2022~2023 学年度秋季学期期中学业质量监测
九年级数学
（时间：120 分钟 满分：120 分）
注意事项：
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名 和考号填写或填涂在答题卷指定的位置。
选择题答案用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试题卷上。
主观题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卷上作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答
案。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项是符合题目要求的.
y＝ 5
x
x
(
1
.
对
于二次
函数
y
＝
x
2
，下列说法正确的是
（
）
A
.函数
有最小值
B
.函数图象
开口向
下
C
.函数图象
顶点坐标是（
1
，
-
1
）
D
.
y
随
x
增大而减小
2
.
下列图形中，一定相似的是
（
）
A
.
等边三角形
B
.
等腰三角形
C
.
直角三角形
D
.
三角形
3
.
已知点
A
（
-
5
，
1
）
在反比例函数
y
＝
k
的图象上，则该函数的解析式为
（
）
)y＝ 25
x
y＝ 1
x
y＝5x
4.已知四条线段 a，b，c，d 依次成比例，且 a＝1，b＝2，c＝3，则 d 的值为 （ ）
A.3 B.6 C.8 D.9 5.二次函数 y＝2x2+1 与 y 轴的交点坐标为 （ ）
A.（1，0） B.（0，0） C.（0，1） D.（0，-1）
6.抛物线 y ＝ 5 x 2 3 可以由抛物线 y＝5x2 平移得到，则下列平移过程正确的是 （ ）
A.向左平移 3 个单位长度 B.向右平移 3 个单位长度
C.向下平移 3 个单位长度 D.向上平移 3 个单位长度
7.若 且 3b d 2 f 0，则
的值是 （ ）
D.无法确定
如图，点 P 在△ABC 的边 AC 上，要判断△ABP ∽△ACB，添加一个条件， 不正确的是 （ ）
如图，已知一次函数 y1＝kx b（k 0）的图象与二次函数 y2 ＝ax2+bx+c
（a≠0）的图象交于 A（0，-1），B（5，3）两点，当 y1 y2 时，x 的取值范围是 （ ）
A.x＜0 B.x＞5
C.x＜0 或 x＞5 D.0＜x＜5
（第 9 题图）
为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图）对应的两条抛物线关于y 轴对称，AE∥x 轴，AB＝4cm，最低点 C 在 x 轴上，高 CH＝2cm，BD＝2cm.则左轮廓线 ABC 所在抛物线的函数解析式为 （ ）
11.2022 年北京冬奥会的冰墩墩受广大群众的喜爱，某超市销售冰墩墩饰品，每件成本为 40 元， 销售人员经调查发现，该商品每月的销售量 y（件）与销售单价 x（元）之间满足函数关系式y＝-2x+200，若要求销售单价不得低于成本.为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？每月最大利润是多少元？ （ ）
A.80 元，1800 元 B.70 元，2000 元 C.70 元，1800 元 D.80 元，2000 元
如图，二次函数的图象 y＝ax2+bx+c（a≠0）与 x 轴正半轴相交于 A，B 两点，与 y 轴相交于点 C， 对称轴为直线 x＝2，且 OA＝OC，则下列结论：①abc＞0；②a-b+c＜0；③4a+b+c＞-1；④关
于 x 的方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）有一个根为 1 .
a
其中正确的有 （ ）
个 B.2 个
C.3 个 D.4 个
第Ⅱ卷
（第 12 题图）
二、填空题：共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分.请将答案填在答题卡上.
若函数 y＝mx2+x-3 是关于 x 的二次函数，则 m 满足条件是 .
反比例函数 y＝ 2 的图象在第 象限.
x
如图，在△ABC 中，DE∥BC，AE＝3，CE＝5，则 AD .
BD
如图，AC⊥BD 于点 C，DE⊥AB 于点 E，AC，ED 交于点 F，BC＝3，FC＝1，BD＝5，则AC＝ .
定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似
但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线.在四边形 ABCD 中，对角线 AC
是它的相似对角线，∠BCD＝50°，AC 平分∠BCD，那么∠BAD＝ 度.
18.如图，反比例函数 的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别与AB，BC相交于
点 D，E.若四边形 ODBE 的面积为 5，则 k 的值为 .
第 15 题图 第 16 题图 第 18 题图
三、解答题：本大题共 8 小题，共 66 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
19.（本题满分 6 分）二次函数 y ax2 bx c(a 0) 中的 x ， y 满足如表.
x … 1 0 1 2 3 …
y … 0 3 -4 -3 0 …
该抛物线的顶点坐标为 ；
当 x＝5 时，求对应的函数值；
当 x＞1 时，函数 y 的值随 x 的增大而 （填“增大”或“减小”）.
20.（本题满分 6 分）如图：点 A，B，E 在同一条直线上，AD⊥AC，且 BD⊥AD，AE⊥EC，垂足分别为 A，D，E.
求证：△ABD∽△CAE；
若 AB＝13，BD＝5，AC＝6，求 CE 的值.
21.（本题满分 6 分）如图，已知 AE 平分∠BAC，点 D 在 AE 上，
（第 20 题图）
（1）求证：∠E＝∠C；
（2）若 AB＝8，BE＝6，DC＝3，DE＝ 5 AE ，求 DE 的长.
9
22.（本题满分 8 分）如图：一次函数 y＝2x+b 的图象与反比例函数 y＝ k
x
（第 21 题图）
(
（
第
22
题图）
)的图象交于 A(m，n)、B(-1，-4)两点.
求反比例函数和一次函数的解析式；
求 A 点的坐标；
求△AOB 的面积.
23.（本题满分 10 分）已知：如图，D 是△ABC 的边 AB 上一点，且线段 AC 是线段 AD，AB 的比例中项.
求证：∠ADC＝∠ACB；
已知点 D 是线段 AB 的黄金分割点，BD＝AD+3，求线段
AD 的长.
（第 23 题图）
24.（本题满分 10 分）九年级体育课上，男同学正在进行原地掷实心球训练.如图所示，某同学实心球出手（点 A 处）的高度是 2m，出手后的实心球沿一段抛物线运行，当实心球运行到最高点时，
运行高度为18 m，水平距离为 4m.
5
试求实心球运行高度 y（米）与水平距离 x（米）之间的函数表达式；
设实心球落地点为 C，实心球落地点与出手点之间的水平距离为原地掷实心球的成绩，求某同学的成绩；
如果某同学想把他的原地掷实心球成绩提高到 12 米，则在出手高度不变的情况下，求此时满足条件的实心球运行高度 y（米）与水平距离 x（米）之间的函数表达式.（实心球运行
(
（
第
24
题图）
)到最高点时，水平距离范围
25.（本题满分 10 分）有一块三角形余料 ABC，它的边 BC＝90 厘米，高 AD＝60 厘米.要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB，AC 上.
如图 1，请问加工成的正方形零件边长是多少厘米？
如图 2，如果所要加工成的零件是矩形，其它条件不变，请问矩形面积是否存在最大值？ 如果存在，请求出满足最大值时矩形零件的两条边长.如果不存在，请说明理由.
如图 3，如果所要加工成的零件是一个黄金矩形（ 宽
长
5 1 ），请直接写出这个黄金矩
2
形的长和宽.（结果精确到 0.1，
2.236 ）
(
5
) (
（第
25
题图
1
）
)（第 25 题图 2） （第 25 题图 3）
26.（本题满分 10 分）如图，已知抛物线 y＝ax2-4x+c 经过点 A（0，-6）和 B（3，-9）.
求出抛物线的解析式；
点 P（m，m）与点 Q 均在抛物线上（其中 m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求 m 的值及点 Q 的坐标；
在满足（2）的情况下， 在抛物线的对称轴上存在点 E， 使得
△QEA 的周长最小，请求点 E 的坐标.
（第 26 题图）2022~2023学年度秋季学期期中学业质量监测
九年级数学 答案及解析
（沪科版）
选择题（共12小题，每小题3分，共36分）
B 2.A 3.A 4.B 5.C 6.C 7.C 8.B 9.C 10.B 11.C 12.D
选择题答案详解：
1.选B，二次函数，开口向下，有最大值，对称轴为y轴，顶点为（0，0），当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小.
2.选A，等边三角形的3个角都等于60°，所以等边三角形都是相似的图形.
3.选A，求反比例函数的解析式时，k＝xy＝-5×1＝-5，所以 .
4.选B，四条线段、、、依次成比例，所以a∶b＝c∶d，1∶2＝3∶d，所以d＝6.
5.选C，二次函数与y轴的交点，所以令x＝0，求得y＝1，所以交点为（0，1）.
6.选C，抛物线可以由抛物线直接向下平移3个单位得到.
选C，因为,，所以a＝3b，c＝3d，e＝3f，代入 ＝3
选B,根据相似三角形的判定方法，图中有公共角∠A，可以添加另外一组对应角相等，所以A和D都对，还可以添加两边成比例和夹角∠A相等,B选项不是两边和夹角的形式，有一组边是对边，所以不正确选B.
选C，一次函数的图象与二次函数的图象交于两点，当时，.
选B，轮廓线ABC所在抛物线的顶点（-3，0），对称轴为x＝-3,设二次函数顶点式为
，将点B（-1，2）代入顶点式，求得解析式为.
选C，,因为抛物线开口向下，所以当x＝70时，函数有最大值为1800.
选D，①②③④正确，①；因为a<0，c<0，b>0，所以正确；②a-b+c<0，当x＝-1时，y<0，所以正确；③1；因为对称轴＝2, 所以b＝-4a，，所以1，正确；④假设方程的一个根为，把代入方程可得,整理可得ac-b+1＝0，两边同时乘c可得,即方程有一个根为x＝-c，由②可知-c＝OA，而当x＝OA是方程的根，x＝-c是方程的根，即假设成立.
填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分 .）
13. m≠0；由二次函数的定义得m≠0.
14.一、三；由反比例函数的性质可知，k＞0,图象在第一、三象限.
15.；由平行线分线段成比例性质，直接带入数据即可求出结果．
16.6；解：由CA⊥DB，DE⊥AB，可得 ∠ACB =∠DCF，∠A =∠D可证得△ACB∽△DCF，得到，代入数据解得AC＝6．
17.155；依据四边形的相似对角线的定义，即可得到∠BCA＝∠ACD，∠ABC＝∠CAD，
∠BAC=∠ADC，再根据四边形内角和为，即可得到∠BAD的度数为155.
18. ；解：根据题意，利用表示出△OAD，△OCA，矩形OABC的面积，并列出与四边形ODBE的面积关系式，可求出.
三、解答题
19.解法1：（1）（1，-4） ...................1分
（2）由（1）可设设抛物线解析式为y＝a（x-1）2－4 ..................2分
把（0，-3）代入y＝a（x-1）2－4得a（0-1）2－4＝-3,解得a＝1 ...................3分
解析式为：y＝（x-1）2－4，即为；
把x＝5代入，可得y＝52-2×5-3＝12， ...................4分
所以当x＝5时，对应的函数值为12 .
（3）增大． ...................6分
解法2：（1）（1，-4） ...................1分
（2）设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c
把（-1，0），（0，-3），（1，-4）代入得， ...................2分
解得：
解析式为：， ...................3分
把x＝5代入，可得y＝52-2×5-3＝12， ...................4分
所以当x＝5时，对应的函数值为12.
（3）增大 ...................6分
（1）证明：∵BD⊥AD，AE⊥EC
∴∠D＝∠E＝90°
∴
∵ AD⊥AC
∴ .......................................1分
∴
∴ ∠BAD＝∠C .......................................2分
∴△ABD∽△CAE .......................................3分
在Rt△ABD中，根据勾股定理得：
即
解得AD＝12 ........................................4分
由（1）得△ABD∽△CAE
∴ .........................................5分
∴
∴ ...........................................6分
（1）证明：∵AE平分∠BAC
∴∠BAE＝∠EAC ........................................1分
又∵
∴△ABE∽△ADC ............................................2分
∴∠E＝∠C ..........................................3分
（2）由（1）得△ABE∽△ADC
∴ ...........................................4分
∴
∴ ...........................................5分
∵
∴
∴
∴ ...........................................6分
解：（1）B（-1，-4）在反比例函数的图象上
∴k＝（-1）×（-4）＝4
∴反比例函数的表达式为 ....................................1分
∵B（-1，-4）在一次函数y＝2x+b的图象上
∴ -4＝2×（-1）+b
∴b＝-2
∴ 一次函数解析式为y＝2x-2 ...................................2分
∵一次函数图象与反比例函数图象交于点A
∴
解得： 或 ............................3分
由图像可知，点A在第一象限
∴ 点A坐标为（2,2） .................................4分
∵一次函数的表达式为y＝2x-2
∴当x＝0时，得y＝-2
∴直线y＝2x-2与y轴的交点为（0，-2） ...........................5分
∴ ...............................6分
23.证明：（1） ∵线段AC是线段AD、AB的比例中项
∴AD∶AC＝AC∶AB ......................2分
即＝
∵∠A＝∠A
∴△ACD∽△ABC ..........................4分
∴∠ADC＝∠ACB ..........................5分
解：（2）设AD＝x，则BD＝x+3，AB＝2x+3,
∵点D是线段AB的黄金分割点，
∴BD＝AD·AB ...... ...................6分
∴(x+3)＝x(2x+3) ........................7分
∴x-3x-9＝0
∴x＝ x＝（舍去） ...................... 8分
∴AD＝ ...................... 9分
答：线段AD的长为. ...................... 10分
24.（1）由题意知，点A坐标（0，2），抛物线最高点坐标（4，）
设抛物线解析式为y＝a(x-4)+ ，将A(0，2)代入，得 ...............1分
16a+＝2 ，解得a＝- .............2分
实心球运行高度y与水平距离x之间的函数表达式：
y＝ - (x-4)+或 y＝ -x+x+2 ....................3分
（2）令y＝0代入，得
-（x-4)+＝0 ......................5分
解得 x＝10 ，x＝-2(不符合题意，舍去) ................ 6分
∴OC＝10,即某同学原地掷实心球的成绩为10米. ....................7分
（3）某同学想把他的原地掷实心球成绩提高到12米，则在出手高度不变的情况下，设新的抛物线解析式为y＝ax+bx+c, 将(0,2), (12,0)分别代入，得
144a+12b+2＝0 .....................8分
情况1：设抛物线在最高点时，水平距离为5m ,
.....................9分
..................10分
情况2：设抛物线在最高点时，水平距离为m
.....................9分
....................10分
备注：答案不唯一.学生的取值在m≤x（m）≤5m范围内的，都可以酌情给分.
解：（1）设正方形的边长为x厘米
∴ PN＝PQ＝ED＝x, AE＝AD-ED＝60-x
∵ PN∥BC
∴△APN∽△ABC
∴ ...........................1分
∵ PE∥BD
∴
∴ ...........................2分
即
解得x＝36 .....................3分
答：加工成的正方形零件的边长为36厘米 ..................4分
存在. 设PN＝a，矩形PQMN的面积为S，由（1）可知
∴
解得 .......................5分
......................6分
∴当a＝45时，
∴ PN＝45 ， ......................7分
∴ 面积达到最大时，矩形零件的两条边长分别为45厘米，30厘米 ................8分
（3）长为46.7厘米，宽为28.9厘米..............10分
26.解：（1）把A（0，-6），B（3，-9）代入y＝ax2-4x+c得
解得，所以抛物线解析式为y＝x2-4x-6； ............... 2分
（2）∵y＝x2-4x-6＝（x-2）2-10
∴抛物线的对称轴为直线x＝2 ..........................................3分
把P（m，m）代入y＝x2-4x-6得m2-4m-6＝m
整理得m2-5m-6＝0，解得m1＝-1（舍去），m2＝6，则P点坐标为（6，6 ）...............4分
点P（6，6）关于直线x＝2的对称点为（-2，6）
即点Q的坐标为（-2，6）； ..............5分
（3）如图，连接AP、QP分别交直线x＝2于点E，交y轴于点F
∵P点和Q点关于抛物线的对称轴对称
∴EQ＝EP，
∴EQ+EA＝EP+EA＝AP
∴此时EQ+EA最小，则△QEA的周长最小 ...........7分
设AP的解析式为y＝kx+b，
把A（0，-6），P（6，6）代入得 ，解得 .......8分
∴直线AP的解析式为y＝2x-6
当x＝2时，y＝2x-6＝-2
∴E（2，-2） .................10分
