专题18.6 勾股定理的逆定理（知识讲解）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（沪科版）

专题18.6 勾股定理的逆定理（知识讲解）
【学习目标】
1. 掌握勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系．
2. 能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形.
3. 能够理解勾股定理及逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围.
【要点梳理】
要点一、勾股定理的逆定理
如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.
特别说明：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.
（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.
要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形
首先确定最大边（如）.
验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C ＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.
特别说明：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.
要点三、互逆命题
如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题.
特别说明：原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.
类型一、勾股定理的逆定理 直角三角形的判定 网格上的直角三角形 1．如图所示，已知中，于，，，．
(1) 求的长；
(2) 判断的形状，并说明理由．
【答案】(1) 1.2 (2) 直角三角形，理由见分析
【分析】（1）根据垂直定义可得，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答；
（2）先在中，利用勾股定理可求出的长，从而求出的长，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即可解答．
（1）解：，
，
，，
，
的长为1.2；
（2）是直角三角形，
理由：在中，，，
，
，
，，
，
是直角三角形．
【点拨】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键．
举一反三：
【变式1】如图，在中，边上的垂直平分线为与分别交于点D、E，且．
(1) 求证：；
(2) 若，，求的长．
【答案】(1) 见分析 (2) 的长为
【分析】（1）连接，根据线段垂直平分线的性质和勾股定理的逆定理即可求解；
（2）设，则，在中，根据，列出方程计算即可求解．
解：（1）证明：连接，
∵边上的垂直平分线为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：设，则，
在中，，
∴，
解得：，
∴的长为．
【点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理的逆定理，勾股定理，注意方程思想的运用．
【变式2】如图，四边形中，为对角线，于点，已知，．
(1) 请判断的形状并说明理由．
(2) 求线段的长．
【答案】(1) 是直角三角形，理由见分析 (2)
【分析】（1）先根据勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理即可判定的形状；
（2）根据的面积不变即可求出线段的长．
（1）解：是直角三角形，理由如下：
在直角中，，
，
，，
是直角三角形；
（2）解：由（1）知，是直角三角形，且．
【点拨】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理是解题关键．
2．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，按要求完成下列各题．
(1) 试判断的形状并说明理由；
(2) 画出边上的高，求的长；
(3) 以为边向右侧做，使是等腰三角形，则的长为________．
【答案】(1) 是直角三角形，理由见分析 (2) 画图见分析，2 (3) 画图见分析，
【分析】（1）利用勾股定理和勾股定理的逆定理求解即可；
（2）取格点E，连接交于D，点D即为所求，利用三角形面积法求出即可；
（3）如图所示，取格点D即为所求，利用三线合一定理求出即可．
（1）解：是直角三角形，理由如下：
由题意得，
∴，
∴，
∴是直角三角形；
（2）解：如图所示，点D即为所求；
取格点E，连接交于D，可证得到，进一步证明，则即为中边上的高；
∵，
∴
（3）解：如图所示，即为所求；
∵，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形面积，熟知勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
举一反三：
【变式1】如图，的三个顶点的坐标分别为．
(1) 判断的形状，请说明理由．
(2) 求的周长和面积．
(3) 在x轴上有一点P，使得最小，则的最小值为________．
【答案】(1) 是直角三角形，理由见分析 (2) 周长为，面积为5
(3)
【分析】（1）根据勾股定理，分别求出，再由勾股定理的逆定理，即可求解；
（2）分别求出，，再由三角形的周长公式和面积公式计算，即可求解；
（3）作C关于x轴的对称点，连接交x轴于P，可得最小值即为线段的长度，再由勾股定理求出，即可求解．
（1）解：∵，
∴，
∴是直角三角形；
（2）解：∵，
∴，，
∴的周长为，
的面积为；
（3）解：作C关于x轴的对称点，连接交x轴于P，如图：
∵C关于x轴的对称点，
∴，
∴，
又两点之间线段最短，
∴最小值即为线段的长度，
而，
∴最小值是，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，坐标与图形变换，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
【变式2】如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，点均在格点上．
(1) 求四边形的面积，
(2) 是直角吗？为什么？
【答案】(1) (2) 是直角，理由见分析
【分析】（1）根据网格中图形，用大正方形面积减去四个顶点处的直角三角形面积和一个正方形面积即可得到答案；
（2）由图，连接，分别在网格中利用勾股定理计算出三条线段长，利用勾股定理的逆定理验证即可得到答案．
（1）解：由网格图可知，四边形的面积为
；
（2）解：是直角，
理由如下：连接，如图所示：
∴，，，
，
∴是直角三角形，是直角．
【点拨】本题考查网格中求四边形面积及勾股定理的逆定理判定直角三角形，掌握网格中求图形面积的方法及网格中利用勾股定理求线段长的方法是解决问题的关键．
类型二、勾股定理的逆定理 已知两点求第三个点坐标构成直角三角形 网格上的直角三角形
3．已知A(，) ，B(4，) ，C(1，2) ，判定ABC的形状．
【答案】ABC是等腰直角三角形，见分析
【分析】利用两点间距离公式，分别计算AB、AC、BC的长，再根据勾股定理逆定理判断三条边的关系即可解题．
解：利用两点的距离公式，可得
AB= ，
AC= ，
BC= ，
所以AC=BC，AB2=AC2+BC2
所以△ABC是直角三角形，
综上所述，△ABC是等腰直角三角形．
【点拨】本题考查两点间距离公式、勾股定理及逆定理、等腰直角三角形的判定，是常见考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
举一反三：
【变式1】点在轴上，、，如果是直角三角形，求点的坐标．
【答案】点的坐标为或
【分析】本题考查的是两点距离与勾股定理，根据A、B坐标构造直角三角形，运用勾股定理与两点间距离公式，分类讨论即可求出点P坐标
解：设点的坐标为，分两种情况：
①当点为直角顶点时，点在轴正半轴，
作轴于，轴于，轴于，如图所示：
由勾股定理，得，
即，解得，
∴点的坐标为．
②当点为直角顶点时，点在轴负半轴，作轴于，轴于，如图所示：
由勾股定理，得，
即，解得，
∴点的坐标为．
综上所述，如果是直角三角形，那么点的坐标为或．
【点拨】本题的关键是分类讨论点P的情况，并灵活运用勾股定理和两点间距离公式
【变式2】如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点，在小正方形的顶点上，在图中画（点在小正方形的顶点上），使为直角三角形，并说明理由.（要求画出两个，且两个三角形不全等）
【答案】为直角三角形，理由详见分析.
【分析】根据勾股定理逆定理和勾股定理进行判断即可.
解：如图所示.
图1 图2
如图1，在中，
，，
因为，
所以，
即为直角三角形.
如图2，在中，
.
在中，.
在中，.
所以，
所以，即为直角三角形.
【点拨】考核知识点：根据勾股定理逆定理画直角三角形.掌握勾股定理逆定理并会运用是关键.
类型三、勾股定理的逆定理 求解 证明
4．如图，在中，的垂直平分线分别交于点，且．
(1) 求的度数；
(2) 若，求的长．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）连接，如图所示，由中垂线的性质，得到，结合，得到，利用勾股定理的逆定理即可得到是直角三角形，且；
（2）在中，利用勾股定理得到，再利用中垂线性质即可得到．
（1）解：（1）连接，如图所示：
∵的垂直平分线分别交于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形，且；
（2）解：∵，
∴在中，，
∵垂直平分线，
∴．
【点拨】本题考查中垂线的性质求角度及线段长，涉及中垂线性质、勾股定理的逆定理、勾股定理等知识，熟练掌握勾股定理及其逆定理、中垂线的性质是解决问题的关键．
举一反三：
【变式1】如图，四边形中，已知，，，，且．求四边形的面积．
【答案】四边形的面积为．
【分析】先在中，利用勾股定理求出，然后再利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，最后根据四边形的面积的面积的面积，进行计算即可解答．
解：∵，，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴四边形的面积的面积的面积
，
∴四边形的面积为．
【点拨】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解题的关键．
【变式2】（1）如图1，在中，，，，，求的面积；
（2）如图2，在中，，，，求的面积．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据已知边的长度，得出，再根据勾股定理得出的长，最后根据三角形面积公式即可求解；
（2）过作，交的延长线于点，通过设，则，求出的长，再根据勾股定理求出的长，最后用三角形的面积公式计算即可求解．
（1）解：，，
，
是直角三角形，且，
，
，
，
，
．
（2）解：过作，交的延长线于点，如图2，
，
，
设，则，
由勾股定理得，，
即，
则，
解得：，
，
．
【点拨】本题考查了勾股定理的逆定理和勾股定理的运用，根据勾股定理得出是解题的关键．
5．如图，在中，，点为上一点，连接．
(1) 试判断的形状，并说明理由；
(2) 求的周长．
【答案】(1) 是直角三角形，见分析 (2) 的周长为
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，从而得到，进而有，即可判断是直角三角形；
（2）设，则，由已知得到，结合勾股定理得到方程，解方程得到，即，根据，从而得到的周长为．
（1）解：是直角三角形，
理由如下：在中，，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴，
∴是直角三角形；
（2）设，则，
∵，
在中，，即，解得，
∴，
∴的周长为，即的周长为．
【点拨】本题考查勾股定理的逆定理及勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理及勾股定理是解决问题的关键．
举一反三：
【变式1】如图，已知等腰的底边，是腰上一点，连接，且，．
(1) 求证：是直角三角形；
(2) 求的长．
【答案】(1) 见分析 (2)
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理证明即可；
（2）设，根据勾股定理得到，即，求解即可．
解：（1）证明：∵，，，
∴，，即，
∴为直角三角形．
（2）解：设，
∵是等腰三角形，
∴．
∵为直角三角形，
∴也为直角三角形，
∴，即，
解得：，
∴．
【点拨】此题考查了勾股定理及逆定理，正确掌握定理并熟练应用是解题的关键．
【变式2】如图，在中，是上一点，若，，，．
(1) 求证：；
(2) 求的面积
【答案】(1) 见分析 (2) 60
【分析】（1）先根据，，，利用勾股定理的逆定理求证是直角三角形，即可求得答案；
（2）先由勾股定理求出的长，再根据三角形的面积公式即可求解．
解：（1）证明：，，，
，，
，
是直角三角形，
；
（2）解：，
，
，，
，
的面积为，
的面积为60．
【点拨】本题主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理的运用，解答此题的关键是利用勾股定理的逆定理求证是直角三角形．
类型四、勾股定理的逆定理 应用 拓展
6．在一条东西走向河的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．
(1) 问是否为从村庄到河边的最近路？（即问：与是否垂直？）请通过计算加以说明；
(2) 求原来的路线的长．
【答案】(1) 是，理由见分析 (2) 原来的路线的长为千米
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理解答即可；
（2）根据勾股定理解答即可．
（1）解：是，
理由是：在中，
，
，
，
，
是从村庄到河边的最近路；
（2）解：设，
在中，由已知得，，，
由勾股定理得：，
，
解这个方程，得，
答：原来的路线的长为千米．
【点拨】本题考查勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，关键是熟练掌握勾股定理及勾股定理的逆定理．
举一反三：
【变式1】如图，一块四边形花圃中，已知，，，，.
(1) 求四边形花圃的面积；
(2) 求到的距离．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）连接，勾股定理求出，利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，且，再根据面积公式四边形花圃的面积计算即可；
（2）过点C作于E，利用面积法求出即可．
（1）解：连接，
∵，，，
∴m，
∵，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴四边形花圃的面积
∴四边形花圃的面积是；
（2）过点C作于E，
∵，
∴，
∴，
∴到的距离是．
【点拨】此题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，三角形的面积公式，正确掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
【变式2】如图，学校操场边有一块四边形空地，其中，，，，，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理．
(1) 求需要绿化的空地的面积；
(2) 为方便师生出入，设计了过点A的小路，且于点E，试求小路的长．
【答案】(1) 114m2； (2) 的长为m
【分析】（1）由勾股定理求出，再由勾股定理的逆定理证出是直角三角形，，然后由三角形面积公式求解即可；
（2）由三角形的面积公式求解即可．
（1）解：，
，
，
，，
，
是直角三角形，，
需要绿化的空地的面积
；
（2）解：，，
，
，
解得：，
即小路的长为．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理，由勾股定理的逆定理证出．
7．阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，，故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题：
（1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是________三角形．
（2）若一个三角形的三边长分别是5，12，x．且这个三角形是直角三角形，求的值．
（3）当，时，判断的形状，并求出对应的的取值范围．
【答案】（1）锐角；（2）169或119；（3）见分析
【分析】（1）直接利用定义结合三角形三边得出答案；
（2）直接利用勾股定理得出x2的值；
（3）分△ABC为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形结合三边关系得出答案．
解：（1）∵72+82=49+64=113＞92，
∴三角形是锐角三角形，
故答案为：锐角；
（2）∵这个三角形是直角三角形，当x为斜边，
∴52+122=x2，
∴x2=169，
当12是斜边，
则52+x2=122，
解得：x2=119，
故x2的值为169或119；
（3）∵a=2，b=4，
∴，
∴，
若△ABC是锐角三角形，
则或，
则或，
∴或；
若△ABC是直角三角形，
则或，
则或；
若△ABC是钝角三角形，
则或，
则或，
∴．
【点拨】此题主要考查了勾股定理及其逆定理以及三角形的三边关系，正确进行相关计算是解题关键．
举一反三：
【变式1】如图所示，等腰三角形ABC的底边为8cm，腰长为5cm．
（1）求BC边上的高线AD．
（2）一动点P在底边上从B向C以0.25cm/s的速度移动，请你探究：当P运动几秒时，P点与顶点A的连线PA与腰垂直？
【答案】（1）AD＝3；（2）当P运动7s或25s秒时，P点与顶点A的连线PA与腰垂直．
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一性质可得到BD的长，由勾股定理可求得AD的长；
（2）分两种情况进行分析：①PA⊥AC②PA⊥AB，利用勾股定理可得到运动的时间．
解：（1）作AD⊥BC
∵AB＝AC＝5，BC＝8，
∴BD＝BC＝4，
∴AD＝＝3；
（2）分两种情况：
当点P运动t秒后有PA⊥AC时，
∵AP2＝PD2+AD2＝PC2﹣AC2，
∴PD2+AD2＝PC2﹣AC2，
∴PD2+32＝（PD+42）﹣52，
∴PD＝2.25，
∴BP＝4﹣2.25＝1.75＝0.25t，
∴t＝7，
当点P运动t秒后有PA⊥AB时，同理可证得PD＝2.25，
∴BP＝4+2.25＝6.25＝0.25t，
∴t＝25．
综上所述，当P运动7s或25s秒时，P点与顶点A的连线PA与腰垂直．
【点拨】本题考查等腰三角形底边高线，动线段PA与腰垂直问题，关键是会利用等腰三角形三线合一性质求高，会利用动线段与腰垂直，构造直角三角形，用勾股定理解决问题．
【变式2】课间，小明拿着王老师的等腰直角三角板玩，三角板不小心掉到墙缝中．我们知道两堵墙都是与地面垂直的，如图．王老师没有批评他，但要求他完成如下两个问题：
（1）试说明；
（2）从三角板的刻度知AC＝25cm，算算一块砖的厚度．（每块砖的厚度均相等）小明先将问题所给条件做了如下整理：如图，中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AD⊥DE于D，BE⊥DE于E．请你帮他完成上述问题．
【答案】（1）证明见分析；（2）5cm
【分析】（1）根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可．
（2）利用（1）中全等三角形的性质进行解答．
解：证明：（1）如图：
∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠2+∠3＝180°﹣90°＝90°，
∵∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴∠1＝∠3，
由∠ADC＝∠BEC＝90°，∠1＝∠3，CA＝CB，
∴△ADC≌△CEB；
（2）设每块砖厚度为xcm，由①得，DC＝BE＝3xcm，AD＝4xcm，
∵∠ADC＝90°，
∴AD2+CD2＝AC2，
即（4x）2+（3x）2＝252，解得x＝5，（x=﹣5舍去），
∴每块砖厚度为5cm．
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【点拨】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．