山东省滨州市邹平市第二中学高三数学开学检测题
2023.1.28
一、单选题
1．已知集合，，则
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】集合 或，
，，故选C.
2．已知是虚数单位，，则复数的共轭复数的模是（ ）
A．5 B． C． D．3
【答案】C
【详解】据题意，得，
所以的共轭复数是，所以.
故选：C.
3．在平行四边形中， ，，为的中点，，则等于（ ）
A．48 B．36 C．24 D．12
【答案】C
【详解】如图，
，,
，
，
又
.
故选：C
4．已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设圆锥的母线长为，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则，解得.
故选：B.
5．象棋，亦作“象暮” 中国象棋，中国传统棋类益智游戏，在中国有着悠久的历史，属于二人对抗性游戏的一种.由于用具简单，趣味性强，象棋成为流行极为广泛的棋艺活动.中国象棋是中国棋文化也是中华民族的文化瑰宝.某棋局的一部分如图所示，若不考虑这部分以外棋子的影响，且“马”和“炮”不动，“兵”只能往前走或左右走，每次只能走一格，从“兵”“吃掉”“马”的最短路线中随机选择一条路线，则该路线能顺带“吃掉”“炮”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意可知，“兵”“吃掉”“马”的最短路线中，横走三步，竖走两步，
相当于“横横横竖竖”五个汉字排成一列，有条路线.
其中能顺带“吃掉”“炮”的路线，分两步，第一步，“横横竖”三个汉字排成一列；
第二步，“横竖”两个汉字排成一列，共有条路线.
故所求概率为.
故选：C
6．已知函数的图象如图所示，为得到的图象，可以将的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】D
【详解】由题意，函数的图形，
可得且，解得，
根据五点法作图可得，解得，
所以函数的解析式为，且
把的图象向右平移个单位长度，可得的图象，
故选：D.
7．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：因为，
所以；
令，，
所以在上单调递增，
因为，所以，即，
所以，
所以；
同理，所以，即，也即，
所以，
所以.
综上，，
故选：D.
8．若函数（其中a，b，）的图像关于点对称，函数是的导数，则下列说法中，正确命题的个数有（ ）
①函数是奇函数；
②，使得；
③是函数图像的对称轴；
④一定存在极值点.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】函数的图象关于点对称，把它向左平移1个单位，对称点变为，即函数是奇函数，①正确；
是三次函数，其图象与轴一定有公共点，因此，使得，②正确；
的图象关于对称，则，两边求导得，
所以的图象关于直线对称，③正确；
例如，满足题意设条件，但，单调递增，无极值．④错误．
因此正确的个数是3，
故选：C．
二、多选题
9．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，点P在线段BC1上运动，则下列判断中正确的是（ ）
A．平面PB1D⊥平面ACD1
B．A1P∥平面ACD1
C．异面直线A1P与AD1所成角的范围是
D．三棱锥D1 APC的体积不变
【答案】ABD
【详解】对于A中，根据正方体的性质，可得DB1⊥平面ACD1，
又由DB1平面PB1D，则平面PB1D⊥平面ACD1，故A正确；
对于B中，连接A1B，A1C1，在正方体中，可得平面BA1C1∥平面ACD1，
又由A1P平面BA1C1，所以A1P∥平面ACD1，故B正确；
对于C中，当P与线段BC1的两端点重合时，A1P与AD1所成角取最小值，
当P与线段BC1的中点重合时，A1P与AD1所成角取最大值，
故A1P与AD1所成角的范围是，故C错误；
对于D中，，因为点C到平面AD1P的距离不变，且△AD1P的面积不变，所以三棱锥C AD1P的体积不变，故D正确．
故选ABD．
10．已知，下列结论正确的是（ ）
A．在上单调递增
B．
C．的图象在点处的切线方程为
D．若关于的不等式有正整数解，则
【答案】AD
【详解】，则，
易知在上单调递增，在上单调递减，A正确；
又，，所以，B错误；
对于C，，，故切线方程，C不正确；
若有正整数解，则，所以，
因为，所以，所以，
所以，即，所以D正确；
故选：AD.
11．过抛物线的焦点作轴的垂线，交抛物线于，两点，为抛物线的顶点，则下列说法正确的是（ ）
A．点坐标为 B．准线方程为
C． D．
【答案】ACD
【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，
当时，，
∴，.
故选：ACD.
12．已知函数的定义域为，，，都有，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．，都有
C．关于点对称
D．若，则
【答案】BCD
【详解】A：在等式中，令，则有
，或，所以本选项不正确；
B： 由上可知：，或，
当时，在等式中，令，
则有，
当时，在等式中，令，
，即，
综上所述：，都有，所以本选项正确；
C：在等式中，令，
得，即，所以关于点对称，因此本选项正确；
D：因为，
所以，而，
所以，
因此，所以函数的周期为，
在等式中，令，
则有，
因为，所以，因此，即，
，，于是，
在等式中，令，
则，
，
，
，
所以有当为正奇数时，，
于是有
因此本选项正确，
故选：BCD.
三、填空题
13．的展开式中，的系数为____________.
【答案】
【详解】由题意可得：，
即考查代数式：中的系数，
据此可得，系数为：.
故答案为：
14．已知数列，2，3，，，圆，圆，若圆平分圆的周长，则数列的所有项的和为___．
【答案】4032
【详解】根据题意知，圆与圆相交，设交点为，，
圆，圆，
相减可得直线的方程为：
圆平分圆的周长，直线经过圆的圆心，
，即，
的所有项的和为．
故答案为：4032．
15．设过曲线（为自然对数的底数）上任意一点处的切线为，总有过曲线上一点处的切线，使得，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【详解】，设切线的斜率为，则有，因此由，
，设切线的斜率为，则有，
因为，所以，因为曲线上任意一点处的切线为，总有过曲线上一点处的切线，使得，所以有：
.
故答案为：
16．已知椭圆的左右焦点分别为，，点P在C上且位于第一象限，圆与线段的延长线、线段以及x轴均相切，的内切圆为圆，若圆与圆外切，且圆与圆的面积之比为，则C的离心率为__________．
【答案】
【详解】由已知及平面几何知识可得圆心、在的角平分线上，如图，
设圆、与轴的切点分别为，，
由平面几何知识可得，直线为两圆的公切线，切点也在的角平分线上，
所以，
由椭圆的定义知，则，
有，，
，，
又圆与圆的面积之比为，所以圆与圆的半径之比为，
因为，所以，
即，整理得，故椭圆的离心率.
故答案为：
四、解答题
17．已知数列为递增的等差数列，其中，且，，成等比数列.
（1）求的通项公式；
（2）设，记数列的前n项和为，求使得成立的n的最大值.
【答案】（1）（2）
【详解】（1）在等差数列中，设公差为，
由题意，得，
解得.
；
（2）由（1）知，.
则，
.
，
单调递增
又，
所以使成立的n的最大值为3.
18．设A，B，C为△ABC的三个内角，向量，且.
（1）求角A的大小；
（2）求sinB＋sinC的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【详解】（1），
所以，
，
由正弦定理得，
所以，
又，所以；
（1）
，
因为，
所以，
所以的范围是.
19．在如图所示的多面体中，平面，．
（1）在上求作点，使平面，请写出作法并说明理由；
（2）求三棱锥的高．
【答案】（1）详见解析（2）.
【详解】解：（1）取的中点，连结，交于，连结.此时为所求作的点.
下面给出证明：
∵，∴，又，∴四边形是平行四边形，
故即.
又平面平面，∴平面；
∵平面，平面，∴平面.
又∵平面平面，
∴平面平面，
又∵平面，∴平面.
（2）在等腰梯形中，∵，
∴可求得梯形的高为，从而的面积为.
∵平面，∴是三棱锥的高.
设三棱锥的高为.
由，可得，
即，解得，
故三棱锥的高为.
20．某市劳动部门坚持就业优先，采取多项措施加快发展新兴产业，服务经济，带来大量就业岗位，据政府工作报告显示，截至2018年末，全市城镇新增就业21.9万人，创历史新高.城镇登记失业率为4.2%，比上年度下降0.73个百分点，处于近20年来的最低水平.
（1）现从该城镇适龄人群中抽取100人，得到如下列联表：
失业 就业 合计
男 3 62 65
女 2 33 35
合计 5 95 100
根据联表判断是否有99%的把握认为失业与性别有关？
附：
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
（2）调查显示，新增就业人群中，新兴业态，民营经济，大型国企对就业支撑作用不断增强，其岗位比例为，现从全市新增就业人群（数目较大）中抽取4人，记抽到的新兴业态的就业人数为X，求X的分布列和数学期望.
【答案】（1）没有的把握认为失业与性别有关；（2）分布列见解析，.
【详解】（1）根据联表:
，
所以没有的把握认为失业与性别有关.
（2）由题意知:，
X的取值为0,1,2,3,4,
；；
；；
,
所以X的分布列为:
X 0 1 2 3 4
P
所以.
21．已知为坐标原点，点在双曲线上，直线交于，两点.
(1)若直线过的右焦点，且斜率为，求 的面积；
(2)若直线，与轴分别相交于，两点，且，证明：直线过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）将点代入的方程，得，解得，
所以的方程为.直线的方程为，
联立方程 整理得，，解得，
不妨设，，
则，
点到直线的距离为，所以 的面积为；
（2）
依题意作上图，设 ，则 ， ， ，
直线AP的方程为： ，直线AQ的方程为： ；
联立方程： ，解得： ，
显然 ，即 ；
， ，
联立方程： ，解得： ，
显然 ，即，
，
即当 时，
直线PQ的方程为： ，将上面求得的 解析式代入得：
，整理得： ，
所以直线PQ过定点 .
22．已知函数.
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）对于任意，恒成立，求的取值范围；
（3）试讨论函数的极值点的个数.
【答案】（1）（2）（3）解答见解析
【详解】（1）由题意，当时，函数，
则，可得，且，
所以在处的切线方程．
（2）由，恒成立，
即在上恒成立，
令，则，
当，即时，在上恒成立，
所以在上单调递增，所以，
当，即时，令，得（舍去）.
- 0 +
所以当时，，不符合题意.
综上可得，，即的取值范围.
（3）由，
则，
令，则，
①当，即时，恒成立，∴在上单调递增，
且，.
由零点存在性定理可知在上存在唯一的零点，不妨设为.
- 0 +
极小值
所以函数有一个极值点；
②当，即时，令，则.
- 0 +
极小值
所以函数的最小值为.
1*）当，即时，恒成立，
令，
由，得，
∴在上单调递增，在上单调递减，得，
∴，
∴单调递增，无极值点，即时，无极值点.
2*）当，即时，且.
∵，∴在上有唯一的零点.
下面先证：.
设，∴，
当时，单调递减；
当时，单调递增，
所以，即得证，
所以，
又因为，所以，
由零点存在性定理可知在上存在唯一零点，不妨设，
1
+ 0 - 0 +
所以函数有两个极值点；
3*）当时，且，，，
又由，
∴由零点存在性定理可知在与上各存在唯一零点，
同上2*）可知有两个极值点.
综上所述，当时，有一个极值点；当且时，有两个极值点；当时，无极值点.山东省滨州市邹平市第二中学高三数学开学检测题
2023.1.28
一、单选题
1．已知集合，，则
A． B． C． D．
2．已知是虚数单位，，则复数的共轭复数的模是（ ）
A．5 B． C． D．3
3．在平行四边形中， ，，为的中点，，则等于（ ）
A．48 B．36 C．24 D．12
4．已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）
A． B． C． D．
5．象棋，亦作“象暮” 中国象棋，中国传统棋类益智游戏，在中国有着悠久的历史，属于二人对抗性游戏的一种.由于用具简单，趣味性强，象棋成为流行极为广泛的棋艺活动.中国象棋是中国棋文化也是中华民族的文化瑰宝.某棋局的一部分如图所示，若不考虑这部分以外棋子的影响，且“马”和“炮”不动，“兵”只能往前走或左右走，每次只能走一格，从“兵”“吃掉”“马”的最短路线中随机选择一条路线，则该路线能顺带“吃掉”“炮”的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数的图象如图所示，为得到的图象，可以将的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
7．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．若函数（其中a，b，）的图像关于点对称，函数是的导数，则下列说法中，正确命题的个数有（ ）
①函数是奇函数；
②，使得；
③是函数图像的对称轴；
④一定存在极值点.
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
9．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，点P在线段BC1上运动，则下列判断中正确的是（ ）
A．平面PB1D⊥平面ACD1
B．A1P∥平面ACD1
C．异面直线A1P与AD1所成角的范围是
D．三棱锥D1 APC的体积不变
10．已知，下列结论正确的是（ ）
A．在上单调递增
B．
C．的图象在点处的切线方程为
D．若关于的不等式有正整数解，则
11．过抛物线的焦点作轴的垂线，交抛物线于，两点，为抛物线的顶点，则下列说法正确的是（ ）
A．点坐标为 B．准线方程为
C． D．
12．已知函数的定义域为，，，都有，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．，都有
C．关于点对称
D．若，则
三、填空题
13．的展开式中，的系数为____________.
14．已知数列，2，3，，，圆，圆，若圆平分圆的周长，则数列的所有项的和为___．
15．设过曲线（为自然对数的底数）上任意一点处的切线为，总有过曲线上一点处的切线，使得，则实数的取值范围为___________.
16．已知椭圆的左右焦点分别为，，点P在C上且位于第一象限，圆与线段的延长线、线段以及x轴均相切，的内切圆为圆，若圆与圆外切，且圆与圆的面积之比为，则C的离心率为__________．
四、解答题
17．已知数列为递增的等差数列，其中，且，，成等比数列.
（1）求的通项公式；
（2）设，记数列的前n项和为，求使得成立的n的最大值.
18．设A，B，C为△ABC的三个内角，向量，且.
（1）求角A的大小；
（2）求sinB＋sinC的取值范围.
19．在如图所示的多面体中，平面，．
（1）在上求作点，使平面，请写出作法并说明理由；
（2）求三棱锥的高．
20．某市劳动部门坚持就业优先，采取多项措施加快发展新兴产业，服务经济，带来大量就业岗位，据政府工作报告显示，截至2018年末，全市城镇新增就业21.9万人，创历史新高.城镇登记失业率为4.2%，比上年度下降0.73个百分点，处于近20年来的最低水平.
（1）现从该城镇适龄人群中抽取100人，得到如下列联表：
失业 就业 合计
男 3 62 65
女 2 33 35
合计 5 95 100
根据联表判断是否有99%的把握认为失业与性别有关？
附：
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
（2）调查显示，新增就业人群中，新兴业态，民营经济，大型国企对就业支撑作用不断增强，其岗位比例为，现从全市新增就业人群（数目较大）中抽取4人，记抽到的新兴业态的就业人数为X，求X的分布列和数学期望.
21．已知为坐标原点，点在双曲线上，直线交于，两点.
(1)若直线过的右焦点，且斜率为，求 的面积；
(2)若直线，与轴分别相交于，两点，且，证明：直线过定点.
22．已知函数.
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）对于任意，恒成立，求的取值范围；
（3）试讨论函数的极值点的个数.
