3.6.2 直线和圆的位置关系（第2课时） 课件（共21张PPT）
文档属性
| 名称 | 3.6.2 直线和圆的位置关系（第2课时） 课件（共21张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-02-02 16:36:54 | ||
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文档简介
(共21张PPT)
第三章 圆
北师大版九年级数学下册
6.2 直线和圆的位置关系
学习&目标
1.理解并掌握圆的切线的判定定理及运用.（重点）
2.三角形的内切圆和内心的概念及性质.（难点）
情境&导入
当你在下雨天快速转动雨伞时，水滴顺着伞的什么方向飞出去的？
砂轮打磨零件时，溅出火星沿着砂轮的什么方向飞出去的
均沿着圆的切线的方向飞出．
探索&交流
l
如图，AB 是 ⊙O 的直径，直线 l 与 AB 的夹角为∠α. 当 l 绕点 A 旋转时，
O
A
B
α
（1）随着∠α的变化，点 O 到 l 的距离 d 如何变化？直线 l 与 ⊙O 的位置关系如何变化？
d
l
l
∠α从90°变小到0°，再由0°变大到90°，点 O 到 l 的距离 d 先由 r 变小到0，再由0变大到 r.
直线 l 与 ⊙O 先相切，再相交，最后又相切.
探索&交流
l
如图，AB 是 ⊙O 的直径，直线 l 与 AB 的夹角为∠α. 当 l 绕点 A 旋转时，
O
A
B
α
d
l
l
（2）当∠α 等于多少度时，点 O 到 l 的距离 d 等于半径 r？此时，直线 l 与 ⊙O 有怎样的位置关系？为什么？
当∠α = 90°时，点 O 到 l 的距离 d 等于半径 r . 此时，直线 l 与 ⊙O 相切.
过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线.
OA为⊙O的半径
BC ⊥ OA于A
BC为⊙O的切线
Ｏ
A
B
C
切线的判定定理
应用格式
O
探索&交流
特别提醒
切线必须同时具备两个条件：
1.直线过半径的外端； 2.直线垂直于这条半径.
例题&解析
例题欣赏
例1.如图3-6-4，已知AB 是⊙ O 的直径，AB=4，点C 在线段AB 的延长线上，点D 在⊙ O 上，连接CD，且CD=OA，OC=2 ，求证：CD 是⊙ O 的切线.
证明：如图3-6-4，连接OD.
由题意可知CD=OD=OA= AB=2.
∵ OC=2 ，∴ OD2+CD2=OC2.
∴∠ ODC=90°，即OD ⊥ CD.
又∵点D 在⊙ O 上，∴ CD 是⊙ O 的切线.
探索&交流
做一做
已知 ⊙O 上有一点 A，过点 A 画 ⊙O 的切线.
O
A
l
如何判定一条直线是已知圆的切线？
探索&交流
判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线;
2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；
3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
l
A
l
O
l
r
d
l
O
A
如果直线l是⊙O的切线，点A为切点，那么半径OA与l垂直吗？
∵直线l是⊙O的切线，
性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.
∴圆心O到直线l 的距离等于半径.
∴OA是圆心O到直线l的距离.
探索&交流
例题&解析
例题欣赏
例2.如图3-6-5，在Rt △ ABC 中，∠ B=90°，∠ BAC 的平分线交BC 于点D，以点D 为圆心，DB 的长为半径作⊙ D. 求证：AC 与⊙ D 相切.
证明：如图3-6-5，过点D 作DF ⊥ AC 于点F.
∵∠ B=90°，
∴ DB ⊥ AB.
又∵ AD 平分∠ BAC，
∴ DF=DB.
∴ AC 与⊙ D 相切.
探索&交流
(1) 已明确直线和圆有公共点，连结圆心和公共点，即半径，再证直线与半径垂直.简记“有交点，连半径,证垂直”;
(2) 不明确直线和圆有公共点，过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径.简记“无交点，作垂直,证半径”.
证切线时辅助线的添加方法
探索&交流
如图是一张三角形的铁皮，工人师傅要从中截下一块圆形的用料，怎样才能使截下的圆的面积尽可能大呢？
三角形与圆的位置关系
例3.已知：△ABC.
求作：⊙I ，使它与△ABC 的三边都相切.
例题欣赏
例题&解析
A
B
C
E
F
I
D
作法：
1.分别作∠B，∠C 的平分线 BE 和 CF，交点为 I .
2.过 I 作 BC 的垂线，垂足为 D .
3.以 I 为圆心，以 ID 的长为半径作⊙I .
⊙I 就是所求的圆.
探索&交流
A
B
C
E
F
I
D
这样的圆可以作出几个 为什么
∵直线BE和CF只有一个交点I，并且点I到△ABC三边的距离相等.
∴和△ABC三边都相切的圆可以作出一个，并且只能作一个.
1.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
B
2.三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心.
4.三角形的内心就是三角形的三条角平分线的交点.
┐
A
C
O
┐
┐
D
E
F
3.三角形的内心到三角形的三边的距离相等.
☉O是△ABC的内切圆，点O是△ABC的内心.
探索&交流
例题&解析
例题欣赏
例4.△ABC中，☉O是△ABC的内切圆，∠A=70°，求∠ BOC的度数。
A
B
C
O
解：∵∠ A=70°
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠ A=110°
∵☉O是△ABC的内切圆
∴BO,CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线
即∠ OBC= ∠ABC ∠OCB= ∠ACB
∴∠ BOC=180°－(∠ OBC+∠OCB)
=180°－ ( ∠ABC +∠ACB)== 125°.
练习&巩固
1.下列说法错误的是( )
A．三角形的内切圆与三角形的三边都相切
B．一个三角形一定有唯一一个内切圆
C．一个圆一定有唯一一个外切三角形
D．等边三角形的内切圆与外接圆是同心圆
练习&巩固
2.如图，点C 是⊙ O上的一点，AB 是⊙ O的直径，∠CAB=∠DCB，那么CD 与⊙ O 的位置关系是( )
A. 相交 B. 相离
C. 相切 D. 相交或相切
练习&巩固
3.如图，☉O内切于△ABC，切点D、E、F分别在BC、AB、AC上．已知∠B＝50°，∠C＝60°，连接OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于( )
A．40° B．55°
C．65° D．70°
小结&反思
切线的三种判定方法：
(1)定义；
(2)数量关系；
(3)位置关系(切线的判定定理)：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。在切线的三种判定方法中，常用的是后两种判定方法，在判定圆的切线时，往往需要添加辅助线．
第三章 圆
北师大版九年级数学下册
6.2 直线和圆的位置关系
学习&目标
1.理解并掌握圆的切线的判定定理及运用.（重点）
2.三角形的内切圆和内心的概念及性质.（难点）
情境&导入
当你在下雨天快速转动雨伞时，水滴顺着伞的什么方向飞出去的？
砂轮打磨零件时，溅出火星沿着砂轮的什么方向飞出去的
均沿着圆的切线的方向飞出．
探索&交流
l
如图，AB 是 ⊙O 的直径，直线 l 与 AB 的夹角为∠α. 当 l 绕点 A 旋转时，
O
A
B
α
（1）随着∠α的变化，点 O 到 l 的距离 d 如何变化？直线 l 与 ⊙O 的位置关系如何变化？
d
l
l
∠α从90°变小到0°，再由0°变大到90°，点 O 到 l 的距离 d 先由 r 变小到0，再由0变大到 r.
直线 l 与 ⊙O 先相切，再相交，最后又相切.
探索&交流
l
如图，AB 是 ⊙O 的直径，直线 l 与 AB 的夹角为∠α. 当 l 绕点 A 旋转时，
O
A
B
α
d
l
l
（2）当∠α 等于多少度时，点 O 到 l 的距离 d 等于半径 r？此时，直线 l 与 ⊙O 有怎样的位置关系？为什么？
当∠α = 90°时，点 O 到 l 的距离 d 等于半径 r . 此时，直线 l 与 ⊙O 相切.
过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线.
OA为⊙O的半径
BC ⊥ OA于A
BC为⊙O的切线
Ｏ
A
B
C
切线的判定定理
应用格式
O
探索&交流
特别提醒
切线必须同时具备两个条件：
1.直线过半径的外端； 2.直线垂直于这条半径.
例题&解析
例题欣赏
例1.如图3-6-4，已知AB 是⊙ O 的直径，AB=4，点C 在线段AB 的延长线上，点D 在⊙ O 上，连接CD，且CD=OA，OC=2 ，求证：CD 是⊙ O 的切线.
证明：如图3-6-4，连接OD.
由题意可知CD=OD=OA= AB=2.
∵ OC=2 ，∴ OD2+CD2=OC2.
∴∠ ODC=90°，即OD ⊥ CD.
又∵点D 在⊙ O 上，∴ CD 是⊙ O 的切线.
探索&交流
做一做
已知 ⊙O 上有一点 A，过点 A 画 ⊙O 的切线.
O
A
l
如何判定一条直线是已知圆的切线？
探索&交流
判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线;
2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；
3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
l
A
l
O
l
r
d
l
O
A
如果直线l是⊙O的切线，点A为切点，那么半径OA与l垂直吗？
∵直线l是⊙O的切线，
性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.
∴圆心O到直线l 的距离等于半径.
∴OA是圆心O到直线l的距离.
探索&交流
例题&解析
例题欣赏
例2.如图3-6-5，在Rt △ ABC 中，∠ B=90°，∠ BAC 的平分线交BC 于点D，以点D 为圆心，DB 的长为半径作⊙ D. 求证：AC 与⊙ D 相切.
证明：如图3-6-5，过点D 作DF ⊥ AC 于点F.
∵∠ B=90°，
∴ DB ⊥ AB.
又∵ AD 平分∠ BAC，
∴ DF=DB.
∴ AC 与⊙ D 相切.
探索&交流
(1) 已明确直线和圆有公共点，连结圆心和公共点，即半径，再证直线与半径垂直.简记“有交点，连半径,证垂直”;
(2) 不明确直线和圆有公共点，过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径.简记“无交点，作垂直,证半径”.
证切线时辅助线的添加方法
探索&交流
如图是一张三角形的铁皮，工人师傅要从中截下一块圆形的用料，怎样才能使截下的圆的面积尽可能大呢？
三角形与圆的位置关系
例3.已知：△ABC.
求作：⊙I ，使它与△ABC 的三边都相切.
例题欣赏
例题&解析
A
B
C
E
F
I
D
作法：
1.分别作∠B，∠C 的平分线 BE 和 CF，交点为 I .
2.过 I 作 BC 的垂线，垂足为 D .
3.以 I 为圆心，以 ID 的长为半径作⊙I .
⊙I 就是所求的圆.
探索&交流
A
B
C
E
F
I
D
这样的圆可以作出几个 为什么
∵直线BE和CF只有一个交点I，并且点I到△ABC三边的距离相等.
∴和△ABC三边都相切的圆可以作出一个，并且只能作一个.
1.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
B
2.三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心.
4.三角形的内心就是三角形的三条角平分线的交点.
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A
C
O
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D
E
F
3.三角形的内心到三角形的三边的距离相等.
☉O是△ABC的内切圆，点O是△ABC的内心.
探索&交流
例题&解析
例题欣赏
例4.△ABC中，☉O是△ABC的内切圆，∠A=70°，求∠ BOC的度数。
A
B
C
O
解：∵∠ A=70°
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠ A=110°
∵☉O是△ABC的内切圆
∴BO,CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线
即∠ OBC= ∠ABC ∠OCB= ∠ACB
∴∠ BOC=180°－(∠ OBC+∠OCB)
=180°－ ( ∠ABC +∠ACB)== 125°.
练习&巩固
1.下列说法错误的是( )
A．三角形的内切圆与三角形的三边都相切
B．一个三角形一定有唯一一个内切圆
C．一个圆一定有唯一一个外切三角形
D．等边三角形的内切圆与外接圆是同心圆
练习&巩固
2.如图，点C 是⊙ O上的一点，AB 是⊙ O的直径，∠CAB=∠DCB，那么CD 与⊙ O 的位置关系是( )
A. 相交 B. 相离
C. 相切 D. 相交或相切
练习&巩固
3.如图，☉O内切于△ABC，切点D、E、F分别在BC、AB、AC上．已知∠B＝50°，∠C＝60°，连接OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于( )
A．40° B．55°
C．65° D．70°
小结&反思
切线的三种判定方法：
(1)定义；
(2)数量关系；
(3)位置关系(切线的判定定理)：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。在切线的三种判定方法中，常用的是后两种判定方法，在判定圆的切线时，往往需要添加辅助线．