五雅中学2022-2023学年高二下学期入学考试答案
一、单选题
1．已知集合，，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：因为，
，所以 =.
故选：C.
2．已知复数满足（是虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【详解】因为，
所以，
解得.
故选：B
3．“”是“方程表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】方程表示双曲线等价于，求解判断即可
【详解】方程表示双曲线等价于，即或，
故“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件.
故选：A
4．已知 ，直线 ，若l与⊙O相离，则（ ）
A．点 在l上 B．点在上
C．点在 内 D．点在外
【答案】C
【详解】由已知l与相离,可知圆心到直线的距离大于半径，
不妨设为的半径，即有，
故，由于，则，所以, 则点在内，
故选：C．
5．已知三角形中三边长为，，，若，，成等差数列，则直线与直线的位置关系为（ ）
A．平行 B．相交但不垂直 C．垂直 D．重合
【答案】D
【分析】根据等差中项的性质及对数的运算可得，再根据两直线的位置关系判断即可.
【详解】解：因为，，成等差数列，所以，即，
对于直线与直线，满足，所以直线与直线重合.
故选：D
6．在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.一般由疾病的感染周期 感染者与其他人的接触频率 每次接触过程中传染的概率决定.假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天，那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要（ ）轮传染？(初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人每人再传染个人为第二轮传染……) (参考数据：)
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【详解】感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要n轮传染,则每轮新增感染人数为，
经过n轮传染，总共感染人数为：，即，解得，
所以感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要5轮传染，
故选：B
7．用半径为R的圆形铁皮剪出一个圆心角为的扇形，制成一个圆锥形容器，当该圆锥形容器的容积最大时，扇形的圆心角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设圆锥的底面半径为，高为，体积为，那么
因此，（），
令得，当时，，当时，
时，取得极大值，并且这个极大值是最大值．
把代入，得
由，得，即圆心角为弧度时，漏斗容积最大
故选：D.
8．，，，则的大小关系为（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为，，所以，即；
令，则，
因为，所以，则，故，
所以在上单调递增，则，即，
易知，所以，则，即；
综上：. 故选：B.
二、多选题
9．如图是函数的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的是（ ）
A．在上是增函数
B．在上是减函数
C．当时，取得极小值
D．当时，取得极大值
【答案】BC
【详解】从导函数图像可以看出函数在上为单调减函数；
在上为增函数，故A错B对，C对D错.
故选：BC
10．已知正四棱柱的底面边为1，侧棱长为，是的中点，则（ ）
A．任意，
B．存在，直线与直线相交
C．平面与底面交线长为定值
D．当时，三棱锥外接球表面积为
【答案】AC
【详解】解：对于A，，，，，平面，
平面，平面，，故正确；
对于B，因为平面，平面，所以平面，
与异面，故不相交，故错误；
对于C，延长，交于点，连接交于，为中点，
，所以,所以,所以，
平面平面，平面与底面交线为，
其中为中点，所以，故正确；
对于D，，是直角三角形，外接圆是以为直径的圆，
圆心设为，半径，
取中点，则平面，，
所以，所以，，故错误.
故选：．
11．已知数列的前项和为，且，，则（ ）
A． B．
C．数列为等差数列 D．为奇数时，
【答案】ABD
【详解】对于A选项，，A对；
对于B选项，因为，则，
对任意的，由可得，
上述两个等式作差可得，
所以，数列中的奇数项成以为首项，公差为的等差数列，
数列中的偶数项成以为首项，公差为的等差数列，
当为奇数时，设，则，
当为偶数时，设，则，
综上所述，，B对；
对于C选项，，故数列不是等差数列，C错；
对于D选项，当为奇数时，设，则，
则
，D对. 故选：ABD.
12．设O为坐标原点， F为抛物线C：的焦点，过焦点F且倾斜角为的直线与抛物线C交于M，N两点（点M在第二象限），当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．△MON的面积的最小值为
C．存在直线，使得
D．分别过点M，N且与抛物线相切的两条直线互相垂直
【答案】ABD
【详解】作出如图所示图形：
对A，由抛物线定义及题意得，
即，解得，故A正确；
对B，，则，当直线的斜率不存在时，显然不合题意，
设，设直线的方程为，联立抛物线得，
则，，
当且仅当时等号成立，故B正确；
对C，
，
故为钝角，则不存在直线，使得，故C错误；
对D，，即，故，
故在点处的切线斜率为，在点处的切线斜率为,
故斜率之积为，故相切的两条直线互相垂直，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
13．已知，，若，则m的值为__________.
【答案】6
【详解】解：∵，∴，即，∴，解得.
故答案为：6.
14．记为等差数列的前项和，若，，则=__________．
【答案】4
【详解】略.
15．若椭圆的焦点在轴上，过点作圆的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________________.
【答案】
【详解】答案： 解析：设过点（1，）的直线方程为：当斜率存在时，，
根据直线与圆相切，圆心（0,0）到直线的距离等于半径1可以得到k=,直线与圆方程的联立可以得到切点的坐标（），当斜率不存在时，直线方程为：x=1，根据两点A：（1,0），B：（）可以得到直线：2x+y-2=0,则与y轴的交点即为上顶点坐标（2,0），与x轴的交点即为焦点，根据公式，即椭圆方程为：
16．如图所示，平面直角坐标系中，四边形满足，，，若点，分别为椭圆：（）的上 下顶点，点在椭圆上，点不在椭圆上，则椭圆的焦距为___________.
【答案】4
【详解】由题意得，，设，.连接，
由，，可知，，，在以为直径的圆上，且，
又原点为圆的弦的中点，
所以圆心在的垂直平分线上，即在轴上，则，又，
所以，
因为，所以，
所以，
当时，则0，
若，则四边形为矩形，则点也在椭圆上，与点不在椭圆上矛盾，
所以，所以，故圆的圆心坐标为，
所以圆的方程为，将代入可得，又，
所以，故椭圆的焦距为.
故答案为：4.
四、解答题
17．已知数列的首项，且满足.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)若，求满足条件的最大整数.
【答案】(1)证明见解析；(2)2022
【详解】（1）由题设可得，所以.
又 所以是以首项，为公比的等比数列
由（1）可得，即，
所以
显然右边是递增数列，易知，当时，，
时，不满足题意，所以满足条件的最大整数是2022.
18．已知曲线（为常数）在处的切线方程为.
（1）求，的值；
（2）求曲线过点的切线方程.
【答案】（1），；（2）或.
【详解】（1），依题意可得，∴，
当，代入直线方程得，将点代入曲线方程，求得；
（2）设切点，则，切线方程为，
切点既在切线上，也在曲线上，从而有①，②
联立①②消去，整理可得，
，
解得或，切点为或，从而切线方程为或.
19．在中，角、、所对的边分别为、、，．
(1)证明：．
(2)若为锐角三角形，且，求的取值范围．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【详解】（1）解：由，可得，则．
因为，，所以，，
因为，则.
所以，或（舍去），即．
（2）解：由为锐角三角形，可得，即，
解得，所以，，则，
由正弦定理可得，
则
.
故的取值范围是.
20．如图1，在等腰直角三角形ABC中，，D是AC的中点，E是AB上一点，且.将沿着DE折起，形成四棱锥，其中点A对应的点为点P，如图2.
(1)在图2中，在线段PB上是否存在一点F，使得∥平面PDE？若存在，请求出的值，并说明理由；若不存在，请说明理由；
(2)在图2中，平面PBE与平面PCD所成的锐二面角的大小为，求四棱锥的体积.
【答案】(1)当时，∥平面PDE，理由见解析；(2)
【详解】（1）当时，∥平面PDE.
理由如下：
过点作，垂足为H，
在PE上取一点M，使得，连接HM，FM，
因为，，所以∥，且
因为D是AC的中点，且，所以∥，且
所以∥且，CFMH是平行四边形，即∥，
又因为平面PDE，平面PDE，所以∥平面PDE；
（2）易知，，且，
作平面，以向量为x，y，z轴的正方向，
建立空间直角坐标系，设，
则，，，
则，，
设平面的法向量为，
则
取，则，，所以，
易知平面的法向量，设平面PBE与平面PCD所成锐二面角为，
由题意可知，，
整理得，解得或（舍去）.
所以，所以四棱锥的高，
又四边形的面积，
所以四棱锥的体积.
21．已知双曲线（，）的渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为．
(1)求双曲线的方程；
(2)设，是双曲线右支上不同的两点，线段AB的垂直平分线交AB于，点的横坐标为2，则是否存在半径为1的定圆，使得被圆截得的弦长为定值，若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；(2)存在，定圆：
【分析】（1）设双曲线的右焦点，利用焦点到渐近线的距离求出，再根据渐近线方程及，求出，，即可得解；
（2）先利用“点差法”写出直线的方程，再写出的中垂线的方程，求出所过的定点即为圆的圆心，然后写出圆的方程即可.
【详解】（1）解：设双曲线的右焦点，则点到渐近线的距离为，
即，解得，又渐近线方程为，即，且，
解得，，所以双曲线方程为.
（2）解：设，AB的中点为
因为，是上不同的两点，中点的横坐标为2．所以 ，
得，
当存在时，，
因为AB的中垂线为直线l，所以，即，
所以过定点，
当不存在时，，关于轴对称，的中线为轴，此时也过，
所以存在定圆：，使得被圆截得的弦长为定值．
22．已知函数．
(1)若在上单调递增，求实数的取值范围；
(2)若存在极小值，且极小值等于，求证：．
【答案】(1)；(2)证明见解析.
【详解】（1）因为在上单调递增，
所以在上恒成立，且不恒等于，
由可得，
令，则，
所以在上单调递减，所以；
（2）因为，其定义域为，所以，
①当时，，所以当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以的极小值为，而，不合题意，
②当时，由可得或，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以的极小值为，而，不合题意，
③当时，，在上单调递增，不合题意，
④当时，由可得或，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以的极小值为，
令，则，所以，
令，则，，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
令，
则
所以在上单调递增，所以，
所以当时有，
因为，所以，
又因为在上单调递减，所以，
所以，即.五雅中学2022-2023学年高二下学期入学考试数学试题
一、单选题
1．已知集合，，则=（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数满足（是虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．1
3．“”是“方程表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知 ，直线 ，若l与⊙O相离，则（ ）
A．点 在l上 B．点在上
C．点在 内 D．点在外
5．已知三角形中三边长为，，，若，，成等差数列，则直线与直线的位置关系为（ ）
A．平行 B．相交但不垂直 C．垂直 D．重合
6．在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.一般由疾病的感染周期 感染者与其他人的接触频率 每次接触过程中传染的概率决定.假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天，那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要（ ）轮传染？(初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人每人再传染个人为第二轮传染……) (参考数据：)
A．4 B．5 C．6 D．7
7．用半径为R的圆形铁皮剪出一个圆心角为的扇形，制成一个圆锥形容器，当该圆锥形容器的容积最大时，扇形的圆心角为（ ）
A． B． C． D．
8．，，，则的大小关系为（ ）.
A． B．
C． D．
二、多选题
9．如图是函数的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的是（ ）
A．在上是增函数
B．在上是减函数
C．当时，取得极小值
D．当时，取得极大值
10．已知正四棱柱的底面边为1，侧棱长为，是的中点，则（ ）
A．任意，
B．存在，直线与直线相交
C．平面与底面交线长为定值
D．当时，三棱锥外接球表面积为
11．已知数列的前项和为，且，，则（ ）
A． B．
C．数列为等差数列 D．为奇数时，
12．设O为坐标原点， F为抛物线C：的焦点，过焦点F且倾斜角为的直线与抛物线C交于M，N两点（点M在第二象限），当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．△MON的面积的最小值为
C．存在直线，使得
D．分别过点M，N且与抛物线相切的两条直线互相垂直
三、填空题
13．已知，，若，则m的值为__________.
14．记为等差数列的前项和，若，，则=__________．
15．若椭圆的焦点在轴上，过点作圆的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________________.
16．如图所示，平面直角坐标系中，四边形满足，，，若点，分别为椭圆：（）的上 下顶点，点在椭圆上，点不在椭圆上，则椭圆的焦距为___________.
四、解答题
17．已知数列的首项，且满足.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)若，求满足条件的最大整数.
18．已知曲线（为常数）在处的切线方程为.
（1）求，的值；
（2）求曲线过点的切线方程.
19．在中，角、、所对的边分别为、、，．
(1)证明：．
(2)若为锐角三角形，且，求的取值范围．
20．如图1，在等腰直角三角形ABC中，，D是AC的中点，E是AB上一点，且.将沿着DE折起，形成四棱锥，其中点A对应的点为点P，如图2.
(1)在图2中，在线段PB上是否存在一点F，使得∥平面PDE？若存在，请求出的值，并说明理由；若不存在，请说明理由；
(2)在图2中，平面PBE与平面PCD所成的锐二面角的大小为，求四棱锥的体积.
21．已知双曲线（，）的渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为．
(1)求双曲线的方程；
(2)设，是双曲线右支上不同的两点，线段AB的垂直平分线交AB于，点的横坐标为2，则是否存在半径为1的定圆，使得被圆截得的弦长为定值，若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．
22．已知函数．
(1)若在上单调递增，求实数的取值范围；
(2)若存在极小值，且极小值等于，求证：．
