【新课标】24.3.1圆周角定理 课件（共34张PPT）

(共34张PPT)
24.3.1圆周角定理
沪科版 九年级下
教学内容分析
本节在学习了圆心角的基础上，继续学习了圆周角的概念，以及同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，并学习了两个推论：在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等；半圆或直径所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径。
教学目标
1.理解圆周角的概念，理解和运用圆周角定理解几何问题；（重点）
2.掌握半圆或直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径”.（重难点）
核心素养分析
本节要求掌握圆周角的概念，理解和运用圆周角定理 ，推导出2个推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径”，利用圆周角定理求角和线段等元素，培养了学生推理和计算的能力，同时锻炼了学生几何直观的素养。
不在同一直线上的三个点确定一个圆.
三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等，即OA=OB=OC
A
B
O
C
三角形的外接圆
三角形的外心
圆的内接三角形
新知导入
经过三点A,B ,C,可以确定一个圆吗
新知讲解
如图24-33,△ABC内接于⊙O，这时∠A的顶点在圆上，∠A的两边AB, AC分别与圆还有另一个公共点。
C
A
B
.O
图24-33
新知讲解
顶点在圆上,并且两边都与圆还有另一个公共点的角叫做圆周角。
C
A
B
.O
图24-33
圆O中圆周角有哪几个？
∠A、∠B和∠C
两个条件必须同时具备，缺一不可
新知讲解
下列图中哪个是圆周角？
图（2）是圆周角
（1）
（2）
（3）
新知讲解
如图24-34 ,若△ABC是等边三角形,⊙O是其外接圆，∠BAC 与∠BOC有什么关系呢？
探究
图24-34
C
A
B
O
新知讲解
证明：∵△ABC是等边三角形
∴∠BAC =∠ABC =∠BCA = 60°,
又∵∠BOC =∠AOC =∠AOB =120°,
∴∠BAC = ∠BOC
图24-34
C
A
B
O
新知讲解
任意画一个⊙O及其内接△ABC，用量角器量，∠BAC及∠BOC有什么样关系
一个圆周角的大小与它所对弧上的圆心角有关；前者是后者的二分之一。
图24-34
C
A
B
O
新知讲解
以⊙O上任一点A为顶点的圆周角有无数多个，按圆心与圆周角的位置关系,存在下面三种情况,如图24-35.
圆心在角的一边上
(2)
A
B
C
.O
圆心在角的外部
A
B
C
.O
D
圆心在角的内部
图24-35
(1)
A
B
C
.O
(3)
证明：连接OC,
∵△OAC是等腰三角形,
∴∠A=∠OCA.
∴∠BOC=∠A+∠OCA =2∠A
即∠A= ∠BOC.
新知讲解
(1)圆心在角的一边上
图24-35(1)
A
B
C
.O
新知讲解
(2)圆心在角的内部
证明：连接AO并延长，交⊙O于点D，
连接OB, OC,
∵∠BAC =∠DAC+∠DAB
∴∠BAC= ∠DOC+ ∠DOB
= ∠BOC.
图24-35(2)
A
B
C
.O
D
新知讲解
(3)圆心在角的外部
证明：连接AO并延长,交⊙O于点D,
连接OB, OC
有∠BAC= ∠DAC -∠DAB
= ∠DOC- ∠DOB
= ∠COB .
图24-35(3)
A
B
C
.O
D
新知讲解
圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.
A
B
C
.O
新知讲解
变式 如图，点A、B、C在⊙O上，∠CAB=70°，则∠BOC等于( )
A. 100° B. 110° C. 130° D. 140°
解：
∵∠CAB=70°，
∴∠BOC=2∠CAB=140°，
故选：D．
D
新知讲解
推论1:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等(图24-36).
图24-36
新知讲解
图24-36
证明：如图，连接AO，BO，
∵∠C ，∠C ，∠C 所对弧上的圆心角均为∠AOB.
由圆周角定理可得
∠C =∠C =∠C = ∠AOB.
-------
------
推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角;
90°的圆周角所对的弦是直径(图24-37).
新知讲解
图24-37
新知讲解
证明：∵A、O、B在一条直线上，
∴∠AOB=180°
由圆周角定理得
∠C =∠C =∠C =180°÷2 = 90°.
即直径所对的圆周角是直角，
同理，90°的圆周角所对的弦AB是直径。
图24-37
新知讲解
例1 如图24-38,AB为⊙O的直径,弦CD交AB于点P,∠ACD =60°,∠ADC =70° ,求∠APC的度数.
分析:∠APC等于圆周角∠BAD与∠ADC之和.
图24-38
A
B
C
D
O
P
新知讲解
解:连接BC,则∠ACB =90°，
∠DCB = ∠ACB -∠ACD = 90°-60° =30°
又∵∠BAD =∠DCB = 30°，
∴∠APC = ∠BAD +∠ADC
=30° +70°
=100°.
图24-38
A
B
C
D
O
P
1、如图，△ABC的顶点A，B在⊙O上，点C在⊙O外(O,C在AB同侧)，∠AOB=98°，则∠C的度数可能是( )
A. 48° B. 49° C. 50° D. 51°
课堂练习
A
解：设AC与⊙O相交于点D，连接BD，
∵∠AOB=98°，
∴∠ADB= ∠AOB=49°，
∵∠ADB是△BCD的一个外角，
∴∠C<∠ADB，
∴∠C的度数可能是：48°，
故选：A．
课堂练习
课堂练习
2.如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上(不与点A，点C重合)，BD与OA交于点E.设∠AED=α，∠AOD=β，则( )
A. 3α+β=180°
B. 2α+β=180°
C. 3α-β=90°
D. 2α-β=90°
D
课堂练习
解:∵OA⊥BC，
∴∠AOB=∠AOC=90°，
∴∠DBC=90°-∠BEO=90°-∠AED=90°-α，
∴∠COD=2∠DBC=180°-2α，
∵∠AOD+∠COD=90°，
∴β+180°-2α=90°，
∴2α-β=90°，故选：D．
课堂练习
3.已知：如图，AB和CD交于⊙O内一点P，求证：PA PB=PC PD．
课堂练习
解：证明：连接AC、BD，如图所示：
∵∠CAB、∠CDB所对应圆弧都为弧BC，
∴∠CAB=∠CDB，
∵∠APC=∠DPB，
∴△APC∽△DPB，
∴
∴PA PB=PC PD．
课堂总结
定理
推论
一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.
推论1:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等.
圆
周
角
定
理
推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角;
90°的圆周角所对的弦是直径.
板书设计
24.3.1 圆周角定理
1.圆周角定理及其推论
2.例1
作业布置
必做题:课本P29的第1~3题
选做题:练习册本课时的习题
谢谢
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