教学目标：（1）把平面向量的概念及其线性运算法则向空间向量推广；
（2）了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及其性质；
1、空间向量的基本概念
平面向量 空间向量
定义
表示法 几何表示法：字母表示法：
向量的模
零向量
单位向量
相反向量
相等向量
思考：空间任意两个向量是否都可以平移到同一平面内？为什么？
空间向量的线性运算（与平面向量一样）
对空间向量的加法、减法及数乘的说明：
空间向量的运算就是平面向量运算的推广．
凡是只涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。
两个向量相加的平行四边形法则、相减的三角形法则在空间仍然成立．
共线向量（或平行向量）：__________________________________________
共线向量定理：对空间任意两个向量（≠）、，∥的充要条件是存
在实数使＝。（零向量与任意向量共线）
推论：如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，那么对任
一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式
①
其中向量叫做直线l的方向向量。
在l上取，则①式可化为 ②
(作用：判断三点共线）
当时，点P是线段AB的中点，则 ③
共面向量：
共面向量定理 ：如果两个向量、不共线，则向量与向量、共面的
充要条件是存在实数对x、y，使①
推论：空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对x、y，使
④
或对空间任一定点O，有⑤
又∵代入⑤，整理得
也是M、A、B、P四点共面的充要条件。
例题分析
例一：
变式训练：在上图中，用(课本86页)
例二：（课本88页）如图，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点O作
射线OA、OB、OC、OD，在四条射线上分别取点E、F、G、H，并且使
求证：⑴四点E、F、G、H共面；
⑵平面EG//平面AC.
练习
（1）给出以下命题：
两个空间向量相等，则它们的起点、终点相同；
若空间向量 满足 ，则 ；
在正方体 中，必有 ；
若空间向量 满足 ，则 ；
空间中任意两个单位向量必相等。
其中正确命题是_______________
（2）、练习：空间四边形ABCD中,M、G分别是BC、CD边的中点,化简：
解
3.1.3空间向量的数量积运算
教学目标：探讨如何利用空间向量的数量积表示空间两条直线的夹角和空间线段的长度
1、夹角：已知两个非零向量、，在空间任取一点O，作，，则角∠ AOB叫做向量与的夹角，记作_____________
说明：⑴规定0≤≤,因而=；
⑵如果=，则称与互相垂直，记作⊥；
⑶在表示两个向量的夹角时，要使有向线段的起点
重合，注意图（1）、（2）中的两个向量的夹角不同，
图（1）中∠AOB=，
图（2）中∠AOB=,
2、向量的模：表示向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模。
3、向量的数量积：叫做向量、的数量积，记作。
即=，
注意：
①两个向量的数量积是数量，而不是向量.
②零向量与任意向量的数量积等于零。
4、性质与运算律
性质：⑴⊥=0 (2)
运算律：(1) (2)= (3)
注意：数量积不满足结合律
5、思考：
6、例题分析（课本91页）
例1 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,
那么它也和这条斜线垂直.
例2:已知直线m ,n是平面a内的两条相交直线,如果 l⊥m, l⊥n,求证: l ⊥a .
8、练习（课本92页）
（1）如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=BB1,
则AB1与C1B所成角的大小为( )
A
B
C
D
A
B
C
D
F
B
A
H
E
C
D
证明：
由面面平行判定定理的推论得：
②
由①知
A
B
M
C
G
D
(2)原式
A
B
O
（1）
A
B
O
（2）
1.下列命题成立吗
①若 ,则
②若 ,则
③
m
n
g
A
B
A1
C1
B1
C
2）已知在平行六面体 中， ,
,
求对角线 的长。
3） 如图，已知线段 在平面 内，线段
，线段 ，线段 ， ，如
果 ，求 、 之间的距离。
解：由 ，可知 .
由 知 .教学目标：1、理解空间向量的基本定理及其意义，理解空间任意一个向量可以用不共 面的三个已知向量线性表示，而且这种表示是唯一的；
2、在简单问题中，会选择适当的基底来表示任一空间向量。
复习引入
平面向量的正交分解及坐标表示：
新课讲授
1、我们知道，平面内的任意一个向量 都可以用两个不共线的向量 来表示
（平面向量基本定理）。对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？
（课本92页）
结论：
2、探究：在空间中，如果用任意三个不共面向量 代替两两垂直的向量 ，你能得出类似的结论吗？
空间向量基本定理： 如果三个向量 不共面，那么对空间任一向量 ，存在
一个唯一的有序实数组x，y，z，使_______________________________________
任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。 都叫做基向量.
空间直角坐标系：
（1）单位正交基底：如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个 基底叫做单位正交基底,常用e1 , e2 , e3 表示。
（2）空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底 e1 , e2 , e3以点O为原点，分别以e1 , e2 , e3的正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴.这样就建立了一个空间直角坐标系O--xyz。
给定一个空间坐标系和向量 ,且设e1 , e2 , e3为坐标向量，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x,y, z)使 _______________________________， 有序数组( x, y, z)叫做p在空间直角坐标系O--xyz中的坐标，记作. =(x,y,z)
练习：
(1)在空间坐标系o-xyz中， ( 分别是与x轴、 y轴、 z轴的正方向相同的单位向量)则 的坐标为__________________ 。
例题分析(课本94页）
例4、已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N，分别是对边OA，BC的中点，点P，Q是线段MN三等分点，用基向量OA，OB，OC表示向量OP,OQ.
练习
（1）如图，已知空间四边形，其对角线，分别是对边的中点，点在线段上，且，用基底向量表示向量
解：
（2）（课本94页习题1、2、3）
3.1.5空间向量运算的坐标表示
教学目标：掌握空间向量的坐标运算
一、空间向量的坐标运算
类似平面向量的坐标运算，我们可以得出空间向量的加、减、数乘及数量积运算的坐标表示。
设a＝，b＝
(1) a±b＝ 。 (2) a＝ ．
(3) a·b＝ ．
(4) a∥b ；ab ．
（5）模长公式：若， 则．
（6）夹角公式：．
（7）两点间的距离公式：若，，
则＝ ， ．
AB的中点M的坐标为 ．
例题分析：（课本96页）
例5 如图，在正方体 中，点E1，F1 分别是A1B1， C1D1的一个四等分点， 求 与 所成的角的余弦值。
例6、如图，正方体 中，点E,F分别是BB1,D1B1的中点，求证
EFDA1。
练习：（课本97页）
1、已知=(-3,2,5),=(1,5,-1),求
（1）+； （2）3-； （3）6； （4）..
3、如图，正方体 中，点M是AB的中点，求DB1与CM所成角的余弦值。
x
y
o
x
y
z
O
Q
P
B
O
A
C
P
N
M
Q
