2022-2023学年北师大版七年级数学下册1.5平方差公式 自主达标测试题（含解析）

2022-2023学年北师大版七年级数学下册《1.5平方差公式》自主达标测试题（附答案）
一．选择题（共7小题，满分35分）
1．下列能用平方差公式计算的是（　　）
A．（﹣x+y）（x+y） B．（﹣x+y）（x﹣y）
C．（x+2）（2+x） D．（2x+3）（3x﹣2）
2．（5a2+4b2）（　　）＝25a4﹣16b4，括号内应填（　　）
A．5a2+4b2 B．5a2﹣4b2 C．﹣5a2﹣4b2 D．﹣5a2+4b2
3．已知a+b＝10，a﹣b＝6，则a2﹣b2的值是（　　）
A．12 B．60 C．﹣60 D．﹣12
4．已知a﹣b＝2，则a2﹣b2﹣4b的值为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．（﹣a+1）（a+1）（a2﹣1）等于（　　）
A．a4﹣1 B．﹣a4+1 C．﹣a4+2a2﹣1 D．1﹣a4
6．若，则下列a，b，c的大小关系正确的是（　　）
A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．c＜b＜a
7．如图，边长为（m+n）的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后余下部分又剪开拼成个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为n，则长方形的面积是（　　）
A．2m+2n B．m+2n C．2m2+n D．2mn+n2
二．填空题（共7小题，满分35分）
8．已知m2﹣n2＝20，m+n＝5，则m﹣n＝　 　．
9．如果（x+y+1）（x+y﹣1）＝8，那么x+y的值为 　 　．
10．计算：（1+2a）（1﹣2a）（1+4a2）＝　 　．
11．计算：20222﹣2021×2023＝　 　．
12．（3+2a）（﹣3+2a）＝　 　．
13．（1+2）（1+22）（1+24）（1+28）+1的结果是 　 　．
14．如图，从边长为（a+b）的正方形纸片中剪去一个边长为（a﹣b）的正方形（a＞b＞0），剩余部分又沿虚线剪开拼成一个长方形（无重叠无缝隙），则此长方形的周长为 　 　．
三．解答题（共6小题，满分50分）
15．运用平方差公式计算：（a+3b）（a﹣3b）．
16．计算：（﹣2+y）（y+2）﹣（y﹣1）（y+5）．
17．计算：（x﹣2）（x+2）﹣6x（x﹣3）．
18．探究与应用
我们学习过（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，那么（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）计算结果呢？
完成下面的探究：
（1）（x﹣1）（x2+x+1）＝　 　；
（2）（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝　 　；……
（3）（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）＝　 　；
应用：计算2+22+23+24+……+22022．
19．探究
如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式 　 　．（用含a，b的等式表示）
应用：请应用这个公式完成下列各题：
（1）已知4m2＝12+n2，2m+n＝4，则2m﹣n的值为 　 　．
（2）计算：20222﹣2023×2021．
拓展：（3）计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12．
20．从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是 　 　（请选择正确的一个）．
A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．a2+ab＝a（a+b）
（2）若x2﹣9y2＝12，x+3y＝4，求x﹣3y的值；
（3）计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．
参考答案
一．选择题（共7小题，满分35分）
1．解：∵（﹣x+y）（x+y）＝﹣（x+y）（x﹣y）；
∴选项A符合题意；
∵（﹣x+y）（x﹣y）＝﹣（x﹣y）（x﹣y）＝﹣（x﹣y）2，
∴选项B不符合题意；
∵（x+2）（2+x）＝（x+2）2，
∴选项C不符合题意；
∵（2x+3）（3x﹣2）不是（a+b）（a﹣b）的形式，
∴选项D不符合题意，
故选：A．
2．解：∵（5a2+4b2）（5a2﹣4b2）＝25a4﹣16b4，
∴括号内应填5a2﹣4b2，
故选：B．
3．解：∵（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，a+b＝10，a﹣b＝6，
∴a2﹣b2＝10×6＝60，
故选：B．
4．解：∵a﹣b＝2，
∴a2﹣b2﹣4b
＝（a+b）（a﹣b）﹣4b
＝2（a+b）﹣4b
＝2a+2b﹣4b
＝2（a﹣b）
＝2×2
＝4．
故选：A．
5．解：（﹣a+1）（a+1）（a2﹣1）
＝﹣（a﹣1）（a+1）（a2﹣1）
＝﹣（a2﹣1）2
＝﹣（a4﹣2a2+1）
＝﹣a4+2a2﹣1，
故选：C．
6．解：∵a＝20220＝1，
b＝（2022+1）×（2022﹣1）﹣20222
＝20222﹣1﹣20222
＝﹣1，
c＝（﹣×）2022×
＝（﹣1）2022×
＝，
∴b＜a＜c，
故选：A．
7．解：由题意得，拼成的长方形的面积为：
S大正方形﹣S小正方形
＝（m+n）2﹣m2
＝2mn+n2，
故选：D．
二．填空题（共7小题，满分35分）
8．解：∵m2﹣n2＝20，
∴（m+n）（m﹣n）＝20，
∵m+n＝5，
∴5（m﹣n）＝20，
∴m﹣n＝4，
故答案为：4．
9．解：设x+y＝m，原方程变形为（m+1）（m﹣1）＝8，
m2﹣1＝8，
m2＝9，
m＝±3，
x+y±3，
故答案为：±3．
10．解：（1+2a）（1﹣2a）（1+4a2）
＝（1﹣4a2）（1+4a2）
＝1﹣16a4．
故答案为：1﹣16a4．
11．解：原式＝20222﹣（2022﹣1）×（2022+1）
＝20222﹣20222+1
＝1，
故答案为：1．
12．解：原式＝（2a）2﹣32＝4a2﹣9．
故答案为：4a2﹣9．
13．解：原式＝﹣（1﹣2）（1+2）（1+22）（1+24）（1+28）+1
＝﹣（1﹣22）（1+22）（1+24）（1+28）+1
＝﹣（1﹣24）（1+24）（1+28）+1
＝﹣（1﹣28）（1+28）+1
＝﹣（1﹣216）+1
＝﹣1+216+1
＝216．
故答案为：216．
14．解：由拼图可知，所拼成的长方形的长为a+b+（a﹣b）＝2a，宽为a+b﹣（a﹣b）＝2b，
所以长方形的周长为（2a+2b）×2＝4a+4b，
故答案为：4a+4b．
三．解答题（共6小题，满分50分）
15．解：（a+3b）（a﹣3b）
＝a2﹣（3b）2
＝a2﹣9b2．
16．解：原式＝y2﹣4﹣（y2+5y﹣y﹣5）
＝y2﹣4﹣y2﹣5y+y+5
＝﹣4y+1．
17．解：（x﹣2）（x+2）﹣6x（x﹣3）
＝x2﹣4﹣6x2+18x
＝﹣5x2+18x﹣4．
18．解：（1）（x﹣1）（x2+x+1）
＝x3+x2+x﹣x2﹣x﹣1
＝x3﹣1，
故答案为：x3﹣1；
（2）（x﹣1）（x3+x2+x+1）
＝x4+x3+x2+x﹣x3﹣x2﹣x﹣1
＝x4﹣1，
故答案为：x4﹣1；
（3）（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）
＝x7+x6+x5+x4+x3+x2+x﹣x6﹣x5﹣x4﹣x3﹣x2﹣x﹣1
＝x7﹣1，
故答案为：x7﹣1；
应用：∵（2﹣1）×（22022+22021+22020+……+1）
＝22023﹣1，
∴2+22+23+24+……+22022＝22023﹣2．
19．解：【探究】图1中阴影部分面积a2﹣b2，图2中阴影部分面积（a+b）（a﹣b），
所以，得到乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
【应用】
（1）由4m2＝12+n2得，4m2﹣n2＝12，
∵（2m+n） （2m﹣n）＝4m2﹣n2，
∴2m﹣n＝3．
故答案为：3．
（2）20222﹣2023×2021．
＝20222﹣（2022+1）×（2022﹣1）
＝20222﹣（20222﹣1）
＝20222﹣20222+1
＝1；
【拓展】
1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12
＝（100+99）×（100﹣99）+（98+97）×（98﹣97）+…+（4+3）×（4﹣3）+（2+1）×（2﹣1）
＝199+195+…+7+3
＝5050．
20．解：（1）根据题意，由图1可得，
阴影部分的面积为：a2﹣b2，
由图2可得，拼成的长方形长为a+b，宽为a﹣b，面积为（a+b）（a﹣b），
所以a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选：B．
（2）∵x2﹣9y2＝（x+3y）（x﹣3y）＝12，
∵x+3y＝4
∴x﹣3y＝3
＝
＝
＝．