北京 用“极端性”原理解高考数学题[下学期]

用“极端性”原理解高考数学题
“极端性”原理是解数学问题的一个重要方法，从极端情形（最大值、最小值、极端有利、极端不利、边界情形、极端位置等）入手分析，往往能发现解决问题的突破口．
1．利用极端，巧探范围
数学解题中经常会遇到求范围的问题，若能预先求出范围的上界（或下界），则所求的范围将应运而生．
例1、已知长方形的四个顶点
和.一质点从的中点沿与夹角为的方向射到上的点后，依次反射到上的点（入射角等于反射角）.设的坐标为.若,则的取值范围是 （ ）
思考：的极端位置在哪里？显然是和．
解析：如图（1），由极端原理法，若与重合，则，若与重合，则，所以，故选.
例2、正棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是 （ ）
解析：当正棱锥的顶点无限接近于底面时，两侧面所成的二面角无限接近于，当正棱锥的高无限增大时，两侧面所成的二面角无限接近于正多边形的一个内角，即，因此答案为.
2．利用极端，简化运算
数学中的有些计算，若以常规方法进行求解，可能计算会比较复杂，而从极端情形考虑, “框定”运算范围，往往能简化运算.
例3、黑板上写着从1开始的个连续正整数，擦去其中一个数后，其余各数的平均值是，求擦去的数.
思考：考虑擦去数的极端情形，你能列出该状态下的平均值吗？
显然擦去1与是其极端情形.若擦去数是1，则得平均值为；若擦去数是，则平均值为.
解析：根据极端状态下的平均值与已知平均值的联系.
显然有，从而,即.
而个整数的平均数是，所以是17的倍数,
故, 即.
最后,设擦去的数为，则.
∴, 即擦去的数是7.
评析：此题的常规方法是列出方程，但运算复杂，而从其极端情形考虑,很快获解，运算简洁、解法扼要.
3．利用极端，化不等为等
等与不等是数学中普遍存在的问题，不等的边界是等，若能将不等的问题转化为相等问题进行处理，往往会使问题的难度降低，大大缩短解题的过程和时间．
例4、已知二次函数图象经、、三点，若是钝角，求的取值范围.
分析：若利用余弦定理，并由，则将得到一个较复杂的不等式.请尝试.
思考：钝角的极限状态是什么？显然直
角是钝角的极端情形．
解析：当为直角时，则点是以为直径的圆周⊙上，于是为该圆与轴的交点，如图（3），由勾股定理不难得.∴当为钝角时，点 在⊙内，由知：点应在的负半轴上．把的坐标代入得, 因此，.
例5、解不等式．
解析：令，得．
所以函数与图象的交点横坐标为．
结合函数图象知，原不等式的解为．
例6、已知适合不等式的的最大值是3，求的值．
分析：显然，是边界情形，注意到是上的连续函数，于是有，解得．经检验，符合题意．
4．利用极端，解“恒成立”问题
“恒成立”问题往往有其边界情形，若问题只要对边界情形成立，就对一般情形也成立，此类问题很适合用“极端性”原理解之．
例6、已知对任意正自然数，不等式恒成立，则实数的取值范围是 .
解析：，则不等式对任意正自然数恒成立，因为当无限增大时，无限接近于1，且，所以；，要使对任意正自然数恒成立，因为的最小值是，所以，即．
故所求实数的取值范围是.
例7、设，若在区间上变动时，恒为正值．
试求的取值范围．
解：记，则函数在区间表示直线段，于是恒为正值必须且只须函数在区间端点处的值恒为正，即，解之得．
由上可见，“极端性”原理是解决数学问题的一个重要方法和有利武器,在解题中用途广泛.
5．利用图形变换的极端位置解题
例8、已知函数.若存在，只要，就有，则的最大值是 （ ）
解析：作函数的图象，平移函数的图象使之与直线交于点和，（其中），此时所得的图象是图象的极端位置，如图（2）．于是，解方程组
，结合，得 .
所以，的最大值是9，选.
图（3）
图（1）
O
y
x
9
1
图（2）
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