3.4.2 圆周角和圆心角的关系（第2课时） 课件（共19张PPT）
文档属性
| 名称 | 3.4.2 圆周角和圆心角的关系（第2课时） 课件（共19张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 826.2KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-02-02 16:36:54 | ||
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文档简介
(共19张PPT)
第三章 圆
北师大版九年级数学下册
4.2 圆周角和圆心角的关系
学习&目标
1.复习并巩固圆周角和圆心角的相关知识.
2.理解并掌握圆内接四边形的概念及性质并学会运用.(重点)
情境&导入
问题1 什么是圆周角？
特征：
① 角的顶点在圆上.
② 角的两边都与圆相交.
顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.
●O
B
A
C
D
E
情境&导入
问题2 什么是圆周角定理？
圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
●O
A
B
C
●O
A
B
C
●O
A
B
C
即 ∠ABC = ∠AOC.
探索&交流
如图，BC 是⊙O 的直径，它所对的圆周角有什么特点？你能证明你的结论吗？
·
O
A
B
C
解：直径BC所对的圆周角∠BAC＝90°.
证明：∵BC为直径，
∴∠BOC＝180°，
∴
探索&交流
如图，圆周角∠A = 90°，弦 BC 是直径吗？为什么？
·
O
A
B
C
解：弦BC是直径.
连接OC、OB，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BOC ＝ 2∠BAC ＝ 180°.
∴B、O、C三点在同一直线上.
∴BC是⊙O的一条直径.
注意：此处不能直接连接BC，思路是先保证过点O，再证三点共线.
推论 直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.
∵BC为直径，
∴∠BAC = 90°.
几何语句：
∵∠BAC = 90°，
∴ BC为直径 .
几何语句：
探索&交流
例题&解析
例题欣赏
例1.如图，⊙O的直径AC为10cm，弦AD为6cm.
（1）求DC的长；
（2）若∠ADC的平分线交⊙O于B, 求AB、BC的长．
解：(1)∵AC是直径，
∴ ∠ADC=90°.
在Rt△ADC中，AC=10,AD=6,DC=8
B
在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，
(2)∵ AC是直径,∴ ∠ABC=90°.
∵BD平分∠ADC,∴∠ADB=∠CDB.
又∵∠ACB=∠ADB ,∠BAC=∠BDC .
∴ ∠BAC=∠ACB, ∴AB=BC.
探索&交流
议一议
（1）如图，A，B，C，D 是 ⊙O 上的四点，AC 为⊙O 的直径，∠BAD 与 ∠BCD 之间有什么关系？为什么？
·
O
D
B
C
A
解：∠BAD与∠BCD互补
∵AC为直径，
∴∠ABC=90°，∠ADC=90°.
∵∠ABC+∠BCD+∠ADC+∠BAD=360°，
∴∠BAD+∠BCD=180°.
∴∠BAD与∠BCD互补.
探索&交流
议一议
（2）如图，点C 的位置发生了变化，∠BAD 与 ∠BCD 之间关系还成立吗？为什么？
·
O
D
B
C
A
解：∠BAD与∠BCD的关系仍然成立
连接OB，OD，
则
∵∠1+∠2=360°,
∴∠BAD+∠BCD=180°.
∴∠BAD与∠BCD互补.
1
2
探索&交流
·
O
D
B
C
A
·
O
D
B
C
A
四边形的四个顶点都在同一个圆上，像这样的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.
我们发现∠BAD与∠BCD之间有什么关系？
推论 圆内接四边形的对角互补.
探索&交流
证明：圆内接四边形的对角互补.
已知，如图，四边形ABCD为☉O的内接四边形，☉O为四边形ABCD的外接圆. 求证∠BAD+∠BCD=180°.
证明：连接OB、OD.
根据圆周角定理，可知
1
2
由四边形内角和定理可知，∠ABC+∠ADC=180°
例题&解析
例题欣赏
例2.如图3-4-4，AB 是⊙ O 的直径，BD 是⊙ O 的弦，延长BD 到点C，使AC=AB. 求证：BD=CD.
证明：如图3-4-4，连接AD.
∵ AB 是⊙ O 的直径，
∴∠ ADB=90°，即AD ⊥ BC.
又∵ AC=AB，∴ BD=CD.
探索&交流
想一想
如图，∠DCE 是圆内接四边形 ABCD 的一个外角，∠A 与∠DCE 的大小有什么关系？
·
O
D
B
C
A
E
解：∠A =∠CDE
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠BCD = 180°.
∵∠BCD+∠DCE = 180°，
∴∠A =∠DCE.
例题&解析
例题欣赏
例3.如图3-4-6，四边形ABCD 为⊙ O 的内接四边形，已知∠ BOD=100°，则∠ BCD 的度数为( )
A. 50° B. 80°
C. 100° D. 130°
D
练习&巩固
1．四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠A=110°，∠B=80°，则∠C= ，∠D= .
练习&巩固
2.如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，若∠OBC＝60°，则∠BAC的度数是( )
A．75° B．60°
C. 45° D．30°
练习&巩固
3.如图，∠A=50°， ∠ABC=60 °，BD是⊙O的直径，则∠AEB等于 （ ）
A.70° B.110°
C.90° D.120°
A
C
B
O
D
E
小结&反思
2.圆内接四边形的角的“两种关系”：
(1)对角互补，若四边形ABCD为⊙O的内接四边形，则∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°.
(2)任一外角与其相邻的内角的对角相等，简称圆内接四边形的外角等于其内对角．
1.直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.
第三章 圆
北师大版九年级数学下册
4.2 圆周角和圆心角的关系
学习&目标
1.复习并巩固圆周角和圆心角的相关知识.
2.理解并掌握圆内接四边形的概念及性质并学会运用.(重点)
情境&导入
问题1 什么是圆周角？
特征：
① 角的顶点在圆上.
② 角的两边都与圆相交.
顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.
●O
B
A
C
D
E
情境&导入
问题2 什么是圆周角定理？
圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
●O
A
B
C
●O
A
B
C
●O
A
B
C
即 ∠ABC = ∠AOC.
探索&交流
如图，BC 是⊙O 的直径，它所对的圆周角有什么特点？你能证明你的结论吗？
·
O
A
B
C
解：直径BC所对的圆周角∠BAC＝90°.
证明：∵BC为直径，
∴∠BOC＝180°，
∴
探索&交流
如图，圆周角∠A = 90°，弦 BC 是直径吗？为什么？
·
O
A
B
C
解：弦BC是直径.
连接OC、OB，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BOC ＝ 2∠BAC ＝ 180°.
∴B、O、C三点在同一直线上.
∴BC是⊙O的一条直径.
注意：此处不能直接连接BC，思路是先保证过点O，再证三点共线.
推论 直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.
∵BC为直径，
∴∠BAC = 90°.
几何语句：
∵∠BAC = 90°，
∴ BC为直径 .
几何语句：
探索&交流
例题&解析
例题欣赏
例1.如图，⊙O的直径AC为10cm，弦AD为6cm.
（1）求DC的长；
（2）若∠ADC的平分线交⊙O于B, 求AB、BC的长．
解：(1)∵AC是直径，
∴ ∠ADC=90°.
在Rt△ADC中，AC=10,AD=6,DC=8
B
在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，
(2)∵ AC是直径,∴ ∠ABC=90°.
∵BD平分∠ADC,∴∠ADB=∠CDB.
又∵∠ACB=∠ADB ,∠BAC=∠BDC .
∴ ∠BAC=∠ACB, ∴AB=BC.
探索&交流
议一议
（1）如图，A，B，C，D 是 ⊙O 上的四点，AC 为⊙O 的直径，∠BAD 与 ∠BCD 之间有什么关系？为什么？
·
O
D
B
C
A
解：∠BAD与∠BCD互补
∵AC为直径，
∴∠ABC=90°，∠ADC=90°.
∵∠ABC+∠BCD+∠ADC+∠BAD=360°，
∴∠BAD+∠BCD=180°.
∴∠BAD与∠BCD互补.
探索&交流
议一议
（2）如图，点C 的位置发生了变化，∠BAD 与 ∠BCD 之间关系还成立吗？为什么？
·
O
D
B
C
A
解：∠BAD与∠BCD的关系仍然成立
连接OB，OD，
则
∵∠1+∠2=360°,
∴∠BAD+∠BCD=180°.
∴∠BAD与∠BCD互补.
1
2
探索&交流
·
O
D
B
C
A
·
O
D
B
C
A
四边形的四个顶点都在同一个圆上，像这样的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.
我们发现∠BAD与∠BCD之间有什么关系？
推论 圆内接四边形的对角互补.
探索&交流
证明：圆内接四边形的对角互补.
已知，如图，四边形ABCD为☉O的内接四边形，☉O为四边形ABCD的外接圆. 求证∠BAD+∠BCD=180°.
证明：连接OB、OD.
根据圆周角定理，可知
1
2
由四边形内角和定理可知，∠ABC+∠ADC=180°
例题&解析
例题欣赏
例2.如图3-4-4，AB 是⊙ O 的直径，BD 是⊙ O 的弦，延长BD 到点C，使AC=AB. 求证：BD=CD.
证明：如图3-4-4，连接AD.
∵ AB 是⊙ O 的直径，
∴∠ ADB=90°，即AD ⊥ BC.
又∵ AC=AB，∴ BD=CD.
探索&交流
想一想
如图，∠DCE 是圆内接四边形 ABCD 的一个外角，∠A 与∠DCE 的大小有什么关系？
·
O
D
B
C
A
E
解：∠A =∠CDE
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠BCD = 180°.
∵∠BCD+∠DCE = 180°，
∴∠A =∠DCE.
例题&解析
例题欣赏
例3.如图3-4-6，四边形ABCD 为⊙ O 的内接四边形，已知∠ BOD=100°，则∠ BCD 的度数为( )
A. 50° B. 80°
C. 100° D. 130°
D
练习&巩固
1．四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠A=110°，∠B=80°，则∠C= ，∠D= .
练习&巩固
2.如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，若∠OBC＝60°，则∠BAC的度数是( )
A．75° B．60°
C. 45° D．30°
练习&巩固
3.如图，∠A=50°， ∠ABC=60 °，BD是⊙O的直径，则∠AEB等于 （ ）
A.70° B.110°
C.90° D.120°
A
C
B
O
D
E
小结&反思
2.圆内接四边形的角的“两种关系”：
(1)对角互补，若四边形ABCD为⊙O的内接四边形，则∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°.
(2)任一外角与其相邻的内角的对角相等，简称圆内接四边形的外角等于其内对角．
1.直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.