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17.2.1. 勾股定理逆定理
参考答案与试题解析
夯基训练
知识点1 勾股定理的逆定理
1.(2016·南京)下列长度的三条线段能组成直角三角形的是( )
A.3,4,4 B.3,4,5
C.3,4,6 D.3,4,7
1.【答案】C
2.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且(a+b)(a-b)=则( )
A.∠A为直角 B.∠B为直角
C.∠C为直角 D.△ABC不是直角三角形
2.【答案】A
解：∵（a+b）（a-b）=，
∴-=，即+=，故此三角形是直角三角形，a为直角三角形的斜边，∴∠A为直角．故选A．
3.五根小木棒,其长度(单位:cm)分别为7,15,20,24,25,现将它们摆成两个直角三角形,其中正确的是( )21·世纪*教育网
3.【答案】C
4.如图,每个小正方形的边长均为1,A,B,C是小正方形的顶点,
则∠ABC的度数为( )
A.90° B.60°
C.45° D.30°
4.【答案】C
解：连接AC,根据勾股定理可以得到==5,
=10.
即+=,
所以△ABC是等腰直角三角形.
所以∠ABC=45°.故选C.
5.△ABC的三边长分别为a、b、c,下列条件:①∠A=∠B-∠C;②∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5;③=(b+c)(b-c);④a∶b∶c=5∶12∶13,其中能判定△ABC是直角三角形的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.【答案】C
解：①中,∵∠A=∠B-∠C,∠A+∠B+∠C=180°,
∴∠B=90°,∴△ABC是直角三角形;②中,由∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5得△ABC中最大角∠C=180°×=75°,则△ABC为锐角三角形;③中,=(b+c)(b-c)=-,即+=,所以△ABC是直角三角形;④中,因为a∶b∶c=5∶12∶13,所以+=,故△ABC是直角三角形,故选C.
知识点2 勾股数
6.判断下列几组数中，一定是勾股数的是( )
A．1，， B．8，15，17
C．7，14，15 D.，，1
6.解析：选项A不是，因为和不是正整数；选项B是，因为，且8、15、17是正整数；选项C不是，因为≠152；选项D不是，因为与不是正整数．故选B.
方法总结：勾股数必须满足：①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足+=,，但是它们不是正整数，所以它们不是勾股数；②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．
7.下面几组数中,为勾股数的一组是( )
A.4,5,6 B.12,16,20
-10,24,26 D.2.4,4.5,5.1
7.【答案】B
解：A中虽然4,5,6均为正整数,但≠62;C中虽然=262,但-10<0;D中虽然满足,但不是整数.
方法总结:勾股数的特征:勾股数为三个正整数,且满足两个较小数的平方和等于最大数的平方.常见的勾股数
有:3,4,5;5,12,13;8,15,17;9,40,41.记住常见的勾股数可以提高做题速度.
8.下列几组数:①9,12,15;②8,15,17;③7,24,25;④-1,2n,+1(n是大于1的整数),其中是勾股数的有( )www-2-1-cnjy-com
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
8.【答案】D
9.给出下列命题:
①如果a,b,c为一组勾股数,那么4a,4b,4c仍是一组勾股数;
②如果直角三角形的两边长分别是3和4,那么另一边长的平方必为25;
③如果一个三角形的三边长分别是12,25,21,那么此三角形必是直角三角形;
④一个等腰直角三角形的三边长分别是a,b,c,其中a是斜边长,那么∶∶=2∶1∶1.其中正确的是( )【来源：21cnj*y.co*m】
A.①② B.①③ C.①④ D.②④
9.【答案】C
知识点3逆命题、逆定理
10.下列说法正确的是( )
A.每个定理都有逆定理
B.每个命题都有逆命题
C.原命题是假命题,则它的逆命题也是假命题
D.真命题的逆命题是真命题
10.【答案】B
11.已知下列命题:①若a>b,则ac>bc ;②若a=1,则=a;③内错角相等.其中原命题与逆命题均为真命题的个数是( )21·cn·jy·com
A.0 B.1 C.2 D.3
11.【答案】A
解：试题分析：①若a＞b，则ac＞bc是假命题，逆命题：若ac＞bc，则a＞b也是假命题；②若a=1，则=a是真命题，逆命题：若=a，则a=1是假命题；③内错角相等是假命题，逆命题：相等的角是内错角也是假命题；故选A.
12.下列定理中,没有逆定理的是( )
A.直角三角形的两锐角互余
B.若三角形三边长a,b,c(其中aC.全等三角形的对应角相等
D.互为相反数的两数之和为0
12.【答案】C
13.写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题．
(1)两直线平行，同旁内角互补；
(2)在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；
(3)相等的角是内错角；
(4)有一个角是60°的三角形是等边三角形．
13.解析：求一个命题的逆命题时，分别找出各命题的题设和结论将其互换即可得原命题的逆命题．
解：(1)同旁内角互补，两直线平行，真命题；
(2)如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线(在同一平面内)，真命题；
(3)内错角相等，假命题；
(4)等边三角形有一个角是60°，真命题．
方法总结：判断一个命题是真命题需要进行逻辑推理，判断一个命题是假命题只需要举出反例即可．
题型总结
题型1 利用三角形三边的数量关系求网格中三角形的面积和角度
14.如图,每个小方格都是边长为1的正方形,(1)求四边形ABCD的面积;(2)求∠ABC的度数.
14.解:(1)S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=×5×2+×5×3=.
(2)因为=+=20，=+=5，==25,所以+=
所以∠ABC=90°.
题型2 判断三角形的形状
15.如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．以上答案都不对
15.解析：∵正方形小方格边长为1，∴BC＝＝5，AC＝＝3，AB＝＝.在△ABC中，∵＝50＋18＝68，＝68，∴＝，∴△ABC是直角三角形．故选A.
方法总结：要判断一个角是不是直角，可构造出三角形，然后求出三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
题型3 利用直角三角形的边角关系求线段长
16.如图,已知△ABC中,AB=8,BC=10,AC=6.
(1)判断△ABC是什么三角形;
(2)用尺规作出边BC的垂直平分线,交BC于点D,交AB于点E;(不写作法,保留作图痕迹)
(3)连接CE,求CE的长.
16.解:(1)因为AB=8,BC=10,AC=6,+,所以,所以△ABC是直角三角形.
(2)如图所示.
(3)如图,设CE=x,因为DE垂直平分BC,所以BE=CE=x,在Rt△ACE中,可得:,即:
解得:x=6.25.
所以CE的长为6.25.
题型4利用勾股定理的逆定理证明垂直关系
17.如图，已知在正方形ABCD中，AE＝EB，AF＝AD.求证：CE⊥EF.
17.解析：根据题设提供的信息，可将需证明垂直关系的两条线段转化到同一直角三角形中，运用勾股定理的逆定理进行证明．
证明：连接CF.设正方形的边长为4，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA＝4.∵点E为AB中点，AF＝AD，∴AE＝BE＝2，AF＝1，DF＝3.由勾股定理得=+，=+，=+.∵，∴△CFE是直角三角形，且∠FEC＝90°，即EF⊥CE.
方法总结：利用勾股定理的逆定理可以判断一个三角形是否为直角三角形，所以此定理也是判定垂直关系的一个主要的方法．
题型5运用勾股定理的逆定理解决面积问题
18.如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，CD＝24，AD＝26，求四边形ABCD的面积．
18.解析：连接AC，根据已知条件可求出AC，再运用勾股定理可证△ACD为直角三角形，然后可分别求出两个直角三角形的面积，两者面积相加即为四边形ABCD的面积．
解：连接AC.∵∠B＝90°，∴△ABC为直角三角形，∴=+==+，∴AC＝10.在△ACD中，∵+＝100＋576＝676，＝＝676，∴+＝，∴△ACD为直角三角形，且∠ACD＝90°.∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝×6×8＋×10×24＝144.
方法总结：将求四边形面积的问题可转化为求两个直角三角形面积和的问题，解题时要利用题目信息构造出直角三角形，如角度，三边长度等．
拓展培优
拓展角度1利用勾股数的特征探究勾股数(从特殊到一般的思想)
19.观察下列勾股数:
①3,4,5,且=4+5;
②5,12,13,且=12+13;
③7,24,25,且=24+25;
④9,b,c,且=b+c;…
(1)请你根据上述规律,并结合相关知识可得:
b= ,c= ;
(2)猜想第n组勾股数(n为正整数),并证明你的猜想.
19.解:(1)40;41
(2)猜想第n组勾股数为2n+1,2+2n,2+2n+1.
证明如下:因为
+=4+8+8+4n+1,=4+8+8+4n+1,
所以+=.
因为n是正整数,所以2n+1,是一组勾股数.
拓展角度2利用勾股定理的逆定理求角的度数(旋转法)
20.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,P是△ABC内一点,且PA=3,PB=1,PC=2,求∠BPC的度数.版权所有
20.解:如图,将△CPB绕点C顺时针旋转90°,得△CP'A,则
P'C=PC=2,P'A=PB=1,连接PP'.∵∠PCP'=90°,∴=+=8.又
P'A=1,PA=3,而+=8+1=9,PA2=9,∴+=PA2.
∴∠AP'P=90°,又∠CP'P=45°.
∴∠BPC=∠CP'A=135°.
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17.2.1. 勾股定理逆定理
夯基训练
知识点1 勾股定理的逆定理
1.(2016·南京)下列长度的三条线段能组成直角三角形的是( )
A.3,4,4 B.3,4,5
C.3,4,6 D.3,4,7
2.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且(a+b)(a-b)=则( )
A.∠A为直角 B.∠B为直角
C.∠C为直角 D.△ABC不是直角三角形
3.五根小木棒,其长度(单位:cm)分别为7,15,20,24,25,现将它们摆成两个直角三角形,其中正确的是( )21·世纪*教育网
4.如图,每个小正方形的边长均为1,A,B,C是小正方形的顶点,
则∠ABC的度数为( )
A.90° B.60°
C.45° D.30°
5.△ABC的三边长分别为a、b、c,下列条件:①∠A=∠B-∠C;②∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5;③=(b+c)(b-c);④a∶b∶c=5∶12∶13,其中能判定△ABC是直角三角形的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
知识点2 勾股数
6.判断下列几组数中，一定是勾股数的是( )
A．1，， B．8，15，17
C．7，14，15 D.，，1
7.下面几组数中,为勾股数的一组是( )
A.4,5,6 B.12,16,20
-10,24,26 D.2.4,4.5,5.1
8.下列几组数:①9,12,15;②8,15,17;③7,24,25;④-1,2n,+1(n是大于1的整数),其中是勾股数的有( )www-2-1-cnjy-com
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
9.给出下列命题:
①如果a,b,c为一组勾股数,那么4a,4b,4c仍是一组勾股数;
②如果直角三角形的两边长分别是3和4,那么另一边长的平方必为25;
③如果一个三角形的三边长分别是12,25,21,那么此三角形必是直角三角形;
④一个等腰直角三角形的三边长分别是a,b,c,其中a是斜边长,那么∶∶=2∶1∶1.其中正确的是( )【来源：21cnj*y.co*m】
A.①② B.①③ C.①④ D.②④
知识点3逆命题、逆定理
10.下列说法正确的是( )
A.每个定理都有逆定理
B.每个命题都有逆命题
C.原命题是假命题,则它的逆命题也是假命题
D.真命题的逆命题是真命题
11.已知下列命题:①若a>b,则ac>bc ;②若a=1,则=a;③内错角相等.其中原命题与逆命题均为真命题的个数是( )21·cn·jy·com
A.0 B.1 C.2 D.3
12.下列定理中,没有逆定理的是( )
A.直角三角形的两锐角互余
B.若三角形三边长a,b,c(其中aC.全等三角形的对应角相等
D.互为相反数的两数之和为0
13.写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题．
(1)两直线平行，同旁内角互补；
(2)在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；
(3)相等的角是内错角；
(4)有一个角是60°的三角形是等边三角形．
题型总结
题型1 利用三角形三边的数量关系求网格中三角形的面积和角度
14.如图,每个小方格都是边长为1的正方形,(1)求四边形ABCD的面积;(2)求∠ABC的度数.
题型2 判断三角形的形状
15.如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．以上答案都不对
题型3 利用直角三角形的边角关系求线段长
16.如图,已知△ABC中,AB=8,BC=10,AC=6.
(1)判断△ABC是什么三角形;
(2)用尺规作出边BC的垂直平分线,交BC于点D,交AB于点E;(不写作法,保留作图痕迹)
(3)连接CE,求CE的长.
题型4利用勾股定理的逆定理证明垂直关系
17.如图，已知在正方形ABCD中，AE＝EB，AF＝AD.求证：CE⊥EF.
题型5运用勾股定理的逆定理解决面积问题
18.如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，CD＝24，AD＝26，求四边形ABCD的面积．
拓展培优
拓展角度1利用勾股数的特征探究勾股数(从特殊到一般的思想)
19.观察下列勾股数:
①3,4,5,且=4+5;
②5,12,13,且=12+13;
③7,24,25,且=24+25;
④9,b,c,且=b+c;…
(1)请你根据上述规律,并结合相关知识可得:
b= ,c= ;
(2)猜想第n组勾股数(n为正整数),并证明你的猜想.
拓展角度2利用勾股定理的逆定理求角的度数(旋转法)
20.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,P是△ABC内一点,且PA=3,PB=1,PC=2,求∠BPC的度数.版权所有
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