河南省商丘市第一高级名校2021-2022学年高一下学期开学测试数学试题（解析版）

2023年
2021~2022学年第二学期开学测试考试试题
高一数学试卷
一 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列各个角中与2020°终边相同的是
A. B. 680° C. 220° D. 320°
2. 已知集合M＝，N＝{x|0≤x≤4}，则M∩N＝（ ）
A. （0，1] B. （1，4] C. [0，1） D. {1，4}
3. 已知幂函数在上增函数，则（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
4. 下列结论中正确的个数是（ ）
①命题“所有四边形都是矩形”是存在量词命题；
②命题“”是全称量词命题；
③命题“”的否定为“”；
④命题“是的必要条件”是真命题；
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
5. 下列函数中是奇函数，且最小正周期为的函数是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知一元二次方程的两个不等实根都在区间内，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
7. 函数的值域为（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知定义在上的奇函数满足.当时，则（ ）
A B. C. 2 D. 4
9. 已知函数，且对于任意的，都有，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
10. 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若函数是偶函数，则的值为（ ）
A. B. 1 C. D.
11. 已知,如果有,则的值为
A. B. 0 C. 0.5 D. 1
12. 已知函数（，e为自然对数的底数），则下列选项错误的是（ ）
A. 函数至多有2个零点 B. 当时，对，总有成立
C. 函数至少有1个零点 D. 当时，方程有3个不同实数根
二 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡上.
13. 某扇形的圆心角为2弧度，周长为4cm，则该扇形面积为_____cm2．
14. 已知函数的图象恒过点P，若点P在角的终边上，则_________．
15. 已知函数，若对任意的正数，满足，则的最小值为_________.
16. 在平面直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若终边经过点，且，定义：，称“”为“正余弦函数”，对于“正余弦函数”，有同学得到以下性质：
①该函数的值域为； ②该函数的图象关于原点对称；
③该函数的图象关于直线对称； ④该函数为周期函数，且最小正周期为；
⑤该函数的递增区间为.
其中正确的是__________．（填上所有正确性质的序号）
三 解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. （1）求值：；
（2）求值：
18. 已知且
（1）求和；
（2）求的值.
19. 已知函数（a是常数，且）的图像过定点，函数.
（1）求证：函数在上单调递增；
（2）解不等式.
20. 冰雪装备器材产业是冰雪产业的重要组成部分，加快发展冰雪装备器材产业，对筹办好北京2022年冬奥会、冬残奥会，带动我国3亿人参与冰雪运动具有重要的支撑作用.某冰雪装备器材生产企业，生产某种产品的年固定成本为300万元，每生产千件，需另投入成本（万元）.当年产量低于60千件时，；当年产量不低于60千件时，.每千件产品售价为60万元，且生产的产品能全部售完.
（1）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；
（2）当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大？最大利润多少？
21. 已知函数的部分图象如图所示.
（1）求函数的解析式和单调增区间；
（2）将函数的图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图象，若关于的方程在区间上有两个不同的解、，求的值及实数的取值范围.
22. 已知函数的图象过点，.
（1）求函数的解析式；
（2）若函数在区间上有零点，求整数k的值；
（3）设，若对于任意，都有，求m的取值范围.
2021~2022学年第二学期开学测试考试试题
高一数学试卷
一 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列各个角中与2020°终边相同的是
A. B. 680° C. 220° D. 320°
【答案】C
【解析】
【分析】
将写为的形式,即可得到结果
详解】由题,,
故选:C
【点睛】本题考查终边相同的角,属于基础题
2. 已知集合M＝，N＝{x|0≤x≤4}，则M∩N＝（ ）
A. （0，1] B. （1，4] C. [0，1） D. {1，4}
【答案】C
【解析】
【分析】化简集合M，利用交集定义求解.
【详解】∵集合M＝＝{x|0≤x＜1}，N＝{x|0≤x≤4}，
∴M∩N＝[0，1）.
故选：C.
3. 已知幂函数在上为增函数，则（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】由于幂函数在在上为增函数，所以可得，求出的值，从而可求出幂函数的解析式，进而可求得答案
【详解】由题意得，得，
则，．
故选：A
4. 下列结论中正确的个数是（ ）
①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；
②命题“”是全称量词命题；
③命题“”的否定为“”；
④命题“是的必要条件”是真命题；
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根据存在量词命题、全称量词命题的概念，命题的否定，必要条件的定义，分析选项，即可得答案.
【详解】对于①：命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题，故①错误；
对于②：命题“”是全称量词命题；故②正确；
对于③：命题，则，故③错误；
对于④：可以推出，所以是的必要条件，故④正确；
所以正确的命题为②④，
故选：C
5. 下列函数中是奇函数，且最小正周期为的函数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由奇偶性的定义可排除BC，结合函数的最小正周期可选出正确答案.
【详解】解：A:得关于原点对称，
又因为，则为奇函数，最小正周期为，A不正确；
B：由可知，为偶函数，故B不正确；
C:由可知，为偶函数，故C不正确;
D: 由可知，为奇函数，最小正周期为，
故选:D
【点睛】本题考查了奇偶性的判断，考查了诱导公式的应用，考查了三角函数最小正周期的求解，属于基础题.
6. 已知一元二次方程的两个不等实根都在区间内，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设，根据二次函数零点分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】设，则二次函数的两个零点都在区间内，
由题意，解得.
因此，实数的取值范围是.
故选：D.
7. 函数的值域为（ ）
A. B.
C D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用二倍角的余弦把函数式化成关于的二次型函数，再换元求解即得.
【详解】，
令，则，
于是有时，，时，，
所以函数的值域为.
故选：D
8. 已知定义在上的奇函数满足.当时，则（ ）
A. B. C. 2 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】由题可得函数的周期为4，结合条件可得，进而可求，即得.
【详解】∵定义在上的奇函数满足，
∴，
∴，即函数的周期为4，
又当时，，，
∴，即，
∴当时，，
∴，
∴.
故选：C.
9. 已知函数，且对于任意的，都有，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可知，函数在上是增函数，则在每一段都是增函数且，由，即可解出实数的取值范围．
【详解】依题可知函数在上是增函数，
∴，解得．
故选：B．
10. 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若函数是偶函数，则的值为（ ）
A. B. 1 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出，其中，再利用是偶函数得，即可求出.
【详解】由题意得，
，其中，
函数是偶函数，，
.
故选：A．
【点睛】关键点睛：本题考查函数值得求解，解题的关键是化简求出和，利用偶函数得出可求解.
11. 已知,如果有,则的值为
A. B. 0 C. 0.5 D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】
构造函数，在上为奇函数且单调递增，计算得到，计算得到答案.
【详解】构造函数，在上为奇函数且单调递增
变换
即，即，
故选：
【点睛】本题考查了函数的奇偶性，单调性，三角函数计算，构造函数是解题的关键.
12. 已知函数（，e为自然对数的底数），则下列选项错误的是（ ）
A. 函数至多有2个零点 B. 当时，对，总有成立
C. 函数至少有1个零点 D. 当时，方程有3个不同实数根
【答案】D
【解析】
【分析】（1）函数 是单调递增的，故最多只要一个零点，
（2）函数是二次函数，对称轴为x=-2，最多也是一个零点，
对于 是分段函数，由m确定了函数的图像，应用以上的特点不难解决题中所提的问题.
【详解】对于函数只有一个零点，即x=0；
对于函数是二次函数，最多也是一个零点，x=-2；
故A正确；
当 时， 和 都是增函数，并且 ，故B正确；
当 时， 有一个零点， 时，有两个零点，
时有一个零点，故C正确；
当m=0时，函数图像如下：
对 ，则 或 ，若，则x=0或x=-2；
若则 ，有4个根，故D错误；
故选：D.
二 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡上.
13. 某扇形的圆心角为2弧度，周长为4cm，则该扇形面积为_____cm2．
【答案】1
【解析】
【详解】设该扇形的半径为，根据题意，因为扇形的圆心角为弧度，周长为，则有，，故答案为.
14. 已知函数的图象恒过点P，若点P在角的终边上，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】由对数函数的性质可得点的坐标，由三角函数的定义求得与的值，再由正弦的二倍角公式即可求解.
【详解】易知恒过点，即，
因为点在角的终边上，所以，
所以，，
所以，
故答案为：.
15. 已知函数，若对任意的正数，满足，则的最小值为_________.
【答案】12
【解析】
【分析】先确定函数奇偶性与单调性，再根得，最后根据基本不等式求最值.
【详解】因为恒成立，所以函数的定义域为，
，，
所以，为奇函数，
又在单调递减，
所以在单调递减，在出连续，
在单调递减，
所以在上单调递减，
，，
，即，
所以
，
当且仅当，即，时，等号成立，
所以的最小值为12.
故答案为：12
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
16. 在平面直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若终边经过点，且，定义：，称“”为“正余弦函数”，对于“正余弦函数”，有同学得到以下性质：
①该函数的值域为； ②该函数的图象关于原点对称；
③该函数的图象关于直线对称； ④该函数为周期函数，且最小正周期为；
⑤该函数的递增区间为.
其中正确的是__________．（填上所有正确性质的序号）
【答案】①④⑤.
【解析】
【详解】分析：根据“正余弦函数”的定义得到函数，然后根据三角函数的图象与性质分别进行判断即可得到结论．
详解：①中，由三角函数的定义可知，
所以，所以是正确的；
②中，，所以，所以函数关于原点对称是错误的；
③中，当时，，所以图象关于对称是错误的；
④中，，所以函数为周期函数，且最小正周期为，所以是正确的；
⑤中，因为，令，
得，即函数的单调递增区间为，所以是正确的，
综上所述，正确命题的序号为①④⑤．
点睛：本题主要考查了函数的新定义的应用，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中根据函数的新定义求出函数的表达式是解答的关键，同时要求熟练掌握三角函数的图象与性质是解答额基础，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．
三 解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. （1）求值：；
（2）求值：
【答案】（1）13；（2）5
【解析】
【分析】（1）根据指数、对数运算性质求解即可.
（2）根据诱导公式化简求值即可.
【详解】（1）原式
.
（2）原式
.
18. 已知且
（1）求和；
（2）求的值.
【答案】(1) , (2)
【解析】
【分析】
（1）由，则，，根据可得，结合平方关系可求解.
(2)先求出，然后由，求出的值，可得答案.
【详解】(1)由，则，
由，即 即
由，则，
所以
（2）
所以，所以
又，所以
【点睛】关键点睛：本题考查已知三角函数值求三角函数值和求角，解答本题的关键是弄清楚角的范围，在利用平方关系求正弦和余弦时的符号，利用角的变换关系得到，从而求出的值，属于中档题.
19. 已知函数（a是常数，且）的图像过定点，函数.
（1）求证：函数在上单调递增；
（2）解不等式.
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）求函数的定点坐标，从而得函数解析式，然后利用函数单调性的定义证明，任取，作差并化简，并判断的正负，从而根据定义说明单调性；
（2）先证明得函数为奇函数，将不等式变形为，然后根据函数的单调性即可得解.
【小问1详解】
因为的图像过定点，所以，所以定点坐标为，则，所以函数解析式为.任取，则
，
因为，所以，，，
所以，即，
所以函数在上单调递增.
【小问2详解】
因为函数的定义域为，且，
所以函数为奇函数，所以变形为
，
当时，，所以不等式转化为，
解集为，不符合题意；
当时，，在上单调递减，在上单调递增，
所以不等式转化为，解得，
所以不等式的解集为.
【点睛】利用函数单调性的定义的证明题，一般需要先在区间上取值，然后作差，并且因式分解，从而判断的正负号，即可判断出函数的单调性.
20. 冰雪装备器材产业是冰雪产业的重要组成部分，加快发展冰雪装备器材产业，对筹办好北京2022年冬奥会、冬残奥会，带动我国3亿人参与冰雪运动具有重要的支撑作用.某冰雪装备器材生产企业，生产某种产品的年固定成本为300万元，每生产千件，需另投入成本（万元）.当年产量低于60千件时，；当年产量不低于60千件时，.每千件产品售价为60万元，且生产的产品能全部售完.
（1）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；
（2）当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）当该企业年产量为50千件时，所获得利润最大，最大利润是950万元
【解析】
【分析】(1)根据题意，分段写出年利润的表达式即可；
（2）根据年利润的解析式，分段求出两种情况下的最大利润值，比较大小，可得答案.
【小问1详解】
当时，；
当时，.
所以；
【小问2详解】
当时，.
当时，取得最大值，且最大值为950.
当时，
当且仅当时，等号成立.
因为，
所以当该企业年产量为50千件时，所获得利润最大，最大利润是950万元.
21. 已知函数的部分图象如图所示.
（1）求函数的解析式和单调增区间；
（2）将函数的图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图象，若关于的方程在区间上有两个不同的解、，求的值及实数的取值范围.
【答案】（1），增区间为；
（2），.
【解析】
【分析】（1）结合图象和，求得的值，再根据，，求得的解析式，然后利用正弦函数的单调性，即可得解；
（2）根据函数图象的变换法则写出的解析式，再结合正弦函数的对称性以及图象，即可得解.
【小问1详解】
解：设的最小正周期为，由图象可知，则，
故，
又，所以，即，
所以，所以，
因为，所以，所以，所以，
所以，
令，则，
故的单调增区间为.
【小问2详解】
解：将函数的图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），得的图象，
由，知，
由可得，由可得，
若关于的方程在区间上有两个不同的解、，
则点、关于直线对称，
故，所以，，
作出函数与函数在区间上的图象如下图所示：
由图可知，当时，即当时，
函数与函数在区间上的图象有两个交点.
综上所述，，实数的取值范围是.
22. 已知函数的图象过点，.
（1）求函数的解析式；
（2）若函数在区间上有零点，求整数k的值；
（3）设，若对于任意，都有，求m的取值范围.
【答案】（1）；（2）取值为2或3；（3）.
【解析】
【分析】
（1）根据题意，得到，求得的值，即可求解；
（2）由（1）可得，得到，设，根据题意转化为函数在上有零点，列出不等式组，即可求解；
（3）求得的最大值，得出，得到，设，结合单调性和最值，即可求解.
【详解】（1）函数的图像过点，所以，解得，
所以函数的解析式为.
（2）由（1）可知，，
令，得，
设，则函数在区间上有零点，
等价于函数在上有零点，所以，解得，
因为，所以取值为2或3.
（3）因为且，所以且，
因为，
所以的最大值可能是或，
因为
所以，
只需，即，
设，在上单调递增，
又，∴，即，所以，
所以m的取值范围是.
【点睛】已知函数的零点个数求解参数的取值范围问题的常用方法：
1、分离参数法：一般命题的情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从中分离出参数，构造新的函数，求得新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，从而确定参数的取值范围；
2、分类讨论法：一般命题的情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类的标准，在每个小区间内研究函数零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各校范围并在一起，即为所求的范围.