数学人教A版（2019）必修第一册5.1.1任意角 课件（共28张ppt）

(共28张PPT)
5.1.1　任意角
第五章　 §5.1　任意角和弧度制
了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性。
课程标准
学习目标
1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角.
2.了解象限角的概念，理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角
所组成的集合.(重点)
3.利用象限角和终边相同的角的概念解决简单的问题.(难点)
引入
引语：现实世界中的许多运动、变化都有着循环往复、周而复始的规律，这种规律称为周期性.
例如：
地球自转
地球与太阳公转
月亮圆缺
潮汐变化
运动员的翻滚动作也可以看做周期运动，视频中出现了那些角？
开场直体720°，后直540°接前团1080°，360°成翻滚……
旋转方向和旋转量
刻画这些角的关键是什么？
从这个实例可以看出0°～360°的角度已经不在适用，需要进行扩充
类比实数的学习，角的范围我们可以怎样扩充
分类：角
正角
一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角
负角
一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角
零角
一条射线没有做任何旋转(始边与终边重合)
记法：图中的角α可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”
1、任意角
2、角的运算
类似于实数a的相反数是 -a，我们引入任意角α的相反角的概念.
1、相等的两个角如何规定？
3、类比相反数，怎么定义相反角？角的减法也可以变成加法吗
2、两角相加又如何规定的？
类比实数的运算，思考下列问题
①相等角：旋转方向相同，旋转量相同
②角的加法：
O
B
A
C
③相反角：旋转方向相反，旋转量相同
C
O
B
A
50°－80°= 50°+(－80°)
④
（减法变加法）
例一：如图，射线OA先绕端点O逆时针方向旋转60°到OB处，再按顺时针方向旋转820°至OC处，则β＝ .
∠AOC＝60°＋(－820°)＝－760°，
β＝－760°＋720°＝－40°.
为了进一步研究角，我们需要在直角坐标系内讨论角
3.象限角
角的顶点与坐标原点重合
角的始边与x轴的非负半轴重合.
如果角的终边落在坐标轴上，就说这个角不属于任何一个象限.
y
x
O
角的终边
角的始边
角的终边落在第几象限就是第几象限角
轴线角
x
y
o
始边　
终边

终边
终边
终边



(1)锐角是第一象限角，钝角是第二象限角，直角的终边在坐标轴上，它不属于任何一个象限；
(2)每一个象限都有正角和负角，无法比较哪一个象限角的大小.
注意点：
例二： (多选)下列结论正确的有
A.－75°是第一象限角 B.225°是第三象限角
C.475°是第二象限角 D.－315°是第四象限角
√
√
因为－90°<－75°<0°，所以－75°是第四象限角；因为180°<225°<270°，所以225°是第三象限角；因为360°＋90°<475°<360°＋180°，所以475°是第二象限角；因为－360°<－315°<－270°，所以－315°是第一象限角.所以B，C正确.
思考　给定一个角，它的终边是否唯一？若两角的终边相同，那么这两个角相等吗？
提示　给定一个角，它的终边唯一；两角终边相同，这两个角不一定相等，比如-30°角的终边和-390°角的终边相同，它们正好相差了360°.
｛β︱β= -30°＋ k·360°,k∈Z｝
归纳: 与 -30°角终边相同的角
4.终边相同的角
用集合表示终边与45o相同的角
轴线角
终边与x轴负半轴重合的角
终边与y轴正半轴重合的角
终边与y轴负半轴重合的角
终边与x轴正半轴重合的角
终边与x轴重合的角
终边与y轴重合的角
例三 ： 在与2 110°角终边相同的角中，求满足下列条件的角β.
(1)最大的负角；
与2 110°终边相同的角的集合为{β|β＝2 110°＋k·360°，k∈Z}，
由－360°<2 110°＋k·360°<0°，k∈Z，
得－2 470°解得k＝－6，故所求的最大负角为β＝－50°.
(2)最小的正角；
由0°<2 110°＋k·360°<360°，k∈Z，
得－2 110°解得k＝－5，故所求的最小正角为β＝310°.
(3)在360°～720°范围内的角.
由360°≤2 110°＋k·360°≤720°，k∈Z，
得－1 750°≤k·360°≤－1 390°，k∈Z，
解得k＝－4，故所求的角为β＝670°.
45O
1、用集合表示终边与45o相同的角
2、用集合表示终边落在阴影部分的角
5.区间角
先定边界，再定周期
例四：
1、已知角α的终边在图中阴影部分内，试指出角α的取值范围.
终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为S1＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}，终边在180°－75°＝105°角的终边所在直线上的角的集合为S2＝{α|α＝105°＋k·180°，k∈Z}，因此，终边在图中阴影部分内的角α的取值范围为{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}.
2.已知α是第一象限角.
(1)2α是第几象限角？
∵α是第一象限角，∴k·360°<α<90°＋k·360°(k∈Z).
∵2k·360°<2α<180°＋2k·360°(k∈Z)，
∴2α是第一、二象限角或终边在y轴的非负半轴上的角.
（2）因为α是第一象限角，
∴k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z，
课堂练习
1.已知集合A＝{第二象限角}，B＝{钝角}C＝{小于180°的角}，
则下列关系正确的是
A.B＝A∩C B.A C
C.B∪C＝C D.A＝B＝C
√
1
2
3
4
由题意得B A∩C，故A错误；
A与C互不包含，故B错误；
由B＝{钝角}?{小于180°的角}，所以B∪C＝C，故C正确；
由以上分析可知D错误.
2.若α＝45°＋k·180°，k∈Z，则α的终边在
A.第一、三象限 B.第一、二象限
C.第二、四象限 D.第三、四象限
√
1
2
3
4
因为α＝45°＋k·180°，k∈Z，所以
当k＝2n＋1，n∈Z时，α＝45°＋2n·180°＋180°＝225°＋n·360°，n∈Z，其终边在第三象限；
当k＝2n，n∈Z时，α＝45°＋2n·180°＝45°＋n·360°，n∈Z，其终边在第一象限.
综上，α的终边在第一、三象限.
3.亲爱的考生，我们数学考试完整的时间是2小时，则从考试开始到结束，钟表的分针转过的角度为 .
1
2
3
4
因为钟表的分针转了两圈，且是按顺时针方向旋转，所以钟表的分针转过的角度为－720°.
－720°
1
2
3
4
4.如图所示.终边落在阴影部分(包括边界)的角α的集合为 .
终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝210°＋k·360°，k∈Z}，终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z}.
故终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合是{α|210°＋k·360°≤α≤
300°＋k·360°，k∈Z}.
{α|210°＋k·360°≤α≤300°＋k·360°，k∈Z}
课堂小结
2. 任意角包括哪几类角？
1. 角是如何推广的？
3. 象限角是如何定义的
4. 终边相同的角的集合如何表示
布置作业
（1）教材
（2）同步作业