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17.1 勾股定理
第 2 课时 勾股定理的应用
夯基训练
知识点1 长度的计算
1如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是( )
A.＋1 B．－＋1
C.－1 D.
2.如图,有两棵树,一棵高10米,另一棵高4米,两树相距8米,一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶,小鸟至少飞行( )
A.8米 B.10米 C.12米 D.14米
知识点2 最短距离的计算
3.如图,一只蚂蚁沿着棱长为2的正方体表面从点A出发,经过3个面爬到点B,如果它运动的路径是最短的,则AC的长为 .
4.将一根长为24 cm的筷子置于底面直径为15 cm,高为8 cm的圆柱形水杯中,如图所示,设筷子露在杯子外的长度为h cm,则h的取值范围是( )2-1-c-n-j-y
A.h≤17 B.h≥8
C.15≤h≤16 D.7≤h≤16
知识点3 用勾股定理在数轴上表示实数
5.(2016·台州)如图,数轴上的点O,A,B分别表示数0,1,2,过点B作PQ⊥AB,以点B为圆心,AB的长为半径画弧,交PQ于点C,以原点O为圆心,OC的长为半径画弧,交数轴于点M,则点M表示的数是( )
B. C. D.
6.如图,点C表示的数是( )
A.1 B. C.1.5 D.
7.如图,长方形ABCD中,AB=3,AD=1,AB在数轴上,若以点A为圆心,对角线AC的长为半径作弧交数轴于点M,则点M表示的数为( )
A.2 B.-1
C.-1 D.
题型总结
题型1 利用勾股定理借助水中物体变化情况求水深
8.在波平如镜的湖面上,有一朵盛开的美丽的红莲,它高出水面3尺(如图).突然一阵大风吹过,红莲被吹至一边,花朵刚好齐及水面,如果知道红莲移动的水平距离为6尺,请问水深多少 【版权所有：21教育】
题型2 利用勾股定理借助等距变化求树高(方程思想)
9．如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面3m处折断，树顶端落在离树底部4m处，则树折断之前高( )．
(A)5m (B)7m (C)8m (D)10m
10.如图,在一棵树的10 m高的B处有两只猴子,其中一只猴子爬下树,走到离树20 m处的池塘A处,另一只猴子爬到树顶D后直接跃向池塘A处(假设它经过的路线为直线),如果两只猴子所经过的路程相等,求这棵树的高.原创作
题型3 利用勾股定理作长度为的线段
11.如图,正方形网格中的每个小正方形的边长都是1,每个小格的顶点叫做格点.以格点为顶点画三角形.
(1)使三角形的三边长分别为3,2,.
(2)使三角形的周长为++.
题型4 运用勾股定理解决折叠中的有关计算
12如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A的对应点为A′，且B′C＝3，则AM的长是( )
A．1.5 B．2 C．2.25 D．2.5
题型5 利用勾股定理解决方位角问题
13.如图所示，在一次夏令营活动中，小明坐车从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了100km到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了100km到达目的地C点，求出A、C两点之间的距离．
拓展培优
拓展角度1利用勾股定理解答实际生活中综合应用问题
如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13米，此人以0.5米每秒的速度收绳．问6秒后船向岸边移动了多少米(假设绳子始终是直的，结果保留根号)
．
拓展角度2利用勾股定理解最短距离问题(对称法)
如图，长方体的长BE＝15cm，宽AB＝10cm，高AD＝20cm，点M在CH上，且CM＝5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M，需要爬行的最短距离是多少？
拓展角度3利用勾股定理解决阴影部分面积问题
16.如图,将长方形ABCD沿AC折叠,使△ABC落在△AEC的位置,且CE与AD相交于点F.
(1)求证:EF=DF;
(2)若AB=,BC=3,求折叠后的重叠部分(阴影部分)的面积.
拓展角度4利用勾股定理探究动点问题
17.如图,在△ABC中,AB=50 cm,AC=40 cm,∠C=90°,点P从点C开始向点A以4 cm/s的速度移动,同时,另一点Q由点C开始以3cm/s的速度沿CB边向点B移动,则几秒时,△PCQ的面积等于△ABC面积的
拓展角度5勾股定理与方程思想、数形结合思想的应用
18如图，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上C处有一筐水果，一只猴子从D处向上爬到树顶A处，然后利用拉在A处的滑绳AC滑到C处，另一只猴子从D处先滑到地面B，再由B跑到C，已知两猴子所经过的路程都是15m，求树高AB.
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17.1 勾股定理
第 2 课时 勾股定理的应用
参考答案与试题解析
夯基训练
知识点1 长度的计算
1如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是( )
A.＋1 B．－＋1
C.－1 D.
解析：先根据勾股定理求出三角形的斜边长，再根据两点间的距离公式即可求出A点的坐标．图中的直角三角形的两直角边为1和2，∴斜边长为＝，∴－1到A的距离是.那么点A所表示的数为－1.故选C.
方法总结：本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，解答此题时要注意，确定点A的位置，再根据A的位置来确定a的值．
2.如图,有两棵树,一棵高10米,另一棵高4米,两树相距8米,一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶,小鸟至少飞行( )
A.8米 B.10米 C.12米 D.14米
2.【答案】B
解：=10(米),∴小鸟至少飞行10米.
知识点2 最短距离的计算
3.如图,一只蚂蚁沿着棱长为2的正方体表面从点A出发,经过3个面爬到点B,如果它运动的路径是最短的,则AC的长为 .
3
解：沿过点A的侧棱将正方体的侧面展开,如图.AB==2,∴AC=.
4.将一根长为24 cm的筷子置于底面直径为15 cm,高为8 cm的圆柱形水杯中,如图所示,设筷子露在杯子外的长度为h cm,则h的取值范围是( )2-1-c-n-j-y
A.h≤17 B.h≥8
C.15≤h≤16 D.7≤h≤16
4.【答案】D
解：设筷子在杯子中的最大长度为a cm,则由a2=152+82=289=172,得a=17,易知筷子在杯子中的最短长度为8 cm,则筷子露在杯子外面的长度h cm的范围为24-17≤h≤24-8,即7≤h≤16,故选D.
知识点3 用勾股定理在数轴上表示实数
5.(2016·台州)如图,数轴上的点O,A,B分别表示数0,1,2,过点B作PQ⊥AB,以点B为圆心,AB的长为半径画弧,交PQ于点C,以原点O为圆心,OC的长为半径画弧,交数轴于点M,则点M表示的数是( )
B. C. D.
5.【答案】B
6.如图,点C表示的数是( )
A.1 B. C.1.5 D.
6.【答案】D
解：由题图可知OA=OB=,
∴在Rt△OAD中,OD===,
∴OC=OD=.
7.如图,长方形ABCD中,AB=3,AD=1,AB在数轴上,若以点A为圆心,对角线AC的长为半径作弧交数轴于点M,则点M表示的数为( )
A.2 B.-1
C.-1 D.
7.【答案】C
解：∵AC==,
题型总结
题型1 利用勾股定理借助水中物体变化情况求水深
8.在波平如镜的湖面上,有一朵盛开的美丽的红莲,它高出水面3尺(如图).突然一阵大风吹过,红莲被吹至一边,花朵刚好齐及水面,如果知道红莲移动的水平距离为6尺,请问水深多少 【版权所有：21教育】
8.解:设水深h尺.如图,在Rt△ABC中,AB=h尺,AC=(h+3)尺,BC=6尺.由勾股定理得AC2=AB2+BC2,即(h+3)2=h2+62.解得h=4.5.所以水深4.5尺.
题型2 利用勾股定理借助等距变化求树高(方程思想)
9．如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面3m处折断，树顶端落在离树底部4m处，则树折断之前高( )．
(A)5m (B)7m (C)8m (D)10m
9.【答案】C
10.如图,在一棵树的10 m高的B处有两只猴子,其中一只猴子爬下树,走到离树20 m处的池塘A处,另一只猴子爬到树顶D后直接跃向池塘A处(假设它经过的路线为直线),如果两只猴子所经过的路程相等,求这棵树的高.原创作品
10.解:设BD=x m,由题意知BC+AC=BD+AD,
∴AD=(30-x)m,
∴(10+x)2+202=(30-x)2,解得x=5,
∴x+10=15,即这棵树高15 m.
题型3 利用勾股定理作长度为的线段
11.如图,正方形网格中的每个小正方形的边长都是1,每个小格的顶点叫做格点.以格点为顶点画三角形.
(1)使三角形的三边长分别为3,2,.
(2)使三角形的周长为++.
11.解:(1)如图①中的△ABC为所求的三角形.
(2)如图②中的△ABC的三边长分别为,,,三角形的周长为++.
方法总结:在网格中画长为的线段的步骤:(1)设法将n表示成两个整数的平方和;(2)构造直角三角形,使直角三角形的两条直角边长等于第一步得出的两个整数的值,斜边即为长为的线段.
题型4 运用勾股定理解决折叠中的有关计算
12如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A的对应点为A′，且B′C＝3，则AM的长是( )
A．1.5 B．2 C．2.25 D．2.5
12.解析：连接BM，MB′.设AM＝x，在Rt△ABM中，AB2＋AM2＝BM2.在Rt△MDB′中，MD2＋DB′2.∵MB＝MB′，∴AB2＋AM2＝BM2＝B′M2＝MD2＋DB′2，即92＋x2＝(9－x)2＋(9－3)2，解得x＝2，即AM＝2.故选B.
方法总结：解题的关键是设出适当的线段的长度为x，然后用含有x的式子表示其他线段，然后在直角三角形中利用勾股定理列方程解答．
题型5 利用勾股定理解决方位角问题
13.如图所示，在一次夏令营活动中，小明坐车从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了100km到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了100km到达目的地C点，求出A、C两点之间的距离．
13.解析：根据所走的方向可判断出△ABC是直角三角形，根据勾股定理可求出解．
解：∵AD∥BE，∴∠ABE＝∠DAB＝60°.∵∠CBF＝30°，∴∠ABC＝180°－∠ABE－∠CBF＝180°－60°－30°＝90°.在Rt△ABC中，AB＝100km，BC＝100km，∴AC＝＝＝200(km)，∴A、C两点之间的距离为200km.
方法总结：先确定△ABC是直角三角形，再根据各边长，用勾股定理可求出AC的长．
拓展培优
拓展角度1利用勾股定理解答实际生活中综合应用问题
如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13米，此人以0.5米每秒的速度收绳．问6秒后船向岸边移动了多少米(假设绳子始终是直的，结果保留根号)
14.解析：开始时，AC＝5米，BC＝13米，即可求得AB的值，6秒后根据BC，AC长度即可求得AB的值，然后解答即可．
解：在Rt△ABC中，BC＝13米，AC＝5米，则AB＝＝12米.6秒后，B′C＝13－0.5×6＝10米，则AB′＝＝5(米)，则船向岸边移动的距离为(12－5)米．
方法总结：本题直接考查勾股定理在实际生活中的运用，可建立合理的数学模型，将已知条件转化到同一直角三角形中求解．
拓展角度2利用勾股定理解最短距离问题(对称法)
如图，长方体的长BE＝15cm，宽AB＝10cm，高AD＝20cm，点M在CH上，且CM＝5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M，需要爬行的最短距离是多少？
15.解：分两种情况比较最短距离：
如图①所示，蚂蚁爬行最短路线为AM，AM＝＝5(cm)，如图②所示，蚂蚁爬行最短路线为AM，AM＝＝25(cm)．∵5＞25，∴第二种短些，此时最短距离为25cm.
答：需要爬行的最短距离是25cm.
方法总结：因为长方体的展开图不止一种情况，故对长方体相邻的两个面展开时，考虑要全面，不要有所遗漏．不过要留意展开时的多种情况，虽然看似很多，但由于长方体的对面是相同的，所以归纳起来只需讨论三种情况：前面和右面展开，前面和上面展开，左面和上面展开，从而比较取其最小值即可．
拓展角度3利用勾股定理解决阴影部分面积问题
16.如图,将长方形ABCD沿AC折叠,使△ABC落在△AEC的位置,且CE与AD相交于点F.
(1)求证:EF=DF;
(2)若AB=,BC=3,求折叠后的重叠部分(阴影部分)的面积.
16.(1)证明:∵在长方形ABCD中,AD∥BC,
∴∠ACB=∠DAC,又由折叠可知∠ACB=∠ACE,
∴∠DAC=∠ACE,∴AF=CF.
∵AD=BC=CE,∴AD-AF=CE-CF,∴EF=DF.
(2)解:设AF=CF=x,则DF=3-x,在Rt△FCD中,由勾股定理得:
x2=()2+(3-x)2,
解得x=2,∴重叠部分的面积为×2×=.
拓展角度4利用勾股定理探究动点问题
17.如图,在△ABC中,AB=50 cm,AC=40 cm,∠C=90°,点P从点C开始向点A以4 cm/s的速度移动,同时,另一点Q由点C开始以3cm/s的速度沿CB边向点B移动,则几秒时,△PCQ的面积等于△ABC面积的
17.解:在△ABC中,∵∠C=90°,AB=50 cm,AC=40 cm,
∴BC==30(cm).
设xs时,△PCQ的面积等于△ABC面积的,
则×3x×4x=××30×40,解得x=5(负值已舍去).
答:5s时,△PCQ的面积等于△ABC面积的..
拓展角度5勾股定理与方程思想、数形结合思想的应用
18如图，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上C处有一筐水果，一只猴子从D处向上爬到树顶A处，然后利用拉在A处的滑绳AC滑到C处，另一只猴子从D处先滑到地面B，再由B跑到C，已知两猴子所经过的路程都是15m，求树高AB.
18.解析：在Rt△ABC中，∠B＝90°，则满足AB2＋BC2＝AC2.设BC＝am，AC＝bm，AD＝xm，根据两只猴子经过的路程一样可列方程组，从而求出x的值，即可计算树高．
解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，设BC＝am，AC＝bm，AD＝xm.∵两猴子所经过的路程都是15m，则10＋a＝x＋b＝15m.∴a＝5，b＝15－x.又∵在Rt△ABC中，由勾股定理得(10＋x)2＋a2＝b2，∴(10＋x)2＋52＝(15－x)2，解得x＝2，即AD＝2米．∴AB＝AD＋DB＝2＋10＝12(米)．
答：树高AB为12米．
方法总结：勾股定理表达式中有三个量，如果条件中只有一个己知量，通常需要巧设未知数，灵活地寻找题中的等量关系，然后利用勾股定理列方程求解．
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