湖南省衡阳县第四中学2022-2023学年高二下学期开学模拟考试数学试卷（创新班）（含解析）

衡阳县四中2022-2023学年高二下学期开学模拟考试
数学试卷（创新班）
一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）
1.记为等差数列的前n项和.若，则的公差为( )
A.1 B.2 C.4 D.8
2.已知P是圆上动点，直线，则点P到直线l距离的最小值为( )
A.5 B.3 C.2 D.1
3.现有5幅不同的油画，2幅不同的国画，7幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有( )
A.7种 B.9种 C.14种 D.70种
4.如图，某圆锥SO的轴截面SAC是等边三角形，点B是底面圆周上的一点，且，点M是SA的中点，则异面直线AB与CM所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
5.在正项等比数列中，，且是和的等差中项，则( )
A.8 B.6 C.3 D.
6.若函数（e为自然对数的底数）的图象上存在四个关于y轴对称的点，则实数m的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.设抛物线的焦点为F，过点且斜率为的直线与C交于M，N两点，则( )
A.5 B.6 C.7 D.8
8.设椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，以为直径的圆与椭圆C在第一象限的交点为P，则直线的斜率为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9.已知等比数列的公比为q，前n项和为，且满足，则下列说法正确的是( )
A.为单调递增数列 B.
C.成等比数列 D.
10.已知正方体的棱长为1，点E、O分别是、的中点，P在正方体内部且满足，则下列说法正确的是( )
A.点A到直线BE的距离是
B.点O到平面的距离为
C.平面与平面间的距离为
D.点P到直线AB的距离为
11.已知函数，若函数的图象在处切线的斜率为3e，则下列结论中正确的是( )
A. B.有极大值
C.有最大值 D.有最小值0
12.已知点P为双曲线所在平面内一点，分别为C的左、右焦点，，线段分别交双曲线于两点，， .设双曲线的离心率为e，则下列说法正确的有( )
A.若平行渐近线，则 B.若，则
C.若，则 D.
三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分．）
13.的展开式中的系数为________（用数字作答）.
14.已知数列的通项公式为，且为严格单调递增数列，则实数的取值范围是________________.
15.若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围为_________.
16.如图，在正四棱锥中，，点M为PA的中点，.若，则实数__________.
四、解答题（共6小题，其中第17题10分，其余各题每题12分，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17.已知数列的前n项的和为.
(I)求出数列的通项公式;
(Ⅱ)数列的前n项的和为，求出数列的前n项和.
18.如图，在棱柱中，平面ABCD，四边形ABCD是菱形，，点N为AD的中点，且.
(1)设M是线段上一点，且.试问：是否存在点M，使得直线平面MNC？若存在，请证明平面MNC，并求出的值；若不存在，请说明理由；
(2)求二面角的余弦值.
19.根据调查，某学校开设了“街舞”、“国棋”、“武术”三个社团，三个社团参加的人数如下表所示：
社团 街舞 围棋 武术
人数 320 240 200
为调查社团开展情况，学校社团管理都采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为n的样本，已知从“围棋”社团抽取的同学比从“街舞”社团抽取的同学少2人．
（1）求三个社团分别抽取了多少同学；
（2）若从“围棋”社团抽取的同学中选出2人担任该社团活动监督的职务，已知“围棋”社团被抽取的同学中有2名女生，求至少有1名女同学被选为监督职务的概率．
20.已知分别是椭圆的左、右焦点，A是C的右顶点，，P是椭圆C上一点，M，N分别为线段的中点，O是坐标原点，四边形OMPN的周长为4.
（1）求椭圆C的标准方程
（2）若不过点A的直线l与椭圆C交于D，E两点，且，判断直线l是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.
21.已知抛物线，抛物线C上横坐标为1的点到焦点F的距离为3.
（1）求抛物线C的方程及其准线方程；
（2）过的直线l交抛物线C于不同的两点A，B，交直线于点E，直线BF交直线于点D.是否存在这样的直线l，使得？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.
22.已知函数.
(1)若恒成立，求a的取值范围；
(2)若函数存在两个极值点，且恒成立，求的取值范围.
答案以及解析
1.答案：C
解析：设等差数列的公差为d，.
2.答案：D
解析：可化为，所以圆心，半径为2，所以圆心C到直线l的距离为，则直线l与圆C相离，所以点P到直线l的最小距离为，故选D.
3.答案：C
解析：分为三类：
从国画中选，有2种不同的选法；从油画中选，有5种不同的选法；从水彩画中选，有7种不同的选法，
根据分类加法计数原理，共有（种）不同的选法；
故选：C.
4.答案：C
解析：以过点O且垂直于平面SAC的直线为x轴，直线OC，OS分别为y轴，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设，
则根据题意可得，，，，
所以，，
设异面直线AB与CM所成角为，
则.故选C.
5.答案：B
解析：设正项等比数列的公比为q，则.
因为，是和的等差中项，所以，
所以，由于，，
所以，，
解得或（舍去），故.故选B.
6.答案：B
解析：由题意知方程在上有两个不同的实数根，故，即在上有两个不同的实数根.令，则的图象与直线在上有两个不同的交点.，当时，，，所以，所以单调递减；当时，，，所以，所以单调递增.所以当时，，又，当时，，所以数形结合可知，实数m的取值范围为.
7.答案：D
解析：设，.由已知可得直线的方程为，即，由得.由根与系数的关系可得，，，，，，故选D.
8.答案：B
解析：解法一 由题意可知，，又由得，所以.因为点P是以为直径的圆与椭圆C在第一象限的交点，故且，所以.又，所以，所以，，所以直线的斜率.故选B.
解法二 因为，故可设，，则，.因为点P在第一象限，所以，又，故，，所以直线的斜率.故选B.
9.答案：BD
解析：本题考查等比数列的通项公式、性质及前n项和.由，可得，解得.当首项时，为单调递减数列，故A错误；，故B正确；假设成等比数列，则，即，等式不成立，则不成等比数列，故C错误；，故D正确.故选BD.
10.答案：BC
解析：如图，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，所以，.
设，则，.
故A到直线BE的距离，故A错.
易知，
平面的一个法向量，则点O到平面的距离，故B对.
，，.
设平面的法向量为，
则所以
令，得，，
所以.
所以点到平面的距离.
因为易证得平面平面，所以平面与平面间的距离等于点到平面的距离，
所以平面与平面间的距离为，故C对.
因为，所以，又，则，所以点P到AB的距离，故D错.
11.答案：ABD
解析：，则，解得，故A正确；，当且仅当时取等号，则有最小值0，故D正确；，当时，，单调递增，当时，时，单调递减，当时，，单调递增，则当时函数取得极大值，故B正确，但该函数没有最大值，故C错误.故选ABD.
12.答案：ACD
解析：本题考查双曲线的定义、离心率问题、焦半径问题.由题意为直角三角形，点P坐标为，直线斜率.不妨设点P在第一象限，如图.
选项A，若平行渐近线，则，得，故A正确.
选项B，若，则.连接(图略)，由，解得，得，故B错误.
选项C，若，则.连接(图略)，由，解得，得，故C正确.
选项D，，，点M的坐标为，代入双曲线方程得，，则，故D正确.故选ACD.
13.答案：0
解析：的展开式通项为，
所以，.
故所求的系数为.
故答案为：0.
14.答案：
解析：由数列是严格单调递增数列，
得，
即，
即恒成立，
又数列是单调递增数列，
所以当时，取得最小值，最小值为3，所以.
15.答案：
解析：由，得，则有两个不相等的实根，即有两个不相等的实根，令，则，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
，
作出的图象，如图所示，
.
16.答案：4
解析：连接AC，交BD于点O，连接OP，以O为原点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，
设，则，，，，，，
设，则.
，，，，
，
，，解得.
17.答案：(Ⅰ)
(Ⅱ)
解析：(Ⅰ)，①
当时，.
当时，，②
①-②得，
则，即数列是首项为1，公比为2的等比数列，
则，
数列的通项公式为.
(Ⅱ)当时，，
当时，，故，
∴数列的通项公式为.
令，
，
则.
又，
.
18.答案：(1)存在，.
(2)余弦值为.
解析：(1)取的中点P，连接CP交于点M，点M即为所求.
证明：连接PN，因为N是AD的中点，P是的中点，所以，
又平面MNC，平面MNC，
所以直线平面MNC.
因为，所以.
所以.
(2)连接AC.
由(1)知.
又平面ABCD，所以平面ABCD.
因为，四边形ABCD是菱形，
所以为正三角形，所以.
以N为坐标原点，NC，ND，NP所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系.
又，所以，
所以点，
则.
设平面的法向量，
则即
令，得.
设平面的法向量，
则即
令，得，
所以，
由图易得二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为.
19．（1）8，6，5（2）．
【分析】（1）设抽样比为x，则由分层抽样可知，“街舞”、“围棋”、“武术”三个社团抽取的人数分别为320x、240x、200x．由题意列出方程，能求出“街舞”、“围棋”、“武术”三个社团抽取的人数．
（2）从“围棋”社团抽取了6人，其中2位女生记为A，B，4位男生记为C，D，E，F，利用列举法能求出从这6位同学中任选2人，至少有1名女生被选中的概率．
【详解】（1）设抽样比为x，则由分层抽样可知，“街舞”、“围棋”、“武术”三个社团抽取的人数分别为 320x、240x、200x．则由题意得320x－240x=2，解得．
故“街舞”、“围棋”、“武术”三个社团抽取的人数分别为、、．
（2）由（1）知，从“围棋”社团抽取的同学为6人，其中2位女生记为A，B；4位男生记为C，D，E，F，从中选出2人担任该社团活动监督的职务有15种不同的结果，，，，，，
，，，，，，，，，
至少有1名女同学被选为监督职务有9种不同的结果，
，，，，，，，，，
所以至少有1名女同学被选为监督职务的概率．
【点睛】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意古典概型概率公式、列举法的合理运用．
20.答案：(1)标准方程为.
(2)过定点.
解析：(1)M，N分别为线段的中点，O是坐标原点，
，
四边形OMPN的周长为，
，
，
，
椭圆C的标准方程为.
(2)设，
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，
代入，整理得，
则，
.
易知，
，
化简得，
或(舍去)，
直线l的方程为，即，直线l过定点.
当直线l的斜率不存在时，设，
代入，解得，
由得，
，解得或(舍去)，
此时直线l过点.
综上，直线l过定点.
21.答案：（1），准线方程为
（2）存在这样的直线l，使得，直线l的方程为或
解析：（1）因为横坐标为1的点到焦点的距离为3，所以，解得，
所以，
所以准线方程为.
（2）显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为，，.
由消去y，得.
令，解得.
所以且.
由根与系数的关系得，.
解法一：直线BF的方程为，
又，所以，
所以，
因为，所以直线DE与直线AF的斜率相等.
又，所以.
整理得，即，
化简得，
，即.
所以，整理得，
解得.经检验，符合题意.
所以存在这样的直线l，使得，直线l的方程为或.
解法二：因为，所以，
所以.
整理得，即，
整理得.
解得，经检验，符合题意.
所以存在这样的直线l，使得，直线l的方程为或.
22.答案：(1).
(2)的取值范围是.
解析：(1)由题可知，要使恒成立，即恒成立.
令，则.
当时，，所以在上单调递增，
又，与矛盾，不满足题意.
当时，若，则；
若，则.
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以.
综上，.
(2)由题可知，所以是方程的两个根，
所以，所以，所以.
又，所以.
不妨设，则上式转化为.
令，则在上恒成立.
由，易知.
令，则.
令，则函数的图象开口向下，且对称轴为.
①当，即时，，
则在上恒成立，在上单调递减，
则，符合题意.
②当，即时，，此时存在唯一的，
使得，
则在上单调递增，在上单调递减，从而，不合题意.
综上所述，的取值范围是.