苏科版七年级数学下册7.2探索平行线的性质 同步练习（含解析）

苏科版七年级数学下册同步练习
7.2探索平行线的性质
一．选择题
1．如图，a∥b．∠1＝58°，则∠2的度数为（　　）
A．58° B．112° C．120° D．132°
2．如图所示，图形中∠1与∠2不一定相等的是（　　）
A． B．
C． D．
3．如图，BE是△ABC外角的平分线，且BE∥AC，∠C＝50°，则∠A等于（　　）
A．50° B．60° C．70° D．80°
4．将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α＝43°，则∠β的度数是（　　）
A．43° B．47° C．30° D．45°
5．如图，直线a∥b，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝58°，则∠2的度数为（　　）
A．58° B．42° C．32° D．30°
6．一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，则∠DBC的度数为（　　）
A．15° B．18° C．25° D．30°
7．如图，AB∥CD，一副三角尺按如图所示放置，∠AEG＝20°，则∠HFD的度数为（　　）
A．40° B．35° C．30° D．25°
8．如图，直线m∥n，Rt△ABC的顶点A在直线n上，∠C＝90°，若∠1＝25°，∠2＝70°，则∠B＝（　　）
A．65° B．55° C．45° D．35°
9．如图，AB∥CD，∠1＝45°，∠3＝80°，则∠2的度数为（　　）
A．35° B．40° C．45° D．50°
10．如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β、γ的关系是（　　）
A．β+γ﹣α＝90° B．α+β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝90° D．β＝α+γ
二．填空题
11．如图，CE∥AB，∠ACB＝75°，∠ECD＝45°，则∠A的度数为 　 　．
12．如图，已知DE∥BC，BE平分∠ABC，若∠1＝70°，则∠AEB的度数为 　 　．
13．如图，l1∥l2，则﹣γ+α+β＝　 　．
14．如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，点C、D分别到C′、D′的位置，D′E与BC相交于G，若∠1＝40°，则∠2＝　 　°．
15．如图，已知AB∥EF，BC∥DE，若∠B＝70°，则∠E＝　 　°．
16．已知∠1的两边分别平行于∠2的两边，若∠1＝40°，则∠2的度数为　 　．
17．如图，直线l∥m，∠1＝45°，∠2＝35°，则∠3的度数为 　 　．
18．如图，OP∥QR∥ST，若∠2＝105°，∠1＝43°，则∠3＝　 　．
19．观察图形：已知a∥b，在第一个图中，可得 　 　，则按照以上规律，∠1+∠2+∠p1+…+∠pn＝　 　度．
20．如图，直线AB∥CD，点E、F分别为直线AB和CD上的点，点P为两条平行线间的一点，连接PE和PF，过点P作∠EPF的平分线交直线CD于点G，过点F作FH⊥PG，垂足为H，若∠DGP﹣∠PFH＝120°，则∠AEP＝　 　°．
三．解答题
21．如图，AB∥CD，直线EF分别与直线AB、直线CD相交于点E，F，点G在CD上，EG平分∠BEF．若∠EGC＝58°，求∠EFD的度数．
22．如图，已知∠1＝∠BDC，∠2+∠3＝180°．
（1）求证：AD∥CE；
（2）若DA平分∠BDC，DA⊥FE于点A，∠FAB＝55°，求∠ABD的度数．
23．如图，∠AOB＝40°，OC平分∠AOB，点D，E在射线OA，OC上，点P是射线OB上的一个动点，连接DP交射线OC于点F，设∠ODP＝x°．
（1）如图1，若DE∥OB．
①∠DEO的度数是　 　°，当DP⊥OE时，x＝　 　；
②若∠EDF＝∠EFD，求x的值；
（2）如图2，若DE⊥OA，是否存在这样的x的值，使得∠EFD＝4∠EDF？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．
24．（1）【问题】如图1，若AB∥CD，∠BEP＝25°，∠PFD＝30°．则∠EPF＝　 　；
（2）【问题归纳】如图1，若AB∥CD，请猜想∠BEP，∠PFD，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由；
（3）【联想拓展】如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？直接写出结论．
25．（1）问题发现：如图①，直线AB∥CD，连接BE，CE，可以发现∠B+∠C＝∠BEC．
请把下面的证明过程补充完整：
证明：过点E作EF∥AB，
∵AB∥DC（已知），EF∥AB（辅助线的作法），
∴EF∥DC（ 　 　）．
∴∠C＝∠CEF．（ 　 　）．
∵EF∥AB，
∴∠B＝∠BEF（同理）．
∴∠B+∠C＝　 　．
即∠B+∠C＝∠BEC．
（2）拓展探究：如果点E运动到图②所示的位置，其他条件不变，说明：∠B+∠BEC+∠C＝360°．
（3）解决问题：如图③，AB∥DC，E、F、G是AB与CD之间的点，直接写出∠1，∠2，∠3，∠4，∠5之间的数量关系 　 　．
26．已知AM∥CN，点B在直线AM、CN之间，∠ABC＝88°．
（1）如图1，请直接写出∠A和∠C之间的数量关系：　 　．
（2）如图2，∠A和∠C满足怎样的数量关系？请说明理由．
（3）如图3，AE平分∠MAB，CH平分∠NCB，AE与CH交于点G，则∠AGH的度数为 　 　．
参考答案
一．选择题
1．解：如图，
∵a∥b，∠1＝58°，
∴∠3＝∠1＝58°，
∴∠2＝∠3＝58°，
故选：A．
2．解：A、∵∠1与∠2是对顶角，
∴∠1＝∠2，
故A不符号题意；
B、∵∠3＝90°，
∴∠1+∠2＝180°﹣∠3＝90°，
∴∠1与∠2不一定相等，
故B符合题意；
C、∵a∥b，
∴∠1＝∠2，
故C不符合题意；
D、如图：
∵a⊥c，b⊥d，
∴∠ABC＝∠DBF＝90°，
∴∠DBF﹣∠ABF＝∠ABC﹣∠ABF，
∴∠1＝∠2，
故D不符合题意；
故选：B．
3．解：∵BE∥AC，∠C＝50°，
∴∠DBE＝∠C＝50°，∠A＝∠ABE，
∵BE平分∠ABD，
∴∠ABE＝∠DBE＝50°，
∴∠A＝50°．
故选：A．
4．解：如图，延长BC交刻度尺的一边于D点，
∵AB∥DE，
∴∠β＝∠EDC，
又∵∠CED＝∠α＝43°，∠ECD＝90°，
∴∠β＝∠EDC＝90°﹣∠CED＝90°﹣46°＝47°．
故选：B．
5．解：如图，
过点A作AB∥b，
∴∠3＝∠1＝58°，
∵∠3+∠4＝90°，
∴∠4＝90°﹣∠3＝32°，
∵a∥b，AB∥b，
∴AB∥a，
∴∠2＝∠4＝32°，
故选：C．
6．解：∵AB∥CD，∠ABC＝30°，
∴∠ABC＝∠BCD，
∵∠EDF＝45°，∠EDF＝∠BCD+∠DBC，
∴∠DBC＝∠EDF﹣∠BCD＝45°﹣30°＝15°，
故选：A．
7．解：∵∠AEG＝20°，∠GEF＝45°，
∴∠AEF＝∠AEG+∠GEF＝20°+45°＝65°．
∵AB∥CD，
∴∠DFE＝∠AEF＝65°，
∴∠HFD＝∠DFE﹣∠EFH＝65°﹣30°＝35°．
故选：B．
8．解：∵m∥n，
∴∠3＝∠2＝70°，
∴∠BAC＝∠3﹣∠1＝70°﹣25°＝45°，
∵∠C＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠BAC＝90°﹣45°＝45°．
故选：C．
9．解：如图，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠EGH＝45°，
∵在△FGH中，∠3是外角，
∴∠2＝∠3﹣∠FGH＝80°﹣45°＝35°；
故选：A．
10．解：延长DC交AB与G，延长CD交EF于H．
在直角△BGC中，∠1＝90°﹣α，
∵∠β＝∠2+∠γ，
∴∠2＝β﹣γ，
∵AB∥EF，
∴∠1＝∠2，
∴90°﹣α＝β﹣γ，即α+β﹣γ＝90°．
故选：C．
二．填空题
11．解：∵∠ACB＝75°，∠ECD＝45°，
∴∠ACE＝180°﹣∠ACB﹣∠ECD＝60°，
∵AB∥CE，
∴∠A＝∠ACE＝60°，
故答案为60°．
12．解：∵DE∥BC，∠1＝70°，
∴∠ABC＝∠1＝70°，∠CBE＝∠AEB，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠ABC＝35°，
∴∠AEB＝35°．
故答案为：35°．
13．解：如图所示：
由题意可得∠1＝180°﹣∠β，
∴由三角形的外角性质可得：∠2＝∠1+∠γ＝180°﹣∠β+∠γ，
∵l1∥l2，
∴∠α＝∠2＝180°﹣∠β+∠γ，
∴﹣γ+α+β
＝﹣γ+180°﹣β+γ+β
＝180°．
故答案为：180°．
14．解：∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC，
∵∠1＝40°，
∴∠2＝180°﹣∠1＝140°，
故答案为：140．
15．解：∵AB∥EF，∠B＝70°，
∴∠1＝180°﹣70°＝110°．
∵BC∥DE，
∴∠E＝∠1＝110°．
故答案为：110．
16．解：①若∠1与∠2位置如图1所示：
∵AB∥DE，
∴∠1＝∠3，
又∵DC∥EF，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2，
又∵∠1＝40°，
∴∠2＝40°；
②若∠1与∠2位置如图2所示：
∵AB∥DE，
∴∠1＝∠3，
又∵DC∥EF，
∴∠2+∠3＝180°，
∴∠2+∠1＝180°，
又∵∠1＝40°
∴∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣40°＝140°，
综合所述：∠2的度数为40°或140°，
故答案为：40°或140°．
17．解：如图，反向延长∠3的一边与直线m相交，
∵直线l∥m，∠1＝45°，∠2＝35°，
∴∠2＝∠4＝35°，
根据三角形外角性质得，
∠3＝∠1+∠4＝45°+35°＝80°．
故答案为：80°．
18．解：∵OP∥QR∥ST，
∴∠2+∠QRP＝180°，∠3＝∠QRS，
∵∠2＝105°，
∴∠QRP＝75°，
∵∠1＝43°，
∴∠QRS＝∠QRP+∠1＝118°，
∴∠3＝118°．
故答案为：118°．
19．解：如图1：
∵a∥b，
∴∠1+∠2＝180°，
如图2：过点P1作PC∥a，
∴∠1+∠3＝180°，
∵a∥b，
∴PC∥b，
∴∠4+∠2＝180°，
∴∠1+∠3+∠4+∠2＝2×180°＝360°，
∴∠1+∠AP1B+∠B＝360°＝2×180；
如图3：过点P1作P1C∥a，过点P2作P2D∥b，
∴∠1+∠3＝180°，∠2+∠DP2B＝180°，
∵a∥b，
∴P1C∥P2D，
∴∠4+∠5＝180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠DP2B＝540°，
∴∠1+∠AP1P2+∠P1P2B+∠2＝540°＝3×180°；..．
则按照以上规律，∠1+∠2+∠p1+…+∠pn＝180°（n+1），
故答案为：180（n+1）．
20．解：过点P作PQ∥AB，则PQ∥AB∥CD，
∴∠AEP＝∠EPQ，∠CFP＝∠FPQ，
∴∠AEP+∠CFP＝∠EPQ+∠FPQ＝∠EPF，
∵PD平分∠EPF，
∴∠EPF＝2∠FPG，
∴∠AEP＝2∠FPG﹣∠CFP，
∵∠DGP﹣∠PFH＝120°，∠DGP＝∠FPG+∠PFH+∠HFG，
∴∠HFG＝120°﹣∠FPG，
∵FH⊥PG，
∴∠PFH＝90°﹣∠FPG，
∴∠CFP＝180°﹣∠PFH﹣∠HFG＝2∠PFG﹣30°，
∴∠AEP＝2∠FPG﹣∠CFP＝30°，
故答案为：30．
三．解答题
21．解：∵AB∥CD，∠EGC＝58°，
∴∠BEG＝∠EGC＝58°，
∵EG平分∠BEF，
∴∠BEF＝2∠BEG＝116°，
∵AB∥CD，
∴∠EFD＝180°﹣∠BEF＝180°﹣116°＝64°．
22．（1）证明：∵∠1＝∠BDC，
∴AB∥CD，
∴∠2＝∠ADC，
∵∠2+∠3＝180°，
∴∠ADC+∠3＝180°，
∴AD∥CE；
（2）解：∵CE⊥AE于E，
∴∠CEF＝90°，
由（1）知AD∥CE，
∴∠DAF＝∠CEF＝90°，
∴∠ADC＝∠2＝∠DAF﹣∠FAB，
∵∠FAB＝55°，
∴∠ADC＝35°，
∵DA平分∠BDC，∠1＝∠BDC，
∴∠1＝∠BDC＝2∠ADC＝70°
∴∠ABD＝180°﹣70°＝110°．
23．解：（1）①∵∠AOB＝40°，OC平分∠AOB，
∴∠BOE＝20°，
∵DE∥OB，
∴∠DEO＝∠BOE＝20°；
∵∠DOE＝∠DEO＝20°，
∴DO＝DE，∠ODE＝140°，
当DP⊥OE时，∠ODP＝∠ODE＝70°，
即x＝70，
故答案为：20，70；
②∵∠DEO＝20°，∠EDF＝∠EFD，
∴∠EDF＝80°，
又∵∠ODE＝140°，
∴∠ODP＝140°﹣80°＝60°，
∴x＝60；
（2）存在这样的x的值，使得∠EFD＝4∠EDF．
分两种情况：
①如图2，若DP在DE左侧，
∵DE⊥OA，
∴∠EDF＝90°﹣x°，
∵∠AOC＝20°，
∴∠EFD＝20°+x°，
当∠EFD＝4∠EDF时，20°+x°＝4（90°﹣x°），
解得x＝68；
②如图3，若DP在DE右侧，
∵∠EDF＝x°﹣90°，∠EFD＝180°﹣20°﹣x°＝160°﹣x°，
∴当∠EFD＝4∠EDF时，160°﹣x°＝4（x°﹣90°），
解得x＝104；
综上所述，当x＝68或104时，∠EFD＝4∠EDF．
24．解：（1）如图1，过点P作PM∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PM∥CD，
∴∠1＝∠BEP＝25°，∠2＝∠PFD＝30°，
∴∠EPF＝∠1+∠2＝25°+30°＝55°．
故答案为：55°；
（2）∠EPF＝∠BEP+∠PFD，
理由如下：如图1，
∵AB∥CD，
∴AB∥PM∥CD，
∴∠1＝∠BEP，∠2＝∠PFD，
∴∠EPF＝∠1+∠2＝∠BEP+∠PFD；
（3）∠PFC＝∠PEA+∠EPF，
理由如下：如图2，过P点作PN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PN∥CD，
∴∠PEA＝∠NPE，∠FPN＝∠PFC，
∴∠PFC＝∠FPN＝∠NPE+∠EPF＝∠PEA+∠EPF．
25．（1）证明：如图①，过点E作EF∥AB，
∵AB∥DC（已知），EF∥AB（辅助线的作法），
∴EF∥DC（平行于同一直线的两直线平行），
∴∠C＝∠CEF（两直线平行，内错角相等），
∵EF∥AB，
∴∠B＝∠BEF（同理），
∴∠B+∠C＝∠BEF+∠CEF（等量代换），
即∠B+∠C＝∠BEC，
故答案为：平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠BEF+∠CEF；
（2）解：如图②，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴EF∥CD，
∴∠C+∠CEF＝180°，∠B+∠BEF＝180°，
∴∠B+∠C+∠AEC＝360°，
∴∠B+∠C＝360°﹣（∠BEF+∠CEF），
即∠B+∠C＝360°﹣∠BEC；
∠B+∠BEC+∠C＝360°．
（3）解：∠1+∠3+∠5＝∠2+∠4，理由如下：
如图，过点F作FM∥AB，则AB∥FM∥CD，
由（1）得，∠1+∠3+∠5＝∠2+∠4．
故答案为：∠1+∠3+∠5＝∠2+∠4．
26．解：（1））过点B作BE∥AM，如图，
∵BE∥AM，
∴∠A＝∠ABE．
∵BE∥AM，AM∥CN，
∴BE∥CN．
∴∠C＝∠CBE．
∵∠ABC＝88°．
∴∠A+∠C＝∠ABE+∠CBE＝∠ABC＝88°．
故答案为：∠A+∠C＝88°；
（2）∠A和∠C满足：∠C﹣∠A＝92°．理由：
过点B作BE∥AM，如图，
∵BE∥AM，
∴∠A＝∠ABE．
∵BE∥AM，AM∥CN，
∴BE∥CN．
∴∠C+∠CBE＝180°．
∴∠CBE＝180°﹣∠C．
∵∠ABC＝88°．
∴∠ABE+∠CBE＝88°．
∴∠A+180°﹣∠C＝88°．
∴∠C﹣∠A＝92°．
（3）设CH与AB交于点F，如图，
∵AE平分∠MAB，
∴∠GAF＝∠MAB．
∵CH平分∠NCB，
∴∠BCF＝∠BCN．
∵∠B＝88°，
∴∠BFC＝88°﹣∠BCF．
∵∠AFG＝∠BFC，
∴∠AFG＝88°﹣∠BCF．
∵∠AGH＝∠GAF+∠AFG，
∴∠AGH＝（∠BCN﹣∠MAB）．
由（2）知：∠BCN﹣∠MAB＝92°，
∴∠AGH＝×92°＝46°．
故答案为：46°．