襄阳市第五高级中学2022-2023学年高二下学期开学考试
数学试题
满分：150分 考试时间：2023.1.30
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知函数，若，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知平面的一个法向量，点在内，则平面外一点到平面的距离为（ ）
A. 4 B. 2 C. D. 3
3.若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
4.已知数列满足，且，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
5.已知圆与圆的公共弦所在直线恒过定点且点在直线上， 则的最大值是（ ）
A. B. C. D.
6.设分别为椭圆的上、下顶点，若在椭圆上存在点，满足，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7.如图，在平行六面体中，是与的交点，若，，，且，则等于（ ）
A. B. C. D.
高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.用他的名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，已知数列满足，，，若，为数列的前项和，则（ ）
A. 999 B. 749 C. 499 D. 249
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.公差为d的等差数列满足，，则下面结论正确的有（ ）
A.d＝2 B. C. D.的前n项和为
10.如图，平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（ ）
A. B.
C. 向量与的夹角是. D. 异面直线与所成的角的余弦值为.
11.已知为等差数列的前项和，，，记，，其中是高斯函数，表示不超过的最大整数，如，，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
12.已知抛物线：与圆：交于，两点，且，直线过的焦点，且与交于，两点，则下列说法正确的是（ ）
A. 若直线的斜率为，则 B.的最小值为
C. 若以为直径的圆与轴的公共点为，则点的横坐标为
D. 若点，则周长的最小值为
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知圆与圆相交于两点，则公共弦的长度是___________．
14.在数列中，，.记是数列的前项和，则________.
15.已知函数的导函数为，且满足关系式，则___________．
16.已知抛物线上一点，点，是抛物线上异于的两动点，且，则点到直线的距离的最大值是_________.
四、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.已知函数．
(1)求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积；
(2)过点作曲线的切线，若切线有且仅有1条，求实数的值．
18.如图，四棱锥的底面为正方形，底面，设平面PAD与平面PBC的交线为l.
(1)证明：平面PDC；
(2)已知，Q为l上的点，且，求PB与平面QCD所成角的正弦值.
19.若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.现对数列1，2进行构造，第一次得到数列1，3，2；第二次得到数列1，4，3，5，2；依次构造，第次得到的数列的所有项之和记为.
(1)求与满足的关系式；
(2)求数列的通项公式；
(3)证明：
20.已知抛物线的准线过椭圆的左焦点,且椭圆的一个焦点与短轴的两个端点构成一个正三角形.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线交椭圆于两点,点在线段上移动,连接交椭圆于两点,过作的垂线交轴于,求面积的最小值.
21.已知数列满足：，，，且；等比数列满足：，，，且．
(1)求数列、的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，若不等式对任意都成立，求实数的取值范围．
22.已知双曲线的右焦点为，渐近线与抛物线交于点.
(1)求的方程；
(2)设是与在第一象限的公共点，作直线与的两支分别交于点，便得.
（i）求证：直线过定点；
（ii）过作于.是否存在定点，使得为定值？如果有，请求出点的坐标；如果没有，请说明理由.襄阳市第五高级中学2022-2023学年高二下学期开学考试
数学参考答案
1-8 BBCAD ADA
9-12 ABD AB ACD BCD
13. 2 14. 110 15. - 16. 2
17.解：（1）f（x）=（1-x）ex，f′（x）=-ex+（1-x）ex=-xex，
则f′（1）=-e,又f（1）=0，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=-e（x-1），即y=-ex+e.
取x=0，得y=e,取y=0，得x=1．
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形面积S=；
（2）设切点坐标为（），由f′（x）=-ex+（1-x）ex=-xex，
得f′（x0）=，则曲线在切点处的切线方程为，
把点A（a,0）代入，可得，
整理得：．
∵切线有且仅有1条，∴Δ=（a+1）2-4=a2+2a-3=0，解得a=-3或a=1．
18.（1）证明：，平面，平面，
平面，
又平面，且平面平面，
，
又底面，底面，
，
又正方形，
，
，平面，
平面，
又，
平面；
（2）解：因为底面，面，
所以，
又正方形中，，
建立如图的空间直角坐标系，
根据题意可得：，，，，，
由于Q为l上的点，且，
则，则，，，
设平面的法向量为，
则，
令，则，，，
，
与平面所成角的正弦值为．
19.解：(1)设第n次构造后得的数列为1,,,,,2,
则=3++++,
则第n+1次构造后得到的数列为1,1+,,+,,,+,,2+,2,
则=6+3(++)=6+3(-3)=-3,即与满足的关系式为=-3;
(2)由=-3,可得-=3(-),且=6,则-=，
所以数列{-}是以为首项,3为公比的等比数列,
所以-=,即=;
(3)=<=,
所以++++<++++==-<．
20.解:（1）由题知抛物线的准线为直线，过椭圆E的左焦点，
∴.
∵椭圆E的一个焦点与短轴的两个端点构成一个正三角形,
∴，
故椭圆E的标准方程为：.
（2）由(1)得椭圆的方程为，
∵MN的垂线交x轴于点Q，
∴MN的斜率存在，
∵连接OP交椭圆于M，N两点，
∴MN的斜率不为0.
不妨设lMN：y=kx，,则，
联立
即,
∴，
∴.
设，
∵，
∴,
解得：，
∴Q到直线MN的距离为：d=,
∴=
=
,
当且仅当，即时等号成立，
故△MNQ面积的最小值为.
21.解:(1)由-(n+1)=两边同除n(n+1)得:-=,
两边同除得:-=,
则-=-,
所以=(-)+(-)++(-)+
=(-)+(-)++(-)+1=2-,(n2)，
所以=,又=1符合=,故=,n，
由=+得:1=2q+,解得:q=,所以=.
(2)=,
=1·+3·++(2n-1)
=1· +3++(2n-1)
由-得:=+2(+++)-(2n-1)
=+(1-)-(2n-1)=-
=1-.
则()=,由|()-|2得:
|-|2-2+2,
因为=
所以当n为偶数时,(0,]:当n为奇数时,-[-,0).
故[-,0)(0,].
所以-2-+2,即-,故的取值范围是[-,].
22.解:(1)F(,0),的渐近线过(1,),
联立解得则:-=1,
抛物线过(1,),2p==,
:=.
(2) (i)M, N在不同支,直线MN的斜率存在, 设方程为y=kx+m,令,
联立得(1-)-4kmx--2=0,
则+=,=,
联立,可得可得，解得：A(2,1),
=0,(-2)(-2)+(-1)(-1)=0,
代入直线方程及韦达定理整理可得:+8km++2m-3=0,
整理化简得(6k+m+3)(2k+m-1)=0,
A(2,1)不在直线MN上,2k+m-10,6k+m+3=0,
直线MN的方程为y=kx-6k-3=k(x-6)-3,过定点B(6,-3).
(ii)A, B为定点, 且ADB为直角,
D在以AB为直径的圆上,AB的中点P(4,-1)即为圆心,半径|DP|为定值.
故存在点P(4,-1),使得|DP|为定值.
