC；(3)根据面积公式得到CD·AB＝BC·AC即可求出CD.
解：(1)∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，∴AC＝＝12cm；(2)S△ABC＝CB·AC＝×5×12＝30(cm2)；(3)∵S△ABC＝AC·BC＝CD·AB，∴CD＝＝cm.
方法总结：解答此类问题，一般是先利用勾股定理求出第三边，然后利用两种方法表示出同一个直角三角形的面积，然后根据面积相等得出一个方程，再解这个方程即可．
知识点2 勾股定理与面积的关系
5.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2.则最大的正方形E的面积是________．
5.解析：根据勾股定理的几何意义，可得正方形A、B的面积和为S1，正方形C、D的面积和为S2，S1＋S2＝S3，即S3＝2＋5＋1＋2＝10.故答案为10.
方法总结：能够发现正方形A、B、C、D的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形A、B、C、D的面积和即是最大正方形的面积．
6.如图,字母B所代表的正方形的面积是( )
A.12 B.13 C.144 D.194
6.【答案】C
7.如图,直线l上有三个正方形a,b,c,若a,c的面积分别为3和4,则b的面积为( )
A.3 B.4 C. 5 D.7
7.【答案】D
8.如图,点E在正方形ABCD内,满足∠AEB=90°,AE=6,BE=8,则阴影部分的面积是( )
A.48 B.60 C.76 D.80
8.【答案】C
解：利用勾股定理求出正方形的边长为10,阴影部分的面积为正方形面积与直角三角形面积之差.
题型总结
题型1 利用勾股定理求直角三角形中的边长
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点D在AB上，AD=AC，AF⊥CD交CD于点E，交CB于点F，则CF的长是 1.5 ．
9.解：连接DF，如图所示：
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB==5，
∵AD=AC=3，AF⊥CD，
∴CE=DE，BD=AB﹣AD=2，
∴CF=DF，
在△ADF和△ACF中，，
∴△ADF≌△ACF（SSS），
∴∠ADF=∠ACF=90°，
∴∠BDF=90°，
设CF=DF=x，则BF=4﹣x，
在Rt△BDF中，由勾股定理得：DF2+BD2=BF2，
即x2+22=（4﹣x）2，
解得：x=1.5；
∴CF=1.5；
故答案为：1.5．
题型2 利用勾股定理求三角形的面积
10．在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．
10.解：如图，在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，
设BD=x，则CD=14﹣x，
由勾股定理得：AD2=AB2﹣BD2=152﹣x2，AD2=AC2﹣CD2=132﹣（14﹣x）2，
故152﹣x2=132﹣（14﹣x）2，
解之得：x=9．
∴AD=12．
∴S△ABC=BC AD=×14×12=84．
题型3勾股定理的证明
11探索与研究：
方法1：如图：
对任意的符合条件的直角三角形ABC绕其顶点A旋转90°得直角三角形AED，所以∠BAE＝90°，且四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE的面积相等，而四边形ABFE的面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和．根据图示写出证明勾股定理的过程；
方法2：如图：
该图形是由任意的符合条件的两个全等的Rt△BEA和Rt△ACD拼成的，你能根据图示再写出一种证明勾股定理的方法吗？
11.解析：方法1：根据四边形ABFE面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和进行解答；方法2：根据△ABC和Rt△ACD的面积之和等于Rt△ABD和△BCD的面积之和解答．
解：方法1：S正方形ACFD＝S四边形ABFE＝S△BAE＋S△BFE，即b2＝c2＋(b＋a)(b－a)，整理得2b2＝c2＋b2－a2，∴a2＋b2＝c2；
方法2：此图也可以看成Rt△BEA绕其直角顶点E顺时针旋转90°，再向下平移得到．∵S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD，S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD，∴S△ABC＋S△ACD＝S△ABD＋S△BCD，即b2＋ab＝c2＋a(b－a)，整理得b2＋ab＝c2＋a(b－a)，b2＋ab＝c2＋ab－a2，∴a2＋b2＝c2.
方法总结：证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理证明勾股定理．
拓展培优
拓展角度1 利用勾股定理解非直角三角形问题(倍长中线法)
12.如图,在△ABC中,D为AC边的中点,且DB⊥BC,BC=4,CD=5.
(1)求DB的长;
(2)求△ABC中BC边上的高.
12.解:(1)∵DB⊥BC,BC=4,CD=5,
∴BD==3.
(2)如图,延长BD至E,使DE=BD,连接AE.∵D是AC的中点,∴AD=DC.在△BDC和△EDA中,
∴△BDC≌△EDA(SAS),
∴∠DAE=∠DCB,∴AE∥BC.
∵BD⊥BC,∴BE⊥AE.
∴BE为△ABC中BC边上的高,
∴BE=2BD=6.
拓展角度2 利用勾股定理解四边形问题
13．在四边形ABCD中，AB=AD=8，∠A=60°，∠D=150°，四边形周长为32，求BC和CD的长度．2-1-c-n-j-y
13.解：如图，连接BD，由AB=AD，∠A=60°．
则△ABD是等边三角形．即BD=8，∠1=60°．
又∠1+∠2=150°，则∠2=90°．
设BC=x，CD=16﹣x，由勾股定理得：x2=82+（16﹣x）2，解得x=10，16﹣x=6
所以BC=10，CD=6．
拓展角度3 分类讨论思想在勾股定理中的应用
14.在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，试求△ABC的周长．
14.解析：本题应分△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论．
解：此题应分两种情况说明：
(1)当△ABC为锐角三角形时，如图①所示．在Rt△ABD中，BD＝＝＝9.在Rt△ACD中，CD＝＝＝5，∴BC＝5＋9＝14，∴△ABC的周长为15＋13＋14＝42；
(2)当△ABC为钝角三角形时，如图②所示．在Rt△ABD中，BD＝＝＝9.在Rt△ACD中，CD＝＝＝5，∴BC＝9－5＝4，∴△ABC的周长为15＋13＋4＝32.∴当△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长为42；当△ABC为钝角三角形时，△ABC的周长为32.
方法总结：解题时要考虑全面，对于存在的可能情况，可作出相应的图形，判断是否符合题意．
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17.1 勾股定理
第 1 课时 勾股定理
夯基训练
知识点1 勾股定理
1..若一个直角三角形的两直角边的长分别为a,b,斜边长为c,则下列关于a,b,c的关系式中不正确的是( )
A.b2=c2-a2 B.a2=c2-b2 C.b2=a2-c2 D.c2=a2+b2
2.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是
∠BAC的平分线.已知AB=5,AD=3,则BC的长为( )
A.5 B.6 C.8 D.10
3．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直，若AB=3，BC=4，CD=5，则AD的长为（ ）版权所有
A．3 B．4 C．2 D．4
4.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，CD⊥AB于D，
求：
AC的长；(2)S△ABC；(3)CD的长．
知识点2 勾股定理与面积的关系
5.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2.则最大的正方形E的面积是________．
6.如图,字母B所代表的正方形的面积是( )
A.12 B.13 C.144 D.194
7.如图,直线l上有三个正方形a,b,c,若a,c的面积分别为3和4,则b的面积为( )
A.3 B.4 C. 5 D.7
8.如图,点E在正方形ABCD内,满足∠AEB=90°,AE=6,BE=8,则阴影部分的面积是( )
A.48 B.60 C.76 D.80
题型总结
题型1 利用勾股定理求直角三角形中的边长
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点D在AB上，AD=AC，AF⊥CD交CD于点E，交CB于点F，则CF的长是 ．
题型2 利用勾股定理求三角形的面积
10．在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．
题型3勾股定理的证明
11探索与研究：
方法1：如图：
对任意的符合条件的直角三角形ABC绕其顶点A旋转90°得直角三角形AED，所以∠BAE＝90°，且四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE的面积相等，而四边形ABFE的面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和．根据图示写出证明勾股定理的过程；
方法2：如图：
该图形是由任意的符合条件的两个全等的Rt△BEA和Rt△ACD拼成的，你能根据图示再写出一种证明勾股定理的方法吗？
拓展培优
拓展角度1 利用勾股定理解非直角三角形问题(倍长中线法)
12.如图,在△ABC中,D为AC边的中点,且DB⊥BC,BC=4,CD=5.
(1)求DB的长;
(2)求△ABC中BC边上的高.
拓展角度2 利用勾股定理解四边形问题
13．在四边形ABCD中，AB=AD=8，∠A=60°，∠D=150°，四边形周长为32，求BC和CD的长度．2-1-c-n-j-y
拓展角度3 分类讨论思想在勾股定理中的应用
14.在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，试求△ABC的周长．
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