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6.2 平面向量的运算
6.2.2 向量的减法运算
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点一 相反向量
1.定义：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a.
2.性质
(1)零向量的相反向量仍是零向量.
(2)对于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝0.
(3)若a，b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.
注意点：
(1)相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面进行定义，相反向量必为平行向量．
(2)避免一个误区：即将相反向量等同于方向相反的向量，而是方向相反且模相等的向量．
知识点二 向量的减法
1.定义：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)，因此减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算，叫做向量的减法.
2.几何意义：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量a－b＝，如图所示.
3.文字叙述：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量.
注意点：
(1)向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－＝，就可以把减法转化为加法.
(2)两个向量作差的前提是将两个向量移到共同的起点．
(3)向量减法满足三角形法则. 在用三角形法则作向量减法时，要注意“共起点，连终点，指向被减”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆．
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1.如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且＝，则化简＋－－的结果为( )
A.0 B. C. D.
答案：A
解析：＋－－＝(－)＋(－)＝＋＝－＝0.
2.如图所示，在 ABCD中，＝a，＝b，则用a，b表示向量和分别是( )
A.a＋b和a－b B.a＋b和b－a C.a－b和b－a D.b－a和b＋a
答案：B
解析：由向量的加法、减法法则，得＝＋＝a＋b，＝－＝b－a.
3.在如图所示的四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则＝( )
A.a－b＋c
B.b－(a＋c)
C.a＋b＋c
D.b－a＋c
答案：A
解析：＝－＋＋＝－b＋a＋c＝a－b＋c.故选A.
4.在平面上有A，B，C三点，设m＝＋，n＝－，若m与n的长度恰好相等，则有( )
A.A，B，C三点必在一条直线上
B.△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角
C.△ABC必为直角三角形且∠B为直角
D.△ABC必为等腰直角三角形
答案：C
解析：以，为邻边作平行四边形，则m＝＋＝，n＝－＝－＝，由m，n的长度相等可知，两对角线相等，因此平行四边形一定是矩形．故选C.
5.已知向量|a|＝2，|b|＝4，且a，b不是方向相反的向量，则|a－b|的取值范围是( )
A.(2,6) B.[2,6) C.(2,6] D.[2,6]
答案：B
解析：由已知必有||a|－|b||≤|a－b|＜|a|＋|b|，则所求的取值范围是[2, 6)．故选B.
6.下列等式：①a＋b＝b＋a；②a－b＝b－a；③0－a＝－a；④－(－a)＝a；⑤a＋(－a)＝0.成立的个数是( )
A.5 B.4 C.3 D.2
答案：B
解析：由题意知，①③④⑤成立.
7.若O是△ABC内一点， ＋＋＝0，则O是△ABC的( )
A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心
答案：C
解析：如图，以，为邻边作平行四边形OBDC，则＝＋. 又＋＋＝0，∴＋＝－，∴＝－，∴A，O，D三点共线．设OD与BC的交点为E，则E是BC的中点，∴AE是△ABC的中线．同理可证BO，CO都在△ABC的中线上，∴O是△ABC的重心．故选C.
8.如图，在四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则等于( )
A.a－b＋c B.b－(a＋c) C.a＋b＋c D.b－a＋c
答案：A
解析：＝－＝＋－＝a＋c－b＝a－b＋c.
9.若||＝5，||＝8，则||的取值范围是( )
A.[3,8] B.(3,8) C.[3,13] D.(3,13)
答案：C
解析：∵||＝|－|且|||－|||≤|－|≤||＋||，∴3≤|－|≤13∴3≤||≤13.
10.平面上有三点A，B，C，设m＝＋，n＝－，若m，n的长度恰好相等，则( )
A.A，B，C三点必在同一直线上 B.△ABC必为等腰三角形且∠ABC为顶角
C.△ABC必为直角三角形且∠ABC＝90° D.△ABC必为等腰直角三角形
答案：C
解析：如图所示，作 ABCD，
则＋＝，－＝－＝.∵|m|＝|n|，∴||＝||.∴ ABCD为矩形，∴△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°.
二、填空题
11.如图，已知O为平行四边形ABCD内一点，＝a，＝b，＝c，则＝________.
答案：a＋c－b
解析：由已知＝，则＝＋＝＋＝＋－＝a＋c－b.
12.如图，在△ABC中，若D是边BC的中点，E是边AB上一点，则－＋＝________.
答案：0
解析：－＋＝＋＋＝＋，因为＋＝0，所以－＋＝0.
13.已知＝a，＝b，若||＝12，||＝5，且∠AOB＝90°，则|a－b|＝________.
答案：13
解析：∵||＝12，||＝5，∠AOB＝90°，∴||2＋||2＝||2，∴||＝13.
∵＝a，＝b，∴a－b＝－＝，∴|a－b|＝||＝13.
14.设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，且||＝4，|＋|＝|－|，则||＝____.
答案：2
解析：以AB，AC为邻边作平行四边形ACDB，由向量加减法的几何意义可知，＝＋，＝－，∵|＋|＝|－|，∴||＝||，又||＝4，M是线段BC的中点，∴||＝||＝||＝2.
15.设平面向量a1，a2，a3满足a1－a2＋a3＝0，如果平面向量b1，b2，b3满足|bi|＝2|ai|，且ai顺时针旋转30°后与bi同向，其中i＝1,2,3，则b1－b2＋b3＝________.
答案：0
解析：将ai顺时针旋转30°后得ai′，则a1′－a2′＋a3′＝0.又∵bi与ai′同向，且|bi|＝2|ai|，∴b1－b2＋b3＝0.
三、解答题
16.如图所示，O为△ABC内一点，＝a，＝b，＝c，
求作：(1)向量b＋c－a；(2)向量a－b－c.
解：(1)以，为邻边作 OBDC，如图，连接OD，AD，则＝＋＝b＋c，＝－＝b＋c－a.
(2)由a－b－c＝a－(b＋c)，如图，
作 OBEC，连接OE，则＝＋＝b＋c，连接AE，则＝a－(b＋c)＝a－b－c.
17.如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形内一点，且＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量，，.
解：因为四边形ACDE是平行四边形，
所以＝＝c，＝－＝b－a，
故＝＋＝b－a＋c.
18.已知菱形ABCD的边长为2，求向量－＋的模．
解：如图，
∵－＋＝＋＋＝，
∴|－＋|＝||＝2.
19.如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量，，，及.
解：∵四边形ACDE是平行四边形，
∴＝＝c，＝－＝b－a，＝－＝c－a，＝－＝c－b，
∴＝＋＝b－a＋c.
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高中数学(新RJ·A)必修第二册6.2.2 向量的减法运算 1/1中小学教育资源及组卷应用平台
6.2 平面向量的运算
6.2.2 向量的减法运算
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点一 相反向量
1.定义：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a.
2.性质
(1)零向量的相反向量仍是零向量.
(2)对于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝0.
(3)若a，b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.
注意点：
(1)相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面进行定义，相反向量必为平行向量．
(2)避免一个误区：即将相反向量等同于方向相反的向量，而是方向相反且模相等的向量．
知识点二 向量的减法
1.定义：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)，因此减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算，叫做向量的减法.
2.几何意义：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量a－b＝，如图所示.
3.文字叙述：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量.
注意点：
(1)向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－＝，就可以把减法转化为加法.
(2)两个向量作差的前提是将两个向量移到共同的起点．
(3)向量减法满足三角形法则. 在用三角形法则作向量减法时，要注意“共起点，连终点，指向被减”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆．
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1.如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且＝，则化简＋－－的结果为( )
A.0 B. C. D.
2.如图所示，在 ABCD中，＝a，＝b，则用a，b表示向量和分别是( )
A.a＋b和a－b B.a＋b和b－a C.a－b和b－a D.b－a和b＋a
3.在如图所示的四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则＝( )
A.a－b＋c
B.b－(a＋c)
C.a＋b＋c
D.b－a＋c
4.在平面上有A，B，C三点，设m＝＋，n＝－，若m与n的长度恰好相等，则有( )
A.A，B，C三点必在一条直线上
B.△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角
C.△ABC必为直角三角形且∠B为直角
D.△ABC必为等腰直角三角形
5.已知向量|a|＝2，|b|＝4，且a，b不是方向相反的向量，则|a－b|的取值范围是( )
A.(2,6) B.[2,6) C.(2,6] D.[2,6]
6.下列等式：①a＋b＝b＋a；②a－b＝b－a；③0－a＝－a；④－(－a)＝a；⑤a＋(－a)＝0.成立的个数是( )
A.5 B.4 C.3 D.2
7.若O是△ABC内一点， ＋＋＝0，则O是△ABC的( )
A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心
8.如图，在四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则等于( )
A.a－b＋c B.b－(a＋c) C.a＋b＋c D.b－a＋c
9.若||＝5，||＝8，则||的取值范围是( )
A.[3,8] B.(3,8) C.[3,13] D.(3,13)
10.平面上有三点A，B，C，设m＝＋，n＝－，若m，n的长度恰好相等，则( )
A.A，B，C三点必在同一直线上 B.△ABC必为等腰三角形且∠ABC为顶角
C.△ABC必为直角三角形且∠ABC＝90° D.△ABC必为等腰直角三角形
二、填空题
11.如图，已知O为平行四边形ABCD内一点，＝a，＝b，＝c，则＝________.
12.如图，在△ABC中，若D是边BC的中点，E是边AB上一点，则－＋＝________.
13.已知＝a，＝b，若||＝12，||＝5，且∠AOB＝90°，则|a－b|＝________.
14.设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，且||＝4，|＋|＝|－|，则||＝____.
15.设平面向量a1，a2，a3满足a1－a2＋a3＝0，如果平面向量b1，b2，b3满足|bi|＝2|ai|，且ai顺时针旋转30°后与bi同向，其中i＝1,2,3，则b1－b2＋b3＝________.
三、解答题
16.如图所示，O为△ABC内一点，＝a，＝b，＝c，
求作：(1)向量b＋c－a；(2)向量a－b－c.
17.如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形内一点，且＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量，，.
18.已知菱形ABCD的边长为2，求向量－＋的模．
19.如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量，，，及.
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