甘肃省兰州市第五十五中学2022-2023学年高三下学期开学摸底考试数学（文科）试卷（含解析）

兰州市第五十五中学2022-2023学年度第二学期开学摸底考试数学试卷（文科）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知，则在复平面内复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知集合，集合，若，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．6
3．已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知等差数列的前n项和为，若，，则数列的公差为（ ）
A．2 B． C．6 D．4
5．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．8 B．16 C．24 D．32
7．实验室对某种药物作对比研究，对6只小白鼠中的3只注射了该药物，若要从这6只小白鼠中随机取出2只，则恰有1只注射过该药物的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．对于曲线（且），以下说法正确的是（ ）
A．曲线是椭圆 B．曲线是双曲线
C．曲线的焦点坐标是 D．曲线的焦点坐标是
9．已知函数，若函数的图象与直线
在上有3个不同的交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．已知命题；命题若正实数x，y满足，则，则下列命题中为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
11．为保障妇女权益 促进妇女发展 推动男女平等，我国于2011年颁布实施《中国妇女发展纲要（2011—2020年）》（以下简称《纲要》．《纲要》实施以来，我国积极推动和支持妇女参政议政，妇女参与决策和管理的比例明显提高，妇女的政治权利得到有力保障和加强．2018年召开的第十三届全国人民代表大会共有女代表742名，政协第十三届（2018年）全国委员会中有女委员440人．第一到十三届历届全国人大女代表 政协女委员所占比重如图：
下列结论错误的是（）
A．第十三届全国人大女代表所占比重比第十一届提高3．6个百分点
B．第十三届全国政协女委员所占比重比第四届提高10个百分点以上
C．从第一到第十三届全国政协女委员所占比重的平均值低于12%
D．第十三届全国人大代表的人数不高于3000人
12．已知函数，若，，
则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知抛物线恰好经过圆的圆心，则抛物线C的焦点坐标为__________．
14．已知某样本数据分别为1，4，3，a，6，且样本均值，则样本方差_______．
15．已知，，，则向量与向量的夹角为______．
16．已知圆，直线，则使“圆C上至少有3个点到直线l的距离都是1”成立的一个充分条件是“______”．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）设数列的前n项和为，且满足（）．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）令，求数列的前n项和．
18．（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，，，，，点M是AB的中点，点N是线段BC上的动点．
（1）证明：平面PAB；
（2）若点N到平面PCM的距离为，求的值．
19．（12分）进入12月就到了贵阳市附近草莓采摘的时间，某草莓园为了制定今年的草莓销售策略，随机抽取了去年100名来园采摘顾客的消费情况，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求的值，并根据频率分布直方图估计顾客消费的中位数；
（2）若把这100名顾客中消费超过120元的称为“超级消费者”，完成下表，并判断是否有95%的把握认为“超级消费者”与性别有关．
男 女 合计
超级消费者 8 28
非超级消费者 32
合计 100
附表及公式：，其中．
0．10 0．05 0．025 0．010
2．706 3．841 5．024 6．635
20．（12分）已知椭圆经过点，椭圆C的离心率．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设过点且与x轴不重合的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，直线AM，AN分别与直线分别交于P，Q，记点P，Q的纵坐标分别为p，q，求的值．
21．（12分）已知函数．
（1）若，求函数的单调区间；
（2）若，求证：．参考数据：．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑。按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。
22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为，（为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，点A的极坐标为．
（1）求C的普通方程以及l的直角坐标方程；
（2）若l与C交于M，N两点，求的值．
23.（本小题满分10分）选修4 -5：不等式选讲
已知函数的最小值为m．
（1）求m的值；
（2）若正数a，b，c满足，求的最大值．
答案及解析
1．已知，则在复平面内复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】由可得，
则在复平面内复数对应的点为，位于第四象限，故选D．
2．已知集合，集合，若，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．6
【答案】C
【解析】，所以，
由于，所以是方程的根，
即．
此时或，
，满足，
所以，故选C．
3．已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为函数，
所以，故选A．
4．已知等差数列的前n项和为，若，，则数列的公差为（ ）
A．2 B． C．6 D．4
【答案】D
【解析】∵，∴，
∴数列的公差为，故选D．
5．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
，，
当时，，解得（舍）或，
故选D．
6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．8 B．16 C．24 D．32
【答案】B
【解析】由题意可知几何体的形状如图：
是矩形，，
所以几何体的体积为，故选B．
7．实验室对某种药物作对比研究，对6只小白鼠中的3只注射了该药物，若要从这6只小白鼠中随机取出2只，则恰有1只注射过该药物的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设注射了该药物的3只小白鼠为A，B，C，没注射药物的3只小白鼠为a，b，c，
从6只中取2只，则有
，共15组，
其中恰有1只注射过该药物的有，
，共9组，
故恰有1只注射过该药物的概率为，故选B．
8．对于曲线（且），以下说法正确的是（ ）
A．曲线是椭圆 B．曲线是双曲线
C．曲线的焦点坐标是 D．曲线的焦点坐标是
【答案】D
【解析】当时，曲线为双曲线，，
故焦点坐标为；
当时，曲线为椭圆，，焦点坐标为，
故选D．
9．已知函数，若函数的图象与直线
在上有3个不同的交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由
，
与直线在上有3个不同交点，即在上有3个实根，
由，得，
所以，解得，故选A．
10．已知命题；命题若正实数x，y满足，则，则下列命题中为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，可知，
所以，命题为真命题；
，当且仅当等号成立，
命题为真命题，
故命题为真命题，故选A．
11．为保障妇女权益 促进妇女发展 推动男女平等，我国于2011年颁布实施《中国妇女发展纲要（2011—2020年）》（以下简称《纲要》．《纲要》实施以来，我国积极推动和支持妇女参政议政，妇女参与决策和管理的比例明显提高，妇女的政治权利得到有力保障和加强．2018年召开的第十三届全国人民代表大会共有女代表742名，政协第十三届（2018年）全国委员会中有女委员440人．第一到十三届历届全国人大女代表 政协女委员所占比重如图：
下列结论错误的是（）
A．第十三届全国人大女代表所占比重比第十一届提高3．6个百分点
B．第十三届全国政协女委员所占比重比第四届提高10个百分点以上
C．从第一到第十三届全国政协女委员所占比重的平均值低于12%
D．第十三届全国人大代表的人数不高于3000人
【答案】C
【解析】A．第十三届全国人大女代表所占比重为24．9%，第十一届为21．3%，提高3．6个百分点，A正确；
B．第十三届全国政协女委员所占比重为20．4%，第四届为9%，提高11．4个百分点，B正确；
C．从第一到第十三届全国政协女委员所占比重的平均值为
，
高于12%，C错误；
D．第十三届全国人大代表的人数约为人，不高于3000人，D正确，
故选C．
12．已知函数，若，，
则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数的定义域为，
因为，所以为奇函数，
所以可化为，
即，
任取，且，
则
，
因为，所以，
所以，即，
所以在上为增函数，
所以由，得，
所以，所以，
即实数的取值范围是，故选D．
13．已知抛物线恰好经过圆的圆心，则抛物线C的焦点坐标为__________．
【答案】或
【解析】由题可得圆的圆心为，
代入得，
将抛物线的方程化为标准方程得，故焦点坐标为，
故答案为．
14．已知某样本数据分别为1，4，3，a，6，且样本均值，则样本方差_______．
【答案】或
【解析】依题意，
所以，
故答案为．
15．已知，，，则向量与向量的夹角为______．
【答案】
【解析】设向量与向量的夹角为，
∵，∴，
又∵，∴，
∵，∴，∴，∴，
∵，∴．
故答案为．
16．已知圆，直线，则使“圆C上至少有3个点到直线l的距离都是1”成立的一个充分条件是“______”．
【答案】3
【解析】若圆C与直线相切，或相离都不可能有3个点到直线的距离为1，
故圆C与直线相交，即圆心C到直线的距离，
要使圆C上恰有3个点到直线l的距离是1，需，即，
圆C上至少有3个点到直线l的距离都是1，则，
根据充分条件的定义知使“圆C上至少有3个点到直线l的距离都是1”成立的一个充分条件是“”，
故答案为3．
17．（12分）设数列的前n项和为，且满足（）．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）令，求数列的前n项和．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1），，
相减得，则，
又∵，得，
故，得证．
（2）由（1）可得，所以，
则，
则，
两式相减可得
，
所以．
18．（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，，，，，点M是AB的中点，点N是线段BC上的动点．
（1）证明：平面PAB；
（2）若点N到平面PCM的距离为，求的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）证明：连接AC，
在中，因为，，，
所以，
因为，，所以是等边三角形．
因为点是的中点，所以，
在中，，，，
满足，所以，
而，所以平面．
（2）过点作，垂足为，
由（1）可知平面，
因为平面，
所以平面平面，平面平面，
所以平面．
由得，，
解得，
所以．
19．（12分）进入12月就到了贵阳市附近草莓采摘的时间，某草莓园为了制定今年的草莓销售策略，随机抽取了去年100名来园采摘顾客的消费情况，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求的值，并根据频率分布直方图估计顾客消费的中位数；
（2）若把这100名顾客中消费超过120元的称为“超级消费者”，完成下表，并判断是否有95%的把握认为“超级消费者”与性别有关．
男 女 合计
超级消费者 8 28
非超级消费者 32
合计 100
附表及公式：，其中．
0．10 0．05 0．025 0．010
2．706 3．841 5．024 6．635
【答案】（1），中位数为；（2）列联表见解析，有95%的把握认为“超级消费者”和性别有关．
【解析】（1）由题设，，可得，
易知：中位数在之间，令中位数为m，
∴，可得．
（2）
男 女 合计
超级消费者 8 20 28
非超级消费者 40 32 72
合计 48 52 100
，
所以有95%的把握认为“超级消费者”和性别有关．
20．（12分）已知椭圆经过点，椭圆C的离心率．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设过点且与x轴不重合的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，直线AM，AN分别与直线分别交于P，Q，记点P，Q的纵坐标分别为p，q，求的值．
【答案】（1）；（2）12．
【解析】（1）由题意可得，解得，
所以所求椭圆方程为．
（2）直线l的斜率不存在时，直线与椭圆不相交，故斜率存在，设其为k，
设直线l的方程为，，
联立方程，消去y得，
所以，解得，
．
直线AM方程为：，令，解得；
直线AN方程为：，令，解得，
所以
，
即．
21．（12分）已知函数．
（1）若，求函数的单调区间；
（2）若，求证：．参考数据：．
【答案】（1）函数f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）证明见解析．
【解析】（1）依题意，当时，，所以，
易知函数为增函数，且，
故当时，；当时，，
故函数的单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）证明：要证，即证，
①当时，因为，则显然有；
②当时，令，可知函数在上单调递减，
所以只需证明，即证；
令，则，
显然单调递増，，所以存在唯一，使，
且时，单调递减；
时，单调递增，
所以．
因为，所以，即，
所以．
又因为，所以，所以，
从而，所以，
所以，故，
综上所述，若，则．
22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
已知平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为，（为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，点A的极坐标为．
（1）求C的普通方程以及l的直角坐标方程；
（2）若l与C交于M，N两点，求的值．
【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）（为参数），
故C的普通方程为．
由l的极坐标方程可得，即，
故l的直角坐标方程为．
（2）依题意，l的参数方程可写为（t为参数），
将l的参数方程代入中，整理得，
则，设，是方程的两个实数根，则，，
故．
23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】
已知函数的最小值为m．
（1）求m的值；
（2）若正数a，b，c满足，求的最大值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）依题意，
则当时，函数取得最小值．
（2）依题意，
因为，，
所以，
当且仅当时取等号，故的最大值为．