苏科版八年级数学下册 第9章 中心对称图形－平行四边形同步练习（基础篇）（含解析）

第9章 中心对称图形——平行四边形（基础篇）
一、单选题
1．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，△ABC绕点C旋转，点B转到点E的位置，则下列说法正确的是（　　）
A．点B与点D是对应点 B．∠BCD等于旋转角
C．点A与点E是对应点 D．△ABC≌△DEC
4．如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，∠B=100°，则∠DAE等于（　　）
A．100° B．80° C．60° D．40°
5．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当AB＝AD时，它是菱形 B．当AC＝BD时，它是正方形
C．当∠ABC＝90°时，它是矩形 D．当AC⊥BD时，它是菱形
6．正方形是特殊的矩形，正方形具有而矩形不具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．对角线相等且互相平分
7．用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”时，第一步先假设（ ）
A．三角形中有一个内角小于60° B．三角形中有一个内角大于60°
C．三角形中每个内角都大于60° D．三角形中没有一个内角小于60°
8．如图，在矩形中，，E是的中点，于点F，则的长是（　　）
A．1 B． C． D．2
9．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，如果∠ABO=40°，则∠DCO= （ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
10．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE＝DF，②∠DAF＝15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF＝EF，⑤S△CEF＝S△ABE+S△ADF，其中正确的结论有（　　）个．
A．5 B．4 C．3 D．2
二、填空题
11．若点与点关于原点O对称，则_____．
12．如图，在中，，点D、E、F分别是边的中点．若，则CF的长为______．
13．如图，在的两边上分别截取，使；再分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；再连接．若，．则四边形的面积是___________．
14．如图，在平面直角坐标系中，矩形中，，，将沿对角线翻折，使点落在处，与轴交于点，则点的坐标为______．
15．如图，在平面直角坐标系中，，，线段由线段绕点A顺时针旋转而得，则所在直线的解析式是______．
16．如图，将一副三角板在平行四边形中作如下摆放，设，那么______．
17．如图，在边长为6的菱形中，，E为的中点，F是上的一动点，则的最小值为________
18．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，AD＝，DG＝2，H是AF的中点，那么CH的长是_____．
三、解答题
19．如图，点在射线上，．如果绕点按逆时针方向旋转到，那么点的位置可以用表示．
(1)按上述表示方法，若，，则点的位置可以表示为______；
(2)在（1）的条件下，已知点的位置用表示，连接、．求证：．
20．如图，在中，AD是的角平分线，分别以点A，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN，分别交AB，AD，AC于点E，O，F，连接DE，DF．
(1)由作图可知，直线MN是线段AD的______．
(2)求证：四边形AEDF是菱形．
21．已知：如图，在四边形中，分别是和的角平分线，交于点E，F连接．
求证：互相平分；
若，求四边形的周长和面积．
22．如图，在矩形ABCD中，AC是对角线．
(1)实践与操作：利用尺规作线段AC的垂直平分线，垂足为点O，交边AD于点E，交边BC于点F（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母），
(2)猜想与证明：试猜想线段AE与CF的数量关系，并加以证明．
23．如图所示，点O是菱形对角线的交点，，连接．
(1) 证明：四边形是平行四边形；
(2) 判断四边形的形状，并说明理由．
24．如图，在正方形中，P是对角线上的一点，点E在的延长线上，且．
求证：；
求证：；
把正方形改为菱形，且，其他条件不变，如图．连接，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由．
参考答案
1．D
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项判断即可求解．
解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
故选：D
【点拨】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．
2．D
【分析】根据平行四边形的性质，逐一判断选项，即可．
解：∵在中，
∴，，
∵AD//BC，
∴，
无法得出∠1=∠3，
∴A，B，C正确，D错误，
故选D．
【点拨】本题主要考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对边互相平行且相等，对角线互相平分，是解题的关键．
3．D
【分析】利用旋转的性质即可求解
解：∵△ABC绕点C旋转，点B转到点E的位置，
∴△ABC≌△DEC，点B与点E是对应点，点A与点D是对应点，∠ACD与∠BCE是旋转角，
故选：D．
【点拨】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定，掌握旋转的性质是解题的关键．
4．D
【分析】根据两直线平行同旁内角互补，角平分线的定义计算求值即可；
解：∵ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAB+∠B=180°，
∵∠B=100°，
∴∠DAB=80°，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=40°，
故选： D．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，掌握平行四边形的对边平行是解题关键．
5．B
【分析】根据菱形、矩形和正方形的判定逐项判断即可得.
解：A.由有一组邻边相等的平行四边形是菱形得：当时，它是菱形，则此项正确，不符合题意；
B.由对角线相等的平行四边形是矩形得：当时，它是矩形，不一定是正方形，则此项不正确，符合题意；
C.由有一个角是直角的平行四边形是矩形得：当时，它是矩形，则此项正确，不符合题意；
D.由对角线互相垂直的平行四边形是菱形得：当时，它是菱形，则此项正确，不符合题意.
故选：B.
【点拨】本题考查了菱形、矩形和正方形的判定，熟练掌握特殊四边形的判定方法是解题关键.
6．B
【分析】根据正方形的性质以及矩形的性质即可得出结论．
解：A、对角线互相平分是矩形和正方形都具有的性质，不符合题意；
B、对角线互相垂直是正方形具有而矩形不具有的性质，符合题意；
C、对角线相等是矩形和正方形都具有的性质，不符合题意；
D、对角线相等且互相平分是矩形和正方形都具有的性质，不符合题意；
故选：B．
【点拨】本题考查了正方形和矩形的性质，熟练掌握相关的图形性质定理是解本题的关键．
7．C
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答．
解：用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”时，
第一步先假设三角形中每个内角都大于60°．
故选：C
【点拨】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．
8．C
【分析】延长交于点M，可证得，从而得到，进而得到，再由直角三角形的性质，即可求解．
解：如图，延长交于点M，
∵E是的中点，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
故选：C
【点拨】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上中线的性质等知识，倍长中线构造全等三角形是解题的关键．
9．C
【分析】根据菱形的性质，对角线互相垂直平分可知，∠COD=90°，∠DCO+∠CDO=90°，利用AB∥CD，通过等角代换，计算即可求出．
解：由题意知，菱形ABCD的对角线互相垂直平分可得：∠DOC=90°，∠CDO+∠DCO=90°，
∵AB∥CD，
∴∠ABO=∠CDO=40°，
∴∠DCO=90°-40°=50°，
故选：C．
【点拨】本题考查了菱形的性质，平行线的性质，直角三角形中两个锐角互余，掌握菱形的性质和平行线的性质是解题的关键．
10．B
【分析】通过条件可以得出△ABE≌△ADF，从而得出∠BAE＝∠DAF，BE＝DF，由正方形的性质就可以得出EC＝FC，就可以得出AC垂直平分EF，设EC＝x，由勾股定理就可以得出BE与EF，利用三角形的面积公式分别表示出S△CEF和2S△ABE，再通过比较大小就可以得出结论．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝∠D＝∠BAD＝90°．
∵△AEF等边三角形，
∴AE＝EF＝AF，∠EAF＝60°．
∴∠BAE+∠DAF＝30°．
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE＝DF，故①正确；
∵∠BAE＝∠DAF，
∴∠DAF+∠DAF＝30°，
即∠DAF＝15°，故②正确；
∵BC＝CD，
∴BC﹣BE＝CD﹣DF，即CE＝CF，
∵AE＝AF，
∴AC垂直平分EF，故③正确；
设EC＝x，由勾股定理，得EF＝x，CG＝x，
∴AE=EF=x，EG=EF=x，
∴AG＝＝x，
∴AC＝，
∴AB＝，
∴BE＝AB﹣x＝，
∴BE+DF＝x﹣x≠x，故④错误；
∵S△CEF＝x2，
S△ABE＝x2，
∴2S△ABE＝S△CEF，
∴S△CEF＝S△ABE+S△ADF，故⑤正确．
综上所述，正确的有①②③⑤，共4个．
故选：B．
【点拨】本题考查了正方形性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答本题时运用勾股定理的性质是解题的关键．
11．
【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得a、b的值，再代入计算即可．
解：∵点与点关于原点O对称，
∴，，
∴．
故答案为：．
【点拨】本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数得出a、b的值是解题关键．
12．3
【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质和三角形中位线定理即可得到结论．
解：∵°，点F是边的中点，
∴，
∵点D、E分别是边的中点
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：3
【点拨】本题考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握三角形中位线定理和直角三角形斜边中线的性质是解题的关键．
13．
【分析】由尺规作图可知，四边形为菱形，根据菱形的性质即可求解．
解：由尺规作图可知，
∴四边形为菱形，
∵，，
∴，
【点拨】本题考查了菱形的性质与判定，根据作图得出四边形为菱形是解题的关键．
14．
【分析】设，则，由题意可以求证，从而得到，再根据勾股定理即可求解．
解：由题意可知：，，
设，则，
又∵
∴
∴
在中，，即
解得：
∴点的坐标为
故答案为
【点拨】此题考查了矩形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理以及平面直角坐标系的性质，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．
15．##
【分析】过点C作轴于点D，易知，从而求得点C坐标，待定系数法即可求得直线的解析式．
解：∵，，
∴，
过点C作轴于点D，
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
设直线的解析式为，将点A，点C坐标代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
故答案为：．
【点拨】本题是几何图形旋转的性质与待定系数法求一次函数解析式的综合题，利用全等三角形求得C的坐标是解题的关键．
16．##75度
【分析】过点作，先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行四边形的性质可得，然后根据平行公理推论可得，最后根据平行线的性质即可得．
解：如图，过点作，
∴，
由题意得：，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题考查了平行线的性质、平行公理推论、平行四边形的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
17．
【分析】连接，根据题意得出就是所求的的最小值的线段，根据等边三角形的性质，结合，得出为等边三角形，根据E为的中点，得出，根据勾股定理，计算出即可．
解：∵在菱形中，与互相垂直平分，
∴点B、D关于对称，
连接，则，
则就是所求的的最小值的线段，
∵E为的中点，，
∴，，
∴，
∴，
∴的最小值为3．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，根据题意得出ED就是所求的的最小值的线段，是解题的关键．
18．
连接AC、CF，根据正方形性质求出AC、CF，∠ACD＝∠GCF＝45°，再求出∠ACF＝90°，然后利用勾股定理列式求出AF，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
解：如图，连接AC、CF，
∵正方形ABCD和正方形CEFG中，AD＝，DG＝2，
∴AC＝2，CG＝3，
∴CF＝6，
∠ACD＝∠GCF＝45°，
∴∠ACF＝90°，
由勾股定理得，AF＝，
∵H是AF的中点，
∴CH＝AF＝×＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，正方形的性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
19．(1) (3,37°) (2) 见分析
【分析】（1）根据点的位置定义，即可得出答案；
（2）画出图形，证明△AOA′≌△BOA′（SAS），即可由全等三角形的性质，得出结论．
解：（1）解：由题意，得A′(a,n°)，
∵a=3,n=37，
∴A′(3,37°)，
故答案为：(3,37°)；
（2）证明：如图，
∵，B(3,74°)，
∴∠AOA′=37°，∠AOB=74°，OA= OB=3，
∴∠A′OB=∠AOB-∠AOA′=74°-37°=37°，
∵OA′=OA′，
∴△AOA′≌△BOA′（SAS），
∴A′A=A′B．
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，新定义，旋转的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
20．(1) 垂直平分线 (2) 见详解
【分析】（1）根据线段垂直平分线的尺规作图可直接得出答案；
（2）由题意易得，然后可证，则有OF=OE，进而问题可求证．
（1）解：由题意得：直线MN是线段AD的垂直平分线；故答案为：垂直平分线；
（2）证明：∵直线MN是线段AD的垂直平分线，
∴，
∵AD是的角平分线，
∴，
∵AO=AO，
∴（ASA），
∴OF=OE，
∵AO=DO，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∵，
∴四边形AEDF是菱形．
【点拨】本题主要考查线段垂直平分线的尺规作图、全等三角形的性质与判定及菱形的判定，熟练掌握线段垂直平分线的尺规作图、全等三角形的性质与判定及菱形的判定是解题的关键．
21．(1) 见分析 (2) 四边形的周长为12，四边形的面积为
【分析】（1）证明互相平分，只要证是平行四边形，利用两组对边分别平行来证明．
（2）首先证明出是等边三角形，然后根据平行四边形的周长公式求解，过D点作于点G，根据勾股定理求出，然后利用平行四边形的面积公式求解即可．
解：（1）解：∵四边形是平行四边形
∴，
∵分别是和的角平分线
∴
∵，
∴
∴
∴，
∴，
∴即
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴互相平分；
（2）∵，
∴是等边三角形
∵，
∴，
∵，
∴
∴四边形的周长；
过D点作于点G，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积．
【点拨】此题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．
22．(1) 作图见分析 (2) ，证明见分析
【分析】（1）根据垂直平分线的尺规作图的画法，分别以A、C为圆心，以大于AC的长为半径画弧，交于两点，过两点作直线即可得到线段AC的垂直平分线．
（2）利用矩形及垂直平分线的性质，可以证得，根据全等三角形的性质即可得出结论．
（1）解：如图，
（2）解：．证明如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴ ．
∴．
∵EF为AC的垂直平分线，
∴．
∴．
∴．
【点拨】本题主要考查了垂直平分线的尺规作图的画法、矩形的性质、全等三角形的判定和性质．
23．(1) 见分析 (2) 四边形是矩形，理由见分析
【分析】（1）根据菱形的性质可得，再根据四边形是平行四边形，可得，进而得到，即可求证；
（2）由（1）得：四边形是平行四边形，再由四边形是平行四边形，可得，从而得到，即可．
解：（1）证明：∵点O是菱形对角线的交点，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，即，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：四边形是矩形，理由如下：
由（1）得：四边形是平行四边形，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴平行四边形是矩形．
【点拨】本题考查了矩形的判定、菱形的性质、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键．
24．(1) 见分析 (2) 见分析 (3) ，见分析
【分析】对于（1），根据“”证明即可；
对于（2），根据全等三角形的性质得，由等边对等角，得．即可得出，再根据三角形内角和定理得，即可得出结论；
对于（3），先证明，再证明，可知是等边三角形，即可得出答案．
解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴，．
∵，
∴（）．
（2）∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
记PE，CD交于点O，
在和中，，
∴．
∴．
即．
（3）．
证明：∵四边形是菱形，
∴，．
∵，
∴（）．
∴，．
∵，
∴．
∴．
∵，，
∴．
即．
∵，
∴是等边三角形，
∴．
【点拨】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定，菱形的性质，等边三角形的性质和判定等，合理利用已证的结论是解题的关键．
1