苏科版八年级数学下册 第9章 中心对称图形—平行四边形同步练习（提高篇）（含解析）

第9章 中心对称图形——平行四边形（提高篇）
一、单选题
1．下列标志中，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，由尺规作图的痕迹，判断下列结论中不一定成立的是（　　　）
A． B． C． D．
3．如图，在中，，若M是边上任意一点，将绕点A逆时针旋转得到，点M的对应点为点N，连接，则下列结论一定正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，在中，，，，分别为，的中点，，那么对角线的长度是（ ）
A． B． C． D．
5．下列命题正确的是（ ）
A．平行四边形的对角线互相垂直平分 B．矩形的对角线互相垂直平分
C．菱形的对角线互相平分且相等 D．正方形的对角线互相垂直平分
6．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，点E、F、G、H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则下列结论一定正确的是（）
A．∠HGF=∠GHE B．∠GHE=∠HEF C．∠HEF=∠EFG D．∠HGF=∠HEF
7．如图，在正方形的外侧，作等边，则为（　　）
A．15° B．35° C．45° D．55°
8．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（　 　）
A． B． C． D．
9．如图，正方形，，，…照如图所示的方式放置，点，，，…和点，，，…分别在直线和x轴上，已知点，，则的坐标是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F．下列结论：
①四边形AECF是菱形；
②∠AFB＝2∠ACB；
③AC EF＝CF CD；
④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF．
其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题
11．点关于原点对称的点的坐标为______．
12．如图，点E是矩形ABCD边AD上一点，点F，G，H分别是BE，BC，CE的中点，，则GH的长为________．
13．如图，在矩形中，E为的中点，连接，过点E作的垂线交于点F，交CD的延长线于点G，连接CF．已知，，则_________．
14．如图，矩形中，，点E在射线上运动，连接，将沿翻折得到，当点F落在直线上时，线段的长为___________．
15．在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点，若，四边形的面积为40．则______．
16．如图，将□ABCD绕点A顺时针旋转，其中点B，C，D分别落在点E，F，G处，且点B，E，D，F在同一直线上．若∠CBA=115°，则∠CBD的度数为______．
17．如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F在边CD的延长线上，且，连接EF交边AD于点G．过点A作，垂足为点M，交边CD于点N．若，，则线段AN的长为_________
18．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，，AH是的平分线，于点E，点P是直线AB上的一个动点，则的最小值是________．
三、解答题
19．如图，在正方形网格中，的顶点在格点上，请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中，作关于点对称的；
（2）在图2中，作绕点顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的．
20．如图，点A，F，C，D在同一直线上，AB＝DE，AF＝CD，BC＝EF．
(1) 求证：∠ACB＝∠DFE；
(2) 连接BF，CE，直接判断四边形BFEC的形状．
21．如图，点是的边上的动点，，连接，并将线段绕点逆时针旋转得到线段．
（1）如图1，作，垂足在线段上，当时，判断点是否在直线上，并说明理由；
（2）如图2，若，，求以、为邻边的正方形的面积．
22．如图，在平行四边形中，点O是的中点，连接并延长交的延长线于点E，连接，．
(1) 求证：四边形是平行四边形；
(2) 若，判断四边形的形状，并说明理由．
23．已知是等边三角形，点B，D关于直线AC对称，连接AD，CD．
(1) 求证：四边形ABCD是菱形；
(2) 在线段AC上任取一点Р（端点除外），连接PD．将线段PD绕点Р逆时针旋转，使点D落在BA延长线上的点Q处．请探究：当点Р在线段AC上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？说明理由．
(3) 在满足（2）的条件下，探究线段AQ与CP之间的数量关系，并加以证明．
24．如图，在巾，，点O为BC的中点，点D是线段OC上的动点（点D不与点O，C重合），将沿AD折叠得到，连接BE．
(1)当时，___________；
(2)探究与之间的数量关系，并给出证明；
(3)设，的面积为x，以AD为边长的正方形的面积为y，求y关于x的函数解析式．
参考答案
1．B
【分析】根据中心对称图形的定义，即旋转能够完全重合的图形是中心对称图形判断即可；
解：是轴对称图形，故A不符合题意；
是中心对称图形，故B符合题意；
是轴对称图形，故C不符合题意；
是轴对称图形，故D不符合题意；
故选B．
【点拨】本题主要考查了轴对称图形与中心对称图形的识别，准确分析判断是解题的关键．
2．C
【分析】利用基本作图得到AE平分∠BAD，则可对A选项进行判断；根据平行四边形的性质得到AD=BC，CD∥AB，再证明∠DEA=∠DAE，所以DA=DE=CD，则可对B、D选项进行判断；由于不能确定DE=BE，则可对C选项进行判断．
解：由作图的痕迹得AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE，所以A选项不符合题意；
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC，CD∥AB，
∴∠BAE=∠DEA，
∴∠DEA=∠DAE，
∴DA=DE，所以B选项不符合题意，
∴CD=DE，所以D选项不符合题意，
不能确定DE=BE，所以C选项符合题意．
故选：C．
【点拨】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了平行四边形的性质．
3．C
【分析】根据等腰三角形的性质和旋转的性质逐项判断即可．
解：∵绕点A逆时针旋转得到，，
∴，，，
A、∵，，，
∴，故选项A结论错误，不符合题意；
B、当为等边三角形时，，则，
故选项B结论错误，不符合题意；
C、∵，
∴，
∵，，
∴，又，
∴，故选项C正确，符合题意；
D、∵，但不一定平分，
∴与不一定垂直，故选项D结论错误，不符合题意，
故选：C．
【点拨】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质，解答的关键是由旋转性质得到相等的线段和相等的角，再结合其它数学知识对选项中的结论进行判断．
4．D
【分析】先连接DE；然后利用平行四边形及等边三角形的性质解答．
解：连接DE，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∵DF＝CD，AE＝AB，
∴DF平行且等于AE，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∴EF＝AD＝1cm，
∵AB＝2AD，
∴AB＝2cm，
∵AB＝2AD，AB＝2AE，
∴AD＝AE，
∴∠1＝∠4，
∵∠A＝60°，∠1＋∠4＋∠A＝180°，
∴∠1＝∠A＝∠4＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴DE＝AE，
∵AE＝BE，
∴DE＝BE，
∴∠2＝∠3，
∵∠1＝∠2＋∠3，∠1＝60°，
∴∠2＝∠3＝30°，
∴∠ADB＝∠3＋∠4＝90°，
∴（cm），故D正确．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，三角形内角和定理，等边三角形的判定和性质，比较复杂，综合性较强，解答此题的关键是构造平行四边形，用平行四边形及等边三角形的性质，直角三角形的性质解答．
5．D
解：【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质逐项进行判断即可得.
解：A、平行四边形的对角线互相平分，故A选项错误；
B、矩形的对角线相等且互相平分，故B选项错误；
C、菱形的对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角，故C选项错误；
D、正方形的对角线互相垂直平分，故D选项正确，
故选D.
【点拨】本题考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关对角线的性质，熟练掌握是解题的关键.
6．D
【分析】利用三角形中位线定理证明四边形HEFG是平行四边形，进而可以得到结论．
解：连接BD，AC
∵E、F、G、H分别是AB，BC，CD，DA的中点，
∴HE=GF=BD，HE∥GF，
同理可证明HG=EF=AC.
∵四边形ABCD为梯形，AD=BC
∴四边形ABCD为等腰梯形，
∴AC=BD,
∴HG=EF= AD=BC
∴四边形HEFG是菱形，
∵菱形的对角相等，邻角互补，
∴∠HGF=∠HEF，
故选D．
7．C
【分析】根据正方形的性质及等边三角形的性质求出∠DAE=150°，∠AED=15°，再求∠BED．
解：在正方形中，，，
在等边中，，，
在中，，，
所以，，
所以．
故选C．
【点拨】本题主要是考查正方形的性质和等边三角形的性质，本题的关键是求出∠AED=15°．
8．D
解：试题分析：如图，连接BF，已知BC=6，点E为BC的中点，可得BE=3，根据勾股定理求得AE=5，根据三角形的面积公式求出BH=，即可得BF=，因FE=BE=EC，可得∠BFC=90°，再由勾股定理可得CF=．
故答案选D．
考点：翻折变换；矩形的性质；勾股定理.
9．D
【分析】从序号与横坐标的规律，序号与纵坐标的规律，两个方向去探索，最后整合起来就是坐标的规律．
解：因为的横坐标为，
的横坐标为，
所以的横坐标为；
因为的纵坐标为，
的纵坐标为，
所以的纵坐标为；
所以的坐标是，
故选D．
【点拨】本题考查了图形中的数字规律，正确掌握探解规律的基本方法是解题的关键．
10．B
【分析】根据作图可得，且平分，设与的交点为，证明四边形为菱形，即可判断①，进而根据等边对等角即可判断②，根据菱形的性质求面积即可求解．判断③，根据角平分线的性质可得，根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解．
解：如图，设与的交点为，
根据作图可得，且平分，
，
四边形是矩形，
，
，
又， ，
，
，
，
四边形是平行四边形，
垂直平分，
，
四边形是菱形，故①正确；
②，
，
∠AFB＝2∠ACB；故②正确；
③由菱形的面积可得AC EF＝CF CD；故③不正确，
④四边形是矩形，
，
若AF平分∠BAC，，
则，
，
，
，
，
，
，
CF＝2BF．故④正确；
故选B
【点拨】本题考查了菱形的性质与判定，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质，综合运用以上知识是解题的关键．
11．
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点O的对称点是，进而得出答案．
解：点关于原点对称的点坐标是．
故答案为：
【点拨】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．
12．3
【分析】根据直角三角形的性质和三角形中位线的性质，即可求解．
解：∵在矩形ABCD中，∠BAE=90°，
又∵点F是BE的中点，，
∴BE=2AF=6，
∵G，H分别是BC，CE的中点，
∴GH是的中位线，
∴GH=BE=×6=3，
故答案是：3．
【点拨】本题主要考查矩形的性质，直角三角形的性质和三角形中位线的性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半，是解题的关键．
13．
【分析】由题意，先证明△AEF≌△DEG，则EF=EG，，利用等腰三角形的性质，求出，然后得到AB=CD=，则，利用勾股定理求出BC，然后得到AE的长度，即可求出FE的长度．
解：根据题意，在矩形中，则
AB=CD，BC=AD，∠A=∠EDG=90°，
∵E为的中点，
∴AE=DE，
∵∠AEF=∠DEG，
∴△AEF≌△DEG，
∴EF=EG，；
∵CE⊥FG，
∴，
∴AB=CD=，
∴，
在直角△BCF中，由勾股定理则
，
∴AD=3，
∴，
在直角△AEF中，由勾股定理则
；
故答案为：．
【点拨】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确得到．
14．6或
【分析】分两种情况∶点F在点D的右侧；点F在点D的左侧，分别求解即可．
解：解∶∵四边形ABCD是矩形，AB=5，BC=4，
∴CD=AB=5，AD=BC=4，∠BCD=∠CDA=90°，
∵沿翻折得到，
∴△AEF≌△AEB，
∴AF=AB=5，EF=BE，
①当点F在点D的右侧时，如图，
在Rt△ADF中，由勾股定理得，
∴CF=CD-DF=2，
设CE=x，则EF=BE=BC-CE=4-x，
在Rt△CEF中，由勾股定理得，
即，
∴，
②当点F在点D的左侧时，如图，
在Rt△ADF中，由勾股定理得，
∴CF=CD+DF=8，
设CE=x，则EF=BE=BC+CE=4+x，
在Rt△CEF中，由勾股定理得，
即，
∴x=6，
综上所述，线段的长为6或．
【点拨】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理以及分类讨论思想等知识，掌握相关知识并能熟练运用是解题的关键．
15．10
【分析】由是的中点及，可证明△ADE≌△DCE，则可得AF=CD，再由D是BC的中点，可得四边形ADBF是平行四边形，则可得△ABF与△ABD的面积相等，再由三角形中线平分三角形面积，易得△ABC面积等于四边形ADBF的面积，则由三角形面积公式即可求得AC的长．
解：∵是的中点，
∴AE=DE，
∵，
∴∠FAE=∠CDE
∵∠AEF=∠DEC，
∴△ADE≌△DCE(ASA)，
∴AF=CD．
∵D是BC的中点，
∴AD是斜边BC上的中线，
∴BD=CD=AD，，
∴AF=BD，
∵AF∥BC，
∴四边形ADBF是平行四边形，
∴AD=BF，
∵AB=AB，AF=BD，
∴△ABF≌△ABD(SSS)，
∴．
∴，
即，
∴，
∴AC=10．
故答案为：10．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，直角三角形斜边上中线的性质等知识，判定四边形ADBF是平行四边形，进而得到它的面积等于△ABC的面积是解题的关键．
16．
【分析】由旋转的性质得，，由等腰三角形的性质得出，则．
解：∵□ABCD绕点A顺时针旋转到□AEFG的位置，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题考查旋转的性质，平行四边形的性质，等腰三角形的性质等，找出旋转前后的对应线段、对应角是解题的关键．
17．
【分析】连接AE、AF、EN，首先可证得，AE=AF，可证得垂直平分EF，可得EN=FN，再根据勾股定理即可求得正方形的边长，再根据勾股定理即可求得AN的长．
解：如图：连接AE、AF、EN，
四边形ABCD是正方形
设AB=BC=CD=AD=a，，
在与中，
，
，
是等腰三角形，
又，
垂直平分EF，
，
又，
，
在中，，
，
解得a=20，
，，
在中，，
，
故答案为：．
【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，证得垂直平分EF是解决本题的关键．
18．##
【分析】作点O关于AB的对称点F，连接OF交AB于G，连接PE交直线AB于P，连接PO，则PO=PF，此时，PO+PE最小，最小值=EF，利用菱形的性质与直角三角形的性质，勾股定理，求出OF，OE长，再证明△EOF是直角三角形，然后由勾股定理求出EF长即可．
解：如图，作点O关于AB的对称点F，连接OF交AB于G，连接PE交直线AB于P，连接PO，则PO=PF，此时，PO+PE最小，最小值=EF的长，
∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，AD=AB=3，
∵∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=3，∠BAO=30°，
∴OB==，
∴OA=，
∴点O关于AB的对称点F，
∴OF⊥AB，OG=FG，
∴OF=2OG=OA=，∠AOG=60°，
∵CE⊥AH于E，OA=OC，
∴OE=OC=OA=，
∴∠AEC=∠CAE，
∵AH平分∠BAC，
∴∠CAE=15°，
∴∠AEO=∠CAE=15°，
∴∠COE=∠AEO+∠CAE=30°，
∴∠COE+∠AOG=30°+60°=90°，
∴∠FOE=90°，
∴由勾股定理，得EF=,
∴PO+PE最小值=．
故答案为：．
【点拨】本题考查菱形的性质，利用轴对称求最短距离问题，直角三角形的性质，勾股定理，作点O关于AB的对称点F，连接OF交AB于G，连接PE交直线AB于P，连接PO，则PO=PF，则PO+PE最小，最小值=EF的长是解题的关键．
19．（1）见分析；（2）见分析．
【分析】（1）分别作出A，B，C三点关于O点对称的点，，，然后顺次连接即可得；
（2）计算得出AB=，AC=5，再根据旋转作图即可．
解：（1）如图1所示；
（2）根据勾股定理可计算出AB=，AC=5，再作图，如图2所示．
【点拨】本题考查复杂-应用与设计，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
20．(1) 见分析 (2) 四边形BFEC是平行四边形
【分析】（1）证△ABC≌△DEF（SSS），再由全等三角形的性质即可得出结论；
（2）由（1）可知，∠ACB=∠DFE，则BC∥EF，再由平行四边形的判定即可得出结论．
（1）证明：∵AF=CD，
∴AF ＋ CF = CD ＋ CF，
即AC＝DF，
在△ABC和△DEF中，
△ABC≌△DEF（SSS）
（2）如图，四边形BFEC是平行四边形，理由如下：
由（1）可知，∠ACB=∠DFE，
∴BC EF，
又∶ BC = EF，
四边形BFEC是平行四边形．
【点拨】本题考查了平行网边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定方法，证明三角形全等是解题的关键．
21．（1）点在直线上，见分析；（2）18
【分析】（1）根据，，得到，可得线段逆时针旋转落在直线上，即可得解；
（2）作于，得出，再根据平行线的性质得到，再根据直角三角形的性质计算即可；
解：（1）结论：点在直线上；
∵，，
∴，
∴，即．
∴线段逆时针旋转落在直线上，即点在直线上．
（2）作于，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，即以、为邻边的正方形面积．
【点拨】本题主要考查了旋转综合题，结合平行线的性质计算是解题的关键．
22．(1) 见分析 (2) 四边形是菱形．理由见分析
【分析】（1）证△ABO≌△DEO（AAS），得OB=OE，再由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得AB=CD，再证AB=BD，然后由菱形的判定即可得出结论．
解：（1）证明：∵四边形是平行四边形
∴
∴
∵点O是的中点
∴
在和中
∴（AAS）
∴
∴四边形是平行四边形
（2）四边形是菱形.
理由：∵四边形是平行四边形
∴
∵
∴
∵四边形是平行四边形
∴四边形是菱形
【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及菱形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
23．(1) 见分析 (2) 大小不变，理由见分析 (3) ，证明见分析
【分析】（1）连接BD，由等边三角形的性质可得AC垂直平分BD，继而得出，便可证明；
（2）连接PB，过点P作交AB于点E，PF⊥AB于点F，可证明是等边三角形，由等腰三角形三线合一证明，，即可求解；
（3）由等腰三角形三线合一的性质可得AF = FE，QF = BF，即可证明．
解：（1）
连接BD，
是等边三角形，
，
点B，D关于直线AC对称，
AC垂直平分BD，
，
，
四边形ABCD是菱形；
（2）当点Р在线段AC上的位置发生变化时，的大小不发生变化，始终等于60°，理由如下：
将线段PD绕点Р逆时针旋转，使点D落在BA延长线上的点Q处，
，
是等边三角形，
，
连接PB，过点P作交AB于点E，PF⊥AB于点F，
则，
，
是等边三角形，
，
，
，
点B，D关于直线AC对称，点P在线段AC上，
PB = PD，∠DPA =∠BPA，
PQ = PD，
，
，
∠QPF -∠APF =∠BPF -∠EPF，
即∠QPA = ∠BPE，
∠DPQ =∠DPA - ∠QPA=∠BPA-∠BPE = ∠APE = 60°；
（3）
AQ= CP，证明如下：
AC = AB，AP= AE，
AC - AP = AB – AE，即CP= BE，
AP = EP，PF⊥AB，
AF = FE，
PQ= PD，PF⊥AB，
QF = BF，
QF - AF = BF – EF，即AQ= BE，
AQ= CP．
【点拨】本题考查了图形的旋转，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，菱形的判定等，熟练掌握知识点是解题的关键．
24．(1) (2) (3)
【分析】（1）首先由折叠的性质可得，再由等腰三角形的性质可求解；
（2）首先由折叠的性质可得，，再由等腰三角形的性质可得，，最后根据角度关系即可求解；
（3）首先由等腰直角三角形的性质和直角三角形的性质可求的长，由勾股定理可求的长，最后根据面积和差关系可求解．
解：（1），，，
，
将沿折叠得到，
，
，
∴△ABE是等边三角形，
，
故答案为：60；
（2），理由如下：
将沿折叠得到，
，，
，，
，
，
，
；
（3）如图，连接，
，点是的中点，
，
，，
，，
，
，
，
，
．
【点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，折叠的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相关性质并能够灵活运用．
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