2023届安徽省名校联盟高三下学期开学模拟考试
数学
满分150分，考试用时120分钟
注意事项；
1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号，座位号等相关信息填写在答题卡指定区域内，并用2B铅笔填涂相关信息.
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.
一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，则（ ）．
A. {3} B. {1，3} C. {3，4} D. {1，3，4}
2．已知i为虚数单位，则复数（ ）
A. B. C. D.
3．已知在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝，点D在线段BC上，且S△ACD＝3S△ABD，则AB·AD的值为（ ）
A. B. C. D.
4．古希腊亚历山大时期的数学家帕普斯在《数学汇编》第3卷中记载着一个确定重心的定理：“如果同一平面内的一个闭合图形的内部与一条直线不相交，那么该闭合图形围绕这条直线旋转一周所得到的旋转体的体积等于闭合图形面积乘以该闭合图形的重心旋转所得周长的积”，即V＝sl（V表示平面图形绕旋转轴旋转的体积，s表示平面图形的面积，l表示重心绕旋转轴旋转一周的周长）．如图直角梯形ABCD，已知AD∥BC，AB⊥AD，AD＝4，BC＝2，，则重心G到AB的距离为（ ）
A. B. C. 3 D. 2
5．已知双曲线的焦点关于渐近线的对称点在双曲线E上，则双曲线E的离心率为（ ）
A. 2 B. C. D.
6．已知数列满足，,则的前项积的最大值为（ ）
A. B. C. 1 D. 4
7．若函数f(x)在其定义域内存在实数满足f(-x)＝-f(x)，则称函数f(x)为“局部奇函数”．已知函数是定义在R上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8．如图，在三棱锥A—A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，∠A1B1C1＝90°，A1B1＝2AA1＝2B1C1＝2，P为线段AB1的中点，M，N分别为线段AC1和线段B1C1上任意一点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D. 2
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知a＞b＞0，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10．已知函数满足，其图象向右平移个单位后得到函数y＝g(x)的图象，且y＝g(x)在上单调递减，则（ ）
A. B. 函数f(x)的图象关于对称
C. s可以等于5 D. s的最小值为2
11．已知O为坐标原点，点F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点，直线：交抛物线C于A，B两点（不与P点重合），则以下说法正确的是（ ）
A. B. 存在实数，使得
C. 若AF＝2FB，则 D. 若直线PA与PB的倾斜角互补，则
12．已知定义在R上的函数f(x)的图像连续不间断，当时，，且当时，，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. f(x)在上单调递增
C. 若，则
D. 若是在区间内的两个零点，且，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知圆，若过定点有且仅有一条直线被圆截得弦长为2，则可以是__________．（只需要写出其中一个值，若写出多个答案，则按第一个答案计分.）
14．已知在四面体中，，则该四面体外接球的表面积为__________．
15．已知函数，若函数的图象经过四个象限，则实数的取值范围是 ．
16．已知数列{an}满足，记（其中表示不大于的最大整数，比如），则__________．（参考数据：ln 2≈0.6931，ln 3≈1.0986，ln 5≈1.6094，e≈2.718，e0.8≈2.2255）
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知正项数列的前n项和为，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前n项和为，证明：.
18．（12分）在①,②,③,．这三个条件中任进一个,补充在下面问题中并作答．
已知中,内角所对的边分别为,且________．
（1）求的值;
（2）若,求的周长与面积．
19．（12分）由中央电视台综合频道(CCTV-1)和唯众传媒联合制作的《开讲啦》是中国首档青年电视公开课．每期节目由一位知名人士讲述自己的故事，分享他们对于生活和生命的感悟，给予中国青年现实的讨论和心灵的滋养，讨论青年们的人生问题，同时也在讨论青春中国的社会问题，受到了青年观众的喜爱．为了了解观众对节目的喜爱程度，电视台随机调查了A，B两个地区的100名观众，得到如下所示的2×2列联表．
非常喜欢 喜欢 合计
A 30 15
B x y
合计
已知在被调查的100名观众中随机抽取1名，该观众来自B地区且喜爱程度为“非常喜欢”的概率为0．35．
(1)现从100名观众中根据喜爱程度用分层抽样的方法抽取20名进行问卷调查，则应抽取喜爱程度为“非常喜欢”的A，B地区的人数各是多少？
(2)完成上述表格，并根据表格判断是否有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系．
(3)若以抽样调查的频率为概率，从A地区随机抽取3人，设抽到喜爱程度为“非常喜欢”的观众的人数为X，求X的分布列和期望．
附：，，
0.05 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
20．（12分）如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，，，，.
（1）证明：；
（2）若平面ADEF⊥平面ABCD，且直线BE与平面ABF所成角的正弦值为，求此时矩形ABCD的面积.
21．（12分）已知椭圆，斜率为的直线与椭圆只有一个公共点
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于两点，点在直线上，且轴，求直线在轴上的截距.
22．（12分）已知函数，．
（1）证明：当时，；
（2）时，设，讨论零点的个数．2023届安徽省名校联盟高三下学期开学模拟考试
数学 答案解析
满分150分，考试用时120分钟
注意事项；
1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号，座位号等相关信息填写在答题卡指定区域内，并用2B铅笔填涂相关信息.
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.
一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，则（ ）．
A. {3} B. {1，3} C. {3，4} D. {1，3，4}
【答案】B
2．已知i为虚数单位，则复数（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
3．已知在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝，点D在线段BC上，且S△ACD＝3S△ABD，则AB·AD的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
4．古希腊亚历山大时期的数学家帕普斯在《数学汇编》第3卷中记载着一个确定重心的定理：“如果同一平面内的一个闭合图形的内部与一条直线不相交，那么该闭合图形围绕这条直线旋转一周所得到的旋转体的体积等于闭合图形面积乘以该闭合图形的重心旋转所得周长的积”，即V＝sl（V表示平面图形绕旋转轴旋转的体积，s表示平面图形的面积，l表示重心绕旋转轴旋转一周的周长）．如图直角梯形ABCD，已知AD∥BC，AB⊥AD，AD＝4，BC＝2，，则重心G到AB的距离为（ ）
A. B. C. 3 D. 2
【答案】A
5．已知双曲线的焦点关于渐近线的对称点在双曲线E上，则双曲线E的离心率为（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】C
6．已知数列满足，,则的前项积的最大值为（ ）
A. B. C. 1 D. 4
【答案】C
7．若函数f(x)在其定义域内存在实数满足f(-x)＝-f(x)，则称函数f(x)为“局部奇函数”．已知函数是定义在R上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
8．如图，在三棱锥A—A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，∠A1B1C1＝90°，A1B1＝2AA1＝2B1C1＝2，P为线段AB1的中点，M，N分别为线段AC1和线段B1C1上任意一点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知a＞b＞0，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
10．已知函数满足，其图象向右平移个单位后得到函数y＝g(x)的图象，且y＝g(x)在上单调递减，则（ ）
A. B. 函数f(x)的图象关于对称
C. s可以等于5 D. s的最小值为2
【答案】BCD
11．已知O为坐标原点，点F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点，直线：交抛物线C于A，B两点（不与P点重合），则以下说法正确的是（ ）
A. B. 存在实数，使得
C. 若AF＝2FB，则 D. 若直线PA与PB的倾斜角互补，则
【答案】ACD
12．已知定义在R上的函数f(x)的图像连续不间断，当时，，且当时，，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. f(x)在上单调递增
C. 若，则
D. 若是在区间内的两个零点，且，则
【答案】ABD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知圆，若过定点有且仅有一条直线被圆截得弦长为2，则可以是__________．（只需要写出其中一个值，若写出多个答案，则按第一个答案计分.）
【答案】1或
14．已知在四面体中，，则该四面体外接球的表面积为__________．
【答案】
15．已知函数，若函数的图象经过四个象限，则实数的取值范围是 ．
【答案】
16．已知数列{an}满足，记（其中表示不大于的最大整数，比如），则__________．（参考数据：ln 2≈0.6931，ln 3≈1.0986，ln 5≈1.6094，e≈2.718，e0.8≈2.2255）
【答案】6064
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知正项数列的前n项和为，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前n项和为，证明：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用计算整理，可得，再利用等差数列的通项公式得答案；
（2）将变形得，利用裂项相消法可得，进一步观察可得证明结论.
【小问1详解】
①，
当时，②，
①-②得，
整理得，，
，
又当时，，解得，
数列是以2为首项，2为公差的等差数列，
；
【小问2详解】
由（1）得，
，
，即
.
18．（12分）在①,②,③,．这三个条件中任进一个,补充在下面问题中并作答．
已知中,内角所对的边分别为,且________．
（1）求的值;
（2）若,求的周长与面积．
【答案】(1)若选①:由正弦定理得,
故,
而在中,,
故,又,
所以,则,
则,
故．
若选②:由,化简得,代入中,整理得,
即,
因为,所以,所以,
则,
故．
若选③:因为,
所以,即,则．
因为,所以,
则,
故．
(2)因为,且,
所以．
由(1)得,则,
由正弦定理得,则．
故的周长为,
的面积为．
19．（12分）由中央电视台综合频道(CCTV-1)和唯众传媒联合制作的《开讲啦》是中国首档青年电视公开课．每期节目由一位知名人士讲述自己的故事，分享他们对于生活和生命的感悟，给予中国青年现实的讨论和心灵的滋养，讨论青年们的人生问题，同时也在讨论青春中国的社会问题，受到了青年观众的喜爱．为了了解观众对节目的喜爱程度，电视台随机调查了A，B两个地区的100名观众，得到如下所示的2×2列联表．
非常喜欢 喜欢 合计
A 30 15
B x y
合计
已知在被调查的100名观众中随机抽取1名，该观众来自B地区且喜爱程度为“非常喜欢”的概率为0．35．
(1)现从100名观众中根据喜爱程度用分层抽样的方法抽取20名进行问卷调查，则应抽取喜爱程度为“非常喜欢”的A，B地区的人数各是多少？
(2)完成上述表格，并根据表格判断是否有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系．
(3)若以抽样调查的频率为概率，从A地区随机抽取3人，设抽到喜爱程度为“非常喜欢”的观众的人数为X，求X的分布列和期望．
附：，，
0.05 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
【解析】(1)应从A地抽取6人，从B地抽取7人
(2)没有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系
(3)
解析：(1)由题意得，解得，
所以应从A地抽取(人)，从B地抽取(人)．
(2)完成表格如下：
非常喜欢 喜欢 合计
A 30 15 45
B 35 20 55
合计 65 35 100
所以的观测值，所以没有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系．
(3)从A地区随机抽取1人，抽到的观众的喜爱程度为“非常喜欢”的概率为，
从A地区随机抽取3人，X的所有可能取值为0，1，2，3，
则，
，
，
．
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
．
20．（12分）如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，，，，.
（1）证明：；
（2）若平面ADEF⊥平面ABCD，且直线BE与平面ABF所成角的正弦值为，求此时矩形ABCD的面积.
【解析】（1）证明：由题意得，四边形为直角梯形，又，，
易知，，
所以，所以. 2分
又因为，，
所以平面，所以. 4分
（2）因为面面且交线为，
所以平面. 5分
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DF为z轴建立如图所示坐标系，
设，，，，，，
所以， 7分
设平面的法向量，，，
则，得，
所以. 9分
设直线与平面所成角为，则
.
解得，所以. 11分
所以. 12分
21．（12分）已知椭圆，斜率为的直线与椭圆只有一个公共点
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于两点，点在直线上，且轴，求直线在轴上的截距.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)根据点在椭圆上可得，又因为直线与椭圆只有一个交点，可得判别式等于零得到方程即可求解； (2)设出直线的方程，利用韦达定理，再表示出在轴上的截距关于坐标的等量关系，即可求解.
【小问1详解】
依题意，直线的方程为，即，
由，消去得.
由于直线与椭圆只有一个公共点，故，
即，
因为在椭圆上，所以，
即，整理得，
解得，
故椭圆的标准方程：.
【小问2详解】
方法一：依题意直线斜率不为0，
可设直线为，则，
联立椭圆方程，可得
，
由韦达定理得，
进而，有
由直线的方程为，得
直线AC在轴上的截距为
故直线在轴的上截距为.
方法二：设，则，则直线的方程为
，
则直线在轴的截距为，
若垂直于轴，
则，
所以直线与轴交点为，截距为.
若不垂直于轴，设直线的方程为.
与椭圆方程联立，得，
由韦达定理有.
直线在轴的截距为
又因为
所以
所以，
所以
所以
故直线在轴上的截距为.
方法三：右焦点为，直线与轴相交于点为的中点为
若垂直于轴，则，
所以直线与轴交点为，截距为.
若不垂直于轴，设直线的方程为
与椭圆方程联立，得，
由韦达定理有
又，得，
故直线的斜率分别为
所以.
因为
所以，即，故三点共线.
因为对于任意直线点都是唯一确定的，
所以，直线与轴交点为，即直线在轴上的截距为.
22．（12分）已知函数，．
（1）证明：当时，；
（2）时，设，讨论零点的个数．
【答案】（1）当时，令
，
当时，，当时，，
∴
得在内单调递增，由，
得当时，，在内单调递减，
当时，，在内单调递增，
∴，即
（2），
当时，由，得，
∴，
由（1）可得；
当时，
由得，
∴在内单调递增
由，
∴，使得，
则当时，，在内单调递减，
当时，，在内单调递增，
由得，
，
∴，使得，
综上，当时在内无零点；
当时在内有一个零点；
