甘肃省兰州市第五十五中学2022-2023学年高三下学期开学摸底考试数学（理科）试卷（含解析）

兰州市第五十五中学2022-2023学年高三下学期开学摸底考试数学试卷（理科）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知，则在复平面内复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知集合，集合，若，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．6
3．已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知等差数列的前n项和为，若，，则数列的公差为（ ）
A．2 B． C．6 D．4
5．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．8 B．16 C．24 D．32
7．某校高三年级在迎新春趣味运动会上设置了一个三分线外定点投篮比赛项目，规则是：每人投球5次，投中一次得1分，没投中得0分，且连续投中2次额外加1分，连续投中3次额外加2分，连续投中4次额外加3分，全部投中额外加5分．某同学投篮命中概率为，则该同学投篮比赛得3分的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．对于曲线（且），以下说法正确的是（ ）
A．曲线是椭圆 B．曲线是双曲线
C．曲线的焦点坐标是 D．曲线的焦点坐标是
9．已知函数，若函数的图象与直线
在上有3个不同的交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．已知圆，设为直线上一点，若C上
存在一点，使得，则实数的值不可能的是（ ）
A． B．0 C．2 D．4
11．若，则（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数，若，，
则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．的展开式中的系数为________．
14．已知某样本数据分别为1，4，3，a，6，且样本均值，则样本方差_______．
15．已知，，，则向量与向量的夹角为______．
16．已知圆，直线，则使“圆C上至少有3个点到直线l的距离都是1”成立的一个充分条件是“______”．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）设数列的前n项和为，且满足（）．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）令，求数列的前n项和．
18．（12分）在如图所示的多面体中，点在矩形的同侧，直线平面，平面平面，且为等边三角形，．
（1）证明：；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
19．（12分）迎接冬季奥运会期间，某市对全体高中学生举行了一次关于冬季奥运会相关知识的测试．统计人员从全市高中学生中随机抽取200名学生的成绩作为样本进行统计，测试满分为100分，统计后发现所有学生的测试成绩都在区间内，并制成如图所示的频率分布直方图．
（1）估计这200名学生的平均成绩；
（2）用样本频率估计总体，从全市高中学生中随机抽取2名学生，记成绩在区间内的人数为，成绩在区间内的人数为，记，比较与的大小关系．
20．（12分）已知椭圆经过点，椭圆C的离心率．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设过点且与x轴不重合的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，直线AM，AN分别与直线分别交于P，Q，记点P，Q的纵坐标分别为p，q，求的值．
21．（12分）已知函数．
（1）若，求函数的单调区间；
（2）若，求证：．参考数据：．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑。按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。
22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为，（为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，点A的极坐标为．
（1）求C的普通方程以及l的直角坐标方程；
（2）若l与C交于M，N两点，求的值．
23.（本小题满分10分）选修4 -5：不等式选讲
已知函数的最小值为m．
（1）求m的值；
（2）若正数a，b，c满足，求的最大值．
答案及解析
1．已知，则在复平面内复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】由可得，
则在复平面内复数对应的点为，位于第四象限，故选D．
2．已知集合，集合，若，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．6
【答案】C
【解析】，所以，
由于，所以是方程的根，
即．
此时或，
，满足，
所以，故选C．
3．已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为函数，
所以，故选A．
4．已知等差数列的前n项和为，若，，则数列的公差为（ ）
A．2 B． C．6 D．4
【答案】D
【解析】∵，∴，
∴数列的公差为，故选D．
5．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
，，
当时，，解得（舍）或，
故选D．
6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．8 B．16 C．24 D．32
【答案】B
【解析】由题意可知几何体的形状如图：
是矩形，，
所以几何体的体积为，故选B．
7．某校高三年级在迎新春趣味运动会上设置了一个三分线外定点投篮比赛项目，规则是：每人投球5次，投中一次得1分，没投中得0分，且连续投中2次额外加1分，连续投中3次额外加2分，连续投中4次额外加3分，全部投中额外加5分．某同学投篮命中概率为，则该同学投篮比赛得3分的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】该同学投篮比赛得3分的情况有为：
①第一、三、五次分别投中，第二、四次都没有投中，
概率为；
②第一、二次连续两次投中，其它三次都没有投中，
概率为；
③第二、三次连续两次投中，其它三次都没有投中，
概率为；
④第三、四次连续两次投中，其它三次都没有投中，
概率为；
⑤第四、五次连续两次投中，其它三次都没有投中，
概率为，
该同学投篮比赛得3分的概率为：，故选C．
8．对于曲线（且），以下说法正确的是（ ）
A．曲线是椭圆 B．曲线是双曲线
C．曲线的焦点坐标是 D．曲线的焦点坐标是
【答案】D
【解析】当时，曲线为双曲线，，
故焦点坐标为；
当时，曲线为椭圆，，焦点坐标为，
故选D．
9．已知函数，若函数的图象与直线
在上有3个不同的交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由
，
与直线在上有3个不同交点，即在上有3个实根，
由，得，
所以，解得，故选A．
10．已知圆，设为直线上一点，若C上
存在一点，使得，则实数的值不可能的是（ ）
A． B．0 C．2 D．4
【答案】C
【解析】由圆，可得，圆心，半径为，
∴圆心在直线上，
∵为直线上一点，若C上存在一点，使得，
∴，
又，∴，即，
∴实数的值可能是，0，4；实数的值不可能是2，故选C．
11．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，
∵，∴是偶函数，
∵，
令，则，∴在上单调递增，
当时，，此时，∴在上单调递增．
由可得，
即，∴，
12．已知函数，若，，
则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数的定义域为，
因为，所以为奇函数，
所以可化为，
即，
任取，且，
则
，
因为，所以，
所以，即，
所以在上为增函数，
所以由，得，
所以，所以，
即实数的取值范围是，故选D．
13．的展开式中的系数为________．
【答案】
【解析】依题意，展开式的通项公式为
，
令，得，故的系数为，
故答案为．
14．已知某样本数据分别为1，4，3，a，6，且样本均值，则样本方差_______．
【答案】或
【解析】依题意，
所以，
故答案为．
15．已知，，，则向量与向量的夹角为______．
【答案】
【解析】设向量与向量的夹角为，
∵，∴，
又∵，∴，
∵，∴，∴，∴，
∵，∴．
故答案为．
16．已知圆，直线，则使“圆C上至少有3个点到直线l的距离都是1”成立的一个充分条件是“______”．
【答案】3
【解析】若圆C与直线相切，或相离都不可能有3个点到直线的距离为1，
故圆C与直线相交，即圆心C到直线的距离，
要使圆C上恰有3个点到直线l的距离是1，需，即，
圆C上至少有3个点到直线l的距离都是1，则，
根据充分条件的定义知使“圆C上至少有3个点到直线l的距离都是1”成立的一个充分条件是“”，
故答案为3．
17．（12分）设数列的前n项和为，且满足（）．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）令，求数列的前n项和．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1），，
相减得，则，
又∵，得，
故，得证．
（2）由（1）可得，所以，
则，
则，
两式相减可得
，
所以．
18．（12分）在如图所示的多面体中，点在矩形的同侧，直线平面，平面平面，且为等边三角形，．
（1）证明：；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）取中点，连接，
，．
由平面平面，且交线为，
平面．
又平面，有，四点共面．
平面平面，．
又在矩形中，，
∴∽，∴，
∵，∴，
．
又∵，平面，
平面，．
（2）以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
则有：．
设平面的法向量，
，
，令，则；
设平面ECF的法向量，
，
，令，则，
，
所平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
19．（12分）迎接冬季奥运会期间，某市对全体高中学生举行了一次关于冬季奥运会相关知识的测试．统计人员从全市高中学生中随机抽取200名学生的成绩作为样本进行统计，测试满分为100分，统计后发现所有学生的测试成绩都在区间内，并制成如图所示的频率分布直方图．
（1）估计这200名学生的平均成绩；
（2）用样本频率估计总体，从全市高中学生中随机抽取2名学生，记成绩在区间内的人数为，成绩在区间内的人数为，记，比较与的大小关系．
【答案】（1）69．5；（2）．
【解析】（1）解：平均成绩为：．
（2）解：成绩落在区间内的概率为，故．
成绩落在区间内的概率为，故．
所以；；
，．
由题意，可能的取值为，
，
，
，
，
，
，
故有．
20．（12分）已知椭圆经过点，椭圆C的离心率．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设过点且与x轴不重合的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，直线AM，AN分别与直线分别交于P，Q，记点P，Q的纵坐标分别为p，q，求的值．
【答案】（1）；（2）12．
【解析】（1）由题意可得，解得，
所以所求椭圆方程为．
（2）直线l的斜率不存在时，直线与椭圆不相交，故斜率存在，设其为k，
设直线l的方程为，，
联立方程，消去y得，
所以，解得，
．
直线AM方程为：，令，解得；
直线AN方程为：，令，解得，
所以
，
即．
21．（12分）已知函数．
（1）若，求函数的单调区间；
（2）若，求证：．参考数据：．
【答案】（1）函数f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）证明见解析．
【解析】（1）依题意，当时，，所以，
易知函数为增函数，且，
故当时，；当时，，
故函数的单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）证明：要证，即证，
①当时，因为，则显然有；
②当时，令，可知函数在上单调递减，
所以只需证明，即证；
令，则，
显然单调递増，，所以存在唯一，使，
且时，单调递减；
时，单调递增，
所以．
因为，所以，即，
所以．
又因为，所以，所以，
从而，所以，
所以，故，
综上所述，若，则．
22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
已知平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为，（为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，点A的极坐标为．
（1）求C的普通方程以及l的直角坐标方程；
（2）若l与C交于M，N两点，求的值．
【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）（为参数），
故C的普通方程为．
由l的极坐标方程可得，即，
故l的直角坐标方程为．
（2）依题意，l的参数方程可写为（t为参数），
将l的参数方程代入中，整理得，
则，设，是方程的两个实数根，则，，
故．
23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】
已知函数的最小值为m．
（1）求m的值；
（2）若正数a，b，c满足，求的最大值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）依题意，
则当时，函数取得最小值．
（2）依题意，
因为，，
所以，
当且仅当时取等号，故的最大值为．