中小学教育资源及组卷应用平台
17.2 勾股定理的逆定理
第2课时 勾股定理的逆定理的应用
夯基训练
知识点1 勾股定理的逆定理在判断构成直角三角形条件中的应用
1.如图,在4×3的正方形网格中有从点A出发的四条线段
AB,AC,AD,AE,它们的另一个端点B,C,D,E均在格点(正方形网格的交点)上.
(1)若每个正方形的边长都是1,分别求出AB,AC,AD,AE的长度(结果保留根号).
(2)在AB,AC,AD,AE四条线段中,是否存在三条线段,使它们能构成直角三角形 如果存在,请指出是哪三条线段,并说明理由.
知识点2 运用勾股定理的逆定理求角度
如图，已知点P是等边△ABC内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数．
知识点3 运用勾股定理的逆定理求边长
在△ABC中，D为BC边上的点，AB＝13，AD＝12，CD＝9，AC＝15，求BD的长．
题型总结
题型1 勾股定理与它的逆定理的综合应用
4如图,点E是正方形ABCD内一点,连接AE,BE,CE,将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE'的位置.若AE=1,BE=2,CE=3,求∠BE'C的度数.
5.如图,已知AD⊥CD于点D,且AD=4,CD=3,AB=12,BC=13.
(1)求:四边形ABCD的面积;
(2)若∠B=23°,求∠ACB的度数.
题型2 勾股定理及其逆定理在网格中的应用
6.如图是由边长为1的小正方形组成的网格,点A,B,C,D均在格点上.
(1)求四边形ABCD的面积.
(2)你能判断AD与CD的位置关系吗 请说出你的理由.
题型3运用勾股定理的逆定理解决方位角问题
7.如图，南北向MN为我国领海线，即MN以西为我国领海，以东为公海，上午9时50分，我国反走私A艇发现正东方有一走私艇以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B密切注意．反走私艇A和走私艇C的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里；反走私艇B测得距离C艇12海里，若走私艇C的速度不变，最早会在什么时候进入我国领海？
拓展培优
拓展角度1勾股定理的逆定理的实际应用
8.如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，AC＝9m，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格？
9.如图,南北方向PQ以东为我国领海,以西为公海.晚上10:28,我边防反偷渡巡逻101号艇在A处发现其正西方向的C处有一艘可疑船只正向我国领海靠近,便立即通知正在PQ上B处巡逻的103号艇注意其动向.经检测,AC=10 n mile,AB=6 n mile,BC=8 n mile.若该可疑船只的速度为12.8 n mile/h,则该可疑船只最早何时进入我国领海
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
17.2 勾股定理的逆定理
第2课时 勾股定理的逆定理的应用
参考答案与试题解析
夯基训练
知识点1 勾股定理的逆定理在判断构成直角三角形条件中的应用
1.如图,在4×3的正方形网格中有从点A出发的四条线段
AB,AC,AD,AE,它们的另一个端点B,C,D,E均在格点(正方形网格的交点)上.
(1)若每个正方形的边长都是1,分别求出AB,AC,AD,AE的长度(结果保留根号).
(2)在AB,AC,AD,AE四条线段中,是否存在三条线段,使它们能构成直角三角形 如果存在,请指出是哪三条线段,并说明理由.
1.解:(1)AB=,AC=,AD=2,AE=2.
(2)存在,线段AB,AC,AD可以构成直角三角形.
理由:∵AB=,AD=2,AC=,∴AD2+AB2=AC2,
由勾股定理的逆定理可知,线段AB,AC,AD可以构成直角三角形.
知识点2 运用勾股定理的逆定理求角度
如图，已知点P是等边△ABC内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数．
2.解析：将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，连接EP，判断△APE为直角三角形，且∠APE＝90°，即可得到∠APB的度数．
解：∵△ABC为等边三角形，∴BA＝BC.可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，连EP，∴BE＝BP＝4，AE＝PC＝5，∠PBE＝60°，∴△BPE为等边三角形，∴PE＝PB＝4，∠BPE＝60°.在△AEP中，AE＝5，AP＝3，PE＝4，∴＝＋，∴△APE为直角三角形，且∠APE＝90°，∴∠APB＝90°＋60°＝150°.
方法总结：本题考查了等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理．解决问题的关键是根据题意构造△APE为直角三角形．
知识点3 运用勾股定理的逆定理求边长
在△ABC中，D为BC边上的点，AB＝13，AD＝12，CD＝9，AC＝15，求BD的长．
3.解析：根据勾股定理的逆定理可判断出△ACD为直角三角形，即∠ADC＝∠ADB＝90°.在Rt△ABD中利用勾股定理可得出BD的长度．
解：∵在△ADC中，AD＝12，CD＝9，AC＝15，∴＝＋，∴△ADC是直角三角形，∠ADC＝∠ADB＝90°，∴△ADB是直角三角形．在Rt△ADB中，∵AD＝12，AB＝13，∴BD＝＝5，∴BD的长为5.
方法总结：解题时可先通过勾股定理的逆定理证明一个三角形是直角三角形，然后再进行转化，最后求解，这种方法常用在解有公共直角或两直角互为邻补角的两个直角三角形的图形中．
题型总结
题型1 勾股定理与它的逆定理的综合应用
4如图,点E是正方形ABCD内一点,连接AE,BE,CE,将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE'的位置.若AE=1,BE=2,CE=3,求∠BE'C的度数.
4.解:如图,连接EE'.
由题意可知△ABE≌△CBE',
∴E'C=AE=1,BE'=BE=2,∠ABE=∠CBE'.
又∵∠ABE+∠EBC=90°,
∴∠CBE'+∠EBC=90°,
即∠EBE'=90°,则由勾股定理,得EE'=2.
在△EE'C中,EE'=2,E'C=1,EC=3.
由勾股定理的逆定理可知∠EE'C=90°.
∵BE=BE',∠EBE'=90°,
∴∠BE'E==45°,
∴∠BE'C=∠BE'E+∠EE'C=45°+90°=135°.
5.如图,已知AD⊥CD于点D,且AD=4,CD=3,AB=12,BC=13.
(1)求:四边形ABCD的面积;
(2)若∠B=23°,求∠ACB的度数.
5.解:(1)在Rt△ACD中,∠D=90°,
∴AC==5.
又∵AB=12,BC=13,
∴=
∴△ABC是直角三角形,且∠BAC=90°.
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD
=AB·AC+AD·CD
=×12×5+×4×3
=36.
(2)在Rt△ABC中,∵∠B=23°,
∴∠ACB=90°-∠B=90°-23°=67°.
题型2 勾股定理及其逆定理在网格中的应用
6.如图是由边长为1的小正方形组成的网格,点A,B,C,D均在格点上.
(1)求四边形ABCD的面积.
(2)你能判断AD与CD的位置关系吗 请说出你的理由.
6.解:(1)如图,将四边形ABCD分成4个小直角三角形,发现每个小直角三角形的面积恰好是其所在长方形(或正方形)面积的一半,因此四边形ABCD的面积为整个网格面积的一半,即×=12.5.
(2)AD⊥CD.理由如下:
在△ADC中,因为=+=5,=+=20,==25,所以+=,
即△ADC是直角三角形,且AD⊥CD.
题型3运用勾股定理的逆定理解决方位角问题
7.如图，南北向MN为我国领海线，即MN以西为我国领海，以东为公海，上午9时50分，我国反走私A艇发现正东方有一走私艇以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B密切注意．反走私艇A和走私艇C的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里；反走私艇B测得距离C艇12海里，若走私艇C的速度不变，最早会在什么时候进入我国领海？
7.解析：已知走私船的速度，求出走私船所走的路程即可得出走私船所用的时间，即可得出走私船何时能进入我国领海．解题的关键是得出走私船所走的路程，根据题意，CE即为走私船所走的路程．由题意可知，△ABE和△ABC均为直角三角形，可分别解这两个直角三角形即可得出．
解：设MN与AC相交于E，则∠BEC＝90°.∵＋＝＋＝＝，∴△ABC为直角三角形，且∠ABC＝90°.∵MN⊥CE，∴走私艇C进入我国领海的最短距离是CE.由S△ABC＝AB·BC＝AC·BE，得BE＝海里．由＋＝，得CE＝海里，∴÷13＝≈0.85(小时)＝51(分钟)，9时50分＋51分＝10时41分．
答：走私艇C最早在10时41分进入我国领海．
拓展培优
拓展角度1勾股定理的逆定理的实际应用
8.如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，AC＝9m，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格？
8.解析：把实际问题转化成数学问题来解决，运用直角三角形的判别条件，验证它是否为直角三角形．
解：∵AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，∴＋＝＋＝64＋36＝100.又∵＝92＝81，∴＋≠，∴∠ABC≠90°，∴该农民挖的不合格．
方法总结：解答此类问题，一般是根据已知的数据先运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形，然后再作进一步解答．
9.如图,南北方向PQ以东为我国领海,以西为公海.晚上10:28,我边防反偷渡巡逻101号艇在A处发现其正西方向的C处有一艘可疑船只正向我国领海靠近,便立即通知正在PQ上B处巡逻的103号艇注意其动向.经检测,AC=10 n mile,AB=6 n mile,BC=8 n mile.若该可疑船只的速度为12.8 n mile/h,则该可疑船只最早何时进入我国领海
9.解:∵＋＝＋=100==,
∴△ABC为直角三角形,
且∠ABC=90°.
∴S△ABC=AB·BC,
∴AB·BC=AC·BD,即
∴×10·BD=×6×8,
解得BD=4.8.
在Rt△BCD中,=-=-,
解得CD=6.4.
∴该可疑船只从被发现到进入我国领海的最短航行时间为6.4÷12.8=0.5(h).
∴该可疑船只最早进入我国领海的时间为晚上10:58.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
