湖南省衡阳县第四中学2022-2023学年高一下学期开学模拟考试数学试卷（平行班）（含解析）

衡阳县四中2022-2023学年高一下学期开学模拟考试
数学试卷 （平行班）
一、单项选择题（共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）
1.已知集合，集合，则( )
A. B.
C. D.
2.若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
3.已知函数若，则实数m的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.已知，，，则( )
A. B. C. D.
5.函数的零点所在的区间为( ).
A. B. C. D.
6.将函数的图像向右平移个单位长度，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数的图像，若为奇函数，则m的最小值为( )
A. B. C. D.
7.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则( ).
A. B. C. D.
8.若平面向量a与b的夹角为60°，，，则等于( ).
A. B. C.4 D.12
二、多项选择题（共4小题，每小题4分，共16分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9.下列函数在上不具有单调性的是( )
A. B. C. D.
10.设，则( )
A. B.
C. D.
11.关于函数，下列描述正确的有( ).
A.函数在区间上单调递增
B.函数的图象关于直线对称
C.若，但，则
D.函数有且仅有两个零点
12.设函数，则下列结论正确的是( )
A.的一个周期为
B.的图象关于直线对称
C.的一个零点为
D.在上单调递减
三、填空题（共4小题，每小题4分，共16分．）
13.命题“”的否定是________.
14.已知向量.若，则________.
15.已知是定义在R上的偶函数，且，.若，则_________________.
16.若函数在上取到最大值A，则的最小值为___________.若函数的图象与直线在上至少有1个交点，则的最小值为__________.
四、解答题（共4小题，其中第17～18题每题各8分，第19～20题每题各10分，共36分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17.某大型企业原来每天成本(单位：万元)与日产量x(单位：吨)之间的函数关系式为，为了配合环境综合整治，该企业积极引进尾气净化装置，每吨产品尾气净化费用为k万元，尾气净化装置安装后当日产量时，总成本.
（1）求k的值；
（2）设每吨产品出厂价为48万元，试求尾气净化装置安装后日产量为多少时，日平均利润最大，其最大值为多少.(日平均利润就是日总利润÷日产量)
18.已知函数.
（1）当时，求函数的零点；
（2）对任意，函数恒有两个不同的零点，求实数a的取值范围.
19.在中，.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，且的面积为，求的周长.
20.已知函数满足，其中，将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象.
(1)求；
(2)求函数的解析式；
(3)求在上的最值及相应的x值.
答案以及解析
1.答案：D
解析：集合，集合，
.故选D.
2.答案：B
解析：因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立.
3.答案：C
解析：当时，单调递增，且；当时，单调递增，且.所以函数在R上单调递增，由，得，解得.
4.答案：A
解析：本题考查函数性质及比大小.，，，所以.
5.答案：B
解析：由题意知的定义域为，且在上单调递增，，，因为，所以，所以，所以在上存在唯一零点.故选B.
6.答案：C
解析：由题意知，将函数的图象向右平移个单位长度，得到，再将的图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数的图像，.为奇函数，，，解得，，，m的最小值为.故选C.
7.答案：B
解析：因为，，，
由正弦定理得.
故选：B.
8.答案：B
解析：因为，所以，又因为向量a与b的夹角为60°，，
所以，所以.
9.答案：CD
解析：A.在上单调递增；B.在上单调递减；C.在上均单调递增，但在上不具有单调性；D.在上单调递增，在上单调递减，而在上不具有单调性.故选CD.
10.答案：BC
解析：因为，所以，所以，故A错误；因为，所以，所以，即，故B正确；因为，所以，则，所以，故C正确；取，可得，此时，故D错误.
11.答案：ABD
解析：函数的图象如图所示.
由图可得函数在区间上单调递增，A正确；
函数的图象关于直线对称，B正确；
若，但，若，关于直线对称，则，C错误；
函数有且仅有两个零点，D正确.
故选ABD.
12.答案：ABC
解析：本题考查二角函数的图象与性质.对于A项，函数的周期为，，当时，周期，故A项正确；对于B项，当时，为最小值，此时的图象关于直线对称，故B项正确；对于C项，，，所以的一个零点为，故C项正确；对于D项，当时，，此时函数有增有减，不是单调函数，故D项错误.
13.答案：
解析：由命题的否定形式可得命题“”的否定是“”.
14.答案：
解析：向量，
，解得.
15.答案：-3
解析：由可得，又，所以.由可得，故，故的一个周期为8，则.
16.答案：，
解析：本题考查由三角函数的最值求参数.要使在区问上取到最大值A，则，；函数与在上至少有1个交点，即函数在区间上至少出现1次最小值，，求得，故的最小值是.
17、（1）答案：
解析：由题意，尾气净化装置安装后总成本，
当日产量时，总成本，代入计算得.
（2）答案：尾气净化装置安装后日产量为8吨时，日平均利润最大，其最大值为4万元.
解析：由(1)可得，
总利润，
日平均利润，
当且仅当，即时取等号.
尾气净化装置安装后日产量为8吨时，日平均利润最大，其最大值为4万元.
18.答案：（1）函数的零点为-1，
（2）实数a的取值范围是
解析：（1）当，时，令，解得或，
所以函数的零点为-1，.
（2）依题意，恒有两个不同的实根，
所以对任意恒成立，且，
即，且，解得且.
所以实数a的取值范围是.
19.答案：（Ⅰ）
（Ⅱ）
解析：（Ⅰ）因为，所以，
因为，所以，所以，.
（Ⅱ）因为的面积，
所以.
由余弦定理可得，
所以，
所以的周长为.
20.答案：(1)
(2)
(3)当时，取得最小值，当时，取得最大值
解析：(1)函数.
又，
，，解得，
又，.
(2)由(1)知，函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数)的图象；
再将得到的图象向左平移个单位，得到的图象，
函数.
(3)当时，，，
由(2)知，
所以当时，取得最小值，
当时，取得最大值.