3.3 垂径定理 课件（共22张PPT）

(共22张PPT)
第三章 圆
北师大版九年级数学下册
3 垂径定理
学习&目标
1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.
2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.（重点）
3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）
情境&导入
1.等腰三角形是轴对称图形吗？
2.如果将一等腰三角形沿底边上的高对折，可以发现什么结论？
3.如果以这个等腰三角形的顶角顶点为圆心，腰长为半径画圆，得到的图形是否是轴对称图形呢？
情境&导入
问题:你知道赵州桥吗 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
37.4m
7.2m
探索&交流
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．
（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由.
C
D
A
B
M
O
C
D
A
B
M
O
连接OA，OB，则OA=OB.
在Rt△OAM和Rt△OBM中，
∵OA=OB，
∴Rt△OAM≌Rt△OBM.
∴AM=BM.
∴点A和点B关于CD对称.
∵⊙O关于直径CD对称，
∴当圆沿着直径CD对折时， 点A与点B重合，
探索&交流
（2）① CD是直径
② CD⊥AB
可推得
条件
③AM=BM,
⌒
⌒
④AC=BC,
⌒
⌒
⑤AD=BD.
结论
解：（1）此图是轴对称图形，对称轴是直径CD所在的直线
C
D
A
B
M
O
探索&交流
C
D
A
B
M
O
垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.
特别提醒
1. “垂直于弦的直径”中的“直径”，其实质是：过圆心且垂直于弦的线段、直线均可.
2. “两条弧”是指弦所对的劣弧和优弧或两个半圆.
探索&交流
∵ CD是直径，CD⊥AB，(条件)
∴ AP=BP,
⌒
⌒
AC =BC,
⌒
⌒
AD =BD.(结论)
推导格式：
想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？
是
不是，因为没有垂直
是
不是，因为CD没有过圆心
A
B
O
C
D
E
O
A
B
C
A
B
O
E
A
B
D
C
O
E
探索&交流
垂径定理的几个基本图形：
A
B
O
C
D
E
A
B
O
E
D
A
B
O
D
C
A
B
O
C
归纳总结
探索&交流
例题&解析
例题欣赏

例1.已知：在☉O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD，垂足为M. 求证：AM=BM，AC =BC，AD =BD.
⌒
⌒
⌒
⌒
O
C
D
M
A
B
证明：连接OA、OB、CA、CB，则OA=OB.
即△AOB是等腰三角形.
∵AB⊥CD，
∴AM=BM，∠AOC=∠BOC.
⌒
⌒
AC =BC.
∴AD =BD，
⌒
⌒
从而∠AOD=∠BOD.
例题&解析
例题欣赏

例2.如图所示，弦CD 垂直于⊙ O 的直径AB，垂足为点H，
且CD=2 ，BD= ，则AB 的长为（ ）
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
B
探索&交流
　想一想
如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？
①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；
④平分弦所对的优弧； ⑤平分弦所对的劣弧.
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？
探索&交流
D
O
A
B
E
C
举例证明其中一种组合方法
已知:
求证：
① CD是直径
② CD⊥AB，垂足为E
③ AE=BE
④ AC=BC ⑤ AD=BD
⌒
⌒
⌒
⌒
证明猜想
AC与BC相等吗？ AD与BD相等吗？为什么？
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.
（1）CD⊥AB吗？为什么？
（2）
·
O
A
B
C
D
E
⌒
⌒
（2）由垂径定理可得AC =BC， AD =BD.
⌒
⌒
⌒
⌒
（1）连接AO,BO,则AO=BO,
又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS），
∴∠AEO=∠BEO=90°，
∴CD⊥AB.
⌒
⌒
探索&交流
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.
垂径定理的推论
·
O
A
B
C
D
特别说明：
圆的两条直径是互相平分的.
归纳总结
探索&交流
例题&解析
例题欣赏

例3.如图，⊙O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半径OC的长.
·
O
A
B
E
C
D
解：连接OA，∵ CE⊥AB于D，
∴
设OC=xcm，则OD=x-2,根据勾股定理，得
解得 x=5，
即半径OC的长为5cm.
x2=42+(x-2)2，
例题&解析
例题欣赏

例4.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
● O
C
D
E
F
┗
解:连接OC.
设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.
根据勾股定理，得
解得R=545.
∴这段弯路的半径约为545m.
练习&巩固
1.下列说法中，不正确的是( )
A. 圆既是轴对称图形，又是中心对称图形
B. 圆绕着它的圆心旋转任意角度，都能与它自身重合
C. 圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个
D. 圆的每一条直径都是它的对称轴
练习&巩固
2.一块圆形宣传标志牌如图所示，点A，B，C 在⊙ O 上，CD 垂直平分AB 于点D．现测得AB=8 dm，DC=2 dm，则圆形标志牌的半径为______.
练习&巩固
3.如图，在△ABC中，已知∠ACB=130°，∠BAC=20°，BC=2，以点C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，则BD的长为_______．
小结&反思
在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.
涉及垂径定理时辅助线的添加方法
弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：
弓形中重要数量关系
A
B
C
D
O
h
r
d
d+h=r
O
A
B
C
·