2014第17章勾股定理导学案（全章）

平罗四中“互评互议、小组合作”数学教学模式学案
年级：八年级　课题17.1勾股定理（第一课）导学案　主备人： 　课时：1
备课时间：2014-2-27　 使用时间： 　月　　 日 　使用人：　　　 　　
【导学目标】
1．经历勾股定理的探索过程，能熟记定理的内容.
2．能运用勾股定理由直角三角形的已知两边求第三边.
【导学重难点】
重点：勾股定理的探索和应用. 难点：勾股定理的探索.
【自主学习】
1.知识回顾（用学过的知识完成下列填空）
（1）含有一个 的三角形叫做直角三角形.
（2）已知Rt△ABC中的两条直角边长分别为a、b ,则S△ABC＝ .
（3）在Rt△ABC中，已知∠A＝30°，∠C＝90°，直角边BC＝1，则斜边AB＝ .
2.在我国古代，人们将直角三角形中_____________叫做勾，______________叫做股，_______叫做弦.
【预习检测】
观察下图，并回答问题：
(1)观察图1 正方形A中含有________个小方格，即A的面积是________个单位面积；正方形B中含有________个小方格，即B的面积是________个单位面积；正方形C中含有________个小方格，即C的面积是________个单位面积．
(2)在图2、图3中，正方形A、B、C中各含有多少个小方格 它们的面积各是多少 你是如何得到上述结果的 与同伴交流．
(3)请将上述结果填入下表，你能发现正方形A，B，C的面积之间有何关系吗 即：如果正方形A、B、C的边长分别为a、b、c，则正方形A、B、C的面积分别是___， ， 。
A的面积(单位面积) B的面积(单位面积) C的面积(单位面积)
图1
图2
图3
结论1：等腰直角三角形的两直角边的平方和等于 。
【小组互议互评】 小组长： 完成情况：
【合作探究】
1、探究：（1）等腰直角三角形有上述性质，其他的直角三角形也有这个性质吗 如下图，每个小方格的面积均为1，请分别计算出下图中正方形A、B、C，的面积．(提示：以斜边为边长的正方形的面积，等于某个正方形的面积减去四个直角三角形的面积)
（2）观察右边两幅图，填表。
A的面积 B的面积 C的面积
左图
右图
猜想命题：如果直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么
已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。
求证： a2+b2=c2
证明：4S△+S小正= S大正=
根据的等量关系：
由此我们得出：
归纳定理：直角三角形两条___ ___的平方和等于__ ___的平方.
即：如果直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么______________
【课堂检测】
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________；③若c=61，b=60，则a=__________；④若a∶b=3∶4，c=10则SRt△ABC=________。
2.一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ）
A．斜边长为25 B．三角形周长为25 C．斜边长为5 D．三角形面积为20
3.已知一个Rt△ABC的两条边长分别为3和4，则第三边长的平方是（　　）
A、25 B、14 C、7 D、7或25
4.已知，如图在ΔABC中，AB=BC=CA=2cm，AD是边BC上的高．
求 ：①AD的长；②ΔABC的面积．
5.在Rt△ABC中，一条直角边长为6，斜边长比另一直角边长大2，则斜边为多少？
【课后反思】 【学案改进意见】
平罗四中“互评互议、小组合作”数学教学模式学案
年级：八年级　课题17.1勾股定理（第二课）导学案　主备人： 　课时：1
备课时间：2014-2-28　 使用时间： 　月　　 日 　使用人：　　　 　　
【导学目标】能运用勾股定理的数学模型解决现实世界中的实际问题
【导学重难点】
重点：会用勾股定理解决简单的实际问题
难点：勾股定理的灵活运用
【自主学习】
1.勾股定理的具体内容是： ，它反映了直角三角形的 关系，该定理只能在 三角形中使用。
2.求出下列直角三角形中未知的边．
【预习检测】
直角三角形中哪条边最长？它所对的是什么角 直角三角形中两个锐角有什么关系？
【小组互议互评】 小组长： 完成情况：
【合作探究】
例1：一个门框的尺寸如图所示．
①若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，问怎样从门框通过？
②若薄木板长3米，宽1.5米呢？
③若薄木板长3米，宽2.2米呢？为什么？
　 思考：（1）木板横着能否通过？竖着能否通过？　　　　
（2）在长方形ABCD中AB、BC、AC那一条线最长？
例2：小明拿着一根长竹竿进一个宽为3米的城门，他先横着拿不进去，又竖着来拿，结果竹竿比城门高1米，当他把竹竿斜着时，竹竿两端刚好顶着城门的对角，问竹竿长多少米？
提示;设城门的高x米，则竹竿的长为（x+1）米。由题意列方程得:
【巩固练习】
已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，AB⊥AC ，∠B=60°，CD=1cm，求BC等于多长？
【课堂检测】
1.如图，分别以Rt △ABC三边为边向外作三个正方形，
其面积分别用S1、S2、S3表示，容易得出S1、S2、
S3之间有的关系式 ．
2、如图在Rt △ABC中∠C=90°，图中有阴影的三个
半圆的面积有什么关系？
3．如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是多少米。
【课后反思】 【学案改进意见】
平罗四中“互评互议、小组合作”数学教学模式学案
年级：八年级　课题17.1勾股定理（第三课）导学案　主备人： 　课时：1
备课时间：2014-3-3　 使用时间： 　月　　 日 　使用人：　　　 　　
【导学目标】能熟练运用勾股定理的数学模型解决现实世界中的实际问题
【导学重难点】
重点：会用勾股定理解决简单的实际问题 难点：勾股定理的灵活运用
【自主学习】
如图所示：在Rt△ABC中，已知∠ACB＝90°，AC＝3cm，
AB＝5cm，则Rt△ABC的面积为 cm2，BC＝
cm，AB边上的高CD＝ cm。
【预习检测】
△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为多少？
【小组互议互评】 小组长： 完成情况：
【合作探究】
例1：如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？
例2：如图一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行多少cm？
【巩固练习】
1：如图，一个3米长的梯子AB，斜着靠在竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5米．
①球梯子的底端B距墙角O多少米？
②如果梯的顶端A沿 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )墙下滑0.5米至C，请同学们猜一猜，底端也将滑动0.5米吗？（结果保留两位小数）．
2.如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B、C两点，在江对岸取一点A，使AC垂直江岸，测得BC=50米，∠B=60°，则江面的宽度为多少米。
【课堂检测】
1.在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边， 花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深是多少米？
2.如图，已知一根长8m的竹杆在离地3m处断裂，竹杆顶部抵着地面，此时，顶部距底部有多少米？
【课后反思】 【学案改进意见】
平罗四中“互评互议、小组合作”数学教学模式学案
年级：八年级　课题17.1勾股定理（第四课）导学案　主备人： 　课时：1
备课时间：2014-3-4　 使用时间： 　月　　 日 　使用人：　　　 　　
【学习目标】1.利用勾股定理，能在数轴上表示无理数的点。
2.利用数形结合的思想进行相关作图。
【导学重难点】
重点：能在数轴上表示无理数的点和勾股定理的综合应用.
难点：勾股定理的灵活运用
【自主学习】
1.勾股定理的内容
2. 13＝9＋4，即＝＋﹝ ﹞2；若以 和 为直角三角形的两直角边长，则斜边长为。同理以 和 （填正整数）为直角三角形的两直角边长，则斜边长为。
【预习检测】
你能在数轴上作出吗？
【小组互议互评】 小组长： 完成情况：
【合作探究】
探究：我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示的点吗？
分析：(1)如果能画出长为_______的线段，就能在数轴上画出表示的点。
(2)由勾股定理知，长为的线段是两条直角边都为______的直角三角形的斜边。长为的线段能是直角边为正整数的直角三角形的斜边吗？
由勾股定理，可以发现，长为的线段是直角边为正整数_____、 ______的直角三角形的斜边。
作法：在数轴上找到点A，使OA=_____，
作直线垂直于OA，在上取点B，
使AB=_____，以原点O为圆心，以
OB为半径作弧，弧与数轴的交点C
即为表示的点。
练习：在数轴上画出表示的点？
（尺规作图）
【巩固练习】
如图：螺旋状图形是由若干个直角三角形所
组成的，其中①是直角边长为1的等腰直角三
角形。那么OA1＝ ,OA2＝ ,OA3＝ ,
OA4＝ ,OA5＝ ,OA6＝ ,OA7＝ ,…,
OA14 ＝ , …,OAn＝ .
思考：利用这种方法能找出表示和的线段吗？
我的回答是： ，原因是
【课堂检测】
1、 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2.如图所示，在△ABC中，三边a,b,c的大小关系是（ ）
A.a＜b＜c B. c＜a＜b C. c＜b＜a D. b＜a＜c
3.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为_______
【课后反思】 【学案改进意见】
平罗四中“互评互议、小组合作”数学教学模式学案
年级：八年级　课题17.2勾股定理逆定理（第一课）导学案　主备人： 　课时：1 备课时间：2014-3-5　 使用时间： 　月　　 日 　使用人：　　　 　　
【导学目标】
1．体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。
2．探究勾股定理的逆定理的证明方法。
【导学重难点】
重点. 掌握勾股定理的逆定理及简单应用。
难点：勾股定理的逆定理的证明
【自主学习】
1、怎样判定一个三角形是直角三角形？
2. 画△ABC，使a＝3，b＝4，c＝5，量出∠C的度数；若改a＝2.5，b＝6，c＝6.5，
再量出∠C的度数.
【预习检测】
1.如果三角形的三边长、、，满足a2+b2=c2，那么这个三角形是 三角形
这个猜想的题设是： __________
结论是： __________________________ __________
2.如果两个命题的题设、结论正好相反，那么这样的两个命题叫做 命题，若把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的 命题.譬如：
①原命题：若a＝b,则a2＝b2；逆命题： .（正确吗？答 ）
②原命题：对顶角相等；逆命题： . （正确吗？答 ）
由此可见：原命题正确，它的逆命可能 也可能 .正确的命题叫真命题，不正确的命题叫假命题
【小组互议互评】 小组长： 完成情况：
【合作探究】
验证猜想：已知：△ABC中，BC2＋AC2＝AB2；
求证：∠C＝90°.
证明：
通过证明，我发现勾股定理的逆命题是 的，它也是一个 ，我们把它叫做勾股定理的逆定理.
归纳
（1）勾股定理是直角三角形的 定理；勾股定理的逆定理是直角三角形的 定理.
（2）任何一个命题都有 _____，但任何一个定理未必都有 __
（3）已知三角形的三边长，判断该三角形是不是直角三角形的步骤是：
①先算两条短边的 再算最长边的 ；
②把 作比较；
③给出 .
（4）像6，8，10这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。勾股数的特征：①是 个 数；②满足条件 .
【巩固练习】
1：判断由线段、、组成的三角形是不是直角三角形：
（1） a=15 b=8 c=17； （2） a=13 b=14 c=15
(3) a=7 b=24 c=25 (4) a=1.5 b=2 c=2.5
2.一个三角形的三边之比为3；4：5，这个三角形的形状是__________.
3.将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是__________.
4.适合下列条件的△ABC中, 直角三角形的个数为( )
①a=6 ∠A=450 ②∠A=320; ∠B=580 ③a=7, b=24 c=25 ④ a=2 b=2 c=4
⑤a=3 b=4 c=5
A. 2个; B. 3个; C. 4个; D. 5个.
【课堂检测】
1.三角形的三边长为(a+b)2=c2-2ab,则这个三角形是( )
A. 等边三角形; B. 钝角三角形; C. 直角三角形; D. 锐角三角形.
2.叙述下列命题的逆命题，并判断逆命题是否正确。
（1）如果＞0，那么＞0；（ ）
（2）关于某条直线对称的两条线段一定相等。（ ）
（3）如果三角形有一个角小于90°，那么这个三角形是锐角三角形；（ ）
（4）如果两个三角形全等，那么它们的对应角相等；（ ）
3.已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？
⑴a=9，b=41，c=40；
⑵a=15，b=16，c=6；
⑶a=2，b=，c=4；
⑷a=5k，b=12k，c=13k（k＞0）
【课后反思】 【学案改进意见】
平罗四中“互评互议、小组合作”数学教学模式学案
年级：八年级　课题17.2勾股定理逆定理（第二课）导学案　主备人： 　课时：备课时间：2014-3-6 使用时间： 　月　　 日 　使用人：　　　
【导学目标】
1.进一步掌握勾股定理的逆定理，并会应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形，能够理解勾股定理及其逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围。
2.培养逻辑推理能力，体会“形”与“数”的结合。
【导学重难点】
重点：勾股定理的逆定理
难点：勾股定理的逆定理的应用
【自主学习】
1、勾股定理的内容是 ；
勾股逆定理的内容是 .
2、已知三角形的三边长，判断该三角形是不是直角三角形的格式是：
【预习检测】
已知：如图，四边形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，
AD=3。 求：四边形ABCD的面积。
归纳：求不规则图形的面积时，要把不规则图形 。
【小组互议互评】 小组长： 完成情况：
【合作探究】
1.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
2．如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量。小明找了一卷米尺，测得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又已知∠B=90°。
【巩固练习】
1. 一个三角形三边之比为3：4：5，则这个三角形三边上的高值比为
A 3:4:5 B 5:4:3 C 20:15:12 D 10:8:2
2. 如果△ABC的三边a,b,c满足关系式 +（b-18）2+=0则△ABC是 _______三角形。
【课堂检测】
1.若△ABC的三边a、b、c，满足（a－b）（a2＋b2－c2）=0，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形；B．直角三角形；C．等腰三角形或直角三角形；D．等腰直角三角形。
2.若△ABC的三边a、b、c，满足a：b：c=1：1：，试判断△ABC的形状。
3.已知：如图，四边形ABCD，AB=1，BC=，CD=，AD=3，且AB⊥BC。
求：四边形ABCD的面积。
4.已知△ABC的三边为a、b、c，且a+b=4，ab=1，c=，试判定△ABC的形状。
【课后反思】 【学案改进意见】
（1）
2
45°
A
15
C
B
2
30°
6
10
A
C
B
8
A
1.勾股定理的具体内容是： ，它反映了直角三角形的 关系，该定理只能在 三角形中使用。
2.求出下列直角三角形中未知的边．
C
B
B
C
1m
2m
A
D
A
B
C
A
D
E
B
C
O
B
D
CＣ
A
C
A
O
B
O
D
5
●
●
●
●
●
●
O
1
2
3
4
5
●
●
●
●
●
●
O
1
2
3
4
5
●
●
●
●
●
●
O
1
2
3
4
A
B
C
D
7cm
A
B
C
第3题图
第2题图
第1题图
A
B
C
c
a
b
c
a
b
B
′
A
′
C
′
图18.2-3