江苏省宿迁市第一高级中学2022-2023学年高二下学期入学检测数学试题（含解析）

宿迁市第一高级中学2022-2023学年高二下学期入学检测
数学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知过、两点的直线与过，两点的直线互相垂直，则点有( )
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 无数个
2．古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点A，B距离之比是常数的点M的轨迹是圆．若两定点A，B的距离为3，动点M满足，则M点的轨迹围成区域的面积为( )
A． B． C． D．
3．设P是椭圆C：上任意一点，F为C的右焦点，的最小值为，则椭圆C的离心率为( )
A． B． C． D．
4．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的中心为原点，焦点，均在x轴上，椭圆C的面积为，且短轴长为，则椭圆C的标准方程为( )
A． B． C． D．
5．已知正项数列为等差数列，则下列数列一定为等比数列的是( )
A． B．
C． D．
6． “杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年．如图所示的是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，图中虚线上的数1，3，6，10，…构成数列，记为该数列的第n项，则( )
A． 2016 B． 4032 C． 2020 D． 4040
7．已知是函数的导函数，若，则( )
A． B． 2 C． D． 8
8．函数在点处的切线与两坐标轴围成的图形面积是( )
A． 12 B． 9 C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．下列说法中不正确的是( )
A． 直线与y轴交于一点，其中截距
B． 过点，且斜率为4的直线方程为
C． 在x轴和y轴上的截距分别为a与b的直线方程是
D． 方程表示过点的直线
10．已知椭圆的右焦点是双曲线的右顶点，点P是双曲线第一象限上一点，则下列结论正确的是( )
A．
B． 双曲线的渐近线方程为
C． 椭圆的左顶点是双曲线的左焦点
D． 若椭圆的左、右焦点分别为、，则直线，的斜率之积为定值
11．已知数列是公差为d的等差数列，若存在实数d，使得数列满足：可以从中取出无限多项，并按原来的先后次序排成一个等差数列，则下列结论正确的是( )
A． 符合题意的数列有无数多个 B． 符合题意的实数d有无数多个
C． 符合题意的数列仅有一个 D． 符合题意的实数d仅有一个
12．下列求导运算不正确的是( )
A． B．
C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若直线l：与直线的交点位于第二象限，则直线l倾斜角的取值范围是__________．
14．已知为圆上任意一点．则的最大值为__________
15．已知等比数列的前n项和为，，，且，则满足不等式成立的最小正整数n为__________．
16．若，不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知直线的方程为，若直线在x轴上的截距为，且，求直线的方程；
已知，若直线l过点P，且原点到直线l的距离为，求直线l的方程．
18．（12分）在平面直角坐标系中，圆M是以，两点为直径的圆，且圆N与圆M关于直线对称．
求圆N的标准方程;
设，，过点C作直线，交圆N于P、Q两点，P、Q不在y轴上．
过点C作与直线垂直的直线，交圆N于E、F两点，记四边形EPFQ的面积为S，求S的最大值;
设直线OP，DQ相交于点G，试讨论点G是否在定直线上，若是，求出该直线方程;若不是，说明理由．
19．（12分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率为，点在椭圆C上．
求椭圆C的方程；
设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，点P，Q为椭圆上异于A，B的两动点，记直线AP的斜率为，直线QB的斜率为，已知求证：直线PQ恒过x轴上一定点．
20．（12分）在①，；②公差为1，且，，成等比数列；③，，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．
问题：已知等差数列的前n项和为，且满足______．
求数列的通项公式；
令，其中表示不超过x的最大整数，求
21．（12分）已知函数，
讨论函数的单调性；
证明：当时，在上恒成立．
22．（12分）已知为自然对数的底数
求函数的最大值；
设，若对任意总存在使得，求实数a的取值范围．
参考答案
1．【答案】D
【解析】
解：过，两点的直线的斜率不存在，
，
，即，解得，，
故点有无数个．
故选：
2．【答案】D
【解析】
以A为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标
系，则
设，依题意有，
，
化简整理得，，
即，故圆的半径为2，
则圆的面积为
故选：
3．【答案】A
【解析】
解：P是椭圆C：上任意一点，F为C的右焦点，的最小值为，
可得，所以，解得，
所以
故选：
4．【答案】B
【解析】
解：因为椭圆C的焦点在x轴上，所以可设椭圆C的标准方程为，
由题意可得，解得，
所以椭圆C的标准方程为故选
5．【答案】A
【解析】
解：由题意得，，且，
A：为常数，即为等比数列；
B：若，B显然不成立；
C：不一定为常数，C不符合题意；
D：若，则D显然不成立．
故选：
6．【答案】A
【解析】
解：设第n个数为，
则，
，
，
，
…
，
累加可得，…，
…，
，
故选：
7．【答案】C
【解析】
解：故选：
8．【答案】D
【解析】
解： ，
，
，
函数 在点处的切线的斜率为，
函数 在点处的切线方程为 ，
当时，得，当时，得，
与两坐标轴围成的图形面积是
故选
9．【答案】ABC
【解析】
解：对于A，截距不是距离，是点B的纵坐标，其值可正可负，也可能为零，故A错误；
对于B，直线方程，缺少了点，故B错误；
对于C，经过原点的直线在两坐标轴上的截距为0，不能表示为，故C错误；
对于D，方程为直线的两点式方程的变形式，故D正确;
故选
10．【答案】BCD
【解析】
解：对于A：由椭圆，得，
椭圆的右焦点即双曲线的右顶点为，
在双曲线中，，，故A不正确;
对于B：双曲线的，，
双曲线的渐近线为，B正确;
对于C：由上述得椭圆的左顶点是，双曲线的左焦点是，C正确;
对于D：椭圆的左、右焦点分别为、，恰为双曲线的左、右顶点，
为定值，D正确．
故选
11．【答案】AD
【解析】
解：因为存在实数 d，使得数列满足：可以从中取出无限多项，并按原来的先后次序排成一个等差数列，
由等差数列的性质可知，，公差为0，
故选
12．【答案】ACD
【解析】
解：，故A错误；
，故B正确；
，故C错误；
，故D错误．
则选项ABD满足题意，
故选：
13．【答案】
【解析】
解：直线与坐标轴的交点为，，倾斜角为，
直线l：过定点，
直线BC的斜率为，
所以直线BC的倾斜角为，
因为直线l：与直线的交点位于第二象限，
所以直线l倾斜角的取值范围是
14．【答案】
【解析】
解：圆即，
故圆心，半径为，
又表示圆C上的点M到的距离，
故其最大值为，
故答案为：
15．【答案】6
【解析】
解：设公比为q，
因为，，
由等比数列的性质可得，，
因为，
所以，
故，，
所以，
则，
所以即满足条件的最小整数为
故答案为：6
16．【答案】
【解析】
解：设，
求导可得，
在单调递增，
，
，
，，，
，
，，
，，
又在单调递增，
，即，
，
，
设，，
求导可得，
令，解得，，解得，
在单调递增，在单调递减，
在取得极小值点，也为的最小值点，
，即 ，可得
则实数a的取值范围是
故答案为：
17．【答案】解：直线的方程为，，
则可设直线的方程为，
直线在x轴上的截距为，
，解得，
故直线的方程为
由题意可知，当直线l的斜率不存在，不符合题意，
直线l过点，
可设直线方程为，即，
原点到直线l的距离为，
，化简整理可得，，解得或，
故直线l的方程为或
18．【答案】解：由题意得：圆M的半径为，
圆心M即AB的中点为，
圆M的方程为：，
则圆N关于圆M关于直线对称的圆心为，
所以圆N的标准方程为：
设直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离，
所以，
若，则直线斜率不存在，则，，
则，
若，则直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离，
所以，
则
，
当且仅当即时取等号，
综上所述，因为，所以S的最大值为
设，，
联立消去y得，
则，，
直线OP的方程为，直线DQ的方程为，联立解得，
则
，
所以，
所以点G在定直线上．
19．【答案】解：由题意得：，解得，
所以椭圆C的方程为
证明：依题意，点，，设，，
因为若直线PQ的斜率为0，则点P，Q关于y轴对称，必有，不合题意．
所以直线PQ斜率必不为0，设其方程为，与椭圆C方程联立得，
整理得，
所以，且，
因为点是椭圆上一点，即，
所以，
所以，即，
因为
，
所以，此时，
故直线PQ：恒过x轴上一定点
20．【答案】解：选①，设等差数列中，公差为d，因为，，
所以，解得，
所以，
选②，因为等差数列中，公差为1，且，，成等比数列，
所以，即，解得，
所以
选③，因为等差数列中，，，
所以，即，解得，
所以，
解：由知，
因为，，，，
所以当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
所以
21．【答案】解：由，，，
当时，恒成立，函数在上单调递增；
当时，令，解得，时，，函数单调递减，时，，函数单调递增，即函数在上单调递减，在上单调递增，
综上所述，当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
要证，即证，
①当时，，，该不等式成立；
②当时，，结合得，
即问题转化为证明：，
即证，
令，，
令，则，
令，
则在上恒成立，即在上单调递增，
又，，所以存在，使得，即，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
所以当时，，当时，，
即函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以问题得证，
综上所述，当时，在上恒成立．
22．【答案】解：的导数为，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
故；
对任意总存在
使得等价于
由可知
问题转化为在恒成立．
参变量分离得：，
令，
，由时，，得，
即在上单增．
故
综上：，
即a的取值范围为