河南省漯河实高2022-2023学年高一下学期开学摸底考试数学试卷（含解析）

漯河实高2022-2023学年高一下学期开学摸底考试 数学
一、单项选择题（共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）
1.已知，集合，，则( )
A. B.
C.或 D.
2.已知函数若，则( )
A. B. C.1 D.2
3.在中，点D在BC边上，且.设，则可用基底表示为( )
A. B. C. D.
4.若，则下列不等式中不正确的是( )
A. B. C. D.
5.已知，则等于( )
A. B. C. D.
6.已知幂函数满足，若，，，则a，b，c的大小关系是( )
A. B.
C. D.
7.已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度后，所得到的函数的图象关于原点对称，则m的值可能为( )
A. B. C. D.
8.已知函数若函数恰有4个零点，则k的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题（共4小题，每小题4分，共16分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9.在下列命题中，是真命题的是( )
A.命题“”的否定是“”
B.
C.，使得
D.
10.若，且，则下列不等式中，恒成立的是( )
A. B.
C. D.
11.已知函数(，且)的值域为，函数，，则下列判断正确的是( )
A.
B.函数在上为增函数
C.函数在上的最大值为2
D.若，则函数在上的最小值为-3
12.设函数，则( ).
A.的最小值为，其周期为π
B.的最小值为-2，其周期为
C.在上单调递增，其图象关于直线对称
D.在上单调递减，其图象关于直线对称
三、填空题（共4小题，每小题4分，共16分．）
13.设，使不等式成立的x的取值范围为________.
14.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的面积为_____________.
15.已知函数，把的图象向左平移个单位长度，纵坐标不变，可得到的图象，若，则的最小值为____________.
16.已知函数，若存在互不相等的，使得，记的最大值为M，最小值为N，则_________.
四、解答题（共4小题，其中第17～18题每题各8分，第19～20题每题各10分，共36分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17.已知集合，.
（1）当时，求；
（2）已知“”是“”的必要条件，求实数m的取值范围.
18.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求.
(2)若的面积为2，求b.
19.春运是中国在农历春节前后发生的一种大规模全国性交通运输高峰期、高交通运输压力现象.已知某火车站候车厅，候车人数与时间t相关，时间t（单位：小时）满足，.经测算，当时，候车人数为候车厅满厅状态，满厅人数5160人，当时，候车人数会减少，减少人数与成正比，且时间为6点时，候车人数为3960人，记候车厅候车人数为.
（1）求的表达式，并求当天中午12点时，候车厅候车人数；
（2）若为了照顾群众的安全，每时需要提供的免费矿泉水瓶数为，则一天中哪个时间需要提供的矿泉水瓶数最少
20.已知函数的部分图象如图所示.
（1）求A，的值；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值.
答案以及解析
1.答案：
解析：由得或，则或，故，
故.故选D.
2.答案：A
解析：根据题意可得，所以，解得，故选A.
3.答案：C
解析：因为，所以.
所以.
4.答案：C
解析：本题考查利用不等式性质判断不等式是否成立.由，得，故B项正确；，，故C项不正确，D项正确；，，，故A项正确.故选C项.
5.答案：D
解析：由得，所以，故选D.
6.答案：C
解析：由可得，，，即，由此可知函数在R上单调递增.而由换底公式可得，，，，，于是，又，，故a，b，c的大小关系是.
7.答案：B
解析：由题意得，，.
又，.
将的图象向右平移个单位长度后得到的函数解析式为.
由题意可知，函数为奇函数，
，，
当时，，故选B.
8.答案：D
解析：令，函数恰有4个零点，即与的图像恰有4个交点.
当时，，在同一直角坐标系中作出，的图像，如图.
由图可知与的图像恰有4个交点，即函数恰有4个零点，排除A，B；
当时，，作出与的图像，如图所示.
此时，函数与的图像仅有2个交点，不合题意，排除C，故选D.
9.答案：AC
解析：对于A，存在量词命题的否定为全称量词命题，所以命题“”的否定形式是“”，故A为真命题；对于B，，所以不成立，故B为假命题；对于C，当时，，故C为真命题；对于D，当时，，故D为假命题.
10.答案：AD
解析：对于A，因为，所以，因此A项正确；对于B，取，此时，因此B项不正确；对于C，取，此时，因此C项不正确；对于D，因为，所以，所以，因此D正确.
11.答案：ACD
解析：本题考查指数函数的单调性，对数函数的运算性质.因为，函数(，且)的值域为，所以，所以函数在上为减函数，故当时，该函数取得最大值，因而最大值为2.当时，函数在上的最小值为.
12.答案：AD
解析：，函数的最小值是，最小正周期，故A正确，B错误；
当时，，因为函数在上单调递减，所以在上单调递减，因为函数图象的对称轴方程是，，所以令，，得，，当时，，所以直线是函数图象的一条对称轴，故C错误，D正确.故选AD.
13.答案：
解析：变形为，解得，故使不等式成立的x的取值范围为.
14.答案：
解析：由余弦定理得，
则，解得，
.
15.答案：
解析：由题意得，
由，可得或，
则，或，
，故或，
由可知当时，取得最小值为.
16.答案：
解析：作出的图象，如图所示：
当的图象与直线相交时，前三个交点的横坐标依次为，，，此时取，
令，解得，，，.
当的图象与直线相交时，交点横坐标依次为，，，此时取，
令，解得，，，..
17、（1）答案：
解析：解：由，得，所以.
因为，
所以当时，.
所以.
（2）答案：
解析：因为“”是“”的必要条件，所以.
当时，不符合题意；
当，即时，，符合题意；
当时，，
所以，解得.
综上，.
18.答案：(1)
(2)
解析：(1)由题设及得，
故，上式两边平方，整理得，
解得(舍去)，.
(2)由得，
故，
又，则，
由余弦定理及得，所以.
19.答案：（1）当天中午12点时，候车厅候车人数为4200人
（2）时，需要提供的矿泉水瓶数最少
解析：（1）当时，设，，则，
.
，
故当天中午12点时，候车厅候车人数为4200人.
（2），
①当时，，
仅当时等号成立.
②当时，，
又，所以时，需要提供的矿泉水瓶数最少.
20.答案：（1），
（2）取得最大值1，取得最小值
解析：（1）由图象知，由图象得函数的最小正周期为，
则由得.
（2）由（1）知，
，，
，
.
当，即时，取得最大值1；
当，即时，取得最小值.