山东省东营市重点中学2022-2023学年高二下学期开学摸底检测数学试题（含解析）

东营市重点中学2022-2023学年高二下学期开学摸底检测
数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
已知：，，，，，一束光线从F点出发射到BC上的D点经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上不含端点，则FD斜率的取值范围是( )
A． B． C． D．
已知点，点M是圆上的动点，点N是上的动点，则的最大值是( )
A． B． C． D．
位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥如图所示有“仙境之桥”之称，它的桥形可近似地看成抛物线，该桥的高度为h，跨径为a，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为( )
A． B． C． D．
抛物线有一条重要的性质：平行于抛物线的轴的光线，经过抛物线上的一点反射后经过它的焦点．反之，从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．已知抛物线，从点发出一条平行于x轴的光线，经过抛物线两次反射后，穿过点，则光线从A出发到达B所走过的路程为( )
A． 8 B． 10 C． 12 D． 14
对于一切实数x，令为不大于x的最大整数，则函数称为高斯函数或取整函数．若，，为数列的前n项和，则( )
A． B． C． D．
若正项数列中，，，则的值是( )
A． B． C． D．
函数在点处的切线与两坐标轴围成的图形面积是( )
A． 12 B． 9 C． D．
设函数，若关于x的方程恰好有4个不相等的实数解，则实数m的取值范围是( )
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
已知过点的直线l与圆交于两点，O为坐标原点，则下列结论正确的是( )
A． 的最大值为4 B． 的最小值为
C． 点O到直线l的距离的最大值为 D． 的面积为
已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，点P是C上的任意一点，则下列结论正确的是( )
A． 若直线与双曲线C无交点，则
B． 焦点到渐近线的距离为2
C． 点P到两条渐近线的距离之积为
D． 当P与A，B不重合时，直线PA，PB的斜率之积为2
已知数列是公差为d的等差数列，若存在实数d，使得数列满足：可以从中取出无限多项，并按原来的先后次序排成一个等差数列，则下列结论正确的是( )
A． 符合题意的数列有无数多个 B． 符合题意的实数d有无数多个
C． 符合题意的数列仅有一个 D． 符合题意的实数d仅有一个
已知函数，为的导函数，则下列说法正确的是( )
A． 当时，在单调递增
B． 当时，在处的切线方程为
C． 当时，在上至少有一个零点
D． 当时，在上不单调
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若不等式的解集为，且，则__________．
14．已知离心率为的椭圆：和离心率为的双曲线：有公共的焦点，其中为左焦点，P是与在第一象限的公共点，线段的垂直平分线经过坐标原点，则的最小值为__________．
15．设数列满足，，，数列前n项和为，且且若表示不超过x的最大整数，，数列的前n项和为，则的值为__________．
16．已知函数在处取得极值9，则________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB，AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合，将矩形折叠，使A点落在线段DC上，设此点为
若折痕的斜率为，求折痕所在的直线的方程；
若折痕所在直线的斜率为k，为常数，试用k表示点的坐标，并求折痕所在的直线的方程；
当时，求折痕长的最大值．
18．（12分）滴水湖又名芦潮湖，呈圆形，是上海浦东新区南汇新城的中心湖泊，半径约为千米．一“直角型”公路即关于OB对称且与滴水湖圆O相切，如图建立平面直角坐标系．
求直线BC的方程；
现欲在湖边和“直角型”公路围成的封闭区域内修建圆形旅游集散中心，如何设计才能使得旅游集散中心面积最大？求出此时圆心到湖中心O的距离．
19．（12分）已知抛物线E的顶点在原点，焦点为，过焦点且斜率为k的直线交抛物线于P，Q两点，
求抛物线方程；
若，求k的值；
过点作两条互相垂直的直线分别交抛物线E于A，B，C，D四点，且M，N分别为线段AB，CD的中点，求面积的最小值．
20．（12分）在①，；②公差为1，且，，成等比数列；③，，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．
问题：已知等差数列的前n项和为，且满足______．
求数列的通项公式；
令，其中表示不超过x的最大整数，求
21．（12分）设函数
若，求的极值；
讨论函数的单调性；
若，证明：…
22．（12分）已知函数为常数
讨论的单调性
若函数存在两个极值点，且，求的范围．
参考答案
1．【答案】B
【解析】
解：，，，直线BC方程为，直线AC方程为
如图，作F关于BC的对称点P，，，
再作P关于AC的对称点M，则，
连接MA、ME交AC与点N，则直线ME方程为，
连接PN、PA分别交BC为点G、H，
则直线PN方程为，直线PA方程为，
，
连接GF，HF，则G，H之间即为点D的变动范围．
直线FG方程为，直线FH的斜率为，
斜率的范围为
故选：
2．【答案】A
【解析】
解：圆的圆心，
圆的圆心，
这两个圆的半径都是
要使最大，需最大，且最小，
最大值为，的最小值为，
故最大值是
，
故的最大值为，
故选
3．【答案】A
【解析】
解：以桥顶为坐标原点O，桥形的对称轴为y轴建立平面直角坐标系xOy，
由题意可知，该抛物线经过点，则，解得，
故桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为
4．【答案】C
【解析】
解：由题意可知，抛物线的焦点，设光线第一次与抛物线交于，第二次于抛物线交于点，
所以过点F，抛物线的准线方程为，过A作垂直于准线，与准线交于点，
过B作垂直于准线，与准线交于点，
则
故选
5．【答案】A
【解析】
解：由题意，当，，，时均有，
所以
故本题选
6．【答案】A
【解析】
解：正项数列中，时，，
时，，
依次可求，
猜想，
利用数学归纳法正明．
时，显然成立；
假设时，，
当时，，
故，
故时，结论也成立．
故猜想成立．
故，
则，
故选
7．【答案】D
【解析】
解： ，
，
，
函数 在点处的切线的斜率为，
函数 在点处的切线方程为 ，
当时，得，当时，得，
与两坐标轴围成的图形面积是
故选
8．【答案】B
【解析】
解：因为恰好有4个不相等的实数解，
所以恰好有4个不相等的实数解，
所以或共有4个解，
设，，则，
所以时，，单调递增，
时，，单调递减，
且，，
当时，，所以
设，，
则，为单调减函数，
且时，，，
作出函数的图象如图所示：
由图可知只有一解，
要恰好有4个不相等的实数解，
即要恰有3解，
所以，
即，
故选：
9．【答案】AC
【解析】
解：由题意，圆的圆心坐标为，半径为，
易知点在圆C内部，
因为过点的直线l与圆交于两点，
所以的最大值为，所以A正确；
因为，
当直线l与PC垂直时，此时弦取得最小值，
最小值为，所以B错误；
当直线l与OP垂直时，点O到直线l的距离有最大值，
且最大值为，所以C正确；
由，可得，即，
所以的面积为，所以D错误．
故选：
10．【答案】BC
【解析】
解：A中，由双曲线的方程可得渐近线的方程为，
所以与双曲线无交点，则，所以A不正确；
B中，由A知渐近线的方程为，焦点，
所以焦点到渐近线的距离为，所以B正确；
C中，设，因为P在双曲线上，所以，即，
所以P到渐近线的距离之积为
，所以C正确；
D中，由双曲线的方程可得，，
则，所以D不正确；
故选：
11．【答案】AD
【解析】
解：因为存在实数 d，使得数列满足：可以从中取出无限多项，并按原来的先后次序排成一个等差数列，
由等差数列的性质可知，，公差为0，
故选
12．【答案】ABD
【解析】
解：①当时，，则，
当时，，，则，所以在上单调递增，故A正确；
因为，，所以在处的切线方程为，故B正确；
②当时，，则，
设，则，
当时，，，则，
所以在上单调递增，
当时，，在上无零点，故C错误；
当时，，，则，
所以在单调递增，
又，，
由零点存在定理可知，存在唯一，使得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以在上不单调，故D正确．
故选：
13．【答案】
【解析】
解：设，，
则在同一直角坐标系中作出其图象草图如所示
图象为一圆心在原点，半径为2的圆的上半部分，
图象为过定点的直线．
据此，原不等式解集可理解为：半圆上圆弧位于直线下方时圆弧上点的横坐标x所对应的集合．
观察图形，结合题意知，
又，所以，即直线与半圆交点N的横坐标为0，
代入，所以，
可得直线过点，
，
解得
故答案为
14．【答案】
【解析】
解：设为右焦点，半焦距为c，，，由题意，，
则x ，，，
所以 ，从而有，
故，
当仅当时取等，所以，
故答案为：
15．【答案】2023
【解析】
解：当时，，
，
，
，
又，，，
，
是首项为4，公差为2的等差数列．
，
当时，
，
，
当时，
又，
故答案为：
16．【答案】
【解析】
解：，
因为函数在处取得极值9，
，
解得，
，
故答案为
17．【答案】解：折痕的斜率为时，A点落在线段DC上，
折痕必过点，
直线方程为；
①当时，此时A点与D点重合，折痕所在的直线方程
②当时，将矩形折叠后A点落在线段DC上的点记为，
则A与关于折痕所在的直线对称，有，即
点坐标为
从而折痕所在的直线与的交点坐标即线段的中点为，
折痕所在的直线方程，
即
综上所述，由①②得折痕所在的直线方程为：
当时，折痕长为当时，
折痕所在直线交BC于点，交y轴于
，
折痕长的最大值为
综上所述，折痕长度的最大值为
18．【答案】解：由题可得直线BC的倾斜角，设直线BC的方程，，与圆相切，
，
所以直线BC的方程
要使得旅游集散中心面积最大，则圆与湖相切，与直角公路相切，
设此时，圆半径，
则，即，
解得
此时圆心到湖中心O的距离为
19．【答案】解：抛物线E的顶点在原点，焦点为，
如图，若，不妨设，则
设抛物线的准线为l，
过点P作垂足为H，过点Q作，垂足为
，
在中，，，
得，
，
同理时，，
根据题意得AB，CD斜率存在且不为
设，，，，
由，
，
同理可得，
，
，
，
当且仅当时，面积取到最小值
20．【答案】解：选①，设等差数列中，公差为d，因为，，
所以，解得，
所以，
选②，因为等差数列中，公差为1，且，，成等比数列，
所以，即，解得，
所以
选③，因为等差数列中，，，
所以，即，解得，
所以，
解：由知，
因为，，，，
所以当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
所以
21．【答案】解：的定义域是，
当时，，
令，解得：，令，解得：，
在上单调递减，在上单调递增，
，无极大值．
，
①当时，若，则，若，则，
在上单调递减，在上单调递增；
②当即时，
若，则或，若，则，
在上单调递减，在，上单调递增；
③当，即时，恒成立，
在上单调递增；
④当即时，
若，则或，若，则，
在上单调递减，在，上单调递增，
综上：当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递增．
由知在上单调递减，
时，，，
令，得，
，即，
，，，，，
累加得：，

22．【答案】解：，
，当时，，在定义域上单调递增，
当时，在定义域上，单调递增，
，在定义域上单调递增，
当时，令得，，
则在，上单调递增，在上单调递减；
由知有两个极值点则，
的二根为，，
则，，
，
设，又，
则，，
在递增，
即的范围是