专题18.1 勾股定理（知识讲解）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（沪科版）

专题18.1 勾股定理（知识讲解）
【学习目标】
1. 掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长．
2. 掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题．
3. 熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题．
【要点梳理】
要点一、勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么.
特别说明：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.
（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决 问题的目的.
（3）理解勾股定理的一些变式：
，， .
要点二、勾股定理的证明
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.
图（1）中，所以.
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.
图（2）中，所以.
方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.
，所以.
要点三、勾股定理的作用
已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；
用于解决带有平方关系的证明问题；
利用勾股定理，作出长为的线段.
要点四、勾股数
满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.
熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：　
3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……
如果是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.
特别说明：（1）（是自然数）是直角三角形的三条边长；
（2）（是自然数）是直角三角形的三条边长；
（3） （是自然数）是直角三角形的三条边长；
【典型例题】
类型一、勾股定理 解直角三角形 坐标系中两点之间距离
1．如图，是的高，，，，求的长．
【答案】
【分析】先利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出的长，再证明，即可利用勾股定理求出的长．
解：∵是的高，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题主要考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，二次根式的计算，正确求出的长是解题的关键．
举一反三：
【变式】如图，在中，，，AE是BC边上的中线，过点C作，垂足为F，过点B作BC的垂线交CF的延长线于点D．
求证：．
若，求AE．
【答案】(1) 见分析 (2)
【分析】（1）证明(AAS)，由全等三角形的性质得出；
（2）根据全等三角形的性质，得出，，结合题意得出，根据勾股定理求解即可．
解：（1）∵，，
∴，
∴，
又∵，且，
∴在和中，
，
∴(AAS)，
∴；
（2）由（1）可得，
∴，，
∵AE是BC边上的中线，
∴，
∴，
在中，
∴．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键．
2．阅读下列一段文字：已知在平面内两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），其两点间的距离P1P2＝
问题解决：已知A（1，4），B（7，2）
试求A，B两点的距离；
在x轴上找一点P（不求坐标，画出图形即可），使PA+PB的长度最短，求PA+PB的最短长度．
【答案】(1) 2 (2) P点作图见分析，PA+PB的最短长度为6
【分析】（1）根据点A和点B的坐标，直接运用公式，从而求得结果；（2）作点A关于点x轴的对称点，连接B，求得B的长，从而得出结果．
（1）解：∵A（1，4），B（7，2）
∴AB＝＝2；
（2）如图，
作点A关于x轴的对称点（1，﹣4），连接B，交x轴于点P，
则PA+PB的最小值是B的长，
∵B＝＝6，
∴PA+PB的最小值＝6．
【点拨】本题考查了通过阅读使用坐标系中两点之间的距离公式，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马”等模型．
举一反三：
【变式】如图，在平面直角坐标系中，点，点在轴的正半轴上，且．
（1）写出点的坐标；
（2）求的长．
【答案】（1）； （2）
【分析】（1）根据点在轴的正半轴上，且即可写出点的坐标；
（2）过点作于，求得，进而根据勾股定理即可求得的长．
解：（1）点在轴的正半轴上，且，
，
（2）过点作于，如图，
，
，
，
．
【点拨】本题考查了勾股定理在平面直角坐标系中的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
类型二、勾股定理 勾股数 勾股树
3．观察下列勾股数：6，8，10；8，15，17；10，24，26；…；，，.根据你的发现，求出当时，，的值.
【答案】，.
【分析】n=3时，a=2×3=6，b=32-1=8，c=32+1=10；n=4时，a=2×4=8，b=42-1=15，c=42+1=17…得出a=2n，b=n2-1，c=n2+1（n≥3，n为正整数），满足勾股数．
解：∵n=3时,a=2×3=6,b=32 1=8,c=32+1=10，
n=4时,a=2×4=8,b=42 1=15,c=42+1=17，
n=5时,a=2×5=10,n=52 1=24,c=52+1=26，…
∴勾股数a=2n,b=n2 1,c=n2+1(n 3,n为正整数).
当a=20时,n=10,则b=102 1=99,c=102+1=101，
故答案为，.
【点拨】本题考查勾股数、规律和勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理，由题意得到规律.
举一反三：
【变式】观察下列勾股数3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…；、、．根据你发现的规律，回答下列问题：
时，求、的值；
(2) 时，求、的值．
【答案】(1) ， (2) ，
【分析】（1）仔细观察可发现给出的勾股数中，斜边与较大的直角边的差是1，根据这个规律及勾股定理公式可算出，的值；
（2）根据第一问发现的规律，代入到勾股定理公式中即可求得、．
解：(1)观察得给出的勾股数中，斜边与较大直角边的差是1，即
∵，，
∴，
∴，
∴．
(2)通过观察知，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，．
【点拨】本题考查的是勾股定理及规律题综合运用，仔细观察，熟练掌握勾股定理公式是解本题的关键．
4．如图,以直角三角形的三边为边分别向外作三个正方形,其中的两个正方形面积为A=25平方厘米 ,C=169平方厘米,求B面积.
【答案】144平方厘米.
【分析】设正方形A，B，C的边长分别为a，b，c，由勾股定理得a2+b2=c2，然后根据a2=25，c2=169即可求出b2，也就是B的面积.
解：设正方形A，B，C的边长分别为a，b，c，则a2+b2=c2，
∵a2=25，c2=169，
∴b2=169-25=144，
∴B面积是144平方厘米.
【点拨】此题考查了勾股定理以及正方形的面积公式．勾股定理最大的贡献就是沟通“数”与“形”的关系，它的验证和利用都体现了数形结合的思想，即把图形的性质问题转化为数量关系的问题来解决．能否由实际的问题，联想到用勾股定理的知识来求解是本题的关键．
举一反三：
【变式】如图，已知所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的边长为．
求A，B，C，D四个正方形的面积之和．
若其中每个直角三角形的最短边与最长边的长度之比都为3：5，求正方形A，B，C，D的面积．
【答案】(1) (2) 正方形，，，的面积分别为：，，，
【分析】（1）按照图形，根据勾股定理解答即可；
（2）根据勾股定理，列方程解答即可．
（1）解：如图所示：依次设三个空白正方形为，，
由勾股定理可得：正方形的面积正方形的面积正方形的面积，正方形的面积正方形的面积正方形的面积；正方形的面积正方形的面积正方形的面积，
，，，四个正方形的面积之和正方形的面积，
答：，，，四个正方形的面积之和为；
（2）解：每个直角三角形的最短边与最长边的长度之比都为，
设中间的直角三角形的较短的直角边为，斜边为，
由题意得：，解得，
较短的直角边为，另一直角边为，
设的边长为，的边长为，
则，解得：，
的面积是：；
的面积是：，
又设的边长为，的边长为，
则，
解得：，
的面积是；；
的面积是：，
答：正方形A，B，C，D的面积分别为：，，，．
【点拨】本题考查了勾股定理在计算中的应用，数形结合并正确列式是解题的关键．
类型三、勾股定理 面积问题 网格问题
5．如图，在△ABC中，，于点D，，，．请求出△ABC的面积和CD的长．
【答案】△ABC的面积为， CD的长为cm
【分析】根据直角三角形面积公式即可求解三角形的面积，再根据直角三角形面积的两种计算方法求出斜边上的高．
解：∵∠ACB=90
∴
∵
∴
∴
答：△ABC的面积为，CD的长为cm．
【点拨】本题考查直角三角形的性质及其面积公式，解题的关键是熟知三角形面积不变．
举一反三：
【变式】定义：如图①．如果点D在的边上且满足．那么称点D为的“理根点”，如图②，在中，，如果点D是的“理想点”，连接．求的长．
【答案】.
【分析】只要证明CD⊥AB即可解决问题．
解：如图②中，
∵点D是△ABC的“理想点”，
∴∠ACD=∠B，
∵，
∴，
∴，
，
在Rt△ABC中，
，
∴BC= ，
∵,
．
【点拨】本解考查了直角三角形判定和性质，理解新定义是解本题的关键．
6．方格纸中小正方形的顶点叫格点，点A和点B是格点，位置如图．
在图1中确定格点C，使得是直角三角形，画出一个这样的，并直接写出线段的长．
(2) 在图2中确定格点D，使得是等腰三角形，画出一个这样的．
【答案】(1) 见分析，5 (2) 见分析
【分析】（1）根据要求作出图形，利用勾股定理求出即可；
（2）利用数形结合的思想解决问题即可．
（1）解：如图1中，即为所求，
；
（2）解：如图2中，即为所求．
【点拨】本题考查作图-应用与设计作图，等腰三角形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
举一反三：
【变式】如图是由边长为1的小正方形组成的网格，的三个顶点都在格点上．
____________；
请分别在图1，图2的正方形网格内按下列要求画一个格点三角形．
①在图1中，以为边画Rt（与不重合），使它与全等；
②在图2中，以为边画Rt，使它的一个锐角等于，且与不全等．
【答案】(1) ； (2) ①见分析； ②见分析．
【分析】（1）根据勾股定理求出的长即可；
（2）①如图1，根据三边对应相等的两个三角形全等作图即可；
②由图可知，为直角三角形，则求作必为直角三角形，只需证明所作的三角形与已知三角形对应边长不相等且有一组对边平行即可．
解：（1）
故答案为：
（2）如图1，即为所求，
如图2，即为所求，理由如下：
由第一个图可知，，
∴，
∵，，，
∴为直角三角形，且，
又∵，，，
∴，
∴为直角三角形，且，
∴与不全等，
∴即为所求．
【点拨】本题考查了作图—应用与设计作图：应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中．首先要理解题意，弄清楚题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
类型四、勾股定理 求线段的平方和（差） 证明线段的平方关系
7．如图，在等腰中，，点为边 上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到线段连接，．
求证：；
当时，求的值．
【答案】(1) 见分析 (2) 4
【分析】（1）先根据条件证明出，再根据全等三角形的性质证明；
（2）先根据前面的条件将线段转换，再证明出是直角三角形，然后根据勾股定理即可求出最后答案．
解：（1）证明：∵是等腰三角形，
∴,
又是由绕点C逆时针旋转90°得到，
∴，，
∵
∴，
∴，
∴．
（2）由（1）得，是等腰直角三角形，
∵，
∴，
在等腰中，，
∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形．
又，
∴，
∴．
【点拨】本题主要考查全等三角形的性质与判定、勾股定理、等腰三角形的性质，运用相关性质证明三角形全等，再将线段进行转化是解题关键．
举一反三：
【变式】已知直角三角形的两条直角边的长分别是和，求斜边c的长．
【答案】
【分析】利用勾股定理列式计算即可得解．
解：由勾股定理得，斜边 ．
故斜边c的长是 ．
【点拨】本题考查了二次根式的应用，主要利用了勾股定理和二次根式的乘方，是基础题．
8．如图，在中，∠ACB=90°，M为AB的中点，∠PMQ=90° ，试判断线段PQ，AP，BQ之间的数量关系，并说明理由．
【答案】，理由见分析
【分析】通过全等使PQ，AP，BQ集中在中，刚好满足勾股定理
解： 如下图: 延长QM至D，使得DM=QM，连接AD
∵ M是DQ中点，∠PMQ=90°
∴ MD=MQ，PD=PQ
又∵ M是AB中点
∴MA=MB
∵
∴
∵
∴
【点拨】本题考查了三角形全等的判定及性质，垂直平分线的判定及性质，勾股定理，根据题意作出辅助线是解题关键．
举一反三：
【变式】如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，D为斜边BC中点，DE⊥DF，求证：．
【答案】证明见分析
【分析】延长ED到G，使DG＝DE，连接EF、FG、CG，证明△EDF≌△GDF（SAS），△BDE≌△CDG（SAS），根据全等三角形的性质得出BE＝CG，∠B＝∠BCG，进而可得ABCG，在Rt△FCG中，由勾股定理即可得证．
解：证明：延长ED到G，使DG＝DE，连接EF、FG、CG，如图所示：
在△EDF和△GDF中
，
∴△EDF≌△GDF（SAS），
∴EF＝FG
又∵D为斜边BC中点
∴BD＝DC
在△BDE和△CDG中，
，
∴△BDE≌△CDG（SAS）
∴BE＝CG，∠B＝∠BCG
∴ABCG
∴∠GCA＝180°﹣∠A＝180°﹣90°＝90°
在Rt△FCG中，由勾股定理得：
∴．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，证明∠GCA＝90°是解题的关键．
类型五、勾股定理 勾股定理的证明 折叠问题
9．如图，将两个全等的直角三角形按照如下的位置摆放，使点A，，在同一条直线上，，，，．
填空：______，根据三角形面积公式，可得的面积______；根据割补法，由梯形的面积减去阴影部分的面积，可得的面积______．
求证：．
【答案】(1) ，， (2) 见分析
【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质以及三角形的面积公式即可得到结论；
（2）用两种不同的方法表示梯形的面积，计算化简后，即可得出．
（1）解：，，，
，
，
，
，
，
的面积，
由梯形的面积减去阴影部分的面积，可得的面积，
故答案为：，，；
（2）证明：，
，，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
即，
，
．
【点拨】本题考查了梯形，勾股定理的证明，用两种不同的方法表示同一个图形的面积是解决问题的关键．
举一反三：
【变式】将两个全等的直角三角形按如图所示的方式放置，三角形的长直角边记为a，短直角边记为b，斜边记为c．
判断与的位置关系，并说明理由；
连接，试通过各部分图形面积之间的数量关系验证勾股定理．
【答案】(1) ，理由见分析； (2) 见分析．
【分析】（1）根据全等三角形的性质可得，求出，可得，问题得证；
（2）连接，，根据全等三角形的性质可得，，，然后根据梯形面积的不同表示方法得出等式，整理后即可验证勾股定理．
（1）解：；
理由：∵，
∴，
∴，
∴，
即；
（2）解：连接，，
∵，
∴，，，
∴，
又∵
，
∴，
整理得：．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质，整式的混合运算，勾股定理等知识，掌握全等三角形对应角相等，对应边相等的性质是解题的关键．
10．如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片折叠，使C点与A点重合．
证明：
求的长．
【答案】(1) 见分析 (2) 3
【分析】（1）利用翻折变换的知识，可得到，，再利用平行线可得，可得，故有．
（2）根据长方形得到，，，根据折叠得到，，，从而表示出，在中，利用勾股定理列出方程，解之可得的长．
（1）解：证明：由折叠可知：，．
由长方形可知：，
，
；
（2）由长方形可知：，，，
设，
由折叠可知：，，，
∴，
在中，，
即，
解得：，
∴
故线段的长是3．
【点拨】本题考查了翻折变换，勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．
举一反三：
【变式】如图，△ABC中，，，，为上一点，连接，将沿折叠，点C落在边上的D点处，求的长．
【答案】的长是3．
【分析】先利用勾股定理求出的长，再利用折叠的性质得到角、边的大小，在中，利用勾股定理求解即可．
解：在中，由勾股定理可知：
∴
由折叠的性质得：，，
设，则，，
∴在中，
∴
解得
∴的长是3．
【点拨】此题考查了勾股定理，翻折变换（折叠问题），解题的关键是熟练掌握相关基础性质．
类型十、勾股定理 作图 矩形 折叠问题 动点问题
11．（1）尺规作图：将长方形纸片沿所在直线折叠，使顶点D落在边上的F点处，作出折叠后的图形，并保留作图痕迹．
（2）已知，，求的面积．
【答案】（1）见分析；（2）的面积是．
【分析】（1）以A为圆心，长为半径作弧交于点F，作的角平分线交于点E，即为所求；
（2）先求出和，用勾股定理可得的长，设，由折叠的性质可得，，在中，由勾股定理可得，从而可得答案．
解：（1）如图，即为所求．
（2）解：在长方形中，，，
∴，
由折叠的性质可得，
在中，；
设，由折叠的性质可得，，
在长方形中，，，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴，
答：的面积是．
【点拨】本题考查了作图-复杂作图，折叠的性质、勾股定理、三角形面积的计算等知识，熟练掌握折叠的性质与矩形的性质是解题的关键．
举一反三：
【变式】如图，在长方形中，，，将长方形沿直线折叠（点是折痕和边的交点），使点落在上的处．
请你利用尺规作图确定点和点．（保留作图痕迹，不写做法）
将图形补充完整，______．
【答案】(1) 见分析 (2) 图见分析，
【分析】（1）以A为圆心，为半径画弧，交于点E，然后作出的平分线于交于点F，即可求解；
（2）首先根据折叠的性质得到，然后根据勾股定理求出，进而得到，然后，则，利用勾股定理列方程求解即可．
解：（1）如图，点E、点F即为所求．
（2）如图，
∵长方形沿直线折叠（点是折痕和边的交点），使点落在上的处，
∴，
∵在长方形中，，
∴
∴
∴设，则
∵
∴，即
∴解得
∴．
【点拨】此题考查了尺规作图，折叠的性质，勾股定理等知识，解题的关键是根据题意正确画出图形．
12．如图，在四边形中，，，，若连接，沿翻折，则点A落在点M上．动点P从点C出发沿的路线运动，运动到点B停止．
求的长度；
当线段的中垂线经过点D时，求点P运动路线的长度；
在点P的运动过程中，当为等腰三角形时，点P运动路线的长度为___________（直接写出答案）
【答案】(1) (2) 点P运动路线的长度为或时，的中垂线过点D； (3) 5或8或或
【分析】（1）证明出四边形为正方形，利用勾股定理即可求解；
（2）根据等腰三角形三线合一的性质来判断，需要分两种情况讨论，当时，即，为等腰三角形，当点与点重合时，，为等腰三角形，根据三线合一知的中垂线，过点D；
（3）连接，根据已知分析可得满足等腰三角形的多种情况：或，然后根据勾股定理进行分析计算．
（1）解：沿翻折，则点A落在点M上，
，
，，
四边形为正方形，
，
；
（2）解：需要分两种情况讨论，
当时，即，
为等腰三角形，
根据三线合一知的中垂线，过点D，
此时点P运动路线的长度为，
当点与点重合时，，
为等腰三角形，
根据三线合一知的中垂线，过点D，
此时点P运动路线的长度为，
综上所述：点P运动路线的长度为或时，的中垂线过点D；
（3）解：根据已知得，，则四边形是平行四边形．
又，根据勾股定理，得．
①作的中垂线交于，则是等腰三角形，此时，，即点P运动路线的长度5；
②当时，是等腰三角形，即点P运动路线的长度8；
③当点在上，时，，即点P运动路线的长度；
④当点在上，时，，即点P运动路线的长度；
故答案为：5或8或或.
【点拨】此题主要考查梯形的性质及等腰梯形的判定的理解及应用、勾股定理，解题的关键是注意分类讨论数学方法的运用．
举一反三：
【变式】在长方形中，，，．
如图1，为边上一点，将沿直线翻折至的位置，其中点是点的对称点，当点落在边上时，请你直接写出的长为　　．
如图2，点是边上一动点，过点作交边于点，将沿直线翻折得，连接，当是以为腰的等腰三角形时，求的长；
如图3，点是射线上的一个动点，将沿翻折，其中点的对称点为，当，，三点在同一直线上时，请直接写出的长．
【答案】(1) 3 (2) 或 (3) 2或8
【分析】（1）根据折叠的性质可得，再由勾股定理，即可求解；
（2）分两种情况讨论：当时，过点作于点．先证明，可得，从而得到，可求出，当时，设，则，根据，求出x，即可求解；
（3）分两种情况讨论：当点在线段上时，当点在的延长线上时，即可求解．
（1）解： 四边形是长方形，
，
由翻折变换的性质可知，
，
，
故答案为：3；
（2）解：如图，当时，过点作于点．
，，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
；
如图，当时，
设，则，
∵，
∴，
，
．
综上所述，的长为或；
（3）解：如图，当点在线段上时，
四边形是长方形，
，
，
，
，
，
，
，
．
如图，当点在的延长线上时，同法可证，
，，
，
．
综上所述，满足条件的的长为2或8．
【点拨】本题主要考查了勾股定理，图形的折叠问题，全等三角形的判定和性质，熟练掌握勾股定理，图形的折叠的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
类型十一、勾股定理 弦图问题 无理数 构造图形解决问题
13．如图，其中、、和是四个全等的直角三角形，四边形和都是正方形，根据这个图形的面积关系，可以证明勾股定理．设，，，取，．
填空：正方形的面积为____________，四个直角三角形的面积和为_____________．
求的值．
【答案】(1) 16；384 (2) 28
【分析】（1）正方形的边长为：，则面积可求；四个直角三角形的面积和等于正方形与正方形面积之差，据此即可作答；
（2）四个直角三角形的面积和又，，，可得，由（1）可知四个直角三角形的面积和为384，即有，根据，即可得，问题即可得解．
（1）解：设，，，取，．
正方形面积为：，
正方形面积为：，
根据图形可知：四个直角三角形的面积和等于正方形与正方形面积之差，
即：，
故答案为：16；384；
（2）解：在（1）中，有：四个直角三角形的面积和
又∵，，，
∴，
整理，可得：，
由（1）可知四个直角三角形的面积和为384，
∴，解得，
∵，
∴．
∴（负值舍去），
即值为28．
【点拨】本题主要考查勾股定理的证明及应用，理解图形中四个三角形的面积和等于大正方形的面积与小正方形面积的差是解题的关键．
举一反三：
【变式】如图1，将长为，宽为的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成如图2所示的“赵爽弦图”，得到大小两个正方形．
用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长；
已知图2中小正方形面积为36，求大正方形的面积？
【答案】(1) (2) 90
【分析】（1）用直角三角形较长的直角边减去较短的直角边即可；
（2）先根据小正方形的面积求出a的值，再根据正方形的面积＝边长的平方求解即可．
（1）解：∵直角三角形较短的直角边，
较长的直角边，
∴小正方形的边长；
（2）解：小正方形的面积，
∴或，
∴，或（舍去），
∴，
∴大正方形的面积．
【点拨】本题考查了以弦图为背景的计算，整式的加减，利用平方根的定义解方程，数形结合是解题的关键．
14．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷．
应用场景1—在数轴上画出表示无理数的点．如图1，在数轴上找出表示3的点A，过点A作直线l垂直于OA，在l上取点B，使，以原点O为圆心，OB为半径作弧，则弧与数轴的交点C表示的数是　 　；
应用场景2—解决实际问题．如图2，秋千由静止铅锤位置AB推至AC处，它的绳索始终拉直，量得水平距离，求绳索的长．
【答案】(1) (2) 绳索AC的长为
【分析】（1）根据勾股定理求出，根据实数与数轴解答即可．
（2）设秋千的绳索长为xm，根据题意可得，利用勾股定理可得，即可得到结论．
解：（1）在中，OB＝＝＝，
∴，
∴点C表示的数是，
故答案为：；
（2）解：设秋千绳索AC的长度为，
由题意可得AC＝AB＝，
∵，
∴，
在中，，
∴，
解得，
即AC的长度为，
答：绳索AC的长为．
【点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出AD，AC的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．
举一反三：
【变式】如图所示，四边形ABCD是张大爷的一块小菜地，已知AD⊥AB，AD⊥CD，AD＝，BC＝CD＝2，请帮张大爷计算一下这个四边形菜地的周长和面积．
【答案】四边形ABCD的周长是， 面积是
【分析】作CE⊥AB于E，根据勾股定理求出BE即可求出周长，再用梯形的面积公式求出面积即可．
解：如图，作CE⊥AB于E．
∵AD⊥AB，AD⊥CD，
∴∠A＝∠D＝∠AEC＝90°，
∴四边形AECD是矩形，
∴AD＝CE＝，CD＝AE＝2，
在Rt△BCE中，BE＝，
∴AB＝AE+BE＝2+3，
∴四边形ABCD的周长＝+2+2+2+3＝7+3，
四边形ABCD的面积＝．
【点拨】题考查勾股定理的应用、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
类型十二、勾股定理 无理数 最值问题
15．如图，在数轴上以1个单位长度画一个正方形，以原点为圆心，以正方形的对角线长为半径画弧，与正半轴的交点为B，且点B表示的是一个无理数，因此我们得出一个结论．
点B表示的数为_________；得出的结论是：_________与数轴上的点是一一对应的．
若将图中数轴上标的A，C，D各点与所给的三个实数，3和对应起来，则点A表示的实数为_________，点C表示的实数为_________，点D表示的实数为_________．
【答案】(1) ，实数 (2) ，，3
【分析】（1）根据勾股定理求得对角线的长度，即可求解；
（2）判断出三个数的大小关系，结合A，C，D的位置即可求解．
（1）解：应用勾股定理得，正方形的对角线的长度为：，
为圆的半径，则，所以数轴上的点B表示的数为：，它是无理数．
得出的结论是实数与数轴上的点是一一对应的；
故答案为：，实数；
（2）解：根据数轴可得A表示负数，C和D表示正数，且D表示的数大于C表示的数，
∴A表示，C表示的数是，D表示的数是3．
故答案为：，，3．
【点拨】此题考查了勾股定理，实数与数轴，解题的关键是熟练掌握勾股定理以及数轴与实数的有关知识．
举一反三：
【变式】如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，，且，以点为圆心，为半径作半圆，与数轴相交于点和点E，点表示的数记为，点表示的数记为．
______，______；
求的值；
若，求的值．
【答案】(1) ， (2) (3)
【分析】（1）根据勾股定理可求出的长度，从而可求出与的值．
（2）根据完全平方公式即可求出答案．
（3）先求出的值，然后根据完全平方公式即可求出答案．
（1）解：由题意可知：，，
由勾股定理可知：，
，，
，，
故答案为：，；
（2）
；
（3）由题意可知：，
．
【点拨】本题考查了在数轴上表示实数，二次根式的运算，完全平方公式，整式的运算以及勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及整式的运算法则，本题属于中等题型．
16．探究一：如图1，已知 AB=BD，AB⊥BC，∠C=90°，E 和 F分别是 BD 和 CD 上的动点， 且 BE=DF，△ABE与△BDF全等吗？若全等，请说明理由．
探究二：如图2，一只蚂蚁从一个长为 6，宽为 5，高为 3 的长方形顶点 A从表面爬行到另一个顶点 B，请问爬行的最短距离的平方的值是 ．
探究三：如图 3，等边三角形 ADC中，边长为 4，高为AF，AE=CD，求（BD+CE）2的最小值．
【答案】（1），理由见分析；（2）100；（3）32
【分析】探究一：通过SAS可证明；
探究二：分三种路径，展开后的长方形的长和宽分别为6+5,6+3,5+3，根据勾股定理即可求得路径长的平方的值；
探究三：过点作，且，连接，通过SAS证明，可得，则的长为的最小值，勾股定理即可求得的值，即（BD+CE）2的最小值．
解：探究一：
在与中
（SAS）
探究二：当展开成长为：，宽为的长方形时，
路径长的平方为
当展开成长为：，宽为的长方形时，
路径长的平方为
当展开成长为：，宽为的长方形时，
路径长的平方为
爬行的最短距离的平方的值是
故答案为：；
探究三：如图，过点作，且，连接，
为等边三角形
为等腰的高
平分
在和中
（SAS）
连接的长即为的最小值，如图，
的最小值为．
【点拨】本题考查了三角形全等的性质与判定，等边三角形的性质，立体图形中最短路径的求法等值是，运用转化的思想是解题的关键．
举一反三：
【变式】（1）问题发现：
如图1，点A、B是直线l外的任意两点，在直线l上，试确定一点P，使PA，PB最短．
作法如下：作点A关于直线l的对称点A′，连结A′B交l于点P，则PA+PB=A′B最短．（不必证明）
（2）解决问题：
如图2，等边△ABC的边长为4，E为AB的中点，AD⊥BC，P是AD上一点．
①在图中画出点P，使点B，E到点P的距离之和最短；（保留作图痕迹，不写作法）
②求这个最短距离．
应用拓展：如图3，角形铁架∠MON=30°，A，D分别是OM，ON上的定点，且OA=7，OD=24，为实际设计的需要，需在OM和ON上分别找出点C，B，使AB+BC+CD的值最小．请在图中画出点B、C，则此时的最小值为 （保留作图痕迹，不写作法）
【答案】（1）图见分析，2；（2）图见分析，25．
试题分析：（2）根据等边三角形的对称性可知B和点C关于直线AD对称，连接CE，交AD于P，所以点P即为所求，再根据勾股定理即可求出点B，E到点P的最短距离和；
（3）作D关于OM的对称点D′，作A作关于ON的对称点A′，连接A′D′与OM，ON的交点就是C，B二点．，则折线ABCD的最短长度转化为一条线段的长度．然后运用勾股定理求出其值．
解：（2）如图2所示：点P为所求，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC=4，
∵E为AB的中点，
∴AE=BE=2，
∴CE==2，
∵AD⊥BC，
因为等边三角形ABC关于直线AD对称
∴BP=CP，
∴BP+PE=CP+PE=CE=2；
（3）如图3所示：
解：作D关于OM的对称点D′，作A作关于ON的对称点A′，连接A′D′与OM，ON的交点就是C，B二点．
此时AB+BC+CD=A′B+BC+CD′=A′D′为最短距离．
连接DD′，AA′，OA′，OD′．
∵OA=OA′，∠AOA′=60°，
∴∠OAA′=∠OA′A=60°，
∴△OAA′是等边三角形．
同理△ODD′也是等边三角形．
∴OD'=OD=24，OA′=OA=7，
∠D′OA′=90°．
∴A′D′==25．
中小学教育资源及组卷应用平台
考点：轴对称-最短路线问题；勾股定理．