素养培优练(一) 功和功率的计算
一、选择题
1．(多选)(2022·四川成都市高二开学考试)关于功和功率，下列说法正确的是( )
A．力越大，做功越多
B．力做功越多，功率越大
C．力做功越快，功率越大
D．功率P＝是采用比值法定义的，适用于计算一段时间内的平均功率
2．如图所示是小孩滑滑梯的情景，假设滑梯是固定光滑斜面，倾角为30°，小孩质量为m，由静止开始沿滑梯下滑，滑行距离为s时，重力的瞬时功率为( )
A．mg B．mg C．mg D．mg
3．(2022·浙江高二开学考试)2021年7月31日，37岁、身高1.7 m的吕小军在东京奥运会男子举重81公斤级比赛中夺金，并以170 kg的抓举成绩和204 kg 的挺举成绩，创造了374 kg的奥运纪录。其中，抓举上升历时约3 s，再停留2 s后放下杠铃，如图。则在抓举上升到顶的过程中吕小军对杠铃消耗的平均功率约为( )
A．700 W B．800 W C．1 000 W D．1 300 W
4．如图所示，一物体以一定初速度沿水平面由A点滑到B点摩擦力做功W1；若该物体从A′点沿两斜面滑到B′点，摩擦力做功W2。已知物体与各接触面间的动摩擦因数均相同，则( )
A．W1＝W2 B．W1＞W2 C．W1＜W2 D．不能确定
5．质量为m、初速度为零的物体，在不断变化的合外力作用下都通过位移s0。下列各种情况中合外力做功最多的是( )
A B C D
6．一根质量为M的直木棒，悬挂在O点，有一只质量为m的猴子抓着木棒，如图所示。剪断悬挂木棒的细绳，木棒开始下落，同时猴子开始沿木棒向上爬。设在一段时间内木棒沿竖直方向下落，猴子对地的高度保持不变，忽略空气阻力，则如图所示的四个图像中，能正确反映在这段时间内猴子做功的功率随时间变化的关系的是( )
A B
C D
7．如图所示，n个完全相同、边长足够小且互不粘连的小方块依次排列，总长度为l，总质量为M，它们一起以速度v在光滑水平面上滑动，某时刻开始滑上粗糙水平面。小方块与粗糙水平面之间的动摩擦因数为μ，若小方块恰能完全进入粗糙水平面，则摩擦力对所有小方块所做功的数值为( )
A．μMgl B．μMgl C．μMgl D．μMgl
8．(2022·浙江台州考试)随着科技的发展，我国未来的航空母舰上将安装电磁弹射器以缩短飞机的起飞距离，如图所示，航空母舰的水平跑道总长l＝180 m，其中电磁弹射区的长度为l1＝80 m，在该区域安装有直线电机，该电机可从头至尾提供一个恒定的牵引力F牵。一架质量为m＝2.0×104 kg的飞机，其喷气式发动机可以提供恒定的推力F推＝1.2×105 N。假设飞机在航母上的阻力恒为飞机重力的0.2倍。若飞机可看作质量恒定的质点，离舰起飞速度v＝40 m/s，航空母舰始终处于静止状态，(取g＝10 m/s2)下列说法正确的是( )
A．飞机在前一阶段的加速度大小4.0 m/s2
B．飞机在电磁弹射区的末速度大小v1＝20 m/s
C．电磁弹射器的牵引力F牵的大小为2×104 N
D．电磁弹射器在弹射过程中的功率是不变的
9．(多选)如图甲所示，物体受到水平推力F的作用在粗糙水平面上做直线运动。监测到推力F、物体速度v随时间t变化的规律如图乙、丙所示。取g＝10 m/s2，则( )
甲 乙 丙
A．第1 s内推力做功为1 J
B．第2 s内摩擦力做的功为2.0 J
C．第1.5 s时推力F的功率为3 W
D．第2 s内推力F做功的平均功率为3 W
10．(多选)(2022·黑龙江大庆中学高一期中)如图所示，质量为m的滑块，由半径为R的半球面的上端A以初速度v0滑下，B为最低点，在滑动过程中所受的摩擦力大小恒为Ff。则( )
A．从A到B的过程中，重力做的功为mgπR
B．从A到B的过程中，弹力做的功为零
C．从A到B的过程中，摩擦力做的功为－πRFf
D．从A滑到C后，又滑回到B，这一过程摩擦力做的功为－πRFf
二、计算题
11．如图所示，轻弹簧一端与竖直墙壁相连，另一端与一质量为m的木块相连，放在光滑的水平面上，弹簧的劲度系数为k，弹簧处于自然状态，用水平力缓慢拉木块，使木块前进l，求这一过程中拉力对木块做了多少功。
12．《中华人民共和国民法典》自2021年1月1日起施行，其中第一千二百五十四条【不明抛掷物、坠落物致害责任】中规定禁止从建筑物中抛掷物品。从建筑物中抛掷物品或者从建筑物上坠落的物品造成他人损害的，由侵权人依法承担侵权责任。假设一只花盆从10楼(距地面高度约为h＝30 m)的窗台上由静止坠下，忽略空气阻力。已知花盆的质量m＝2 kg，重力加速度g取10 m/s2，求：
(1)在花盆下落到地面的过程中，重力对花盆做的功W；
(2)花盆下落2 s末时重力的瞬时功率；
(3)花盆下落第2 s内重力的平均功率。
13．如图甲所示，质量mA＝3 kg的薄板A静止在光滑水平地面上，其左端放有质量mB＝2 kg的小物块B(可视为质点)。取初始时薄板左端正下方地面上的点O为坐标原点，以水平向右为正方向建立坐标轴Ox，在小物块B上加一水平向右的外力F，在物块B还未滑离薄板A的过程中，通过传感器测出A、B的加速度随各自位移变化的a x图像如图乙所示。重力加速度g取10 m/s2，求：
(1)B与A间的动摩擦因数μ；
(2)B离开A之前外力F的最大功率P。
甲 乙
7/7素养培优练(一) 功和功率的计算
一、选择题
1．(多选)(2022·四川成都市高二开学考试)关于功和功率，下列说法正确的是( )
A．力越大，做功越多
B．力做功越多，功率越大
C．力做功越快，功率越大
D．功率P＝是采用比值法定义的，适用于计算一段时间内的平均功率
CD [作用在物体上的力较大，但物体在力的方向上通过的距离多少不确定，所以做功多少不能确定，故A错误；功率的大小与功的多少和时间的多少有关，力做功越多，但时间不确定，所以做功不一定越快，则功率不一定越大，故B错误；功率是表示做功快慢的物理量，力做功越快，则功率越大，故C正确；功率P＝是采用比值法定义的，适用于计算一段时间内的平均功率，故D正确。故选CD。]
2．如图所示是小孩滑滑梯的情景，假设滑梯是固定光滑斜面，倾角为30°，小孩质量为m，由静止开始沿滑梯下滑，滑行距离为s时，重力的瞬时功率为( )
A．mg B．mg C．mg D．mg
B [小孩的加速度a＝＝g，由v2＝2as，得小孩滑行距离s时的速率v＝，故此时重力的瞬时功率P＝mgvsin 30°＝mg，B正确。]
3．(2022·浙江高二开学考试)2021年7月31日，37岁、身高1.7 m的吕小军在东京奥运会男子举重81公斤级比赛中夺金，并以170 kg的抓举成绩和204 kg 的挺举成绩，创造了374 kg的奥运纪录。其中，抓举上升历时约3 s，再停留2 s后放下杠铃，如图。则在抓举上升到顶的过程中吕小军对杠铃消耗的平均功率约为( )
A．700 W B．800 W C．1 000 W D．1 300 W
C [运动员对杠铃做功W＝mgh＝170×10×1.7 J＝2 890 J，功率为P＝＝ W≈1 000 W，故选C。]
4．如图所示，一物体以一定初速度沿水平面由A点滑到B点摩擦力做功W1；若该物体从A′点沿两斜面滑到B′点，摩擦力做功W2。已知物体与各接触面间的动摩擦因数均相同，则( )
A．W1＝W2 B．W1＞W2 C．W1＜W2 D．不能确定
A [沿水平面由A到B时，W1＝－μmgsAB，沿两斜面由A′滑到B′时，W2＝－μmgsA′Ccos A′－μmgsCB′cos B′＝－μmgsA′B′，故选项A正确。]
5．质量为m、初速度为零的物体，在不断变化的合外力作用下都通过位移s0。下列各种情况中合外力做功最多的是( )
A B C D
C [根据公式W＝Fs可知，图像与坐标轴s围成的面积表示做功多少，故C项做功最多。]
6．一根质量为M的直木棒，悬挂在O点，有一只质量为m的猴子抓着木棒，如图所示。剪断悬挂木棒的细绳，木棒开始下落，同时猴子开始沿木棒向上爬。设在一段时间内木棒沿竖直方向下落，猴子对地的高度保持不变，忽略空气阻力，则如图所示的四个图像中，能正确反映在这段时间内猴子做功的功率随时间变化的关系的是( )
A B
C D
B [猴子对地的高度不变，所以猴子受力平衡。设猴子的质量为m，木棒对猴子的作用力为F，则有F＝mg，设木棒重力为Mg，则木棒受合外力为F＋Mg＝Mg＋mg，根据牛顿第二定律得Mg＋mg＝Ma，可见a是恒量，t时刻木棒速度v＝at，猴子做功的功率P＝mgv＝mgat，P与t为正比例关系，故B正确。]
7．如图所示，n个完全相同、边长足够小且互不粘连的小方块依次排列，总长度为l，总质量为M，它们一起以速度v在光滑水平面上滑动，某时刻开始滑上粗糙水平面。小方块与粗糙水平面之间的动摩擦因数为μ，若小方块恰能完全进入粗糙水平面，则摩擦力对所有小方块所做功的数值为( )
A．μMgl B．μMgl C．μMgl D．μMgl
C [方法一：力的平均值法。小方块依次进入粗糙区域，摩擦力逐渐增大，设小方块全部进入粗糙区域时的摩擦力为f，则f＝μMg，整个过程中摩擦力的平均值＝＝μMg，摩擦力对所有小方块做的功为W＝－·l＝－μMgl，做功的数值为μMgl，故选C。
方法二：图像法。摩擦力随位移的变化关系图如图所示，则摩擦力f做的功在数值上等于图线与横轴所包围的面积大小，则W＝μMgl。]
8．(2022·浙江台州考试)随着科技的发展，我国未来的航空母舰上将安装电磁弹射器以缩短飞机的起飞距离，如图所示，航空母舰的水平跑道总长l＝180 m，其中电磁弹射区的长度为l1＝80 m，在该区域安装有直线电机，该电机可从头至尾提供一个恒定的牵引力F牵。一架质量为m＝2.0×104 kg的飞机，其喷气式发动机可以提供恒定的推力F推＝1.2×105 N。假设飞机在航母上的阻力恒为飞机重力的0.2倍。若飞机可看作质量恒定的质点，离舰起飞速度v＝40 m/s，航空母舰始终处于静止状态，(取g＝10 m/s2)下列说法正确的是( )
A．飞机在前一阶段的加速度大小4.0 m/s2
B．飞机在电磁弹射区的末速度大小v1＝20 m/s
C．电磁弹射器的牵引力F牵的大小为2×104 N
D．电磁弹射器在弹射过程中的功率是不变的
C [根据牛顿第二定律，在后一阶段：F推－0.2mg＝ma2，解得a2＝4.0 m/s2，由v2－v ＝ 2a2 (l－l1)，解得飞机在电磁弹射区的末速度v1＝20 m/s，由v＝2a1l1，解得飞机在前一阶段电磁弹射区的加速度a1＝5 m/s2，根据牛顿第二定律：F牵＋F推－0.2mg＝ma1，代入数据解得：F牵＝2×104 N选项A、B错误，C正确；根据P＝Fv可知，电磁弹射器在弹射过程中的功率不断增加，选项D错误。故选C。]
9．(多选)如图甲所示，物体受到水平推力F的作用在粗糙水平面上做直线运动。监测到推力F、物体速度v随时间t变化的规律如图乙、丙所示。取g＝10 m/s2，则( )
甲 乙 丙
A．第1 s内推力做功为1 J
B．第2 s内摩擦力做的功为2.0 J
C．第1.5 s时推力F的功率为3 W
D．第2 s内推力F做功的平均功率为3 W
CD [由题v t图可知第1 s内物体速度为零没有运动，所以推力做的功为零，A错误；由题v t图和F t图可知第3 s内物体匀速，则f＝F＝2 N，第2 s内位移为1 m，由Wf＝－fL＝－2×1 J＝－2.0 J，B错误；1.5 s时的瞬时速度为1 m/s，推力为3 N，则P＝Fv＝3×1 W＝3 W，C正确；第2 s内的推力为3 N，第2 s内物体做匀加速直线运动，平均速度为1 m/s，由＝F＝3×1 W＝3 W，D正确。]
10．(多选)(2022·黑龙江大庆中学高一期中)如图所示，质量为m的滑块，由半径为R的半球面的上端A以初速度v0滑下，B为最低点，在滑动过程中所受的摩擦力大小恒为Ff。则( )
A．从A到B的过程中，重力做的功为mgπR
B．从A到B的过程中，弹力做的功为零
C．从A到B的过程中，摩擦力做的功为－πRFf
D．从A滑到C后，又滑回到B，这一过程摩擦力做的功为－πRFf
BD [在滑块从A运动到B的过程中，重力做的功WG＝mgR，A错误；弹力方向始终与速度方向垂直，弹力做功为零，B正确；摩擦力大小不变，方向始终与速度方向相反，利用微元法可知滑块从A运动到B的过程中摩擦力做的功W1＝－(Ff·Δs1＋Ff·Δs2＋Ff·Δs3＋…＋Ff·Δsn)＝－FfsAB＝－Ff＝－πRFf，C错误；同理，在滑块从A→C→B的过程中，摩擦力做的功，W2＝WAC＋WCB＝－Ff·＋＝－πRFf，D正确。故选BD。]
二、计算题
11．如图所示，轻弹簧一端与竖直墙壁相连，另一端与一质量为m的木块相连，放在光滑的水平面上，弹簧的劲度系数为k，弹簧处于自然状态，用水平力缓慢拉木块，使木块前进l，求这一过程中拉力对木块做了多少功。
[解析] 缓慢拉动木块，可认为木块处于平衡状态，故拉力大小等于弹力大小，即F＝kl。
因该力与位移成正比，故可用平均力＝求功，W＝·l＝kl2。
[答案] kl2
12．《中华人民共和国民法典》自2021年1月1日起施行，其中第一千二百五十四条【不明抛掷物、坠落物致害责任】中规定禁止从建筑物中抛掷物品。从建筑物中抛掷物品或者从建筑物上坠落的物品造成他人损害的，由侵权人依法承担侵权责任。假设一只花盆从10楼(距地面高度约为h＝30 m)的窗台上由静止坠下，忽略空气阻力。已知花盆的质量m＝2 kg，重力加速度g取10 m/s2，求：
(1)在花盆下落到地面的过程中，重力对花盆做的功W；
(2)花盆下落2 s末时重力的瞬时功率；
(3)花盆下落第2 s内重力的平均功率。
[解析](1)在花盆下落到地面的过程中，重力做的功为W＝mgh＝2×10×30 J＝600 J。
(2)花盆下落t＝2 s时的速度为v＝gt＝20 m/s
重力的瞬时功率为P＝mgv＝400 W。
(3)花盆下落第2 s内的位移为x＝gt－gt＝×10×(22－1) m＝15 m
重力做的功为W＝mgx＝2×10×15 J＝300 J
下落第2 s内重力的平均功率为＝＝ W＝300 W。
[答案](1)600 J(2)400 W(3)300 W
13．如图甲所示，质量mA＝3 kg的薄板A静止在光滑水平地面上，其左端放有质量mB＝2 kg的小物块B(可视为质点)。取初始时薄板左端正下方地面上的点O为坐标原点，以水平向右为正方向建立坐标轴Ox，在小物块B上加一水平向右的外力F，在物块B还未滑离薄板A的过程中，通过传感器测出A、B的加速度随各自位移变化的a x图像如图乙所示。重力加速度g取10 m/s2，求：
(1)B与A间的动摩擦因数μ；
(2)B离开A之前外力F的最大功率P。
甲 乙
[解析](1)由题图乙可知A、B发生相对滑动时A的加速度大小aA＝4 m/s2，对A，由牛顿第二定律有μmBg＝mAaA，解得μ＝0.6。
(2)由题图乙可知x＝5 m时A、B分离，此时B的速度最大，设为vB，由题图乙中图线与x轴所围面积的意义，可得vB＝8 m/s。在x＝5 m时，aB＝11 m/s2，此时外力F最大。由F－μmBg＝mBaB，得F＝34 N，故P＝FvB＝272 W。
[答案](1)0.6(2)272 W
7/7素养培优练(二) 动能定理和机械能守恒定律
一、选择题
1．如图所示，小球以初速度v0从A点沿不光滑的轨道运动到高为h的B点后自动返回，其返回途中仍经过A点，水平轨道与倾斜轨道之间用平滑圆弧连接(图中没画出)。则返回时经过A点的速度v的大小为( )
A． B．
C． D．
2．轻弹簧下端固定，处于自然状态，一质量为m的小球从距离弹簧上端H的高度自由落下，弹簧的最大压缩量为L，换用质量为2 m的小球从同一位置落下，当弹簧的压缩量为L时，小球的速度等于(已知重力加速度为g，空气阻力不计，弹簧形变没有超出其弹性限度)( )
A． B．
C． D．
3．(2022·广西桂林十八中高一期末)现代城市高楼林立，高空坠物易造成伤害，不考虑空气阻力，在高空坠物过程中，下列说法错误的有( )
A．物体下落过程中，重力势能增大，动能减小
B．物体下落过程中，重力做正功，动能增大
C．同一物体坠落时，楼层越高，落地时动能越大
D．物体下落过程中，机械能守恒
4．如图所示，在高1.5 m的光滑平台上有一个质量为2 kg的小球被一细线拴在墙上，球与墙之间有一根被压缩的轻质弹簧。当烧断细线时，小球被弹出，小球落地时的速度大小为2 m/s，则弹簧被压缩时具有的弹性势能为(g取10 m/s2)( )
A．10 J B．15 J C．20 J D．25 J
5．(2022·全国高一专题练习)如图所示，一薄木板斜搁在高度一定的平台和水平地板上，其顶端与平台相平，末端位于地板的P处，并与地板平滑连接，将一可看成质点的滑块自木板顶端无初速度释放，滑块沿木板下滑，接着在地板上滑动，最终停在Q处。滑块和木板及地板之间的动摩擦因数相同，现将木板截短一半，仍按上述方式搁在该平台和水平地板上，再次将滑块自木板顶端无初速度释放，则滑块最终将停在( )
A．P处 B．P、Q之间 C．Q处 D．Q的右侧
6．如图所示，在竖直平面内有一“V”形槽，其底部BC是一段圆弧，两侧都与光滑斜槽相切，相切处B、C位于同一水平面上。一小物体从右侧斜槽上距BC平面高度为2h的A处由静止开始下滑，经圆弧槽再滑上左侧斜槽，最高能到达距BC所在水平面高度为h的D处，接着小物体再往下滑，若不考虑空气阻力，则( )
A．小物体恰好滑回到B处时速度为零
B．小物体尚未滑回到B处时速度已变为零
C．小物体能滑回到B处之上，但最高点要比D处低
D．小物体最终一定会停止在圆弧槽的最低点
7．静止在粗糙水平面上的物块在水平向右的拉力作用下做直线运动，t＝4 s 时停下，其v t图像如图所示，已知物块与水平面间的动摩擦因数处处相同，则下列判断正确的是( )
A．整个过程中拉力做的功等于物块克服摩擦力做的功
B．整个过程中拉力做的功等于零
C．t＝2 s时刻拉力的瞬时功率在整个过程中最大
D．t＝1 s到t＝3 s这段时间内拉力不做功
8．(2022·进贤县第一中学高一月考)质量为1 kg的物体以某一初速度在水平地面上滑行，由于受到地面摩擦阻力作用，其动能随位移变化的图线如图所示，g取10 m/s2，则物体在水平地面上( )
A．所受合外力大小为5 N
B．滑行的总时间为2 s
C．滑行的加速度大小为1 m/s2
D．滑行的加速度大小为2.5 m/s2
9．如图所示，光滑细杆AB、AC在A点连接，AB竖直放置，AC水平放置，两个相同的中心有小孔的小球M、N，分别套在AB和AC上，并用一细绳相连，细绳恰好被拉直，现由静止释放M、N，在运动过程中，下列说法正确的是( )
A．M球的机械能守恒
B．M球的机械能增大
C．M和N组成的系统机械能守恒
D．绳的拉力对N做负功
10．如图所示，质量为m的物体(可视为质点)以某一速度从A点冲上倾角为30°的固定斜面，其运动的加速度为g，此物体在斜面上上升的最大高度为h，则在这个过程中，物体( )
A．重力势能增加了mgh
B．动能损失了mgh
C．动能损失了mgh
D．动能损失了mgh
二、计算题
11．如图所示，斜面长为s，倾角为θ，一物体质量为m，从斜面底端的A点开始以初速度v0沿斜面向上滑行，斜面与物体间的动摩擦因数为μ，物体滑到斜面顶端B点时飞出斜面，最后落在与A点处于同一水平面上的C处，则物体落地时的速度大小为多少？
12．如图甲所示为2022年北京冬奥会上以“雪如意”命名的跳台滑雪场地。图乙为跳台滑雪赛道的简化图，由助滑道、起跳区、着陆坡等几段组成，助滑道和着陆坡与水平面的夹角θ均为37°，直线AB段长度L＝100 m。运动员连同装备总质量m＝60 kg，由A点无初速度下滑，从起跳区的C点起跳后降落在着陆坡上的D点。重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。
(1)若忽略运动员在助滑道上受到的一切阻力，求运动员下滑到B点的速度大小v1；
(2)若由于阻力的影响，运动员实际下滑到B点的速度大小v2＝30 m/s，求运动员从A点下滑到B点过程中克服阻力做的功。
甲 乙
13．小物块A的质量为m＝2 kg，物块与坡道间的动摩擦因数为μ＝0.6，水平面光滑。坡道顶端距水平面高度为h＝1 m，倾角为θ＝37°，物块从坡道进入水平滑道时，在底端O点处无机械能损失，将轻弹簧的左端连接在水平滑道M处并固定在墙上，另一自由端恰位于坡道的底端O点，如图所示。物块A从坡顶由静止滑下，重力加速度为g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求：
(1)物块滑到O点时的速度大小；
(2)弹簧为最大压缩量时的弹性势能；
(3)物块A被弹回到坡道上升的最大高度和物块在坡道上运动的总路程。
8/8素养培优练(二) 动能定理和机械能守恒定律
一、选择题
1．如图所示，小球以初速度v0从A点沿不光滑的轨道运动到高为h的B点后自动返回，其返回途中仍经过A点，水平轨道与倾斜轨道之间用平滑圆弧连接(图中没画出)。则返回时经过A点的速度v的大小为( )
A． B．
C． D．
B [由动能定理得小球由A到B过程有－mgh－Wf＝0－mv，小球由B到A过程有mgh－Wf＝mv2－0，联立两式解得v＝，则B正确，A、C、D错误。]
2．轻弹簧下端固定，处于自然状态，一质量为m的小球从距离弹簧上端H的高度自由落下，弹簧的最大压缩量为L，换用质量为2 m的小球从同一位置落下，当弹簧的压缩量为L时，小球的速度等于(已知重力加速度为g，空气阻力不计，弹簧形变没有超出其弹性限度)( )
A． B．
C． D．
C [设弹簧压缩量为L时，弹簧的弹性势能为Ep，质量为m的小球下落时，根据机械能守恒Ep＝mg(H＋L)，质量为2m的小球下落时，根据机械能守恒定律2 mg(H＋L)＝Ep＋×2mv2，解得v＝，故C正确。]
3．(2022·广西桂林十八中高一期末)现代城市高楼林立，高空坠物易造成伤害，不考虑空气阻力，在高空坠物过程中，下列说法错误的有( )
A．物体下落过程中，重力势能增大，动能减小
B．物体下落过程中，重力做正功，动能增大
C．同一物体坠落时，楼层越高，落地时动能越大
D．物体下落过程中，机械能守恒
A [物体在下落过程中重力做正功，重力势能减小，动能增大，故A错误，B正确；同一物体坠落时，楼层越高，下降的高度越大，根据动能定理可知落地时动能越大，故C正确；因空气阻力不计，故下落过程中，机械能守恒，故D正确。]
4．如图所示，在高1.5 m的光滑平台上有一个质量为2 kg的小球被一细线拴在墙上，球与墙之间有一根被压缩的轻质弹簧。当烧断细线时，小球被弹出，小球落地时的速度大小为2 m/s，则弹簧被压缩时具有的弹性势能为(g取10 m/s2)( )
A．10 J B．15 J C．20 J D．25 J
A [弹簧与小球组成的系统机械能守恒，以水平地面为零势能面，Ep＋mgh＝mv2，解得Ep＝10 J，A正确。]
5．(2022·全国高一专题练习)如图所示，一薄木板斜搁在高度一定的平台和水平地板上，其顶端与平台相平，末端位于地板的P处，并与地板平滑连接，将一可看成质点的滑块自木板顶端无初速度释放，滑块沿木板下滑，接着在地板上滑动，最终停在Q处。滑块和木板及地板之间的动摩擦因数相同，现将木板截短一半，仍按上述方式搁在该平台和水平地板上，再次将滑块自木板顶端无初速度释放，则滑块最终将停在( )
A．P处 B．P、Q之间 C．Q处 D．Q的右侧
C [假设斜面与水平面的夹角为α，斜面的高度为h，斜面在水平方向的投影为x1
在斜面上克服摩擦力做的功
W1＝μmgcos α×＝＝μmgx1 ①
设在水平面上滑行的距离为x2，在水平面上克服摩擦力做的功
W2＝μmgx2
整个过程克服摩擦力做得功为
W＝μmgx1＋μmgx2＝μmg(x1＋x2) ②
由此公式可知，摩擦力做得功与斜面的夹角无关，又由于从相同的高度滑下，根据动能定理得
mgh－W＝0 ③
②③联立可知
x1＋x2＝
最终还是停在Q处，故A、B、D错，C正确。
故选C。]
6．如图所示，在竖直平面内有一“V”形槽，其底部BC是一段圆弧，两侧都与光滑斜槽相切，相切处B、C位于同一水平面上。一小物体从右侧斜槽上距BC平面高度为2h的A处由静止开始下滑，经圆弧槽再滑上左侧斜槽，最高能到达距BC所在水平面高度为h的D处，接着小物体再往下滑，若不考虑空气阻力，则( )
A．小物体恰好滑回到B处时速度为零
B．小物体尚未滑回到B处时速度已变为零
C．小物体能滑回到B处之上，但最高点要比D处低
D．小物体最终一定会停止在圆弧槽的最低点
C [小物体从A处运动到D处的过程中，克服摩擦力所做的功Wf1＝mgh，从D处开始运动的过程，因为速度较小，其对圆弧槽的压力较小，所以克服摩擦力所做的功Wf2＜mgh，故小物体能滑回到B处之上，但最高点要比D处低，C项正确，A、B两项错误；因为小物体与圆弧槽间的动摩擦因数未知，所以它可能停在圆弧槽上的任何地方，D项错误。]
7．静止在粗糙水平面上的物块在水平向右的拉力作用下做直线运动，t＝4 s 时停下，其v t图像如图所示，已知物块与水平面间的动摩擦因数处处相同，则下列判断正确的是( )
A．整个过程中拉力做的功等于物块克服摩擦力做的功
B．整个过程中拉力做的功等于零
C．t＝2 s时刻拉力的瞬时功率在整个过程中最大
D．t＝1 s到t＝3 s这段时间内拉力不做功
A [对物块运动全过程应用动能定理得：WF－Wf＝0，A正确，B错误；物块在加速运动过程中受到的拉力最大，结合题图可知，t＝1 s时拉力的瞬时功率为整个过程中拉力功率的最大值，C错误；t＝1 s到t＝3 s这段时间内，拉力与摩擦力平衡，拉力做正功，D错误。]
8．(2022·进贤县第一中学高一月考)质量为1 kg的物体以某一初速度在水平地面上滑行，由于受到地面摩擦阻力作用，其动能随位移变化的图线如图所示，g取10 m/s2，则物体在水平地面上( )
A．所受合外力大小为5 N
B．滑行的总时间为2 s
C．滑行的加速度大小为1 m/s2
D．滑行的加速度大小为2.5 m/s2
D [由题图知，物体前进20 m，动能由50 J变为零，由动能定理，得Fx＝ΔEk，F×20 m＝0－50 J，即F＝－2.5 N，即物体所受的合外力大小为2.5 N，A错误；由F＝ma得a＝－2.5 m/s2，则物体在水平地面上滑行的加速度大小为2.5 m/s2，C错误，D正确；由于物体的初动能Ek0＝mv＝50 J，解得v0＝10 m/s，故滑行时间t＝＝4 s，B错误。故选D。]
9．如图所示，光滑细杆AB、AC在A点连接，AB竖直放置，AC水平放置，两个相同的中心有小孔的小球M、N，分别套在AB和AC上，并用一细绳相连，细绳恰好被拉直，现由静止释放M、N，在运动过程中，下列说法正确的是( )
A．M球的机械能守恒
B．M球的机械能增大
C．M和N组成的系统机械能守恒
D．绳的拉力对N做负功
C [细杆光滑，故M、N组成的系统机械能守恒，N的机械能增加，绳的拉力对N做正功、对M做负功，M的机械能减少，故C正确，A、B、D错误。]
10．如图所示，质量为m的物体(可视为质点)以某一速度从A点冲上倾角为30°的固定斜面，其运动的加速度为g，此物体在斜面上上升的最大高度为h，则在这个过程中，物体( )
A．重力势能增加了mgh
B．动能损失了mgh
C．动能损失了mgh
D．动能损失了mgh
D [重力做功WG＝－mgh，故重力势能增加了mgh，A错误；物体所受合力F＝ma＝mg，合力做功W合＝－F＝－mg×2h＝－mgh，由动能定理知，动能损失了mgh，B、C错误，D正确。]
二、计算题
11．如图所示，斜面长为s，倾角为θ，一物体质量为m，从斜面底端的A点开始以初速度v0沿斜面向上滑行，斜面与物体间的动摩擦因数为μ，物体滑到斜面顶端B点时飞出斜面，最后落在与A点处于同一水平面上的C处，则物体落地时的速度大小为多少？
[解析] 对物体运动的全过程，由动能定理可得
－μmgscos θ＝mv－mv
所以vC＝。
[答案]
12．如图甲所示为2022年北京冬奥会上以“雪如意”命名的跳台滑雪场地。图乙为跳台滑雪赛道的简化图，由助滑道、起跳区、着陆坡等几段组成，助滑道和着陆坡与水平面的夹角θ均为37°，直线AB段长度L＝100 m。运动员连同装备总质量m＝60 kg，由A点无初速度下滑，从起跳区的C点起跳后降落在着陆坡上的D点。重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。
(1)若忽略运动员在助滑道上受到的一切阻力，求运动员下滑到B点的速度大小v1；
(2)若由于阻力的影响，运动员实际下滑到B点的速度大小v2＝30 m/s，求运动员从A点下滑到B点过程中克服阻力做的功。
甲 乙
[解析](1)根据机械能守恒定律，mgLsin 37°＝mv，解得v1＝20 m/s。
(2)从A到B，根据动能定理mgLsin θ－W克f ＝mv
解得 W克f＝9 000 J。
[答案](1)20 m/s(2)9 000 J
13．小物块A的质量为m＝2 kg，物块与坡道间的动摩擦因数为μ＝0.6，水平面光滑。坡道顶端距水平面高度为h＝1 m，倾角为θ＝37°，物块从坡道进入水平滑道时，在底端O点处无机械能损失，将轻弹簧的左端连接在水平滑道M处并固定在墙上，另一自由端恰位于坡道的底端O点，如图所示。物块A从坡顶由静止滑下，重力加速度为g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求：
(1)物块滑到O点时的速度大小；
(2)弹簧为最大压缩量时的弹性势能；
(3)物块A被弹回到坡道上升的最大高度和物块在坡道上运动的总路程。
[解析](1)在由A滑到O点的过程中，重力做正功，摩擦力做负功，由动能定理得
mgh－μmgcos 37°×＝mv2，
解得v＝2 m/s。
(2)物块压缩弹簧后，物块和弹簧组成的系统机械能守恒，根据机械能守恒定律可得
Ep＝mv2＝×2×22 J＝4 J。
(3)物块滑回到O点时与刚滑到O点时速度大小相等，从坡底向上滑的过程，由动能定理得
－μmgcos 37°×－mgh1＝0－mv2，
代入数据解得h1＝ m。
因为mgsin θ>μmgcos θ，所以物体不能停在坡道上，物块最终停在O点。由功能关系得μmgscos θ＝mgh，
解得s＝ m。
[答案](1)2 m/s(2)4 J(3) m m
8/8素养培优练(三) 平抛运动规律和应用
一、选择题
1．人站在平台上平抛一小球，球离手时的速度为v1，落地时速度为v2，不计空气阻力，下列选项中能表示出速度矢量的演变过程的是( )
A B C D
2．如图，倾角为θ的斜面体ABC固定在水平地面上，在A点正上方的P点，以速度v0水平抛出一个小球，小球落在斜面上的Q点(图中未画出)，且落到斜面上时速度与斜面垂直，重力加速度为g，不计空气阻力，则Q点离地面的高度为( )
A．sin θ B．cos θ C．tan θ D．
3．下列选项所示，关于物体做平抛运动时，它的速度方向与水平方向的夹角θ的正切tan θ随时间t的变化图像正确的是( )
A B C D
4．玩“套圈圈”游戏时，大人和小孩直立站在同一水平线上，两人同时向各自正前方3 m处放置在水平地面上的玩具小熊水平抛出小圆环，小圆环恰好都套中玩具熊，小圆环离手后的运动可视作平抛运动，下列说法正确的是( )
A．小孩先套住玩具熊
B．大人先套住玩具熊
C．两人同时套住玩具熊
D．两人水平抛出小圆环的初速度相同
5．如图所示，斜面上有a、b、c、d四个点，ab＝bc＝cd。从a点正上方的O点以初速度v水平抛出一个小球，它落在斜面上b点。若小球从O点以速度2v水平抛出，不计空气阻力，则它会落在斜面上的( )
A．b与c之间某一点
B．c点
C．c与d之间某一点
D．d点
6．某同学对着墙壁练习打网球，假定球在墙面上以25 m/s 的速度沿水平方向反弹，落地点到墙面的距离在10 m至15 m之间．忽略空气阻力，g取10 m/s2，球在墙面上反弹点的高度范围是( )
A．0.8 m至1.8 m
B．0.8 m至1.6 m
C．1.0 m至1.6 m
D．1.0 m至1.8 m
7．如图所示，两小球a、b从直角三角形斜面的顶端以相同大小的水平速率v0向左、向右水平抛出，分别落在两个斜面上，三角形的两底角分别为30°和60°，则两小球a、b运动时间之比为( )
A．1∶ B．1∶3 C．∶1 D．3∶1
8．如图，从半径为R＝1 m的半圆AB上的A点水平抛出一个可视为质点的小球，经t＝0.4 s小球落到半圆上，已知当地的重力加速度g取10 m/s2，则小球的初速度v0可能为( )
A．1 m/s或2 m/s B．2 m/s或3 m/s
C．3 m/s或4 m/s D．1 m/s或4 m/s
选D。]
9．如图所示，一物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上。物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角φ满足( )
A．tan φ＝sin θ B．tan φ＝cos θ
C．tan φ＝tan θ D．tan φ＝2tan θ
10．如图所示，网球发球机水平放置在距地面某高度处，正对着竖直墙面发射网球(假设所有网球均完全相同)，两次发射网球分别在墙上留下A、B两点印迹。测得OA＝AB。OP为水平线，若忽略网球在空中受到的阻力，则下列说法正确的是( )
A．两球发射的初速度vOA∶vOB＝1∶2
B．两球碰到墙面前运动的时间tA∶tB＝1∶2
C．两球碰到墙面时的速度可能相同
D．两球碰到墙面时的动能可能相等
二、非选择题
11．(2022·北京高一期末)如图所示，一小球自平台上水平抛出，恰好落在台的一倾角为α＝53°的斜面顶端，并刚好沿斜面下滑(即速度方向沿斜面向下)，斜面顶端与平台的高度差h＝0.8 m，g取10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，则
(1)小球水平抛出的初速度v0是多少？
(2)斜面顶端与平台边缘的水平距离s是多少？
12．2019年9月份，在日本举行的第13届世界杯赛事中，中国女排11连胜，蝉联世界杯冠军。在发球过程中，排球的运动可视为平抛运动，若某次将排球以6 m/s的速度水平击出，它落地时的速度大小为10 m/s。(不计空气阻力，取g＝10 m/s2)求：
(1)排球在空中运动的时间t；
(2)排球运动的水平位移x；
(3)排球在空中下落的高度h。
13．一支探险队在探险时遇到一条山沟，山沟的一侧OA竖直，另一侧呈抛物线形状的坡面OB与一个平台BC相连，如图所示。已知山沟竖直一侧OA的高度为2h，平台离沟底的高度为h，C点离OA的水平距离为2h。以沟底的O点为原点建立坐标系xOy，坡面的抛物线方程为y＝。质量为m的探险队员在山沟的竖直一侧从A点沿水平方向跳向平台。人可视为质点，忽略空气阻力，重力加速度为g。
(1)若探险队员从A点以初速度v0水平跳出时，掉在坡面OB的某处，则他在空中运动的时间为多少？
(2)为了能跳在平台上，他在A点的初速度应满足什么条件？请计算说明。
7/7素养培优练(三) 平抛运动规律和应用
一、选择题
1．人站在平台上平抛一小球，球离手时的速度为v1，落地时速度为v2，不计空气阻力，下列选项中能表示出速度矢量的演变过程的是( )
A B C D
C [物体做平抛运动时，在水平方向上做匀速直线运动，其水平方向的分速度不变，故选项C正确。]
2．如图，倾角为θ的斜面体ABC固定在水平地面上，在A点正上方的P点，以速度v0水平抛出一个小球，小球落在斜面上的Q点(图中未画出)，且落到斜面上时速度与斜面垂直，重力加速度为g，不计空气阻力，则Q点离地面的高度为( )
A．sin θ B．cos θ C．tan θ D．
D [当小球落到斜面上时，设竖直方向的分速度为vy，则有vy＝，又vy＝gt，x＝v0t，联立解得x＝，则Q离地面的高度h＝xtan θ＝。故选D。]
3．下列选项所示，关于物体做平抛运动时，它的速度方向与水平方向的夹角θ的正切tan θ随时间t的变化图像正确的是( )
A B C D
B [如图，tan θ＝＝，可见tan θ与t成正比，选项B正确。
]
4．玩“套圈圈”游戏时，大人和小孩直立站在同一水平线上，两人同时向各自正前方3 m处放置在水平地面上的玩具小熊水平抛出小圆环，小圆环恰好都套中玩具熊，小圆环离手后的运动可视作平抛运动，下列说法正确的是( )
A．小孩先套住玩具熊
B．大人先套住玩具熊
C．两人同时套住玩具熊
D．两人水平抛出小圆环的初速度相同
A [设抛出的小圆环做平抛运动的初速度为v，水平抛出时的高度为h，下落的时间为t，则由h＝gt2，解得t＝，因小孩的高度比较低，则其抛出的小圆环运动的时间较短，所以小孩先套住玩具熊，故A正确，B、C错误；小圆环水平方向的位移x＝vt＝v，由于x相等，小孩水平抛出的小圆环运动时间短，则小孩水平抛出小圆环的速度比大人水平抛出小圆环的速度要大，故D错误。]
5．如图所示，斜面上有a、b、c、d四个点，ab＝bc＝cd。从a点正上方的O点以初速度v水平抛出一个小球，它落在斜面上b点。若小球从O点以速度2v水平抛出，不计空气阻力，则它会落在斜面上的( )
A．b与c之间某一点
B．c点
C．c与d之间某一点
D．d点
A [如图所示，过b作水平线交竖直线Oa于O′，当速度为v时，x＝；当速度为2v时，x′＝2x＝2，由几何关系知小球在斜面上落点必在b、c之间，选项A正确。]
6．某同学对着墙壁练习打网球，假定球在墙面上以25 m/s 的速度沿水平方向反弹，落地点到墙面的距离在10 m至15 m之间．忽略空气阻力，g取10 m/s2，球在墙面上反弹点的高度范围是( )
A．0.8 m至1.8 m
B．0.8 m至1.6 m
C．1.0 m至1.6 m
D．1.0 m至1.8 m
A [设球从反弹到落地的时间为t，球在墙面上反弹点的高度为h。球反弹后做平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动。故 s7．如图所示，两小球a、b从直角三角形斜面的顶端以相同大小的水平速率v0向左、向右水平抛出，分别落在两个斜面上，三角形的两底角分别为30°和60°，则两小球a、b运动时间之比为( )
A．1∶ B．1∶3 C．∶1 D．3∶1
B [设a、b两球运动的时间分别为ta和tb，则tan 30°＝＝，tan 60°＝＝，两式相除得：＝＝，故B正确。]
8．如图，从半径为R＝1 m的半圆AB上的A点水平抛出一个可视为质点的小球，经t＝0.4 s小球落到半圆上，已知当地的重力加速度g取10 m/s2，则小球的初速度v0可能为( )
A．1 m/s或2 m/s B．2 m/s或3 m/s
C．3 m/s或4 m/s D．1 m/s或4 m/s
D [根据题意可知小球下降的高度
h＝gt2＝×10×0.42 m＝0.8 m
平抛运动轨迹如图所示
若小球落在圆弧左边上，根据几何关系有
R2＝h2＋(R－x)2，解得水平位移x＝0.4 m，则初速度v0＝＝ m/s＝1 m/s，若小球落在圆弧右边上，根据几何关系有R2＝h2＋x′2，解得x′＝0.6 m，则水平位移x＝1.6 m，初速度v0＝＝ m/s＝4 m/s，故D正确，A、B、C错误。故选D。]
9．如图所示，一物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上。物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角φ满足( )
A．tan φ＝sin θ B．tan φ＝cos θ
C．tan φ＝tan θ D．tan φ＝2tan θ
D [如图所示，tan θ＝＝＝，tan φ＝＝，解得tan φ＝2tan θ。]
10．如图所示，网球发球机水平放置在距地面某高度处，正对着竖直墙面发射网球(假设所有网球均完全相同)，两次发射网球分别在墙上留下A、B两点印迹。测得OA＝AB。OP为水平线，若忽略网球在空中受到的阻力，则下列说法正确的是( )
A．两球发射的初速度vOA∶vOB＝1∶2
B．两球碰到墙面前运动的时间tA∶tB＝1∶2
C．两球碰到墙面时的速度可能相同
D．两球碰到墙面时的动能可能相等
D [设OA＝AB＝h，忽略网球在空中受到的阻力，则网球做平抛运动，竖直方向上有h＝gt，2h＝gt，整理得tA∶tB＝1∶，故B错误；网球在水平方向的运动为匀速直线运动，而且两次水平位移大小相等，则x＝vOAtA＝vOBtB，整理得vOA∶vOB＝∶1，故A错误；速度为矢量，由图可知，两球与墙碰撞时的速度方向不相同，故C错误；设两球的质量均为m，两球碰到墙面时的动能分别为EkA、EkB，从抛出到与墙碰撞，根据动能定理有mgh＝EkA－mv，2mgh＝EkB－mv，整理得EkA－mgh＝mv，EkB－2mgh＝mv，解得EkA＝2EkB－3mgh，若要使EkA＝EkB，则EkB＝3mgh，解得此时vOB＝，vOA＝2，即若两球发射的初速度满足该条件时，两球碰到墙面时的动能相等，故D正确。]
二、非选择题
11．(2022·北京高一期末)如图所示，一小球自平台上水平抛出，恰好落在台的一倾角为α＝53°的斜面顶端，并刚好沿斜面下滑(即速度方向沿斜面向下)，斜面顶端与平台的高度差h＝0.8 m，g取10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，则
(1)小球水平抛出的初速度v0是多少？
(2)斜面顶端与平台边缘的水平距离s是多少？
[解析](1)物体离开平台后做平抛运动，竖直方向做自由落体运动
由运动学公式h＝gt得
t1＝＝0.4 s
所以vy＝gt＝4 m/s
由几何关系得速度偏转角为α，所以
tan α＝
求得v0＝＝3 m/s。
(2)在水平方向，物体做匀速直线运动，所以s＝v0t＝1.2 m。
[答案] (1)3 m/s (2)1.2 m
12．2019年9月份，在日本举行的第13届世界杯赛事中，中国女排11连胜，蝉联世界杯冠军。在发球过程中，排球的运动可视为平抛运动，若某次将排球以6 m/s的速度水平击出，它落地时的速度大小为10 m/s。(不计空气阻力，取g＝10 m/s2)求：
(1)排球在空中运动的时间t；
(2)排球运动的水平位移x；
(3)排球在空中下落的高度h。
[解析](1)根据平抛运动可知排球落地时速度大小为vt＝
解得小球落地时竖直方向的速度大小为：vy＝8 m/s
故排球在空中运动的时间为：t＝＝0.8 s。
(2)排球运动的水平位移：x＝v0t＝4.8 m。
(3)排球在空中下落的高度：h＝gt2＝3.2 m。
[答案] (1)0.8 s (2)4.8 m (3)3.2 m
13．一支探险队在探险时遇到一条山沟，山沟的一侧OA竖直，另一侧呈抛物线形状的坡面OB与一个平台BC相连，如图所示。已知山沟竖直一侧OA的高度为2h，平台离沟底的高度为h，C点离OA的水平距离为2h。以沟底的O点为原点建立坐标系xOy，坡面的抛物线方程为y＝。质量为m的探险队员在山沟的竖直一侧从A点沿水平方向跳向平台。人可视为质点，忽略空气阻力，重力加速度为g。
(1)若探险队员从A点以初速度v0水平跳出时，掉在坡面OB的某处，则他在空中运动的时间为多少？
(2)为了能跳在平台上，他在A点的初速度应满足什么条件？请计算说明。
[解析] 设探险队员在OB坡面上的落点坐标为(x，y)，由平抛运动规律可得x＝v0t，2h－y＝gt2，又y＝，联立解得t＝。
(2)将y＝h代入y＝可求得B点的横坐标xB＝h，而C点的横坐标xC＝2h。由平抛运动规律得xB＝vOBt1，xC＝vOCt1，2h－h＝gt，解得vOB＝，vOC＝，所以为了能跳到平台上，他在A点的初速度应满足≤v0≤。
[答案] (1) (2)≤v0≤
7/7素养培优练(四) 圆周运动规律及其应用
一、选择题
1．一轻杆一端固定一质量为M的小球，另一端连在轴上，并可绕轴在竖直平面内运动，不计空气阻力，在最低点给小球一水平速度v0时，小球刚好能到达最高点，若小球在最低点的瞬时速度从v0不断增大，则可知( )
A．小球在最高点对杆的作用力不断增大
B．小球在最高点对杆的作用力先减小后增大
C．小球在最高点对杆的作用力不断减小
D．小球在最高点对杆的作用力先增大后减小
2．冰面对溜冰运动员的最大摩擦力为运动员重力的k倍，在水平冰面上沿半径为R的圆周滑行的运动员，若依靠摩擦力充当向心力，其安全速度为( )
A．v＝k B．v≤
C．v≤ D．v≤
3．(多选)有一种杂技表演叫“飞车走壁”，由杂技演员驾驶摩托车沿圆台形表演台的侧壁高速行驶，做匀速圆周运动。如图所示，图中虚线表示摩托车的行驶轨迹，轨迹离地面的高度为h，下列说法中正确的是( )
A．h越高，摩托车对侧壁的压力将越大
B．h越高，摩托车做圆周运动的线速度将越大
C．h越高，摩托车做圆周运动的周期将越大
D．h越高，摩托车做圆周运动的向心力将越大
4．如图所示，将完全相同的两小球A、B用长L＝0.8 m的细绳悬于以v＝4 m/s向左匀速运动的小车顶部，两球与小车前后壁接触。由于某种原因，小车突然停止，此时悬线中张力之比TA∶TB为(g取10 m/s2)( )
A．1∶1 B．1∶2 C．1∶3 D．1∶4
5．有一根长为0.4 m的杆一端束缚着一个质量为0.5 kg的小球，并绕杆的另一端以2 rad/s的角速度在竖直平面内做匀速圆周运动，则小球在最低点和最高点对杆的作用力分别为( )
A．5.8 N，方向竖直向上；4.2 N，方向竖直向下
B．5.8 N，方向竖直向上；4.2 N，方向竖直向上
C．5.8 N，方向竖直向下；4.2 N，方向竖直向下
D．5.8 N，方向竖直向下；4.2 N，方向竖直向上
6．(2022·眉山市彭山区第一中学高二开学考试)如图所示，A、B、C三个物体放在旋转平台上，最大静摩擦因数均为μ，已知A的质量为2m，B、C的质量均为m，A、B离轴距离均为R，C距离轴为2R，则当平台逐渐加速旋转时( )
A．ABC相对静止时，C物的向心加速度最小
B．ABC相对静止时，AB物的摩擦力一样大
C．当圆台转速增加时，C比A先滑动
D．当圆台转速增加时，B比A先滑动
7．(2022·四川成都七中高二开学考试)如图甲所示，一长为l的轻绳，一端穿在过O点的水平转轴上，另一端固定一质量未知的小球，整个装置绕O点在竖直面内转动。小球通过最高点时，绳对小球的拉力F与其速度平方v2的关系如图乙所示，重力加速度为g，下列判断正确的是( )
甲 乙
A．图像函数表达式为F＝m＋mg
B．重力加速度g＝b
C．绳长不变，用质量较小的球做实验，得到的图线斜率更大
D．绳长不变，用质量较小的球做实验，图线b点的位置不变
8．杂技演员表演“水流星”，在长为1.6 m的细绳的一端，系一个总质量为m＝0.5 kg的盛水容器，以绳的另一端为圆心，使其在竖直平面内做圆周运动，如图所示，若“水流星”通过最高点时的速率为4 m/s，则下列说法正确的是(g取10 m/s2)( )
A．“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出
B．“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的水的压力均为零
C．“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用
D．“水流星”通过最高点时，绳的拉力大小为5 N
9．(2022·天津耀华中学高一期中)两个质量分别为2m和m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a到转轴OO′的距离为L，b到转轴的距离为2L，a、b之间用长为L的强度足够大的轻绳相连，两木块与圆盘间的最大静摩擦力均为各自所受重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，开始时轻绳刚好伸直但无张力，用ω表示圆盘转动的角速度，在加速转动过程中，下列说法正确的是( )
A．a比b先达到最大静摩擦力
B．a、b所受的摩擦力始终相等
C．ω＝是b开始滑动的临界角速度
D．当ω＝时，a所受摩擦力的大小为
10．质量为M的物体中央有光滑圆形轨道，现有一质量为m的小滑块沿该圆形轨道的竖直面做圆周运动，A、C为圆形轨道的最高点和最低点，B、D与圆心O在同一水平线上。小滑块运动时，物体M保持静止，关于物体M对地面的压力FN和地面对物体的摩擦力，下列说法正确的是( )
A．滑块运动到A点时，FN>Mg，摩擦力方向向左
B．滑块运动到B点时，FNC．滑块运动到C点时，FN＝(M＋m)g，物体与地面间无摩擦力
D．滑块运动到D点时，FN＝Mg，摩擦力方向向左
二、计算题
11．(2022·云南昭通高一月考)如图所示，一长为l＝1.0 m的轻杆的一端固定在水平转轴上，另一端固定一质量为m＝1.0 kg的小球，轻杆随转轴在竖直平面内做角速度ω＝2 rad/s的匀速圆周运动，重力加速度g取10 m/s2。求：
(1)小球运动到最高点时，杆对球的作用力FN1；
(2)小球运动到水平位置A时，杆对球的作用力FN2的大小。
12．如图所示，两绳系着一个质量为m＝0.1 kg的小球C，上面绳长l＝2 m，两绳都拉直时与轴夹角分别为30°与45°。问球的角速度ω满足什么条件时，两绳始终张紧？(g取10 m/s2)
13．如图所示，一个半径为R＝1.5 m的金属圆环竖直固定放置，环上套有一个质量为m的小球，小球可在环上自由滑动，与环间的动摩擦因数为0.75。不计空气阻力，取重力加速度g＝10 m/s2。当小球逆时针滑动经过环的最高点时：(结果可用根号表示)
(1)若此刻环对小球的摩擦力为零，求此刻小球的速率；
(2)若此刻环对小球的摩擦力大小为0.3mg，求此刻环对小球的作用力大小；
(3)若此刻环对小球的摩擦力大小为0.3mg，求此刻小球的速率。
8/8素养培优练(四) 圆周运动规律及其应用
一、选择题
1．一轻杆一端固定一质量为M的小球，另一端连在轴上，并可绕轴在竖直平面内运动，不计空气阻力，在最低点给小球一水平速度v0时，小球刚好能到达最高点，若小球在最低点的瞬时速度从v0不断增大，则可知( )
A．小球在最高点对杆的作用力不断增大
B．小球在最高点对杆的作用力先减小后增大
C．小球在最高点对杆的作用力不断减小
D．小球在最高点对杆的作用力先增大后减小
B [杆既能给小球支持力，又能给小球拉力，也就是说，杆在最高点给小球的弹力既可能向上又可能向下，因此，小球在最高点的速度可以为零。当最高点小球速度为零时，杆对小球的作用力为支持力且等于mg。随着速度的增大，支持力逐渐减小，当v＝时，杆的作用力为零，当速度继续增大时，杆对小球的作用力为拉力且不断增大。故选B。]
2．冰面对溜冰运动员的最大摩擦力为运动员重力的k倍，在水平冰面上沿半径为R的圆周滑行的运动员，若依靠摩擦力充当向心力，其安全速度为( )
A．v＝k B．v≤
C．v≤ D．v≤
B [由题意可知，最大静摩擦力为重力的k倍，所以最大静摩擦力等于kmg，设运动员的最大的速度为v，则kmg＝m，解得v＝，所以B正确。故选B。]
3．(多选)有一种杂技表演叫“飞车走壁”，由杂技演员驾驶摩托车沿圆台形表演台的侧壁高速行驶，做匀速圆周运动。如图所示，图中虚线表示摩托车的行驶轨迹，轨迹离地面的高度为h，下列说法中正确的是( )
A．h越高，摩托车对侧壁的压力将越大
B．h越高，摩托车做圆周运动的线速度将越大
C．h越高，摩托车做圆周运动的周期将越大
D．h越高，摩托车做圆周运动的向心力将越大
BC [摩托车受力分析如图所示。由于N＝，所以摩托车受到侧壁的支持力与高度无关，保持不变，摩托车对侧壁的压力N′也不变，A错误；由F＝mgtan θ＝m＝mω2r知，h变化时，向心力F不变，但高度升高，r变大，所以线速度变大，角速度变小，周期变大，选项B、C正确，D错误。]
4．如图所示，将完全相同的两小球A、B用长L＝0.8 m的细绳悬于以v＝4 m/s向左匀速运动的小车顶部，两球与小车前后壁接触。由于某种原因，小车突然停止，此时悬线中张力之比TA∶TB为(g取10 m/s2)( )
A．1∶1 B．1∶2 C．1∶3 D．1∶4
C [小车突然停止，B球将做圆周运动，所以TB＝m＋mg＝30m；A球将静止，TA＝mg＝10m，故此时悬线中张力之比为TA∶TB＝1∶3，C正确。]
5．有一根长为0.4 m的杆一端束缚着一个质量为0.5 kg的小球，并绕杆的另一端以2 rad/s的角速度在竖直平面内做匀速圆周运动，则小球在最低点和最高点对杆的作用力分别为( )
A．5.8 N，方向竖直向上；4.2 N，方向竖直向下
B．5.8 N，方向竖直向上；4.2 N，方向竖直向上
C．5.8 N，方向竖直向下；4.2 N，方向竖直向下
D．5.8 N，方向竖直向下；4.2 N，方向竖直向上
C [小球在最低点有N1－mg＝mω2r，解得N1＝5.8 N，方向竖直向上，根据牛顿第三定律，小球对杆的作用力方向竖直向下。小球在最高点有mg－N2＝mω2r，解得N2＝4.2 N，方向竖直向上，根据牛顿第三定律，小球对杆的作用力方向竖直向下，C正确，A、B、D错误。]
6．(2022·眉山市彭山区第一中学高二开学考试)如图所示，A、B、C三个物体放在旋转平台上，最大静摩擦因数均为μ，已知A的质量为2m，B、C的质量均为m，A、B离轴距离均为R，C距离轴为2R，则当平台逐渐加速旋转时( )
A．ABC相对静止时，C物的向心加速度最小
B．ABC相对静止时，AB物的摩擦力一样大
C．当圆台转速增加时，C比A先滑动
D．当圆台转速增加时，B比A先滑动
C [ABC相对静止时，此时随圆盘一起转动，角速度相同，根据向心加速度的公式a＝ω2r，C距离轴的距离最远，所以C物的向心加速度最大，故A错误；ABC相对静止时，此时静摩擦力提供向心力，此时随圆盘一起转动，角速度相同，根据向心力的公式可知F向＝mω2r，此时B物的向心力最小，所以摩擦力最小，故B错误；当物块恰好发生相对滑动时，此时最大静摩擦力提供向心力μmg＝mω2r，解得ω＝，此时的临界角速度与质量无关，与半径有关，所以C比A先滑动，故C正确；发生相对滑动的临界角速度与质量无关，与半径有关，B和A一起滑动，故D错误。故选C。]
7．(2022·四川成都七中高二开学考试)如图甲所示，一长为l的轻绳，一端穿在过O点的水平转轴上，另一端固定一质量未知的小球，整个装置绕O点在竖直面内转动。小球通过最高点时，绳对小球的拉力F与其速度平方v2的关系如图乙所示，重力加速度为g，下列判断正确的是( )
甲 乙
A．图像函数表达式为F＝m＋mg
B．重力加速度g＝b
C．绳长不变，用质量较小的球做实验，得到的图线斜率更大
D．绳长不变，用质量较小的球做实验，图线b点的位置不变
D [小球在最高点，根据牛顿第二定律有F＋mg＝m，解得F＝m－mg，故A错误；当F＝0时，根据表达式有mg＝m，解得g＝＝，故B错误；根据F＝m－mg，知，图线的斜率k＝，绳长不变，用质量较小的球做实验，斜率更小，故C错误；当F＝0时，g＝，可知b点的位置与小球的质量无关，绳长不变，用质量较小的球做实验，图线b点的位置不变，故D正确。故选D。]
8．杂技演员表演“水流星”，在长为1.6 m的细绳的一端，系一个总质量为m＝0.5 kg的盛水容器，以绳的另一端为圆心，使其在竖直平面内做圆周运动，如图所示，若“水流星”通过最高点时的速率为4 m/s，则下列说法正确的是(g取10 m/s2)( )
A．“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出
B．“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的水的压力均为零
C．“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用
D．“水流星”通过最高点时，绳的拉力大小为5 N
B [“水流星”刚好通过最高点的临界速度v＝＝4 m/s，由此可知，绳的拉力恰好为零，容器底部对水的压力也为零，且水恰不流出容器，处于完全失重状态，只受重力作用。故选B。]
9．(2022·天津耀华中学高一期中)两个质量分别为2m和m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a到转轴OO′的距离为L，b到转轴的距离为2L，a、b之间用长为L的强度足够大的轻绳相连，两木块与圆盘间的最大静摩擦力均为各自所受重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，开始时轻绳刚好伸直但无张力，用ω表示圆盘转动的角速度，在加速转动过程中，下列说法正确的是( )
A．a比b先达到最大静摩擦力
B．a、b所受的摩擦力始终相等
C．ω＝是b开始滑动的临界角速度
D．当ω＝时，a所受摩擦力的大小为
D [木块随圆盘一起转动，静摩擦力提供向心力，由牛顿第二定律可知，a、b木块受到的静摩擦力大小为Ffa＝2mω2L，Ffb＝mω2·2L，即a、b转动所需向心力大小相等，且a、b的最大静摩擦力Ffma＝k·2mg，Ffmb＝kmg，所以当圆盘从静止开始绕转轴缓慢加速转动时，b的最大静摩擦力先达到最大值，A错误；在木块b的摩擦力没有达到最大值前，静摩擦力提供向心力，由牛顿第二定律可知Ff＝mω2r，a和b质量分别是2m和m，a与转轴距离为L，b与转轴距离为2L，所以a和b受到的摩擦力是相等的，当b受到的静摩擦力达到最大值后，b受到的摩擦力与绳的拉力的合力提供向心力，即kmg＋F＝mω2·2L，而a受力为F′f－F＝2mω2L，联立以上两式解得F′f＝4mω2L－kmg，综合得出，a、b受到的摩擦力不是一直相等，B错误；当b刚要滑动时，有2kmg＋kmg＝2mω2L＋mω2·2L，解得ω＝，C错误；当ω＝时，a所受摩擦力的大小为F′f＝4mω2L－kmg＝，D正确。故选D。]
10．质量为M的物体中央有光滑圆形轨道，现有一质量为m的小滑块沿该圆形轨道的竖直面做圆周运动，A、C为圆形轨道的最高点和最低点，B、D与圆心O在同一水平线上。小滑块运动时，物体M保持静止，关于物体M对地面的压力FN和地面对物体的摩擦力，下列说法正确的是( )
A．滑块运动到A点时，FN>Mg，摩擦力方向向左
B．滑块运动到B点时，FNC．滑块运动到C点时，FN＝(M＋m)g，物体与地面间无摩擦力
D．滑块运动到D点时，FN＝Mg，摩擦力方向向左
D [滑块在A、C点时，滑块对物体的作用力在竖直方向上，系统在水平方向不受力的作用，所以物体与地面间没有摩擦力的作用，A错误；滑块在B点时，需要的向心力向右，所以物体对滑块有向右的支持力的作用，对物体进行受力分析可知，地面对物体有向右的摩擦力的作用。在竖直方向上，由于没有加速度，物体受力平衡，所以物体对地面的压力FN＝Mg，B错误；滑块在C点时，滑块需要的向心力向上，所以滑块对物体的压力大于滑块的重力，则物体对地面的压力大于(M＋m)g，C错误；滑块在D点和B点的受力情况类似，由B项分析可知，FN＝Mg，物体受到地面的摩擦力方向向左，D正确。]
二、计算题
11．(2022·云南昭通高一月考)如图所示，一长为l＝1.0 m的轻杆的一端固定在水平转轴上，另一端固定一质量为m＝1.0 kg的小球，轻杆随转轴在竖直平面内做角速度ω＝2 rad/s的匀速圆周运动，重力加速度g取10 m/s2。求：
(1)小球运动到最高点时，杆对球的作用力FN1；
(2)小球运动到水平位置A时，杆对球的作用力FN2的大小。
[解析](1)小球在最高点时，设FN1竖直向下，则mg＋FN1＝mω2l，解得FN1＝10 N，FN1方向竖直向下。
(2)小球运动到水平位置A时，设杆对球的作用力为FN2，如图所示，
由牛顿第二定律可得FN2＝，
F向＝mω2l，解得FN2＝10N。
[答案] (1)10 N，竖直向下 (2)10 N
12．如图所示，两绳系着一个质量为m＝0.1 kg的小球C，上面绳长l＝2 m，两绳都拉直时与轴夹角分别为30°与45°。问球的角速度ω满足什么条件时，两绳始终张紧？(g取10 m/s2)
[解析] 对小球受力分析，如图所示。
当BC绳恰好拉直，但没有拉力存在时，
有T1cos 30°＝mg
T1sin 30°＝mlsin 30°·ω
解得ω1≈2.4 rad/s；
当AC绳恰好拉直，但没有拉力存在时，
有T2cos 45°＝mg
T2sin 45°＝mlsin 30°·ω
解得ω2≈3.16 rad/s
所以要使两绳始终张紧，ω必须满足的条件是
2.4 rad/s≤ω≤3.16 rad/s。
[答案] 2.4 rad/s≤ω≤3.16 rad/s
13．如图所示，一个半径为R＝1.5 m的金属圆环竖直固定放置，环上套有一个质量为m的小球，小球可在环上自由滑动，与环间的动摩擦因数为0.75。不计空气阻力，取重力加速度g＝10 m/s2。当小球逆时针滑动经过环的最高点时：(结果可用根号表示)
(1)若此刻环对小球的摩擦力为零，求此刻小球的速率；
(2)若此刻环对小球的摩擦力大小为0.3mg，求此刻环对小球的作用力大小；
(3)若此刻环对小球的摩擦力大小为0.3mg，求此刻小球的速率。
[解析](1)环对小球的摩擦力f＝0时，环对小球的弹力N＝0，则有mg＝m
解得小球速率v＝ m/s。
(2)滑动摩擦力f＝μN，将f＝0.3 mg、μ＝0.75代入得环对小球的弹力大小N＝＝＝0.4 mg
弹力方向与摩擦力方向垂直，由力的合成可知环对小球的作用力大小F＝＝0.5 mg。
(3)由(2)可知，环对小球的弹力大小N＝0.4mg
当环对小球的弹力方向向上时，有mg－N＝
解得小球的速率v1＝3 m/s
当环对小球的弹力方向向下时，有mg＋N＝
解得小球的速率v2＝ m/s。
[答案] (1) m/s (2)0.5mg (3)3 m/s或 m/s
8/8素养培优练(五) 万有引力定律及航天
一、选择题
1．同步卫星是指相对于地面不动的人造地球卫星，它( )
A．可以在地面上任一点的正上方，且离地心的距离可按需要选择不同值
B．可以在地面上任一点的正上方，但离地心的距离是一定的
C．只能在赤道的正上方，但离地心的距离可按需要选择不同值
D．只能在赤道的正上方，且离地心的距离是一定的
2．在地球的卫星中有两类卫星的轨道比较特殊，一是极地卫星，二是同步卫星。已知某极地卫星的运行周期为12 h，则下列关于极地卫星和同步卫星的描述正确的是( )
A．该极地卫星的运行速度一定小于同步卫星的运行速度
B．该极地卫星的向心加速度一定大于同步卫星的向心加速度
C．该极地卫星的发射速度一定大于同步卫星的发射速度
D．该极地卫星和同步卫星均与地面相对静止
3．三颗人造地球卫星A、B、C在同一平面内沿不同的轨道绕地球做匀速圆周运动，且绕行方向相同，已知RAA B C D
4．(多选)如图所示，在发射地球同步卫星的过程中，卫星首先进入椭圆轨道Ⅰ，然后在Q点通过改变卫星速度，让卫星进入地球同步轨道Ⅱ，则( )
A．该卫星的发射速度必定大于11.2 km/s
B．卫星在同步轨道Ⅱ上的运行速度大于7.9 km/s
C．在椭圆轨道上，卫星在P点的速度大于在Q点的速度
D．卫星在Q点通过加速实现由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ
5．图是“嫦娥三号”奔月示意图，卫星发射后通过自带的小型火箭多次变轨，进入地月转移轨道，最终被月球引力捕获，成为绕月卫星，并开展对月球的探测，下列说法正确的是( )
A．发射“嫦娥三号”的速度必须达到第三宇宙速度
B．在绕月圆轨道上，卫星周期与卫星质量有关
C．卫星受月球的引力与它到月球中心距离的平方成反比
D．在绕月圆轨道上，卫星受地球的引力大于受月球的引力
6．(2022·河北高一期末)如图所示，“天问一号”绕火星沿椭圆轨道运动，A、B是“天问一号”运动的远火点和近火点。下列说法中正确的是( )
A．“天问一号”在A点的角速度大于在B点的角速度
B．“天问一号”在A点的加速度小于在B点的加速度
C．“天问一号”由A运动到B的过程中动能减小，引力势能增加
D．“天问一号”由A运动到B的过程中引力做正功，机械能增大
7．2021年6月17日，“神舟十二号”载人飞船顺利将聂海胜、刘伯明、汤洪波3名航天员送入太空，随后与“天和”核心舱进行对接，标志着中国人首次进入自己的空间站。假设“天和”核心舱与“神州十二号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与核心舱的对接，下列措施可行的是( )
A．使飞船与核心舱在同一轨道上运行，然后飞船加速追上核心舱实现对接
B．使飞船与核心舱在同一轨道上运行，然后核心舱减速等待飞船实现对接
C．飞船先在比核心舱半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近核心舱，两者速度接近时实现对接
D．飞船先在比核心舱半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近核心舱，两者速度接近时实现对接
8．(2022·湖北恩施土家族苗族高中高三开学考试)北京时间2020年12月17日1时59分，探月工程“嫦娥五号”返回器在内蒙古四子王旗预定区域成功着陆，标志着我国首次地外天体采样返回任务圆满完成。如图所示是“嫦娥五号”卫星绕月球运行的三条轨道，轨道1是近月圆轨道，轨道2和3是变轨后的椭圆轨道。轨道1上的A点也是轨道2、3的近月点，B点是轨道2的远月点，C点是轨道3的远月点。则下列说法中不正确的是( )
A．卫星在轨道2的周期大于在轨道3的周期
B．卫星在轨道2经过B点时的速率小于在轨道1经过A点时的速率
C．卫星在轨道2经过A点时的加速度等于在轨道3经过A点时的加速度
D．卫星在轨道2上B点所具有的机械能小于在轨道3上A点所具有的机械能
9．(多选)发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆形轨道1，然后经点火加速使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火加速将卫星送入同步轨道3。轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，如图所示。则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是( )
A．卫星在轨道3上的运行速率大于在轨道1上的运行速率
B．卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度
C．卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在椭圆轨道2上经过Q点时的加速度
D．卫星在椭圆轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度
10．如图所示，人造地球卫星M、N在同一平面内沿同方向绕地心O做匀速圆周运动，M、N连线与M、O连线间的夹角用θ表示。已知θ从0°变到最大值30°经历的最短时间为t，引力常量为G，由已知的数据分析以下说法中正确的是( )
A．可以求出地球的质量
B．M、N的线速度之比为1∶2
C．M、N的周期之比为3∶1
D．卫星N的角速度为
二、非选择题
11．已知月球绕地球做匀速圆周运动的周期为T、轨道半径为r，地球表面的重力加速度大小为g，试求出地球的密度(引力常量G为已知量)。
12．如图所示是发射地球同步卫星的简化轨道示意图，先将卫星发射至距地面高度为h1的近地轨道Ⅰ上。在卫星经过A点时点火实施变轨，进入远地点为B的椭圆轨道Ⅱ上，最后在B点再次点火，将卫星送入同步轨道Ⅲ。已知地球表面重力加速度为g，地球自转周期为T，地球的半径为R，求：
(1)近地轨道Ⅰ上的线速度大小；
(2)远地点B距地面的高度。
13．某颗地球同步卫星正下方的地球表面上有一观察者，他用天文望远镜观察被太阳光照射的此卫星。试问，春分那天(太阳光直射赤道)在日落后12小时内有多长时间该观察者看不见此卫星？(已知地球半径为R，地球表面处的重力加速度为g，地球自转周期为T，不考虑大气对光的折射)
8/8素养培优练(五) 万有引力定律及航天
一、选择题
1．同步卫星是指相对于地面不动的人造地球卫星，它( )
A．可以在地面上任一点的正上方，且离地心的距离可按需要选择不同值
B．可以在地面上任一点的正上方，但离地心的距离是一定的
C．只能在赤道的正上方，但离地心的距离可按需要选择不同值
D．只能在赤道的正上方，且离地心的距离是一定的
D [同步卫星的轨道在赤道正上方，且线速度、角速度、向心加速度、周期和离地高度都是一定的。故选D。]
2．在地球的卫星中有两类卫星的轨道比较特殊，一是极地卫星，二是同步卫星。已知某极地卫星的运行周期为12 h，则下列关于极地卫星和同步卫星的描述正确的是( )
A．该极地卫星的运行速度一定小于同步卫星的运行速度
B．该极地卫星的向心加速度一定大于同步卫星的向心加速度
C．该极地卫星的发射速度一定大于同步卫星的发射速度
D．该极地卫星和同步卫星均与地面相对静止
B [由G＝m＝ma＝mr得v＝，T＝，a＝，同步卫星的周期为24 h，则同步卫星的周期大于极地卫星的周期，由周期与轨道半径的关系知，同步卫星的轨道半径较大，则同步卫星的线速度较小，加速度较小，故A错误，B正确；同步卫星的高度高，所以同步卫星的发射速度大，C错误；极地卫星不是地球同步卫星，所以相对于地面不静止，D错误。]
3．三颗人造地球卫星A、B、C在同一平面内沿不同的轨道绕地球做匀速圆周运动，且绕行方向相同，已知RAA B C D
C [由G＝mω2r得ω＝，可知：ωA＞ωB＞ωC，在相同的时间内转过的角度θA＞θB＞θC，故C项正确。]
4．(多选)如图所示，在发射地球同步卫星的过程中，卫星首先进入椭圆轨道Ⅰ，然后在Q点通过改变卫星速度，让卫星进入地球同步轨道Ⅱ，则( )
A．该卫星的发射速度必定大于11.2 km/s
B．卫星在同步轨道Ⅱ上的运行速度大于7.9 km/s
C．在椭圆轨道上，卫星在P点的速度大于在Q点的速度
D．卫星在Q点通过加速实现由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ
CD [11.2 km/s是卫星脱离地球引力束缚的最小发射速度，而同步卫星仍然绕地球运动，选项A错误；7.9 km/s(第一宇宙速度)是近地卫星的环绕速度，也是卫星最大的环绕速度，同步卫星运动的线速度一定小于第一宇宙速度，选项B错误；椭圆轨道Ⅰ上，P是近地点，故卫星在P点的速度大于在Q点的速度；卫星在轨道Ⅰ上的Q点做近心运动，只有加速后才能沿轨道Ⅱ运动，选项C、D正确。]
5．图是“嫦娥三号”奔月示意图，卫星发射后通过自带的小型火箭多次变轨，进入地月转移轨道，最终被月球引力捕获，成为绕月卫星，并开展对月球的探测，下列说法正确的是( )
A．发射“嫦娥三号”的速度必须达到第三宇宙速度
B．在绕月圆轨道上，卫星周期与卫星质量有关
C．卫星受月球的引力与它到月球中心距离的平方成反比
D．在绕月圆轨道上，卫星受地球的引力大于受月球的引力
C [“嫦娥三号”只是摆脱地球吸引，但并未飞离太阳系，则其发射速度应大于第二宇宙速度而小于第三宇宙速度，A错误；根据G＝m卫R可得T＝，可知绕月周期与卫星质量无关，B错误；根据万有引力定律可知C正确；卫星在绕月圆轨道上受月球的引力远大于受地球的引力，D错误。]
6．(2022·河北高一期末)如图所示，“天问一号”绕火星沿椭圆轨道运动，A、B是“天问一号”运动的远火点和近火点。下列说法中正确的是( )
A．“天问一号”在A点的角速度大于在B点的角速度
B．“天问一号”在A点的加速度小于在B点的加速度
C．“天问一号”由A运动到B的过程中动能减小，引力势能增加
D．“天问一号”由A运动到B的过程中引力做正功，机械能增大
B [由开普勒第二定律可知， “天问一号”与火星的连线在相同Δt时间内扫过的面积相等，由扇形面积公式S＝可知，在远火点A附近在Δt时间内转过的弧度α较小，故在A点的角速度较小，A错误；由牛顿第二定律可得G＝ma，可得a＝G，A点到火星球心距离r较大，故加速度较小，B正确；“天问一号”由A运动到B的过程中引力做正功，动能增大，引力势能减小，机械能保持不变，C、D错误。故选B。]
7．2021年6月17日，“神舟十二号”载人飞船顺利将聂海胜、刘伯明、汤洪波3名航天员送入太空，随后与“天和”核心舱进行对接，标志着中国人首次进入自己的空间站。假设“天和”核心舱与“神州十二号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与核心舱的对接，下列措施可行的是( )
A．使飞船与核心舱在同一轨道上运行，然后飞船加速追上核心舱实现对接
B．使飞船与核心舱在同一轨道上运行，然后核心舱减速等待飞船实现对接
C．飞船先在比核心舱半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近核心舱，两者速度接近时实现对接
D．飞船先在比核心舱半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近核心舱，两者速度接近时实现对接
C [在同一轨道上运行加速做离心运动，减速做向心运动均不可实现对接，则A、B错误；飞船先在比核心舱半径小的轨道上加速，则其做离心运动可使飞船逐渐靠近核心舱，两者速度接近时实现对接，则C正确；飞船先在比核心舱半径小的轨道上减速，则其做向心运动，不可能与核心舱相接触，则D错误。故选C。]
8．(2022·湖北恩施土家族苗族高中高三开学考试)北京时间2020年12月17日1时59分，探月工程“嫦娥五号”返回器在内蒙古四子王旗预定区域成功着陆，标志着我国首次地外天体采样返回任务圆满完成。如图所示是“嫦娥五号”卫星绕月球运行的三条轨道，轨道1是近月圆轨道，轨道2和3是变轨后的椭圆轨道。轨道1上的A点也是轨道2、3的近月点，B点是轨道2的远月点，C点是轨道3的远月点。则下列说法中不正确的是( )
A．卫星在轨道2的周期大于在轨道3的周期
B．卫星在轨道2经过B点时的速率小于在轨道1经过A点时的速率
C．卫星在轨道2经过A点时的加速度等于在轨道3经过A点时的加速度
D．卫星在轨道2上B点所具有的机械能小于在轨道3上A点所具有的机械能
A [根据开普勒第三定律＝k，轨道2的半长轴小于轨道3的半长轴，故卫星在轨道2的周期小于在轨道3的周期，故A错误；B点速度小于同高度处圆周运动的速度，根据“越高越慢”可以判断得出，故B正确；在A点根据牛顿第二定律有G＝ma，得a＝G，故卫星在同一点的加速度相等，故C正确；由于“嫦娥五号”要由轨道2变轨到轨道3，必须在A点加速，机械能增加，所以“嫦娥五号”在3轨道所具有的机械能大于在2轨道所具有的机械能，故D正确。本题选不正确的。故选A。]
9．(多选)发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆形轨道1，然后经点火加速使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火加速将卫星送入同步轨道3。轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，如图所示。则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是( )
A．卫星在轨道3上的运行速率大于在轨道1上的运行速率
B．卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度
C．卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在椭圆轨道2上经过Q点时的加速度
D．卫星在椭圆轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度
BD [由G＝m，得v＝，因轨道1的半径小于轨道3的半径，故此卫星在轨道1上的速度大于在轨道3上的速度，故A错误；由＝mω2r，得ω＝，因轨道1的半径小于轨道3的半径，故此卫星在轨道1上的角速度大于在轨道3上的角速度，故B正确；Q点是圆轨道1与椭圆轨道2的切点，Q点既在圆轨道1上又在椭圆轨道2上，Q点到地心的距离r一定，由牛顿第二定律有＝ma，所以a＝，可知卫星在圆轨道1上的Q点和在椭圆轨道2上的Q点时的加速度均为a＝，故C错误；同理，卫星在圆轨道3上的P点与椭圆轨道2上的P点的加速度相等，故D正确。]
10．如图所示，人造地球卫星M、N在同一平面内沿同方向绕地心O做匀速圆周运动，M、N连线与M、O连线间的夹角用θ表示。已知θ从0°变到最大值30°经历的最短时间为t，引力常量为G，由已知的数据分析以下说法中正确的是( )
A．可以求出地球的质量
B．M、N的线速度之比为1∶2
C．M、N的周期之比为3∶1
D．卫星N的角速度为
D [设卫星M、N的轨道半径分别为rM和rN。当M、N连线与N的圆轨道相切时θ最大，由几何关系得rM∶rN＝2∶1，由卫星的线速度公式v＝得M、N的线速度之比为vM∶vN＝1∶，由T＝2π得M、N的周期之比为TM∶TN＝2∶1，根据ω＝得ωN∶ωM＝2∶1，θ从0°变到最大值30°时，N与M转过的角度之差等于60°＝，则有＝(ωN－ωM)t，联立解得ωN＝。由于卫星的轨道半径未知，所以不能求出地球的质量。故A、B、C错误，D正确。]
二、非选择题
11．已知月球绕地球做匀速圆周运动的周期为T、轨道半径为r，地球表面的重力加速度大小为g，试求出地球的密度(引力常量G为已知量)。
[解析] 由月球绕地球做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供，可分析得：G＝mr，解得地球质量M＝
由地球表面重力加速度g＝G，解得R＝
又地球密度为ρ＝，V＝πR3
从而由各式联立解得：ρ＝。
[答案]
12．如图所示是发射地球同步卫星的简化轨道示意图，先将卫星发射至距地面高度为h1的近地轨道Ⅰ上。在卫星经过A点时点火实施变轨，进入远地点为B的椭圆轨道Ⅱ上，最后在B点再次点火，将卫星送入同步轨道Ⅲ。已知地球表面重力加速度为g，地球自转周期为T，地球的半径为R，求：
(1)近地轨道Ⅰ上的线速度大小；
(2)远地点B距地面的高度。
[解析](1)设地球的质量为M，卫星的质量为m，地球表面某物体的质量为m′，卫星在近地轨道Ⅰ上的速度为v1，在近地轨道Ⅰ上： ＝m
①
在地球表面：G＝m′g ②
由①②得：v1＝。
(2)设B点距地面高度是h2。
在同步轨道Ⅲ上：G＝m(R＋h2) ③
由②③得h2＝－R。
[答案] (1) (2)－R
13．某颗地球同步卫星正下方的地球表面上有一观察者，他用天文望远镜观察被太阳光照射的此卫星。试问，春分那天(太阳光直射赤道)在日落后12小时内有多长时间该观察者看不见此卫星？(已知地球半径为R，地球表面处的重力加速度为g，地球自转周期为T，不考虑大气对光的折射)
[解析] 设所求时间为t，m、M分别为卫星、地球的质量，r为卫星到地心的距离，有G＝mr，春分时，太阳光直射地球赤道，如图所示，图中S表示卫星，A表示观察者，O表示地心。由图可看出，当卫星由S位置转到S′位置的过程中，卫星恰好处于地球的阴影区，卫星无法反射太阳光，观察者将看不见此卫星。由图可知rsin θ＝R，又t＝T，
对地面上质量为m′的物体有G＝m′g，
联立以上各式可得t＝arcsin。
[答案] arcsin
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