章末综合测评(一) 功和机械能
1．歼 15在辽宁舰甲板上降落，勾住阻拦索减速的过程中，阻拦索对歼 15做功和歼 15动能变化的情况是( )
A．做正功，动能增加
B．做负功，动能增加
C．做正功，动能减少
D．做负功，动能减少
2．一端固定的轻质弹簧处于原长，现用互相垂直的两个力F1、F2拉弹簧的另一端至O点，如图所示，在此过程F1、F2分别做了3 J、4 J的功；换用另一个力F仍使弹簧重复上述过程，则该过程中F所做的功是( )
A．1 J B 5 J C．7 J D．9 J
3．如图所示是蹦床运动员在空中表演的情景。在运动员从最低点开始反弹至即将与蹦床分离的过程中，蹦床的弹性势能和运动员的重力势能变化情况分别是( )
A．弹性势能减小，重力势能增加
B．弹性势能减小，重力势能减小
C．弹性势能增加，重力势能增加
D．弹性势能增加，重力势能减小
4．(2021·河北卷)一半径为R的圆柱体水平固定，横截面如图所示。长度为πR、不可伸长的轻细绳，一端固定在圆柱体最高点P处，另一端系一个小球。小球位于P点右侧同一水平高度的Q点时，绳刚好拉直。将小球从Q点由静止释放，当与圆柱体未接触部分的细绳竖直时，小球的速度大小为(重力加速度为g，不计空气阻力)( )
A． B． C． D．2
5．如图所示，把两个相同的小球从离地面相同高度处，以相同大小的初速度v分别沿竖直向上和竖直向下方向抛出，不计空气阻力。则下列说法中不正确的是( )
A．两小球落地时速度相同
B．两小球落地时，重力的瞬时功率相同
C．从小球抛出到落地，重力对两小球做的功相等
D．从小球抛出到落地，重力对两小球做功的平均功率相等
6．中国2021－2022赛季CBA联赛于2021年10月16日举行。若某次投篮直接入网(如图所示)，已知篮球出手时距地面高度为h1，出手过程中对篮球做功为W，出手过程中高度差忽略不计，篮筐距地面高度为h2，篮球的质量为m，不计空气阻力，篮球可看作质点，则篮球( )
A．出手时的速率为2
B．进筐时的动能为W＋mgh1－mgh2
C．从静止到进筐的过程中，机械能的增量为W＋mgh2－mgh1
D．从出手到进筐的过程中，运动总时间为
7．如图所示，质量为m的物体放于水平面上，物体上竖直固定一原长为L、劲度系数为k的轻质弹簧。现用手拉住处于原长状态的弹簧上端P缓慢向上提，使物体离开地面上升一段距离。在这一过程中，若P端上移的距离为H，则物体重力势能的增加量为( )
A．mgH B．mgH－ C．mgH＋ D．mgH－
8．(2021·湖南卷)“复兴号”动车组用多节车厢提供动力，从而达到提速的目的。总质量为m的动车组在平直的轨道上行驶。该动车组有四节动力车厢，每节车厢发动机的额定功率均为P，若动车组所受的阻力与其速率成正比(F阻＝kv，k为常量)，动车组能达到的最大速度为vm。下列说法正确的是( )
A．动车组在匀加速启动过程中，牵引力恒定不变
B．若四节动力车厢输出功率均为额定值，则动车组从静止开始做匀加速运动
C．若四节动力车厢输出的总功率为2.25P，则动车组匀速行驶的速度为vm
D．若四节动力车厢输出功率均为额定值，动车组从静止启动，经过时间t达到最大速度vm，则这一过程中该动车组克服阻力做的功为 mv－Pt
9．用自由落体法验证机械能守恒定律的实验中：(g取9.8 m/s2)
(1)运用公式mv2＝mgh，对实验条件的要求是____________________，为达到此目的，所选择的纸带第1、第2两点间的距离应接近________。
(2)若实验中所用重锤的质量m＝1 kg，打点纸带如图所示，打点计时器时间间隔为0.02 s，则记录B点时，重锤的速度vB＝________，重锤的动能Ek＝________，从开始下落起至B点，重锤的重力势能减少量是________，由此可得出的结论是_________________________________________________。
(3)根据纸带算出相关各点的速度v，下落距离h，则以为纵轴，以h为横轴画出的图像应是( )
A B C D
10．我国自行研制、具有完全自主知识产权的新一代大型喷气式客机C919首飞成功后，拉开了全面试验试飞的新征程。假设飞机在水平跑道上的滑跑是初速度为零的匀加速直线运动，当位移x＝1.6×103 m时才能达到起飞所要求的速度v＝80 m/s。已知飞机质量m＝7.0×104 kg，滑跑时受到的阻力为自身重力的0.1倍，重力加速度g取10 m/s2。求飞机滑跑过程中：
(1)加速度a的大小；
(2)牵引力的平均功率P。
11．(多选)关于重力势能，下列说法中正确的是( )
A．重力势能为零的物体，有可能对别的物体做功
B．物体做匀速直线运动时，其重力势能一定不变
C．重力对物体做正功，物体的重力势能一定增加
D．重力对物体做正功，物体的重力势能一定减少
12．(多选)(2022·黑龙江大庆市大庆中学)如图所示，重10 N的滑块轻放在倾角为30°的斜面上，从a点由静止开始下滑，到b点接触到一个轻质弹簧，滑块压缩弹簧到c点开始弹回，返回至b点时离开弹簧，最后又回到a点。已知ab＝1 m，bc＝0.2 m，则以下结论正确的是( )
A．整个过程中弹簧弹性势能的最大值为6 J
B．整个过程中滑块动能的最大值为6 J
C．物体在b点动能为5 J
D．整个过程中滑块与地球组成的系统机械能守恒
13．(多选)质量为m＝2 kg的物体沿水平面向右做直线运动，t＝0时刻受到一个水平向左的恒力F，如图甲所示，此后物体的v t图像如图乙所示，取水平向右为正方向，g取10 m/s2，则( )
甲 乙
A．物体与水平面间的动摩擦因数为μ＝0.5
B．10 s末恒力F的瞬时功率为6 W
C．10 s末物体在计时起点左侧2 m处
D．10 s内物体克服摩擦力做功34 J
14．(2020·全国卷Ⅰ)(多选)一物块在高3.0 m、长5.0 m的斜面顶端从静止开始沿斜面下滑，其重力势能和动能随下滑距离s的变化如图中直线Ⅰ、Ⅱ所示，重力加速度取10 m/s2。则( )
A．物块下滑过程中机械能不守恒
B．物块与斜面间的动摩擦因数为0.5
C．物块下滑时加速度的大小为6.0 m/s2
D．当物块下滑2.0 m时机械能损失了12 J
15．某同学为探究“恒力做功与物体动能改变的关系”，设计了如下实验，他的操作步骤是：
①安装好实验装置如图所示。
②将质量为200 g的小车拉到打点计时器附近，并按住小车。
③在质量为10 g、30 g、50 g的三种钩码中，他挑选了一个质量为50 g的钩码挂在拉线P上。
④释放小车，打开打点计时器的电源，打出一条纸带。
(1)在多次重复实验得到的纸带中取出较为满意的一条，经测量、计算，得到如下数据：
①第一个点到第N个点的距离为40.0 cm。②打下第N点时小车的速度大小为1.00 m/s。
该同学将钩码的重力当作小车所受的拉力，算出拉力对小车做的功为________J，小车动能的增量为________J。(取g＝9.8 m/s2)
(2)此次实验探究结果，他没能得到“恒力对物体做的功，等于物体动能的增量”，且误差很大，显然，在实验探究过程中忽视了各种产生误差的因素。请你根据该同学的实验操作过程帮助分析一下，造成较大误差的主要原因是(至少说出两种可能)：___________________________________________________。
(2)①小车质量没有远大于钩码质量；②没有平衡摩擦力；③错误操作，实验时先放开小车，后接通电源
16．(2022·山东烟台)如图所示，轻质动滑轮下方悬挂重物A、轻质定滑轮下方悬挂重物B，悬挂滑轮的轻质细线竖直。开始时，重物A、B处于静止状态，释放后A、B开始运动。已知重物A的质量为3m，重物B的质量为m，不计一切摩擦及空气阻力，重力加速度为g，当B的位移为h时，求重物A的速度。
17．(2021·全国乙卷)一篮球质量为m＝0.60 kg，一运动员使其从距地面高度为h1＝1.8 m处由静止自由落下，反弹高度为h2＝1.2 m。若使篮球从距地面h3＝1.5 m的高度由静止下落，并在开始下落的同时向下拍球，球落地后反弹的高度也为1.5 m。假设运动员拍球时对球的作用力为恒力，作用时间为t＝0.20 s；该篮球每次与地面碰撞前后的动能的比值不变。重力加速度大小g＝10 m/s2，不计空气阻力。求
(1)运动员拍球过程中对篮球所做的功；
(2)运动员拍球时对篮球的作用力的大小。
18．(2020·全国Ⅲ卷节选)如图所示，相距L＝11.5 m的两平台位于同一水平面内，二者之间用传送带相接。传送带向右匀速运动，其速度的大小v可以由驱动系统根据需要设定。质量m＝10 kg的载物箱(可视为质点)，以初速度v0＝5.0 m/s自左侧平台滑上传送带。载物箱与传送带间的动摩擦因数μ＝0.10，重力加速度取g＝10 m/s2。
(1)若v＝4.0 m/s，求载物箱通过传送带所需的时间；
(2)求载物箱到达右侧平台时所能达到的最大速度和最小速度。
12/12章末综合测评(一) 功和机械能
1．歼 15在辽宁舰甲板上降落，勾住阻拦索减速的过程中，阻拦索对歼 15做功和歼 15动能变化的情况是( )
A．做正功，动能增加
B．做负功，动能增加
C．做正功，动能减少
D．做负功，动能减少
D [歼 15做减速运动，速率减小，则动能减少。由动能定理知：阻拦索对歼 15做功等于歼 15动能的变化，则阻拦索对歼 15做负功。故A、B、C错误，D正确。]
2．一端固定的轻质弹簧处于原长，现用互相垂直的两个力F1、F2拉弹簧的另一端至O点，如图所示，在此过程F1、F2分别做了3 J、4 J的功；换用另一个力F仍使弹簧重复上述过程，则该过程中F所做的功是( )
A．1 J B 5 J C．7 J D．9 J
C [功是标量，用互相垂直的两个力F1、F2拉弹簧的另一端至O点，此过程F1、F2分别做了3 J、4 J的功；换用另一个力F仍使弹簧重复上述过程，则WF＝WF1＋WF2＝(3＋4) J＝7 J。则C项正确，A、B、D错误。]
3．如图所示是蹦床运动员在空中表演的情景。在运动员从最低点开始反弹至即将与蹦床分离的过程中，蹦床的弹性势能和运动员的重力势能变化情况分别是( )
A．弹性势能减小，重力势能增加
B．弹性势能减小，重力势能减小
C．弹性势能增加，重力势能增加
D．弹性势能增加，重力势能减小
A [据题意，当运动员从最低点开始反弹至即将与蹦床分离的过程中，有一个平衡位置，即弹力等于重力，F弹＝mg，运动员运动至这个位置时速度达到最大，即从最低点开始运动员的速度先增加再减小，所以动能也是先增加后减小，而重力势能一直都在增加，弹性势能一直在减小，故选项A正确。]
4．(2021·河北卷)一半径为R的圆柱体水平固定，横截面如图所示。长度为πR、不可伸长的轻细绳，一端固定在圆柱体最高点P处，另一端系一个小球。小球位于P点右侧同一水平高度的Q点时，绳刚好拉直。将小球从Q点由静止释放，当与圆柱体未接触部分的细绳竖直时，小球的速度大小为(重力加速度为g，不计空气阻力)( )
A． B． C． D．2
A [当与圆柱体未接触部分的细绳竖直时，小球下落的高度h＝R＋πR－＝R＋，根据动能定理有mgh＝mv2，解得v＝，故A正确，B、C、D错误。]
5．如图所示，把两个相同的小球从离地面相同高度处，以相同大小的初速度v分别沿竖直向上和竖直向下方向抛出，不计空气阻力。则下列说法中不正确的是( )
A．两小球落地时速度相同
B．两小球落地时，重力的瞬时功率相同
C．从小球抛出到落地，重力对两小球做的功相等
D．从小球抛出到落地，重力对两小球做功的平均功率相等
D [由机械能守恒定律得，两小球落地时的速度大小相等，方向相同，A正确，不符合题意；由于两小球落地时速度相同，故重力的瞬时功率相同，B正确，不符合题意；由重力做功公式W＝mgh得，从开始运动至落地，重力对两小球做的功相等，C正确，不符合题意；从抛出至落地，重力对两小球做的功相等，但是两小球运动的时间不同，故重力对两小球做功的平均功率不相等，D错误，符合题意。故选D。]
6．中国2021－2022赛季CBA联赛于2021年10月16日举行。若某次投篮直接入网(如图所示)，已知篮球出手时距地面高度为h1，出手过程中对篮球做功为W，出手过程中高度差忽略不计，篮筐距地面高度为h2，篮球的质量为m，不计空气阻力，篮球可看作质点，则篮球( )
A．出手时的速率为2
B．进筐时的动能为W＋mgh1－mgh2
C．从静止到进筐的过程中，机械能的增量为W＋mgh2－mgh1
D．从出手到进筐的过程中，运动总时间为
B [由动能定理得：W＝mv2，得篮球出手时的速率为v＝，A错误；从出手到篮球进筐的过程中，由动能定理得：－mg(h2－h1)＝Ek－mv2，可得篮球进筐时的动能为Ek＝W＋mgh1－mgh2，B正确；篮球从静止到进筐的过程中，机械能的增量为人对球做的功W，C错误；从出手到篮球进筐的过程中，运动总时间不能确定，不一定为，D错误。]
7．如图所示，质量为m的物体放于水平面上，物体上竖直固定一原长为L、劲度系数为k的轻质弹簧。现用手拉住处于原长状态的弹簧上端P缓慢向上提，使物体离开地面上升一段距离。在这一过程中，若P端上移的距离为H，则物体重力势能的增加量为( )
A．mgH B．mgH－ C．mgH＋ D．mgH－
B [手拉着弹簧上端P缓慢向上移动，物体始终处于平衡状态。根据胡克定律得弹簧的伸长量Δx＝。在这一过程中，P端上移的距离为H，所以物体上升的高度为H－，所以物体重力势能的增加量为mgH－，故选B。]
8．(2021·湖南卷)“复兴号”动车组用多节车厢提供动力，从而达到提速的目的。总质量为m的动车组在平直的轨道上行驶。该动车组有四节动力车厢，每节车厢发动机的额定功率均为P，若动车组所受的阻力与其速率成正比(F阻＝kv，k为常量)，动车组能达到的最大速度为vm。下列说法正确的是( )
A．动车组在匀加速启动过程中，牵引力恒定不变
B．若四节动力车厢输出功率均为额定值，则动车组从静止开始做匀加速运动
C．若四节动力车厢输出的总功率为2.25P，则动车组匀速行驶的速度为vm
D．若四节动力车厢输出功率均为额定值，动车组从静止启动，经过时间t达到最大速度vm，则这一过程中该动车组克服阻力做的功为 mv－Pt
C [在动车组匀加速启动的过程中，对动车组受力分析，根据牛顿第二定律有F1－F阻＝ma1，其中F阻＝kv，在动车组匀加速启动的过程中，加速度a1不变，v增大，则F阻增大，故牵引力F1逐渐增大，A错误；若四节动力车厢输出功率均为额定值，则牵引力F2＝，而F2－F阻＝ma，其中F阻＝kv，由v增大可知加速度a减小，所以动车组从静止开始做加速度减小的变加速运动，B错误；设当四节动力车厢输出的总功率为2.25 P时，动车组匀速运动的速度为v′m，动车组匀速行驶时受力平衡，有F′＝F阻＝kv′m，则2.25 P＝kv′，当动车组速度达到最大速度vm时，4P＝kv，联立两式，解得v′m＝vm，C正确；当四节动力车厢输出功率均为额定值时，对动车组从启动到达到最大速度的过程，根据动能定理有4Pt－W克＝ mv，解得这一过程中该动车组克服阻力做的功W克＝4Pt－ mv，D错误。]
9．用自由落体法验证机械能守恒定律的实验中：(g取9.8 m/s2)
(1)运用公式mv2＝mgh，对实验条件的要求是____________________，为达到此目的，所选择的纸带第1、第2两点间的距离应接近________。
(2)若实验中所用重锤的质量m＝1 kg，打点纸带如图所示，打点计时器时间间隔为0.02 s，则记录B点时，重锤的速度vB＝________，重锤的动能Ek＝________，从开始下落起至B点，重锤的重力势能减少量是________，由此可得出的结论是_________________________________________________。
(3)根据纸带算出相关各点的速度v，下落距离h，则以为纵轴，以h为横轴画出的图像应是( )
A B C D
[解析](1)重锤从静止开始自由下落时，在0.02 s内的位移应为h＝gt2＝×9.8×0.022 m≈2 mm。
(2)vB＝＝ m/s＝0.58 m/s，此时重锤的动能为Ek＝mv＝×1×0.582 J≈0.168 J，重锤的重力势能减少量为ΔEp＝mghB＝1×9.8×17.6×10－3 J≈0.172 J．因此在实验误差允许的范围内，重锤的机械能守恒。
(3)由机械能守恒定律可知，mgh＝mv2，即要验证机械能守恒定律成立，只需验证v2＝gh即可。若以为纵坐标，h为横坐标，则图像是过原点且斜率为g的直线，故选项C正确。
[答案](1)打第一个点时重锤的初速度为零 2 mm(2)0.58 m/s 0.168 J 0.172 J 在实验误差允许的范围内，重锤的机械能守恒(3)C
10．我国自行研制、具有完全自主知识产权的新一代大型喷气式客机C919首飞成功后，拉开了全面试验试飞的新征程。假设飞机在水平跑道上的滑跑是初速度为零的匀加速直线运动，当位移x＝1.6×103 m时才能达到起飞所要求的速度v＝80 m/s。已知飞机质量m＝7.0×104 kg，滑跑时受到的阻力为自身重力的0.1倍，重力加速度g取10 m/s2。求飞机滑跑过程中：
(1)加速度a的大小；
(2)牵引力的平均功率P。
[解析](1)飞机滑跑过程中做初速度为零的匀加速直线运动，有v2＝2ax ①
解得a＝2 m/s2。 ②
(2)设飞机滑跑受到的阻力为F阻，根据题意可得
F阻＝0.1mg ③
设发动机的牵引力为F，根据牛顿第二定律有
F－F阻＝ma ④
设飞机滑跑过程中的平均速度为，有＝ ⑤
在滑跑阶段，牵引力的平均功率P＝F ⑥
联立②③④⑤⑥，解得P＝8.4×106W。
[答案](1)2 m/s2(2)8.4×106W
11．(多选)关于重力势能，下列说法中正确的是( )
A．重力势能为零的物体，有可能对别的物体做功
B．物体做匀速直线运动时，其重力势能一定不变
C．重力对物体做正功，物体的重力势能一定增加
D．重力对物体做正功，物体的重力势能一定减少
AD [重力势能为零只能说明物体在零势能面上，但是重力是否能做功取决于是否有高度差，与零势能面无关，所以重力势能为零的物体可以对别的物体做功，故A正确；物体若在竖直方向做匀速直线运动，则重力势能一定改变，故B错误；重力做正功时，重力势能一定减小，故C错误，D正确。]
12．(多选)(2022·黑龙江大庆市大庆中学)如图所示，重10 N的滑块轻放在倾角为30°的斜面上，从a点由静止开始下滑，到b点接触到一个轻质弹簧，滑块压缩弹簧到c点开始弹回，返回至b点时离开弹簧，最后又回到a点。已知ab＝1 m，bc＝0.2 m，则以下结论正确的是( )
A．整个过程中弹簧弹性势能的最大值为6 J
B．整个过程中滑块动能的最大值为6 J
C．物体在b点动能为5 J
D．整个过程中滑块与地球组成的系统机械能守恒
AC [滑块从a到c，根据动能定理得mghac＋W弹＝0，解得W弹＝－6 J，弹簧弹力做的功等于弹性势能的变化，所以整个过程中弹簧弹性势能的最大值为6 J，故A正确。当滑块的合力为0时，滑块速度最大，滑块动能的最大，设滑块在d点合力为0，d点在b和c之间，滑块从a到d，根据动能定理得mghad＋W′弹＝Ekd－0，其中mghad<6 J，W′弹<0，则有Ekd<6 J，故B错误；从c点到b点弹簧的弹力对滑块做功与从b点到c点弹簧的弹力对滑块做功大小相等，从c到b弹簧的弹力对滑块做功6 J，从c到b重力做负功－1 J，根据动能定理，故C正确；整个过程中弹簧、滑块与地球组成的系统机械能守恒，没有与系统外发生能量转化，故D错误，故选A。]
13．(多选)质量为m＝2 kg的物体沿水平面向右做直线运动，t＝0时刻受到一个水平向左的恒力F，如图甲所示，此后物体的v t图像如图乙所示，取水平向右为正方向，g取10 m/s2，则( )
甲 乙
A．物体与水平面间的动摩擦因数为μ＝0.5
B．10 s末恒力F的瞬时功率为6 W
C．10 s末物体在计时起点左侧2 m处
D．10 s内物体克服摩擦力做功34 J
CD [由v t图像得两段时间的加速度大小分别为a1＝2 m/s2、a2＝1 m/s2。根据牛顿第二定律有：F＋μmg＝ma1，F－μmg＝ma2。解得：F＝3 N，μ＝0.05，故A错误；10 s末恒力F的瞬时功率P＝Fv＝18 W，B错误；10 s内物体的位移s＝×4 m－×6 m＝－2 m，说明物体10 s末在计时起点左侧2 m处，C正确；整个过程的路程x＝×4 m＋×6 m＝34 m，所以10 s内物体克服摩擦力做功W＝μmgx＝34 J，D正确。]
14．(2020·全国卷Ⅰ)(多选)一物块在高3.0 m、长5.0 m的斜面顶端从静止开始沿斜面下滑，其重力势能和动能随下滑距离s的变化如图中直线Ⅰ、Ⅱ所示，重力加速度取10 m/s2。则( )
A．物块下滑过程中机械能不守恒
B．物块与斜面间的动摩擦因数为0.5
C．物块下滑时加速度的大小为6.0 m/s2
D．当物块下滑2.0 m时机械能损失了12 J
AB [由重力势能和动能随下滑距离s变化的图像可知，重力势能和动能之和随下滑距离s的增大而减小，可知物块下滑过程中机械能不守恒，A项正确；在斜面顶端，重力势能mgh＝30 J，解得物块质量m＝1 kg，由重力势能随下滑距离s变化图像可知，重力势能可以表示为Ep＝(30－6s)J，由动能随下滑距离s变化图像可知，动能可以表示为Ek＝2s J，设斜面倾角为θ，则有sin θ＝＝，cos θ＝，由功能关系有－μmgcos θ·s＝Ep＋Ek－30 J ＝(30－6s＋2s－30) J＝－4s J，可得μ＝0.5，B项正确；由Ek＝2s J，Ek＝可得，v2＝4s m2/s2，对比匀变速直线运动公式v2＝2as，可得a＝2 m/s2，即物块下滑时加速度的大小为2.0 m/s2，C项错误；由重力势能和动能随下滑距离s变化图像可知，当物块下滑2.0 m时机械能为E＝18 J＋4 J ＝22 J，机械能损失了ΔE＝30 J－22 J＝8 J，D项错误。]
15．某同学为探究“恒力做功与物体动能改变的关系”，设计了如下实验，他的操作步骤是：
①安装好实验装置如图所示。
②将质量为200 g的小车拉到打点计时器附近，并按住小车。
③在质量为10 g、30 g、50 g的三种钩码中，他挑选了一个质量为50 g的钩码挂在拉线P上。
④释放小车，打开打点计时器的电源，打出一条纸带。
(1)在多次重复实验得到的纸带中取出较为满意的一条，经测量、计算，得到如下数据：
①第一个点到第N个点的距离为40.0 cm。②打下第N点时小车的速度大小为1.00 m/s。
该同学将钩码的重力当作小车所受的拉力，算出拉力对小车做的功为________J，小车动能的增量为________J。(取g＝9.8 m/s2)
(2)此次实验探究结果，他没能得到“恒力对物体做的功，等于物体动能的增量”，且误差很大，显然，在实验探究过程中忽视了各种产生误差的因素。请你根据该同学的实验操作过程帮助分析一下，造成较大误差的主要原因是(至少说出两种可能)：___________________________________________________。
[解析](1)拉力对小车做的功
W＝mgs＝0.196 J。
小车动能的增量ΔEk＝Mv2＝0.1 J。
(2)①小车的质量不是远大于钩码质量；
②没有平衡摩擦力；
③操作错误，实验时先放开小车，后接通电源。
[答案](1)0.196 0.1
(2)①小车质量没有远大于钩码质量；②没有平衡摩擦力；③错误操作，实验时先放开小车，后接通电源
16．(2022·山东烟台)如图所示，轻质动滑轮下方悬挂重物A、轻质定滑轮下方悬挂重物B，悬挂滑轮的轻质细线竖直。开始时，重物A、B处于静止状态，释放后A、B开始运动。已知重物A的质量为3m，重物B的质量为m，不计一切摩擦及空气阻力，重力加速度为g，当B的位移为h时，求重物A的速度。
[解析] 因为A向下运动，B向上运动，且当B的向上的位移为h时，A下降h，且A、B的速度关系是vB＝2vA，由机械能守恒定律3mg·－mgh＝·3m·v＋mv，解得vA＝。
[答案]
17．(2021·全国乙卷)一篮球质量为m＝0.60 kg，一运动员使其从距地面高度为h1＝1.8 m处由静止自由落下，反弹高度为h2＝1.2 m。若使篮球从距地面h3＝1.5 m的高度由静止下落，并在开始下落的同时向下拍球，球落地后反弹的高度也为1.5 m。假设运动员拍球时对球的作用力为恒力，作用时间为t＝0.20 s；该篮球每次与地面碰撞前后的动能的比值不变。重力加速度大小g＝10 m/s2，不计空气阻力。求
(1)运动员拍球过程中对篮球所做的功；
(2)运动员拍球时对篮球的作用力的大小。
[解析](1)使篮球从距地面高度为h1处由静止自由落下时，设篮球的落地速度大小为v1，根据自由落体运动的规律有v＝2gh1，设篮球被地面反弹时的速度大小为v2，则有v＝2gh2，则篮球与地面碰撞前、后的动能之比＝＝＝。使篮球从距地面h3的高度由静止下落，并在开始下落的同时向下拍球，设篮球的落地速度大小为v3，反弹后的速度大小为v4，则有v＝2gh3，因为篮球每次与地面碰撞前、后的动能的比值不变，所以有＝，设运动员拍球过程中对篮球做的功为W，根据动能定理有W＋mgh3＝mv，解得W＝4.5 J。
(2)球在受到力F作用的时间内，根据牛顿第二定律得，加速度a＝，
球的位移s＝at2，
运动员对球做的功W＝Fs，
联立解得F＝9 N。
[答案](1)4.5 J(2)9 N
18．(2020·全国Ⅲ卷节选)如图所示，相距L＝11.5 m的两平台位于同一水平面内，二者之间用传送带相接。传送带向右匀速运动，其速度的大小v可以由驱动系统根据需要设定。质量m＝10 kg的载物箱(可视为质点)，以初速度v0＝5.0 m/s自左侧平台滑上传送带。载物箱与传送带间的动摩擦因数μ＝0.10，重力加速度取g＝10 m/s2。
(1)若v＝4.0 m/s，求载物箱通过传送带所需的时间；
(2)求载物箱到达右侧平台时所能达到的最大速度和最小速度。
[解析](1)传送带的速度为v＝4.0 m/s时，载物箱在传送带上先做匀减速运动，设其加速度大小为a，由牛顿第二定律有
μmg＝ma ①
设载物箱滑上传送带后匀减速运动的距离为s1，由运动学公式有
v2－v＝－2as1 ②
联立①②式，代入题给数据得
s1＝4.5 m ③
因此，载物箱在到达右侧平台前，速度先减小至v，然后开始做匀速运动。设载物箱从滑上传送带到离开传送带所用的时间为t1，做匀减速运动所用的时间为t′1，由运动学公式有
v＝v0－at′1 ④
t1＝t′1＋ ⑤
联立①③④⑤式并代入题给数据得
t1＝2.75 s。 ⑥
(2)当载物箱滑上传送带后一直做匀减速运动时，到达右侧平台时的速度最小，设为v1；当载物箱滑上传送带后一直做匀加速运动时，到达右侧平台时的速度最大，设为v2。由动能定理有
－μmgL＝mv－mv ⑦
μmgL＝mv－mv ⑧
由⑦⑧式并代入题给条件得
v1＝ m/s，v2＝4 m/s。 ⑨
[答案](1)2.75 s(2)最大速度4 m/s 最小速度 m/s
12/12章末综合测评(二) 抛体运动
1．(2022·青冈县第一中学校高二开学考试)关于曲线运动，下列说法正确的是( )
A．物体做曲线运动，其速度可能不变
B．物体做曲线运动时其加速度可能为零
C．物体做曲线运动时它所受合外力一定不为零
D．当物体所受合外力的方向与它的速度方向不在一条直线上时，物体可能做直线运动
2．擦窗机器人帮助人们解决了高层擦窗、室外擦窗难的问题。如图所示，擦窗机器人在竖直玻璃窗上沿直线A向B运动，速度逐渐减小。已知F为机器人除重力外的其他力的合力，则擦窗机器人在此过程中在竖直平面内的受力分析可能正确的是( )
A B C D
3．运动员在体育场上奋力抛出铅球，其运动轨迹如图所示，已知B点为铅球运动的最高点，不计空气阻力，则下列关于铅球的说法中正确的是( )
A．在D点的速率比在C点的速率大
B．在A点的加速度与速度的夹角小于90°
C．在A点的加速度比在D点的加速度大
D．从A点到D点加速度与速度的夹角先增大后减小
4．跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目，如图所示，当运动员从直升飞机上由静止跳下后，在下落过程中将会受到水平风力的影响，下列说法中正确的是( )
A．风力越大，运动员下落时间越短
B．风力越大，运动员着地速度越大，对运动员越安全
C．运动员着地速度与风力无关
D．运动员下落时间与风力无关
5．如图所示为四分之一圆柱体OAB的竖直截面，半径为R，在B点上方的C点水平抛出一个小球，小球轨迹恰好在D点与圆柱体相切，OD与OB的夹角为60°，则C点到B点的距离为( )
A．R B． C． D．
6．路灯维修车如图所示，车上带有竖直自动升降梯。若一段时间内车匀加速向左沿直线运动的同时梯子匀加速上升，则关于这段时间内站在梯子上的工人的描述正确的是( )
A．工人相对地面的运动轨迹一定是曲线
B．工人相对地面的运动轨迹一定是直线
C．工人相对地面的运动轨迹可能是直线，也可能是曲线
D．工人受到的合力可能是恒力，也可能是变力
7．如图所示，滑块a、b用绳跨过定滑轮相连，a套在水平杆上。现使a以速度v从P位置匀速运动到Q位置，则滑块b( )
A．做匀速运动，速度大于v
B．做减速运动，速度小于v
C．做加速运动，速度小于v
D．做加速运动，速度大于v
8．跳台滑雪是北京2022年冬奥会的比赛项目，如图所示为跳台滑雪的示意图，平台末端B点水平，运动员(可视为质点)从B点飞出后总能落到斜面上。在某次运动中，运动员以速度v从B点水平飞出，落到斜面上C点，B、C两点间的竖直高度为h，斜面倾角为θ，忽略空气阻力，下列说法正确的是( )
A．运动员在空中运动的时间与v无关
B．v越大，落地时瞬时速度与斜面的夹角越大
C．若运动员以2v从B点飞出，则落地点到B点的竖直高度为2h
D．不管在B点以多大速度飞出，运动员落到斜面上时的速度方向均相同
9．(2020·天津卷)某实验小组利用图1所示装置测定平抛运动的初速度。把白纸和复写纸叠放一起固定在竖直木板上，在桌面上固定一个斜面，斜面的底边ab与桌子边缘及木板均平行。每次改变木板和桌边之间的距离，让钢球从斜面顶端同一位置滚下，通过碰撞复写纸，在白纸上记录钢球的落点。
图1 图2
①为了正确完成实验，以下做法必要的是________
A．实验时应保持桌面水平
B．每次应使钢球从静止开始释放
C．使斜面的底边ab与桌边重合
D．选择对钢球摩擦力尽可能小的斜面
②实验小组每次将木板向远离桌子的方向移动0.2 m，在白纸上记录了钢球的4个落点，相邻两点之间的距离依次为15.0 cm、25.0 cm、35.0 cm，示意如图2。取重力加速度g＝10 m/s2，钢球平抛的初速度为________m/s。
③图1装置中，木板上悬挂一条铅垂线，其作用是_________。
10．某卡车在限速60 km/h的公路上与路旁障碍物相撞。处理事故的警察在泥地中发现一个小的金属物体，可以判断，它是车顶上一个松脱的零件，事故发生时被抛出而陷在泥里。警察测得这个零件在事故发生时的原位置与陷落点的水平距离为17.3 m，车顶距泥地的高度为2.45 m。忽略空气阻力，g取10 m/s2，请你根据这些数据为该车是否超速提供证据。
11．某同学练习定点投篮，篮球从同一位置出手，两次均垂直撞在竖直篮板上，其运动轨迹如图所示，不计空气阻力，下列说法正确的是( )
A．第1次击中篮板时的速度小
B．两次击中篮板时的速度相等
C．球在空中运动过程第1次速度变化快
D．球在空中运动过程第2次速度变化快
12．(多选)河宽为d，水流速度为v1，船在静水中速度为v2，要使小船在渡河过程中通过路程s最短，则下列说法中正确的是( )
A．v1＜v2时，s＝d
B．v1＜v2时，s＝d
C．v1＞v2时，s＝d
D．v1＞v2时，s＝d
13．如图所示，某人从高为h的坡上以速度v0水平击出一个质量为m的高尔夫球。由于受恒定的水平风力的作用，高尔夫球竖直落入距击球点水平距离为L的A穴，不计洞穴的深度，重力加速度为g，则下列说法正确的是( )
A．球被击出后做平抛运动
B．该球从被击出到落入A穴所用的时间为
C．球被击出时的初速度大小v0＝L
D．球被击出后受到的水平风力的大小为
14．(多选)(2021·广东卷)长征途中，为了突破敌方关隘，战士爬上陡峭的山头，居高临下向敌方工事内投掷手榴弹。战士在同一位置先后投出甲、乙两颗质量均为m的手榴弹。手榴弹从投出的位置到落地点的高度差为h，在空中的运动可视为平抛运动，轨迹如图所示，重力加速度为g。下列说法正确的有( )
A．甲在空中的运动时间比乙的长
B．两手榴弹在落地前瞬间，重力的功率相等
C．从投出到落地，每颗手榴弹的重力势能减少mgh
D．从投出到落地，每颗手榴弹的机械能变化量为mgh
15．某科学兴趣小组要验证小球平抛运动的规律，实验设计方案如图甲所示，用轻质细线拴接一小球，在悬点O正下方有水平放置的炽热的电热丝P，当悬线摆至电热丝处时能轻易被烧断；MN为水平木板，已知悬线长为L，悬点到木板的距离OO′＝h(h＞L)。
甲 乙
(1)电热丝P必须放在悬点正下方的理由是____________________________。
(2)将小球向左拉起后自由释放，最后小球落到木板上的C点，O′C＝x，则小球做平抛运动的初速度为v0＝________。
(3)图乙是以竖直方格板为背景通过频闪照相得到的照片，每个格的边长l＝5 cm，通过实验，记录了小球在运动途中的三个位置，如图所示，则该频闪照相的周期为________s，小球做平抛运动的初速度为________m/s；过B点的速度为______m/s。(取g＝10 m/s2)
(4)在其他条件不变的情况下，若改变释放小球时悬线与竖直方向的夹角θ，小球落点与O′点的水平距离x将随之改变，经多次实验，以x2为纵坐标、cos θ为横坐标，得到如图丙所示图像，则当θ＝30°时，x为________m。
丙
16．如图所示，某同学将质量为m＝5 kg的铅球以v0＝4 m/s的初速度，沿着与水平面45°的方向斜上方抛出，抛出点到地面的高度h＝1.7 m。不计空气阻力，取重力加速度g＝10 m/s2，求：
(1)铅球落地时的动能Ek1；
(2)铅球上升到最高点时的动能Ek2和离地高度H。
17．(2021·山东卷节选)海鸥捕到外壳坚硬的鸟蛤(贝类动物)后，有时会飞到空中将它丢下，利用地面的冲击打碎硬壳。一只海鸥叼着质量m＝0.1 kg的鸟蛤，在H＝20 m的高度飞行时，松开嘴巴让鸟蛤落到水平地面上。在海鸥飞行方向正下方的地面上，有一与地面平齐、长度L＝6 m的岩石，以岩石左端为坐标原点，建立如图所示坐标系。若海鸥水平飞行的速度大小在15 m/s～17 m/s之间，为保证鸟蛤一定能落到岩石上，求释放鸟蛤位置的x坐标范围。忽略空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。
18．如图所示，在粗糙水平台阶上静止放置一质量m＝1.0 kg的小物块，它与水平台阶表面的动摩擦因数μ＝0.25，且与台阶边缘O点的距离s＝5 m。在台阶右侧固定了一个圆弧挡板，圆弧半径R＝5 m，今以O点为原点建立平面直角坐标系。现用F＝5 N的水平恒力拉动小物块，已知重力加速度g取10 m/s2。
(1)为使小物块不能击中挡板，求拉力F作用的最长时间；
(2)若小物块在水平台阶上运动时，水平恒力一直作用在小物块上，当小物块过O点时撤去拉力，求小物块击中挡板上的位置的坐标。
7/12章末综合测评(二) 抛体运动
1．(2022·青冈县第一中学校高二开学考试)关于曲线运动，下列说法正确的是( )
A．物体做曲线运动，其速度可能不变
B．物体做曲线运动时其加速度可能为零
C．物体做曲线运动时它所受合外力一定不为零
D．当物体所受合外力的方向与它的速度方向不在一条直线上时，物体可能做直线运动
C [物体做曲线运动时，速度沿切线方向，时刻在改变，所以速度必定在改变，故A错误；做曲线运动的条件是加速度(合外力)和初速度不在同一直线上，所以加速度(合外力)一定不为零，故C正确，B、D错误。故选C。]
2．擦窗机器人帮助人们解决了高层擦窗、室外擦窗难的问题。如图所示，擦窗机器人在竖直玻璃窗上沿直线A向B运动，速度逐渐减小。已知F为机器人除重力外的其他力的合力，则擦窗机器人在此过程中在竖直平面内的受力分析可能正确的是( )
A B C D
B [擦窗机器人沿直线减速从A向B运动，故合外力和速度要共线，A、C、D图中的合外力(或为零)和速度不共线，要做曲线运动(或匀速直线运动)，不符合运动要求，故A、C、D错误；B图中的合力可能与速度共线相反，从而做减速直线运动，故B正确。]
3．运动员在体育场上奋力抛出铅球，其运动轨迹如图所示，已知B点为铅球运动的最高点，不计空气阻力，则下列关于铅球的说法中正确的是( )
A．在D点的速率比在C点的速率大
B．在A点的加速度与速度的夹角小于90°
C．在A点的加速度比在D点的加速度大
D．从A点到D点加速度与速度的夹角先增大后减小
A [不计空气阻力，做抛体运动的铅球，只受重力，所以铅球在每点的加速度都为重力加速度，即在A点与在D点的加速度大小相等，故C错误；加速度方向和重力方向相同，所以铅球在A点的加速度与速度的夹角大于90°，从A点到D点加速度与速度的夹角一直减小，B、D错误；从C点到D点，铅球的速度方向与重力方向的夹角小于90°，所以速度增大，故A正确。]
4．跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目，如图所示，当运动员从直升飞机上由静止跳下后，在下落过程中将会受到水平风力的影响，下列说法中正确的是( )
A．风力越大，运动员下落时间越短
B．风力越大，运动员着地速度越大，对运动员越安全
C．运动员着地速度与风力无关
D．运动员下落时间与风力无关
D [运动员参加两个分运动，水平方向随空气匀速运动，竖直方向在降落伞张开前先加速，降落伞张开后先减速后匀速，由于竖直分运动不受水平分运动的干扰，故运动时间与风速无关，因而A错误，D正确；运动员落地速度由水平分速度和竖直分速度合成，水平分速度由风速决定，故风速越大，合速度越大，即着地速度越大，对运动员越不安全，故B、C错误。]
5．如图所示为四分之一圆柱体OAB的竖直截面，半径为R，在B点上方的C点水平抛出一个小球，小球轨迹恰好在D点与圆柱体相切，OD与OB的夹角为60°，则C点到B点的距离为( )
A．R B． C． D．
D [由题图知，水平位移x＝Rsin 60°＝R＝v0t，竖直位移y＝gt2，且tan 30°＝＝，解得x＝y，y＝R，所以C点到B点的距离d＝R－＝R。选项D正确。]
6．路灯维修车如图所示，车上带有竖直自动升降梯。若一段时间内车匀加速向左沿直线运动的同时梯子匀加速上升，则关于这段时间内站在梯子上的工人的描述正确的是( )
A．工人相对地面的运动轨迹一定是曲线
B．工人相对地面的运动轨迹一定是直线
C．工人相对地面的运动轨迹可能是直线，也可能是曲线
D．工人受到的合力可能是恒力，也可能是变力
C [设工人在水平方向的初速度为v0x，加速度为ax，在竖直方向的初速度为v0y，加速度为ay，则工人运动的合初速度为v0＝，合加速度为a＝。若合初速度方向与合加速度方向在同一条直线上，则工人做直线运动，若合初速度方向与合加速度方向不在同一条直线上，则工人做曲线运动，由于车和梯子的初速度未知，加速度也未知，因此合初速度与合加速度可能在同一条直线上，也可能不在同一条直线上，故工人相对地面的运动轨迹可能是曲线，也可能是直线，A、B错误，C正确；由于ax、ay均恒定，则合加速度恒定，由牛顿第二定律可知工人受到的合力恒定，D错误。]
7．如图所示，滑块a、b用绳跨过定滑轮相连，a套在水平杆上。现使a以速度v从P位置匀速运动到Q位置，则滑块b( )
A．做匀速运动，速度大于v
B．做减速运动，速度小于v
C．做加速运动，速度小于v
D．做加速运动，速度大于v
C [对a的速度进行分解，如图所示，由沿绳的方向速度相等可得，滑块b的速度大小vb＝v1＝vsin θ，a以速度v从P位置匀速运动到Q位置时，θ增大，则vb增大，滑块b做加速运动，但是由于sin θ＜1，所以vb＜v，故C正确，A、B、D错误。
]
8．跳台滑雪是北京2022年冬奥会的比赛项目，如图所示为跳台滑雪的示意图，平台末端B点水平，运动员(可视为质点)从B点飞出后总能落到斜面上。在某次运动中，运动员以速度v从B点水平飞出，落到斜面上C点，B、C两点间的竖直高度为h，斜面倾角为θ，忽略空气阻力，下列说法正确的是( )
A．运动员在空中运动的时间与v无关
B．v越大，落地时瞬时速度与斜面的夹角越大
C．若运动员以2v从B点飞出，则落地点到B点的竖直高度为2h
D．不管在B点以多大速度飞出，运动员落到斜面上时的速度方向均相同
D [由题意可知，运动员从B点飞出后，做平抛运动，落在斜面上时，位移与水平方向的夹角即为斜面的倾角，则有tan θ＝＝，可得t＝，可知运动员在空中运动的时间与v有关，A错误；只要运动员落在斜面上，位移与水平方向的夹角就等于斜面的倾角θ，根据平抛运动规律的推论，设运动员落在斜面上时，速度与斜面的夹角为α，则有tan(α＋θ)＝2tan θ，则可知角α不变，即运动员落在斜面上时，速度方向与斜面的夹角不变，B错误，D正确；若运动员以2v从B点飞出，由t＝可知，运动员在空中的运动时间变为原来的2倍，根据h＝gt2可知，落地点与B点的竖直高度变为原来的4倍，C错误。]
9．(2020·天津卷)某实验小组利用图1所示装置测定平抛运动的初速度。把白纸和复写纸叠放一起固定在竖直木板上，在桌面上固定一个斜面，斜面的底边ab与桌子边缘及木板均平行。每次改变木板和桌边之间的距离，让钢球从斜面顶端同一位置滚下，通过碰撞复写纸，在白纸上记录钢球的落点。
图1 图2
①为了正确完成实验，以下做法必要的是________
A．实验时应保持桌面水平
B．每次应使钢球从静止开始释放
C．使斜面的底边ab与桌边重合
D．选择对钢球摩擦力尽可能小的斜面
②实验小组每次将木板向远离桌子的方向移动0.2 m，在白纸上记录了钢球的4个落点，相邻两点之间的距离依次为15.0 cm、25.0 cm、35.0 cm，示意如图2。取重力加速度g＝10 m/s2，钢球平抛的初速度为________m/s。
③图1装置中，木板上悬挂一条铅垂线，其作用是_________。
[解析] 本题考查测定平抛运动初速度实验的实验操作、数据处理。
①为了保持钢球从桌面抛出时速度大小不变，方向水平，所以实验时应保持桌面水平，并且每次钢球从斜面上同一位置由静止释放，故A、B正确；
②设钢球平抛的初速度为v0，由平抛运动规律可知v0T＝0.2 m，Δh＝gT2，解得v0＝2 m/s；
③木板上悬挂一条铅垂线的目的是为了方便将木板调整到竖直平面。
[答案] ①AB ②2 ③方便将木板调整到竖直平面
10．某卡车在限速60 km/h的公路上与路旁障碍物相撞。处理事故的警察在泥地中发现一个小的金属物体，可以判断，它是车顶上一个松脱的零件，事故发生时被抛出而陷在泥里。警察测得这个零件在事故发生时的原位置与陷落点的水平距离为17.3 m，车顶距泥地的高度为2.45 m。忽略空气阻力，g取10 m/s2，请你根据这些数据为该车是否超速提供证据。
[解析] 60 km/h≈16.7 m/s，松脱的零件做平抛物体运动，根据h＝gt2，得t＝＝ s＝0.7 s，由v＝得v＝ m/s＝24.7 m/s>16.7 m/s，故而该车超速了。
[答案] 超速
11．某同学练习定点投篮，篮球从同一位置出手，两次均垂直撞在竖直篮板上，其运动轨迹如图所示，不计空气阻力，下列说法正确的是( )
A．第1次击中篮板时的速度小
B．两次击中篮板时的速度相等
C．球在空中运动过程第1次速度变化快
D．球在空中运动过程第2次速度变化快
A [将篮球的运动逆向处理，即为平抛运动，平抛运动在水平方向的分运动为匀速直线运动，两次投篮的水平射程相等，由图知第1次篮球在空中运动的时间较长，故第1次的水平分速度较小，即篮球第1次击中篮板时的速度小，故A正确，B错误；两次投篮过程中球的加速度相等，等于重力加速度，故两次球的速度变化一样快，C、D错误。]
12．(多选)河宽为d，水流速度为v1，船在静水中速度为v2，要使小船在渡河过程中通过路程s最短，则下列说法中正确的是( )
A．v1＜v2时，s＝d
B．v1＜v2时，s＝d
C．v1＞v2时，s＝d
D．v1＞v2时，s＝d
AC [渡河的最短路程有两种情况：第一，当v2＞v1时，可以使实际运动方向垂直河岸，即s＝d，A正确；第二，当v2＜v1时，不可能垂直河岸过河，但存在最短路程，即实际运动方向与垂直河岸方向的夹角最小，此时实际速度v与v2垂直，如图所示。由几何关系知最短路程(OA间的距离)s＝d，C正确。]
13．如图所示，某人从高为h的坡上以速度v0水平击出一个质量为m的高尔夫球。由于受恒定的水平风力的作用，高尔夫球竖直落入距击球点水平距离为L的A穴，不计洞穴的深度，重力加速度为g，则下列说法正确的是( )
A．球被击出后做平抛运动
B．该球从被击出到落入A穴所用的时间为
C．球被击出时的初速度大小v0＝L
D．球被击出后受到的水平风力的大小为
C [由于水平方向受到空气阻力，因此球的运动不是平抛运动，A错误；球在竖直方向做自由落体运动，由h＝gt2得t＝，由于球竖直地落入A穴，故球在水平方向做末速度为零的匀减速直线运动，根据运动学公式，有L＝v0t－at2，0＝v0－at，解得v0＝L，a＝，t＝，由牛顿第二定律可得水平风力的大小F＝，故C正确，B、D错误。]
14．(多选)(2021·广东卷)长征途中，为了突破敌方关隘，战士爬上陡峭的山头，居高临下向敌方工事内投掷手榴弹。战士在同一位置先后投出甲、乙两颗质量均为m的手榴弹。手榴弹从投出的位置到落地点的高度差为h，在空中的运动可视为平抛运动，轨迹如图所示，重力加速度为g。下列说法正确的有( )
A．甲在空中的运动时间比乙的长
B．两手榴弹在落地前瞬间，重力的功率相等
C．从投出到落地，每颗手榴弹的重力势能减少mgh
D．从投出到落地，每颗手榴弹的机械能变化量为mgh
BC [甲、乙两颗手榴弹竖直方向下落的高度相同，由平抛运动的特点可知，它们的运动时间相等，A错误；落地前瞬间，PG＝mgvy＝mg2t，由于运动时间相等，故重力的瞬时功率相等，B正确；从投出到落地，重力做功为mgh，故重力势能减少mgh，C正确；从投出到落地过程中只有重力做功，手榴弹的机械能守恒，D错误。]
15．某科学兴趣小组要验证小球平抛运动的规律，实验设计方案如图甲所示，用轻质细线拴接一小球，在悬点O正下方有水平放置的炽热的电热丝P，当悬线摆至电热丝处时能轻易被烧断；MN为水平木板，已知悬线长为L，悬点到木板的距离OO′＝h(h＞L)。
甲 乙
(1)电热丝P必须放在悬点正下方的理由是____________________________。
(2)将小球向左拉起后自由释放，最后小球落到木板上的C点，O′C＝x，则小球做平抛运动的初速度为v0＝________。
(3)图乙是以竖直方格板为背景通过频闪照相得到的照片，每个格的边长l＝5 cm，通过实验，记录了小球在运动途中的三个位置，如图所示，则该频闪照相的周期为________s，小球做平抛运动的初速度为________m/s；过B点的速度为______m/s。(取g＝10 m/s2)
(4)在其他条件不变的情况下，若改变释放小球时悬线与竖直方向的夹角θ，小球落点与O′点的水平距离x将随之改变，经多次实验，以x2为纵坐标、cos θ为横坐标，得到如图丙所示图像，则当θ＝30°时，x为________m。
丙
[解析](1)由于烧断细线前小球做圆周运动，故烧断时速度方向沿圆周轨迹的切线方向，只有在悬点正下方时速度沿水平方向，要使小球做平抛运动，则应在悬点正下方烧断悬线。
(2)小球做平抛运动，在水平方向上有x＝v0t，在竖直方向上有h－L＝gt2，
联立解得v0＝＝x。
(3)在竖直方向上，根据Δy＝2l＝gT2得
T＝＝0.1 s，
则小球平抛运动的初速度v0＝＝m/s＝1.5 m/s，
B点的竖直分速度vyB＝＝ m/s＝2 m/s，
根据速度的合成与分解，B点的速度
vB＝＝ m/s＝2.5 m/s。
(4)由图丙可知x2＝2－2cos θ，当θ＝30°时，可得x＝ m。
[答案] (1)保证小球沿水平方向抛出 (2)x (3)0.1 1.5 2.5 (4)
16．如图所示，某同学将质量为m＝5 kg的铅球以v0＝4 m/s的初速度，沿着与水平面45°的方向斜上方抛出，抛出点到地面的高度h＝1.7 m。不计空气阻力，取重力加速度g＝10 m/s2，求：
(1)铅球落地时的动能Ek1；
(2)铅球上升到最高点时的动能Ek2和离地高度H。
[解析](1)设铅球落地时的动能为Ek1在铅球飞行过程
根据机械能守恒定律得：mgh＋mv＝Ek1
得出：Ek1＝125 J。
(2)设铅球在最高点时的瞬时速度为v，铅球在最高点时的瞬时速度为水平分速度
则有：v＝v0cos 45°＝2 m/s
由动能公式可得：Ek2＝mv2＝20 J
整个过程机械能守恒，可得：mgH＋Ek2＝Ek1
解得：H＝2.1 m。
[答案] (1)125 J (2)20 J 2.1 m
17．(2021·山东卷节选)海鸥捕到外壳坚硬的鸟蛤(贝类动物)后，有时会飞到空中将它丢下，利用地面的冲击打碎硬壳。一只海鸥叼着质量m＝0.1 kg的鸟蛤，在H＝20 m的高度飞行时，松开嘴巴让鸟蛤落到水平地面上。在海鸥飞行方向正下方的地面上，有一与地面平齐、长度L＝6 m的岩石，以岩石左端为坐标原点，建立如图所示坐标系。若海鸥水平飞行的速度大小在15 m/s～17 m/s之间，为保证鸟蛤一定能落到岩石上，求释放鸟蛤位置的x坐标范围。忽略空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。
[解析] 若释放鸟蛤的初速度为v1＝15 m/s，设击中岩石左端时，释放点的x坐标为x1，击中右端时，释放点的x坐标为x2，得x1＝v1t，x2＝x1＋L
联立，代入数据得x1＝30 m，x2＝36 m
若释放鸟蛤时的初速度为v2＝17 m/s，设击中岩石左端时，释放点的x坐标为x′1，击中右端时，释放点的x坐标为x′2，得x′1＝v2t，x′2＝x′1＋L，
联立，代入数据得
x′1＝34 m，x′2＝ 40 m，
综上得x坐标区间[34 m，36 m]或(34 m，36 m)。
[答案] [34 m，36 m]或(34 m，36 m)
18．如图所示，在粗糙水平台阶上静止放置一质量m＝1.0 kg的小物块，它与水平台阶表面的动摩擦因数μ＝0.25，且与台阶边缘O点的距离s＝5 m。在台阶右侧固定了一个圆弧挡板，圆弧半径R＝5 m，今以O点为原点建立平面直角坐标系。现用F＝5 N的水平恒力拉动小物块，已知重力加速度g取10 m/s2。
(1)为使小物块不能击中挡板，求拉力F作用的最长时间；
(2)若小物块在水平台阶上运动时，水平恒力一直作用在小物块上，当小物块过O点时撤去拉力，求小物块击中挡板上的位置的坐标。
[解析](1)为使小物块不会击中挡板，设拉力F作用最长时间t1时，小物块刚好运动到O点。
由牛顿第二定律得F－μmg＝ma1
解得a1＝2.5 m/s2
减速运动时的加速度大小为a2＝μg＝2.5 m/s2
由运动学公式得s＝a1t＋a2t
而a1t1＝a2t2
解得t1＝t2＝ s。
(2)水平恒力一直作用在小物块上，由运动学公式有
v＝2a1s
解得小物块到达O点时的速度为v0＝5 m/s
小物块过O点后做平抛运动。
水平方向：x＝v0t
竖直方向：y＝gt2
又x2＋y2＝R2
解得位置坐标为：x＝5 m，y＝5 m。
[答案] (1) s (2)x＝5 m，y＝5 m
7/12章末综合测评(三) 圆周运动
1．转篮球是一项需要技巧的活动，如图所示，假设某同学让篮球在指尖上匀速转动，指尖刚好静止在篮球球心的正下方。下列判断正确的是( )
A．篮球上的各点做圆周运动的圆心均在指尖与篮球的接触处
B．篮球上各点的向心力是由手指提供的
C．篮球上各点做圆周运动的角速度相等
D．篮球上各点离转轴越近，做圆周运动的向心加速度越大
2．如图所示，“离心转盘游戏”中，设游客与转盘间的动摩擦因数均相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当转盘旋转的时候，更容易发生侧滑的是( )
A．质量大的游客
B．质量小的游客
C．离转盘中心近的游客
D．离转盘中心远的游客
3．如图所示，轻质弹簧一端连着小球，另一端固定在O点上，小球以O点为圆心，在光滑水平桌面上做匀速圆周运动，则小球所需向心力( )
A．由小球的重力G提供
B．由弹簧拉力F提供
C．由小球的重力G和桌面的支持力N的合力提供
D．由桌面的支持力N提供
4．2021年6月17日，神舟十二号载人飞船与天和核心舱完成自主快速交会对接，是中华民族载人航天史又一个里程碑。假设结合体围绕地球做匀速圆周运动，起始时刻为t1，结束时刻为t2，共运行了n周，运动线速度为v，角速度为ω，轨道半径为r，则下列计算其运行周期的表达式正确的是( )
A．T＝ B．T＝ C．T＝ D．T＝
5．最近许多户外闯关节目很受大众的欢迎，图甲就是某节目中选手飞身跳上圆形转盘的画面。可以把该游戏场景简化为如图乙所示的模型，A、B、C三个圆形转盘的半径之比为4∶2∶1，B转盘由电动机带动，A、C转盘通过与B转盘摩擦传动(假设三个转盘没有打滑现象)，则( )
甲 乙
A．胖子由于质量大，需要的向心力大，所以更容易被转盘甩下水
B．选手在A转盘的边缘最容易被甩下水
C．选手在A、B、C三个转盘边缘随转盘转动的向心加速度之比为1∶2∶2
D．为了过关成功，选手应该尽量跳到转盘中心处
6．两根长度不同的细线下面分别悬挂两个小球，细线上端固定在同一点，若两个小球以相同的角速度绕共同的竖直轴在水平面内做匀速圆周运动，则两个摆球在运动过程中，相对位置关系示意图正确的是图中的( )
A B
C D
7．如图，在水平光滑细杆上有一小环，轻绳的一端系在小环上，另一端系着夹子夹紧一个质量为M的小物块两个侧面，小物块到小环悬点的距离为L，夹子每一侧面与小物块的最大静摩擦力均为F。小环和物块一起向右匀速运动，小环碰到杆上的钉子P后立刻停止，物块向上摆动。整个过程中，物块在夹子中没有滑动，则小环和物块一起向右匀速运动的速度最大为(不计小环和夹子的质量，重力加速度为g)( )
A． B． C． D．
8．如图所示，两段长均为L的轻质线共同系住一个质量为m的小球，另一端分别固定在等高的A、B两点，A、B两点间距也为L，今使小球在竖直平面内做圆周运动，当小球到达最高点时速率为v，两段线中张力恰好均为零；若小球到达最高点时速率为2v，则此时每段线中张力大小为( )
A．mg B．2mg C．3mg D．4mg
9．我们可以用如图所示的实验装置来探究影响向心力大小的因素。长槽上的挡板B到转轴的距离是挡板A的2倍，长槽上的挡板A和短槽上的挡板C到各自转轴的距离相等。转动手柄使长槽和短槽分别随变速塔轮匀速转动，槽内的球就做匀速圆周运动。横臂的挡板对球的压力提供了向心力，球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆作用使弹簧测力筒下降，从而露出标尺，标尺上的红白相间的等分格显示出两个球所需向心力的比值。
(1)当传动皮带套在两塔轮半径不同的轮盘上时，塔轮边缘处的 ________(选填“线速度”或“角速度”)相等。
(2)探究向心力和角速度的关系时，应将传动皮带套在两塔轮半径不相同的轮盘上，将质量相同的小球分别放在______挡板和______(均选填“A”“B”或“C”)挡板处。
10．在质量为M的电动机飞轮上固定着一个质量为m的重物，重物到转轴的距离为r，重力加速度为g，如图所示，为了使放在地面上的电动机不会跳起，电动机飞轮的角速度不能超过多少？
11．(多选)如图所示，质量为m的小明(视为质点)坐摩天轮。小明乘坐的车厢与摩天轮的转轴间的距离为r，摩天轮以大小为k(常数k<1，g为重力加速度大小)的角速度做匀速圆周运动。若小明坐在车厢水平座垫上且双脚离地，则下列说法正确的是( )
A．小明通过最高点时不受重力
B．小明做匀速圆周运动的周期为
C．小明通过最高点时处于完全失重状态
D．小明通过最低点时对车厢座垫的压力大小为(1＋k2)mg
12．(多选)如图甲所示，我国男子体操运动员在里约奥运会上个人全能中完成“单臂大回环”的高难度动作：用一只手抓住单杠，伸展身体，以单杠为轴做圆周运动，运动到最高点时，与单杠间弹力大小为F，运动员在最高点的速度大小为v，其F v2图像如图乙所示。取g＝10 m/s2，则下列说法中正确的是( )
甲 乙
A．此运动员的质量为55 kg
B．此运动员的重心到单杠的距离为0.9 m
C．运动员在最高点速度为4 m/s时，其受单杠的弹力方向向上
D．在完成“单臂大回环”的过程中，他的单臂至少要承受2 750 N的力
13．(多选)如图所示，给光滑圆管道内的小球(可看作质点)一个初速度，使小球在竖直面内做半径为R的圆周运动，则关于小球在最高点时的速度v，下列叙述中正确的是( )
A．v的最小值为
B．v由零逐渐增大，在最高点管道对小球的弹力逐渐增大
C．当v由逐渐增大时，在最高点管道对小球的弹力也逐渐增大
D．当v由逐渐减小时，在最高点管道对小球的弹力逐渐增大
14．(多选)如图所示，半径为R的光滑圆弧槽固定在小车上，有一小球静止在圆弧槽的最低点。小车和小球一起以速度v向右匀速运动，当小车遇到障碍物突然停止后，小球上升的高度可能( )
A．等于
B．大于
C．小于
D．与小车的速度v无关
15．某物理兴趣小组猜想向心力大小与小球质量、半径及角速度有关。现做如下实验，用细线穿过光滑空心笔杆，一端拴住小球，另一端用一只手牵住，另一只手抓住笔杆，用力转动小球使其做圆周运动，可近似认为细线拉力提供了小球所需的向心力，如图所示，实验过程如下：
(1)在保证小球质量和角速度不变的条件下，通过改变小球做圆周运动的____________，感受向心力的大小；
(2)换用不同质量的小球，在保证__________和半径不变的条件下，感受向心力的大小；
(3)在小球质量为m和运动半径为R不变的条件下，小球做圆周运动所在平面距水平地面的高度为H，当角速度增加到某值时，细线突然断掉，小球做平抛运动，测得小球落地点到转轴的水平距离为x，当地重力加速度为g，则细线恰好断裂时，小球的速度大小是__________，细线所能承受的最大拉力是____________(用题中字母表示)。
16．一水平放置的圆盘，可以绕中心O点旋转，盘上放一个质量是0.4 kg的铁块(可视为质点)，铁块与中间位置的转轴处用轻质弹簧连接，如图所示。铁块随圆盘一起匀速转动，角速度是10 rad/s时，铁块距中心O点30 cm，这时弹簧对铁块的拉力大小为11 N，g取10 m/s2。
(1)求圆盘对铁块的摩擦力大小；
(2)若此情况下铁块恰好不向外滑动(视最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，则铁块与圆盘间的动摩擦因数为多大？
17．如图所示为常见的高速公路出口匝道，某汽车在AB段做匀减速直线运动，在BC段做水平面内的匀速圆周运动，圆弧段最高限速v0＝36 km/h，已知汽车与匝道间的动摩擦因数μ＝0.2，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，AB段长度L＝200 m，汽车在出口A的速度为v1＝108 km/h，取g＝10 m/s2。
(1)若汽车到达B点速度恰好为36 km/h，求汽车在AB段运动时加速度的大小；
(2)为保证行车安全(车轮不打滑)，求水平圆弧段BC半径R的最小值。
18．如图所示，竖直平面内的光滑圆弧管道的内径略大于小球直径，管道中心线到圆心的距离为R，A端与圆心O等高，AD为水平面，B点在O点的正下方，小球自A点正上方由静止释放，自由下落至A点时进入管道，从上端口飞出后落在C点。
(1)如果管道的内侧壁(图中较小的圆周)对小球没有弹力，小球释放点距离A点的最小高度为多大？
(2)若小球到达B点时，管壁对小球的弹力大小是小球重力大小的9倍。求：
①释放点距A点的竖直高度；
②落点C与A点的水平距离。
12/12章末综合测评(三) 圆周运动
1．转篮球是一项需要技巧的活动，如图所示，假设某同学让篮球在指尖上匀速转动，指尖刚好静止在篮球球心的正下方。下列判断正确的是( )
A．篮球上的各点做圆周运动的圆心均在指尖与篮球的接触处
B．篮球上各点的向心力是由手指提供的
C．篮球上各点做圆周运动的角速度相等
D．篮球上各点离转轴越近，做圆周运动的向心加速度越大
C [篮球上的各点做圆周运动的圆心在篮球的轴线上，类似于地球的自转轴，A错误；手指并没有与篮球上的别的点接触，不可能提供所有点的向心力，B错误；篮球上各点做圆周运动的周期相等，即角速度相等，C正确；篮球上各点离转轴越近，由a＝rω2可知，做圆周运动的向心加速度越小，D错误。]
2．如图所示，“离心转盘游戏”中，设游客与转盘间的动摩擦因数均相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当转盘旋转的时候，更容易发生侧滑的是( )
A．质量大的游客
B．质量小的游客
C．离转盘中心近的游客
D．离转盘中心远的游客
D [游客在转盘上，恰好不发生相对运动时，随着转盘一起做圆周运动，则有μmg＝mω2r，ω与游客质量无关；当r较大时，有μmg＜mω2r，故离转盘中心远的游客容易发生侧滑，D正确。]
3．如图所示，轻质弹簧一端连着小球，另一端固定在O点上，小球以O点为圆心，在光滑水平桌面上做匀速圆周运动，则小球所需向心力( )
A．由小球的重力G提供
B．由弹簧拉力F提供
C．由小球的重力G和桌面的支持力N的合力提供
D．由桌面的支持力N提供
B [小球受重力、支持力和水平方向弹簧的拉力，小球以O点为圆心，在光滑水平桌面上做匀速圆周运动，竖直方向合力为零，故有：F合＝F＝Fn，即小球所需向心力由三个力的合力提供，也可以说是弹簧的弹力提供，故B正确，A、C、D错误。]
4．2021年6月17日，神舟十二号载人飞船与天和核心舱完成自主快速交会对接，是中华民族载人航天史又一个里程碑。假设结合体围绕地球做匀速圆周运动，起始时刻为t1，结束时刻为t2，共运行了n周，运动线速度为v，角速度为ω，轨道半径为r，则下列计算其运行周期的表达式正确的是( )
A．T＝ B．T＝ C．T＝ D．T＝
B [起始时刻为t1，结束时刻为t2，则运行周期T＝，A错误，B正确；根据线速度、角速度和周期关系可知T＝＝，C、D错误。故选B。]
5．最近许多户外闯关节目很受大众的欢迎，图甲就是某节目中选手飞身跳上圆形转盘的画面。可以把该游戏场景简化为如图乙所示的模型，A、B、C三个圆形转盘的半径之比为4∶2∶1，B转盘由电动机带动，A、C转盘通过与B转盘摩擦传动(假设三个转盘没有打滑现象)，则( )
甲 乙
A．胖子由于质量大，需要的向心力大，所以更容易被转盘甩下水
B．选手在A转盘的边缘最容易被甩下水
C．选手在A、B、C三个转盘边缘随转盘转动的向心加速度之比为1∶2∶2
D．为了过关成功，选手应该尽量跳到转盘中心处
D [进入转盘后，和转盘一起做圆周运动，根据f＝mrω2知，静摩擦力提供向心力，在转盘边缘，需要的向心力较大，摩擦力会不够提供，从而滑倒落水，所以在转盘中间比较安全，选手应该尽量跳到转盘中心处，根据μmg＝mrω2知，ω＝，与质量无关，故A错误，D正确；A、C转盘通过与B转盘摩擦传动，三者边缘线速度相等，根据a＝知加速度之比为∶∶1＝1∶2∶4，根据F＝ma知在C的边缘需要的向心力最大，最容易被甩下水，故B、C错误。]
6．两根长度不同的细线下面分别悬挂两个小球，细线上端固定在同一点，若两个小球以相同的角速度绕共同的竖直轴在水平面内做匀速圆周运动，则两个摆球在运动过程中，相对位置关系示意图正确的是图中的( )
A B
C D
B [小球做匀速圆周运动，对其受力分析如图所示，由牛顿第二定律则有mgtan θ＝mω2Lsin θ
整理得：Lcos θ＝是定值
则两球处于同一高度，故B项与分析相符。]
7．如图，在水平光滑细杆上有一小环，轻绳的一端系在小环上，另一端系着夹子夹紧一个质量为M的小物块两个侧面，小物块到小环悬点的距离为L，夹子每一侧面与小物块的最大静摩擦力均为F。小环和物块一起向右匀速运动，小环碰到杆上的钉子P后立刻停止，物块向上摆动。整个过程中，物块在夹子中没有滑动，则小环和物块一起向右匀速运动的速度最大为(不计小环和夹子的质量，重力加速度为g)( )
A． B． C． D．
D [当小环碰到钉子瞬间，物块将做匀速圆周运动，则对物块：2F－Mg＝M，解得v＝。故选D。]
8．如图所示，两段长均为L的轻质线共同系住一个质量为m的小球，另一端分别固定在等高的A、B两点，A、B两点间距也为L，今使小球在竖直平面内做圆周运动，当小球到达最高点时速率为v，两段线中张力恰好均为零；若小球到达最高点时速率为2v，则此时每段线中张力大小为( )
A．mg B．2mg C．3mg D．4mg
A [当小球到达最高点时速率为v，两段线中张力恰好均为零，有mg＝m；当小球到达最高点时速率为2v，设每段线中张力大小为F，如图所示，应有2Fcos 30°＋mg＝m，解得F＝mg，A项正确。]
9．我们可以用如图所示的实验装置来探究影响向心力大小的因素。长槽上的挡板B到转轴的距离是挡板A的2倍，长槽上的挡板A和短槽上的挡板C到各自转轴的距离相等。转动手柄使长槽和短槽分别随变速塔轮匀速转动，槽内的球就做匀速圆周运动。横臂的挡板对球的压力提供了向心力，球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆作用使弹簧测力筒下降，从而露出标尺，标尺上的红白相间的等分格显示出两个球所需向心力的比值。
(1)当传动皮带套在两塔轮半径不同的轮盘上时，塔轮边缘处的 ________(选填“线速度”或“角速度”)相等。
(2)探究向心力和角速度的关系时，应将传动皮带套在两塔轮半径不相同的轮盘上，将质量相同的小球分别放在______挡板和______(均选填“A”“B”或“C”)挡板处。
[解析](1)传动皮带套在两塔轮半径不同的轮盘上时，塔轮边缘上的点属于皮带传动，线速度相等。
(2)在探究向心力和角速度的关系时，要保持其余的物理量不变，则需要半径、质量都相同，则需要将传动皮带套在两塔轮半径不相同的轮盘上，将质量相同的小球分别放在挡板A和挡板C处。
[答案] (1)线速度 (2)A C
10．在质量为M的电动机飞轮上固定着一个质量为m的重物，重物到转轴的距离为r，重力加速度为g，如图所示，为了使放在地面上的电动机不会跳起，电动机飞轮的角速度不能超过多少？
[解析] 设电动机飞轮的角速度为ω时，当重物运动到最高点时电动机恰好会从地面跳起，重物对飞轮的作用力F恰好等于电动机的重力Mg，即
F＝Mg。
以重物为研究对象，由牛顿第二定律得
Mg＋mg＝mω2r，
解得ω＝。
[答案]
11．(多选)如图所示，质量为m的小明(视为质点)坐摩天轮。小明乘坐的车厢与摩天轮的转轴间的距离为r，摩天轮以大小为k(常数k<1，g为重力加速度大小)的角速度做匀速圆周运动。若小明坐在车厢水平座垫上且双脚离地，则下列说法正确的是( )
A．小明通过最高点时不受重力
B．小明做匀速圆周运动的周期为
C．小明通过最高点时处于完全失重状态
D．小明通过最低点时对车厢座垫的压力大小为(1＋k2)mg
BD [当小明通过最高点时小明依然要受到重力作用，A错误；小明做匀速圆周运动的周期T＝＝，B正确；小明做圆周运动所需的向心力大小F向＝k2mg
12．(多选)如图甲所示，我国男子体操运动员在里约奥运会上个人全能中完成“单臂大回环”的高难度动作：用一只手抓住单杠，伸展身体，以单杠为轴做圆周运动，运动到最高点时，与单杠间弹力大小为F，运动员在最高点的速度大小为v，其F v2图像如图乙所示。取g＝10 m/s2，则下列说法中正确的是( )
甲 乙
A．此运动员的质量为55 kg
B．此运动员的重心到单杠的距离为0.9 m
C．运动员在最高点速度为4 m/s时，其受单杠的弹力方向向上
D．在完成“单臂大回环”的过程中，他的单臂至少要承受2 750 N的力
ABD [对运动员在最高点进行受力分析，速度为零时，F－mg＝0，结合图像解得质量m＝55 kg，所以A项正确；当F＝0时，由向心力公式可得mg＝，结合图像可知R＝0.9 m，即运动员的重心到单杠的距离为0.9 m，所以B项正确；在最高点速度为4 m/s时，运动员受单杆的拉力向下，所以C项错误；经过最低点时，受力最大，由牛顿第二定律得F－mg＝m，根据机械能守恒得mg·2R＝mv2，由以上两式得F＝5mg，代入数据得F＝2 750 N，即运动员的单臂至少要承受的力为2 750 N，所以D项正确。]
13．(多选)如图所示，给光滑圆管道内的小球(可看作质点)一个初速度，使小球在竖直面内做半径为R的圆周运动，则关于小球在最高点时的速度v，下列叙述中正确的是( )
A．v的最小值为
B．v由零逐渐增大，在最高点管道对小球的弹力逐渐增大
C．当v由逐渐增大时，在最高点管道对小球的弹力也逐渐增大
D．当v由逐渐减小时，在最高点管道对小球的弹力逐渐增大
CD [小球在最高点，管道对小球的作用力可以向上，可以向下，所以v的最小值为零，故A错误；在最高点，当v＝时，根据牛顿第二定律得mg－FN＝，可得管道对球的作用力FN＝0；当v<时，管道对小球的作用力方向向上，根据牛顿第二定律得mg－FN＝m，当v由逐渐减小时，管道对小球的弹力逐渐增大，当v＞时，管道对小球的作用力方向向下，根据牛顿第二定律得mg＋FN＝m，当v由逐渐增大时，管道对小球的弹力也逐渐增大，故C、D正确，B错误。]
14．(多选)如图所示，半径为R的光滑圆弧槽固定在小车上，有一小球静止在圆弧槽的最低点。小车和小球一起以速度v向右匀速运动，当小车遇到障碍物突然停止后，小球上升的高度可能( )
A．等于
B．大于
C．小于
D．与小车的速度v无关
AC [设小球的质量为m，上升的高度为h。如果v较小，小车停止运动后，小球还没有脱离圆弧槽，则根据机械能守恒定律有mv2＝mgh，可得h＝，A正确；如果v较大，小车停止运动后，小球能够抛出圆弧槽，那么小球出了圆弧槽后将做斜抛运动，当小球到达最高点时，其还有水平方向上的速度，所以mv2＞mgh，可得h＜，C正确。]
15．某物理兴趣小组猜想向心力大小与小球质量、半径及角速度有关。现做如下实验，用细线穿过光滑空心笔杆，一端拴住小球，另一端用一只手牵住，另一只手抓住笔杆，用力转动小球使其做圆周运动，可近似认为细线拉力提供了小球所需的向心力，如图所示，实验过程如下：
(1)在保证小球质量和角速度不变的条件下，通过改变小球做圆周运动的____________，感受向心力的大小；
(2)换用不同质量的小球，在保证__________和半径不变的条件下，感受向心力的大小；
(3)在小球质量为m和运动半径为R不变的条件下，小球做圆周运动所在平面距水平地面的高度为H，当角速度增加到某值时，细线突然断掉，小球做平抛运动，测得小球落地点到转轴的水平距离为x，当地重力加速度为g，则细线恰好断裂时，小球的速度大小是__________，细线所能承受的最大拉力是____________(用题中字母表示)。
[解析](1)研究向心力大小的影响因素需要用到控制变量法，在保证小球质量和角速度不变的条件下，通过改变小球做圆周运动的半径，感受向心力的大小。
(2)换用不同质量的小球，在保证角速度和半径不变的条件下，感受向心力的大小。
(3)小球在细线断裂后做平抛运动，根据平抛运动的规律可知，竖直方向上H＝gt2，水平方向上x′＝vt，小球落地点到转轴的水平距离为x，根据几何关系可知x＝，联立解得v＝。根据牛顿第二定律可得，细线所能承受的最大拉力F＝m＝。
[答案] (1)半径 (2)角速度 (3)
16．一水平放置的圆盘，可以绕中心O点旋转，盘上放一个质量是0.4 kg的铁块(可视为质点)，铁块与中间位置的转轴处用轻质弹簧连接，如图所示。铁块随圆盘一起匀速转动，角速度是10 rad/s时，铁块距中心O点30 cm，这时弹簧对铁块的拉力大小为11 N，g取10 m/s2。
(1)求圆盘对铁块的摩擦力大小；
(2)若此情况下铁块恰好不向外滑动(视最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，则铁块与圆盘间的动摩擦因数为多大？
[解析](1)弹簧弹力与铁块受到的静摩擦力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律得F＋f＝mω2r
代入数值解得f＝1 N。
(2)此时铁块恰好不向外侧滑动，则所受到的静摩擦力就是最大静摩擦力，则有f＝μmg
故μ＝＝0.25。
[答案] (1)1 N (2)0.25
17．如图所示为常见的高速公路出口匝道，某汽车在AB段做匀减速直线运动，在BC段做水平面内的匀速圆周运动，圆弧段最高限速v0＝36 km/h，已知汽车与匝道间的动摩擦因数μ＝0.2，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，AB段长度L＝200 m，汽车在出口A的速度为v1＝108 km/h，取g＝10 m/s2。
(1)若汽车到达B点速度恰好为36 km/h，求汽车在AB段运动时加速度的大小；
(2)为保证行车安全(车轮不打滑)，求水平圆弧段BC半径R的最小值。
[解析](1)v0＝36 km/h＝10 m/s，v1＝108 km/h＝30 m/s，
在AB段由速度—位移的关系式得：
v－v＝2aL
解得：a＝－2 m/s2。
则汽车在AB段运动的加速度的大小为2 m/s2。
(2)汽车在BC段做匀速圆周运动，静摩擦力提供向心力，由牛顿第二定律得：f＝m
当静摩擦力达到最大静摩擦力时，半径R最小，即
f＝μmg
联立解得：R＝50 m。
[答案] (1)2 m/s2 (2)50 m
18．如图所示，竖直平面内的光滑圆弧管道的内径略大于小球直径，管道中心线到圆心的距离为R，A端与圆心O等高，AD为水平面，B点在O点的正下方，小球自A点正上方由静止释放，自由下落至A点时进入管道，从上端口飞出后落在C点。
(1)如果管道的内侧壁(图中较小的圆周)对小球没有弹力，小球释放点距离A点的最小高度为多大？
(2)若小球到达B点时，管壁对小球的弹力大小是小球重力大小的9倍。求：
①释放点距A点的竖直高度；
②落点C与A点的水平距离。
[解析](1)如果管道的内侧壁始终对小球没有弹力，则小球到达上端口时的最小速度v满足mg＝m，从释放点到上端口的过程中，由机械能守恒定律有mghA＝mgR＋mv2，联立解得hA＝1.5R。
(2)①因为到达B点时，管壁对小球的弹力大小是小球重力大小的9倍，所以有9mg－mg＝
由机械能守恒定律得mg(h＋R)＝mv
联立解得h＝3R。
②小球以速度v2从上端口射出做平抛运动。
由机械能守恒定律得mv＝mv＋mg·2R
由平抛运动的规律得R＝gt2，R＋x＝v2t
联立解得x＝(2－1)R。
[答案] (1)1.5R (2)①3R ②(2－1)R
12/12章末综合测评(四) 万有引力定律及航天、科学进步无止境
1．下列说法正确的是( )
A．开普勒发现了行星的运动规律并据此推广出了万有引力定律
B．牛顿借助万有引力定律发现了海王星和冥王星
C．卡文迪许第一次在实验室里测出了万有引力常量，因此被誉为称量地球质量第一人
D．据万有引力公式F＝G，当两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大
2．宇航员王亚平在“天宫1号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象。若飞船质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，则飞船所在处的重力加速度大小为( )
A．0 B． C． D．
3．(2021·全国甲卷)2021年2月，执行我国火星探测任务的“天问一号”探测器在成功实施三次近火制动后，进入运行周期约为1.8×105 s的椭圆形停泊轨道，轨道与火星表面的最近距离约为2.8×105m。已知火星半径约为3.4×106 m，火星表面处自由落体的加速度大小约为3.7 m/s2，则“天问一号”的停泊轨道与火星表面的最远距离约为( )
A．6×105 m B．6×106 m C．6×107 m D．6×108 m
4．一颗质量为m的卫星在离地球表面一定高度的轨道上绕地球做圆周运动，若已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，卫星的向心加速度与地球表面的重力加速度大小之比为1∶9，卫星的动能为( )
A． B． C． D．
5．研究表明，若干年后，地球自转的角速度比现在小一些。如图所示，1、2是现在地球的近地卫星和同步卫星，3、4是若干年后地球的近地卫星和同步卫星，认为若干年后地球的质量与半径与现在一样，则( )
现在 若干年后
A．3比1的线速度小
B．3比1的周期小
C．4比2的线速度小
D．4跟2的轨道半径一样大
6．2019年11月5日01时43分，我国在西昌卫星发射中心用“长征三号乙”运载火箭，成功发射第49颗北斗导航卫星，标志着“北斗三号”系统3颗倾斜地球同步轨道卫星全部发射完毕。倾斜地球同步轨道卫星是运转轨道面与地球赤道面有夹角的轨道卫星，运行周期等于地球的自转周期，倾斜地球同步轨道卫星正常运行时，下列说法正确的是( )
A．此卫星相对地面静止
B．如果有人站在地球赤道处地面上，此人的向心加速度比此卫星的向心加速度大
C．此卫星的发射速度小于第一宇宙速度
D．此卫星轨道正下方某处的人用望远镜观测，可能会一天看到两次此卫星
7．将质量为m的物体从一行星表面某高度处水平抛出(不计空气阻力)。自抛出开始计时，物体离行星表面高度h随时间t变化关系如图所示，万有引力常量为G，不考虑行星自转的影响，则根据以上条件可以求出( )
A．行星的质量
B．该行星的第一宇宙速度
C．物体受到行星万有引力的大小
D．物体落到行星表面的速度大小
8．根据相对论判断，下列说法正确的是( )
A．狭义相对论全面否定了经典力学理论
B．如果物体在地面上静止不动，任何人在任何参考系里测出的物体长度都是一样的
C．真空中的光速在不同的惯性参考系中也是不同的
D．物体运动时的质量总要大于静止时的质量
9．有一星球的密度与地球的密度相同，但它表面处的重力加速度是地球表面重力加速度的4倍，则该星球的质量将是地球质量的多少倍？
10．如图所示，一火箭以a＝的加速度竖直升空。为了监测火箭到达的高度，可以观察火箭上搭载物视重的变化。如果火箭上搭载的一只小狗的质量为m＝1.6 kg，当检测仪器显示小狗的视重为F＝9 N时，火箭距离地面的高度是地球半径的多少倍？(g取10 m/s2)
11．(多选)中国志愿者王跃参与人类历史上第一次全过程模拟从地球往返火星的试验“火星—500”。假设将来人类一艘飞船从火星返回地球时，经历如图所示的变轨过程，则下列说法正确的是( )
A．飞船在轨道Ⅱ上运动时，在P点的速度大于在Q点的速度
B．飞船在轨道Ⅰ上运动的机械能大于在轨道Ⅱ上运动的机械能
C．飞船在轨道Ⅰ上运动到P点时的加速度等于飞船在轨道Ⅱ上运动到P点时的加速度
D．飞船绕火星在轨道Ⅰ上运动的周期跟飞船返回地面的过程中绕地球以与轨道Ⅰ同样的半径运动的周期相同
12．(多选)银河系的恒星大约四分之一是双星。某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点O做匀速圆周运动，由天文观察测得其运动周期为T，S1到O点的距离为r1，S1和S2的距离为r，且r1>，已知引力常量为G，那么以下正确的是( )
A．两星向心力大小必相等
B．两星做圆周运动角速度必相等
C．S2质量为
D．S1质量大于S2质量
13．(多选)如图所示，运行轨道在同一平面内的两颗人造卫星A、B，同方向绕地心做匀速圆周运动，此时刻A、B与地心恰在同一直线上且相距最近，已知A的周期为T，B的周期为。下列说法正确的是( )
A．A的线速度大于B的线速度
B．A的加速度小于B的加速度
C．A、B与地心连线在相同时间内扫过的面积相等
D．从此时刻到下一次A、B相距最近的时间为2T
14．(多选)2020年7月31日“北斗三号”全球卫星导航系统正式开通。其中一颗卫星轨道近似为圆，轨道半径为r，周期为T，地球表面的重力加速度为g，地球半径为R，万有引力常量为G，下列说法正确的有( )
A．该卫星运动的角速度为
B．该卫星运动的线速度为
C．地球的质量为
D．地球的质量为
15．一颗“北斗”导航卫星在距地球表面高度为h的轨道上做匀速圆周运动，已知地球半径为R，引力常量为G，地球表面的重力加速度为g。求：
(1)地球的质量M；
(2)地球的第一宇宙速度v1；
(3)该“北斗”导航卫星做匀速圆周运动的周期T。
16．“神舟五号”载人航天飞船由“长征二号”F型运载火箭点火发射时，从电视画面上观察到火箭起速较小，这是载人航天飞行的特殊需要。“长征二号”F型运载火箭的推力是5 000多千牛，质量是400多吨，与发射卫星和导弹相比，加速度的确小得多，这主要是为航天员的安全和舒适着想，如果火箭加速度过大，航天员会感觉不舒服，甚至有生命危险。如图所示，火箭内的实验平台上有质量为18 kg的测试仪器，火箭从地面启动后，以加速度a＝竖直匀加速上升，g取10 m/s2，试求：
(1)火箭刚启动时，测试仪器对实验平台的压力是多大？
(2)火箭升至离地面的高度为地球半径的一半，即h＝时，测试仪器对实验平台的压力又是多大？
17．如图所示，宇航员站在某质量分布均匀的星球表面一斜坡上P点沿水平方向以初速度v0抛出一个小球，测得小球经时间t落到斜坡上另一点Q，斜面的倾角为θ，已知该星球半径为R，引力常量为G，求：
(1)该星球表面的重力加速度g和质量M；
(2)该星球的第一宇宙速度v；
(3)人造卫星绕该星球做匀速圆周运动的最小周期T。
18．在物理学中，常常用等效替代法、类比法、微小量放大法等来研究问题。如在牛顿发现万有引力定律一百多年后，卡文迪许利用微小量放大法由实验测出了引力常量G的数值。卡文迪许的实验常被称为是“称量地球质量”的实验，因为由G的数值及其他已知量，就可计算出地球的质量，卡文迪许也因此被誉为“第一个称量地球的人”。如图所示是卡文迪许扭秤实验示意图。
(1)若在某次实验中，卡文迪许测出质量分别为m1、m2且球心相距为r的两个小球之间引力的大小为F，求万有引力常量G；
(2)若已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，引力常量为G，忽略地球自转的影响，请推导出地球质量及地球平均密度的表达式。
11/12章末综合测评(四) 万有引力定律及航天、科学进步无止境
1．下列说法正确的是( )
A．开普勒发现了行星的运动规律并据此推广出了万有引力定律
B．牛顿借助万有引力定律发现了海王星和冥王星
C．卡文迪许第一次在实验室里测出了万有引力常量，因此被誉为称量地球质量第一人
D．据万有引力公式F＝G，当两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大
C [开普勒发现了行星的运动规律，牛顿发现万有引力定律，故A错误；海王星和冥王星不是牛顿发现的，故B错误；卡文迪许第一次在实验室里测出了万有引力常量，因此被誉为称量地球质量第一人，故C正确；万有引力公式F＝G，适用于两质点间的引力计算，当两物体间的距离趋近于0时已经不能看为质点，故不能用公式计算引力，故D错误。]
2．宇航员王亚平在“天宫1号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象。若飞船质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，则飞船所在处的重力加速度大小为( )
A．0 B． C． D．
B [由G＝mg得，g＝，故B项正确。]
3．(2021·全国甲卷)2021年2月，执行我国火星探测任务的“天问一号”探测器在成功实施三次近火制动后，进入运行周期约为1.8×105 s的椭圆形停泊轨道，轨道与火星表面的最近距离约为2.8×105m。已知火星半径约为3.4×106 m，火星表面处自由落体的加速度大小约为3.7 m/s2，则“天问一号”的停泊轨道与火星表面的最远距离约为( )
A．6×105 m B．6×106 m C．6×107 m D．6×108 m
C [在火星表面附近，对于绕火星做匀速圆周运动的物体，有mg火＝mR火，得T＝，根据开普勒第三定律，有＝，代入数据解得l远≈6×107 m，C正确。]
4．一颗质量为m的卫星在离地球表面一定高度的轨道上绕地球做圆周运动，若已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，卫星的向心加速度与地球表面的重力加速度大小之比为1∶9，卫星的动能为( )
A． B． C． D．
B [在地球表面有：G＝m′g，卫星做圆周运动有：G＝ma。由于卫星的向心加速度与地球表面的重力加速度大小之比为1∶9，即：＝＝＝
则卫星的轨道半径：r＝3R ①
卫星绕地球做匀速圆周运动：
G＝m ②
又：G＝m′g ③
由①②③可解得卫星的动能为：
Ek＝mv2＝·＝·＝
所以B正确，A、C、D错误。]
5．研究表明，若干年后，地球自转的角速度比现在小一些。如图所示，1、2是现在地球的近地卫星和同步卫星，3、4是若干年后地球的近地卫星和同步卫星，认为若干年后地球的质量与半径与现在一样，则( )
现在 若干年后
A．3比1的线速度小
B．3比1的周期小
C．4比2的线速度小
D．4跟2的轨道半径一样大
C [近地卫星向心力由万有引力提供，得：G＝m＝m，近地卫星的运行的周期T＝，线速度大小v＝，因质量不变，地球半径不变，故周期不变，线速度大小不变，故A、B错误；同步卫星，万有引力提供圆周运动向心力：G＝m＝m，由于地球自转的角速度比现在小，自转周期变慢，故同步卫星的轨道高度r变大，又据v＝知，轨道半径r变大，卫星的线速度变小，即4比2的线速度小，故C正确，D错误。]
6．2019年11月5日01时43分，我国在西昌卫星发射中心用“长征三号乙”运载火箭，成功发射第49颗北斗导航卫星，标志着“北斗三号”系统3颗倾斜地球同步轨道卫星全部发射完毕。倾斜地球同步轨道卫星是运转轨道面与地球赤道面有夹角的轨道卫星，运行周期等于地球的自转周期，倾斜地球同步轨道卫星正常运行时，下列说法正确的是( )
A．此卫星相对地面静止
B．如果有人站在地球赤道处地面上，此人的向心加速度比此卫星的向心加速度大
C．此卫星的发射速度小于第一宇宙速度
D．此卫星轨道正下方某处的人用望远镜观测，可能会一天看到两次此卫星
D [由于倾斜轨道卫星与赤道面有一定夹角，而地球绕地轴转动，故两者转动方向不同，不可能相对静止，故A错误；赤道上的人和卫星具有相同的角速度、周期，由a＝r可知，卫星的向心加速度比人的向心加速度大，故B错误；第一宇宙速度是卫星的最小发射速度，故该卫星的发射速度一定大于第一宇宙速度，故C错误；假设某时刻卫星正好运动到赤道的正上方，赤道上的人来观测卫星，当卫星转动半个周期到背面时，人也恰好在其正下方，故可能会一天看到两次此卫星，故D正确。]
7．将质量为m的物体从一行星表面某高度处水平抛出(不计空气阻力)。自抛出开始计时，物体离行星表面高度h随时间t变化关系如图所示，万有引力常量为G，不考虑行星自转的影响，则根据以上条件可以求出( )
A．行星的质量
B．该行星的第一宇宙速度
C．物体受到行星万有引力的大小
D．物体落到行星表面的速度大小
C [物体做平抛运动，竖直方向上做自由落体运动，由图像可知，h＝25 m，t＝2.5 s，根据公式h＝gt2，解得g＝8 m/s2，物体在行星表面受到的重力等于万有引力，G＝mg，解得行星的质量M＝，因为行星半径未知，行星的质量无法求出，故A错误；根据重力提供向心力可知，mg＝m，解得行星的第一宇宙速度v＝，行星半径未知，第一宇宙速度未知，故B错误；物体受到行星万有引力的大小为mg，故C正确；物体做平抛运动，落地速度v＝，初速度未知，则落地速度未知，故D错误。]
8．根据相对论判断，下列说法正确的是( )
A．狭义相对论全面否定了经典力学理论
B．如果物体在地面上静止不动，任何人在任何参考系里测出的物体长度都是一样的
C．真空中的光速在不同的惯性参考系中也是不同的
D．物体运动时的质量总要大于静止时的质量
D [相对论的出现，并没有否定经典物理学，经典物理学是相对论在宏观低速运动条件下的特殊情形，故A错误；根据狭义相对论的相对性原理，在不同的参考系中，测量的物体的长度不相同，故B错误；根据狭义相对论的光速不变原理，真空中光速在不同的惯性参考系中是相同的，故C错误；根据狭义相对论的相对性原理，运动物体的质量：m＝知，物体运动时的质量总要大于静止时的质量，物体的速度越大，其质量也越大。故D正确。]
9．有一星球的密度与地球的密度相同，但它表面处的重力加速度是地球表面重力加速度的4倍，则该星球的质量将是地球质量的多少倍？
[解析] 由＝mg得M＝。
ρ＝＝＝，R＝，＝·＝＝4
结合题意，该星球半径是地球半径的4倍。
根据M＝，＝·＝64。
[答案] 64
10．如图所示，一火箭以a＝的加速度竖直升空。为了监测火箭到达的高度，可以观察火箭上搭载物视重的变化。如果火箭上搭载的一只小狗的质量为m＝1.6 kg，当检测仪器显示小狗的视重为F＝9 N时，火箭距离地面的高度是地球半径的多少倍？(g取10 m/s2)
[解析] 设地球的半径为R，火箭距离地面的高度为h，该处的重力加速度为g′。根据牛顿第二定律，有F－mg′＝ma，g′＝－＝ m/s2。根据万有引力定律，有g′＝G∝，所以＝，即＝，所以，火箭距离地面的高度为h＝3R。
[答案] 3倍
11．(多选)中国志愿者王跃参与人类历史上第一次全过程模拟从地球往返火星的试验“火星—500”。假设将来人类一艘飞船从火星返回地球时，经历如图所示的变轨过程，则下列说法正确的是( )
A．飞船在轨道Ⅱ上运动时，在P点的速度大于在Q点的速度
B．飞船在轨道Ⅰ上运动的机械能大于在轨道Ⅱ上运动的机械能
C．飞船在轨道Ⅰ上运动到P点时的加速度等于飞船在轨道Ⅱ上运动到P点时的加速度
D．飞船绕火星在轨道Ⅰ上运动的周期跟飞船返回地面的过程中绕地球以与轨道Ⅰ同样的半径运动的周期相同
AC [轨道Ⅱ为椭圆轨道，由机械能守恒定律知，由近地点P向远地点Q运动时，动能减少，势能增加，故在P点的速度大于在Q点的速度，故A正确；飞船由轨道Ⅰ变为轨道Ⅱ需在P点加速，故飞船在轨道Ⅰ上运动的机械能小于在轨道Ⅱ上运动的机械能，故B错误；飞船在两轨道上P点时到火星中心距离相同，受火星引力即ma＝，有a＝，即加速度相同，故C正确；若轨道Ⅰ贴近火星(或地球)表面，测出飞船在轨道Ⅰ上运动的周期T，由＝，则：T＝2π，火星与地球的质量不同，所以飞船绕火星在轨道Ⅰ上运动的周期跟飞船返回地面的过程中绕地球以与轨道Ⅰ同样的半径运动的周期不相同，故D错误。]
12．(多选)银河系的恒星大约四分之一是双星。某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点O做匀速圆周运动，由天文观察测得其运动周期为T，S1到O点的距离为r1，S1和S2的距离为r，且r1>，已知引力常量为G，那么以下正确的是( )
A．两星向心力大小必相等
B．两星做圆周运动角速度必相等
C．S2质量为
D．S1质量大于S2质量
ABC [双星靠相互间的万有引力提供向心力，周期相等，故角速度一定相同，与质量无关，故A、B正确；根据万有引力提供向心力有：G＝m1r1，得：m2＝，即S2质量为，故C正确；根据万有引力提供向心力有：G＝m1ω2r1＝m2ω2r2，有：＝，即半径与其质量成反比，因为r1>，故r1>r2，所以m113．(多选)如图所示，运行轨道在同一平面内的两颗人造卫星A、B，同方向绕地心做匀速圆周运动，此时刻A、B与地心恰在同一直线上且相距最近，已知A的周期为T，B的周期为。下列说法正确的是( )
A．A的线速度大于B的线速度
B．A的加速度小于B的加速度
C．A、B与地心连线在相同时间内扫过的面积相等
D．从此时刻到下一次A、B相距最近的时间为2T
BD [根据万有引力提供向心力，有G＝ma＝m，得a＝，v＝，可知vA14．(多选)2020年7月31日“北斗三号”全球卫星导航系统正式开通。其中一颗卫星轨道近似为圆，轨道半径为r，周期为T，地球表面的重力加速度为g，地球半径为R，万有引力常量为G，下列说法正确的有( )
A．该卫星运动的角速度为
B．该卫星运动的线速度为
C．地球的质量为
D．地球的质量为
AD [根据圆周运动的规律可知，卫星运动的角速度ω＝，故A正确；根据圆周运动的规律可知，卫星运动的线速度v＝，故B错误；物体在地球表面，受到的重力近似等于万有引力mg＝，解得地球质量M＝，故C错误；卫星绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得G＝mr，解得地球质量M＝，故D正确。故选AD。]
15．一颗“北斗”导航卫星在距地球表面高度为h的轨道上做匀速圆周运动，已知地球半径为R，引力常量为G，地球表面的重力加速度为g。求：
(1)地球的质量M；
(2)地球的第一宇宙速度v1；
(3)该“北斗”导航卫星做匀速圆周运动的周期T。
[解析](1)在地球表面重力与万有引力相等有：
G＝mg
可得地球的质量M＝。
(2)第一宇宙速度是近地卫星运行速度，由万有引力提供圆周运动向心力得：
G＝mg＝m
可得第一宇宙速度v1＝。
(3)该“北斗”导航卫星的轨道半径r＝R＋h，据万有引力提供圆周运动向心力有：
G＝m(R＋h)
代入M＝
可得T＝＝。
[答案] (1) (2) (3)
16．“神舟五号”载人航天飞船由“长征二号”F型运载火箭点火发射时，从电视画面上观察到火箭起速较小，这是载人航天飞行的特殊需要。“长征二号”F型运载火箭的推力是5 000多千牛，质量是400多吨，与发射卫星和导弹相比，加速度的确小得多，这主要是为航天员的安全和舒适着想，如果火箭加速度过大，航天员会感觉不舒服，甚至有生命危险。如图所示，火箭内的实验平台上有质量为18 kg的测试仪器，火箭从地面启动后，以加速度a＝竖直匀加速上升，g取10 m/s2，试求：
(1)火箭刚启动时，测试仪器对实验平台的压力是多大？
(2)火箭升至离地面的高度为地球半径的一半，即h＝时，测试仪器对实验平台的压力又是多大？
[解析](1)火箭刚启动时，对测试仪器进行受力分析，有FN1－mg＝ma。
故FN1＝m(g＋a)＝18×(10＋5) N＝270 N。
由牛顿第三定律知，测试仪器对平台的压力为270 N。
(2)设高h处重力加速度为g′，＝＝＝，
则g′＝g，
对仪器由牛顿第二定律得：FN2－mg′＝ma
故FN2＝m(g′＋a)＝18× N＝170 N。
由牛顿第三定律知，测试仪器对平台的压力为170 N。
[答案] (1)270 N (2)170 N
17．如图所示，宇航员站在某质量分布均匀的星球表面一斜坡上P点沿水平方向以初速度v0抛出一个小球，测得小球经时间t落到斜坡上另一点Q，斜面的倾角为θ，已知该星球半径为R，引力常量为G，求：
(1)该星球表面的重力加速度g和质量M；
(2)该星球的第一宇宙速度v；
(3)人造卫星绕该星球做匀速圆周运动的最小周期T。
[解析](1)小球做平抛运动，可知：
tan θ＝
解得g＝
根据黄金代换公式：GM＝gR2，
解得M＝＝。
(2)根据万有引力作为向心力：
＝m
解得：v＝＝。
(3)当人造卫星绕星球表面做匀速圆周运动时，周期最小。
Tmin＝＝2π＝2π。
[答案] (1) (2) (3)2π
18．在物理学中，常常用等效替代法、类比法、微小量放大法等来研究问题。如在牛顿发现万有引力定律一百多年后，卡文迪许利用微小量放大法由实验测出了引力常量G的数值。卡文迪许的实验常被称为是“称量地球质量”的实验，因为由G的数值及其他已知量，就可计算出地球的质量，卡文迪许也因此被誉为“第一个称量地球的人”。如图所示是卡文迪许扭秤实验示意图。
(1)若在某次实验中，卡文迪许测出质量分别为m1、m2且球心相距为r的两个小球之间引力的大小为F，求万有引力常量G；
(2)若已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，引力常量为G，忽略地球自转的影响，请推导出地球质量及地球平均密度的表达式。
[解析](1)根据万有引力定律得F＝G
得G＝。
(2)设地球质量为M，质量为m的任一物体在地球表面附近满足G＝mg
解得地球的质量M＝
地球的体积V＝πR3
解得地球的平均密度＝＝。
[答案] (1) (2)M＝ ＝
11/12