五雅中学2023届高三下学期入学测试数学试题
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
2.已知复数，其中是虚数单位，，下列选项中正确的是（ ）
A．若是纯虚数，则这个纯虚数为 B．若为实数，则
C．若在复平面内对应的点在第一象限，则 D．当时，
3.若，则（ ）
A． B． C． D．
4.函数的图像大致为（ ）
5.从0，1，2，3，4这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有2，3时，2要排在3的前面（不一定相邻），这样的三位数有（ ）
A．39个 B．40个 C．36个 D．38个
三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7.已知抛物线的焦点为过点作直线交抛物线于两点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8.已知数列满足.记数列的前n项和为，则（ ）
A. B. C. D.
选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9.袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量X为其中白球的个数，随机变量Y为其中黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量Z为取出4个球的总得分，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10. 已知函数，若函数部分图象如图所示，则关于函数，下列结论正确的是（ ）
A. 函数的图象关于直线对称
B. 函数的图象关于点对称
C. 函数在区间上单调递减
D. 函数的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到
如图，在矩形中，为边的中点，将沿直线翻折成若为线段的中点，则在翻折的过程中，下列四个命题中正确的是（ ）
A．的长为定值 B．点的运动轨迹在某个圆周上
C．存在某个位置，使得 D．不在底面上时，//平面
12.已知函数，其导函数为，设，则（ ）
A.
B 当时，
C.任意，都有
D.若曲线上存在不同两点，，且在点，处的切线斜率均为，则实数的取值范围为
填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.如图，梯形ABCD是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，，则原图形的面积为______．
14.在中，，，点D在线段AC上，满足，且，则_____，____.
15.已知数列的通项为，且数列的前项和，若，则实数的取值范围为______．
16.过双曲线的左焦点的直线，在第一象限交双曲线的渐近线于点，与圆相切于点.若，则离心率的值为________.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分10分）记为数列的前项和，已知，是公差为2的等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)证明：.
（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱中，平面侧面，且.
(1)求证：；
(2)若直线与平面所成的角为，请问在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在请求出的位置，不存在请说明理由.
19.（本小题满分12分）已知在四边形中，，，且.
(1)证明：；
(2)若，求四边形的面积.
20.（本小题满分12分）《十九大报告》中指出：坚持人与自然和谐共生．建设生态文明是中华民族永续发展的千年大计．必须树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，坚持节约资源和保护环境的基本国策．下表l是《环境空气质量指标(AQI)技术规定(试行)》：
表1：空气质量指标AQI分组表
(注：表中“m~n”指包含端点m和n)
表2是从2018年3月份1号至30号随机抽取了20天的海曲市的AQI指数x和海曲市甲景区的AQI指数y对应情况及其海曲市的AQI指数x另外10天的情况．
2：海曲市与甲景区AQI指数
(I)若海曲市AQI指数x与甲景区AQI指数y线性相关，根据前20组数据，经计算得，求出y关于x的回归直线方程；
(II)小李在海曲市甲景区开了一家便利店，经小李统计：当景区空气质量为优时，该店平均每天盈利约600元；当景区空气质量为良时，该店平均每天盈利约300元；当景区空气质量为轻度污染及以上时，该店平均每天亏损约180元(将频率看作概率)．
①根据2018年3月份1号至30号随机抽取了20天的甲景区的AQI指数和海曲市的AQI指数另外10天的情况，估计小李的便利店在当年3月份的这30天里每天盈利的数学期望；
②求小李在连续三天里便利店的总盈利不低于1500元的概率．
附：线性回归方程系数公式．
21.（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右顶点分别为，过左焦点的直线与椭圆交于点（点在点的上方）．
(1)求证：直线的斜率乘积为定值；
(2)过点分别作椭圆的切线，设两切线交于点，证明：．
22.（本小题满分12分）已知函数．
(1)当时，讨论的单调性
(2)设为的两个不同零点，证明：当时，．五雅中学2023届高三下学期入学测试数学试题
（答案）
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，若，则实数的取值范围是（ C ）
A． B． C． D．或
2.已知复数，其中是虚数单位，，下列选项中正确的是（D ）
A．若是纯虚数，则这个纯虚数为 B．若为实数，则
C．若在复平面内对应的点在第一象限，则 D．当时，
【答案】D
3.若，则（ C ）
A． B． C． D．
4.函数的图像大致为（A ）
5.从0，1，2，3，4这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有2，3时，2要排在3的前面（不一定相邻），这样的三位数有（ B ）
A．39个 B．40个 C．36个 D．38个
三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为（ A ）
A． B． C． D．
答案：A
7.已知抛物线的焦点为过点作直线交抛物线于两点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
答案：D
8.已知数列满足.记数列的前n项和为，则（ D ）
A. B. C. D.
【详解】因为，所以，．
由
，即
根据累加法可得，，当且仅当时取等号，
，由累乘法可得，当且仅当时取等号，
由裂项求和法得：所以，即．故选：D．
选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9.袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量X为其中白球的个数，随机变量Y为其中黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量Z为取出4个球的总得分，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【详解】由题意知X，Y均服从于超几何分布，且，，
故；
从而，故选项A正确；
，，，故选项B错误，C正确；
，故选项D正确；故选：ACD.
10. 已知函数，若函数部分图象如图所示，则关于函数，下列结论正确的是（ ）
A. 函数的图象关于直线对称
B. 函数的图象关于点对称
C. 函数在区间上单调递减
D. 函数的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到
【详解】∵，∴，∴．又∵，得（舍）或，因为，∴，∴，
其图象对称轴为，．当时，，故A正确；
∵，，，∴的图象关于点对称，故B正确；
∵函数的单调递减区间为，．
∴，，∴当时，在上单调递减，
所以在上单调递减，故C不正确；∵．故D错误．
故选:AB.
如图，在矩形中，为边的中点，将沿直线翻折成若为线段的中点，则在翻折的过程中，下列四个命题中正确的是（ ）
A．的长为定值 B．点的运动轨迹在某个圆周上
C．存在某个位置，使得 D．不在底面上时，//平面
答案：ABD
12.已知函数，其导函数为，设，则（ BC ）
A.
B 当时，
C.任意，都有
D.若曲线上存在不同两点，，且在点，处的切线斜率均为，则实数的取值范围为
填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.如图，梯形ABCD是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，，则原图形的面积为______．
【答案】
14.在中，，，点D在线段AC上，满足，且，则_____，____.
【答案】 .
15.已知数列的通项为，且数列的前项和，若，则实数的取值范围为______．
【答案】
16.过双曲线的左焦点的直线，在第一象限交双曲线的渐近线于点，与圆相切于点.若，则离心率的值为________.
【详解】设双曲线的右焦点为，在中，是的一个外角，
设，，则，
因为直线与圆相切于点，所以,
在中，，所以，
因为，所以，所以在直角中，，
在直角中，，因为，所以，
因为为直线的倾斜角，直线为双曲线的渐近线，所以,所以，
所以，所以，所以离心率为，故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分10分）记为数列的前项和，已知，是公差为2的等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)证明：.
【详解】（1）因为是公差为2的等差数列，，
所以，
当时，，
两式相减得，，即，
故，又，所以是首项为，公比为的等比数列，
故，则.
（2）因为，所以，则，即，
所以.
（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱中，平面侧面，且.
(1)求证：；
(2)若直线与平面所成的角为，请问在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在请求出的位置，不存在请说明理由.
【详解】（1）证明：连接交于点，
因，则
由平面侧面，且平面侧面，
得平面，又平面，所以.
三棱柱是直三棱柱，则底面ABC，所以.
又，从而侧面，又侧面，故.
（2）由（1）平面，则直线与平面所成的角,
所以，又，所以
假设在线段上存在一点E，使得二面角的大小为,
由是直三棱柱，所以以点A为原点，以AC 所在直线分别为y，z轴,以过A点和AC垂直的直线为x轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，则，
且设， ，
得所以，
设平面的一个法向量，由，得：，取,
由（1）知平面，所以平面的一个法向量,
所以，
解得,∴点E为线段中点时，二面角的大小为.
19.（本小题满分12分）已知在四边形中，，，且.
(1)证明：；
(2)若，求四边形的面积.
答案:(1)略（2）
20.（本小题满分12分）《十九大报告》中指出：坚持人与自然和谐共生．建设生态文明是中华民族永续发展的千年大计．必须树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，坚持节约资源和保护环境的基本国策．下表l是《环境空气质量指标(AQI)技术规定(试行)》：
表1：空气质量指标AQI分组表
(注：表中“m~n”指包含端点m和n)
表2是从2018年3月份1号至30号随机抽取了20天的海曲市的AQI指数x和海曲市甲景区的AQI指数y对应情况及其海曲市的AQI指数x另外10天的情况．
2：海曲市与甲景区AQI指数
(I)若海曲市AQI指数x与甲景区AQI指数y线性相关，根据前20组数据，经计算得，求出y关于x的回归直线方程；
(II)小李在海曲市甲景区开了一家便利店，经小李统计：当景区空气质量为优时，该店平均每天盈利约600元；当景区空气质量为良时，该店平均每天盈利约300元；当景区空气质量为轻度污染及以上时，该店平均每天亏损约180元(将频率看作概率)．
①根据2018年3月份1号至30号随机抽取了20天的甲景区的AQI指数和海曲市的AQI指数另外10天的情况，估计小李的便利店在当年3月份的这30天里每天盈利的数学期望；
②求小李在连续三天里便利店的总盈利不低于1500元的概率．
附：线性回归方程系数公式．
答案：（1） (2)① ②
21.（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右顶点分别为，过左焦点的直线与椭圆交于点（点在点的上方）．
(1)求证：直线的斜率乘积为定值；
(2)过点分别作椭圆的切线，设两切线交于点，证明：．
【答案】(1) (2)略
22.（本小题满分12分）已知函数．
(1)当时，讨论的单调性
(2)设为的两个不同零点，证明：当时，．
【详解】（1）当时，，则定义域为，；
①当时，，恒成立，在上单调递增；
②当时，令，解得：（舍）或，
则当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减；
综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）不妨设，则，且，
两式作差整理得：，，
；
；
要证，
只需证，
又，则只需证；
即证；
令，则，
在上单调递增，，
当时，，即，；
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，，
则，（当且仅当时取等号）；
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，，
（当且仅当时取等号）；
，即；
又，，
成立.
