2023年中考数学专题复习讲义——定角问题（花生模型）（无答案）
文档属性
| 名称 | 2023年中考数学专题复习讲义——定角问题（花生模型）（无答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 132.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-02-03 08:20:06 | ||
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文档简介
中考专题复习——定角问题（花生模型）
模型建构 ：
当∠P保持不变，∠P所对的边AB长为定值，则∠P 的顶点P 的轨迹为两条圆弧（除A、B两点）.
简称：定边对定角（花生模型）
【类型1 定边对直角模型】
动态问题中一般会出现多个直角，往往会有一个直角所对斜边是固定不变的，选取该斜边中点为圆心，斜边中线为半径.
模型构建：如图1，已知AB为定长，平面内的动点P满足∠APB=90°，则点P的轨迹是以AB为直径的圆（除A、B外），如图2，可称为“定长对直角”模型.
图1 图2
例1. 在正方形ABCD 中，AD＝2，E，F 分别为边DC，CB 上的点，且始终保持DE＝CF，连接AE 和DF 交于点P，则线段CP 的最小值为___________.
举一反三
1.如图1，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠APB=90°，则线段CP长的最小值为 ．
2.如图2，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，D为AC上一动点，以AD为直径的⊙O交BD于E，则线段CE的最小值为 ．
3．如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BC=，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为 ．
4.如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为⊙O上一动点， CF⊥AE于F．则弦AB的长为 ，当点E在上运动的过程中，线段FG的最小值为 ．
【类型2 定边对定角（不是直角）模型】
模型构建：如图1，已知AB为定长，平面内的动点P满足∠APB=（为锐角），则点P的轨迹是以AB为弦的一段优弧APB（除A、B外），如图2，可称为“定长对定角”模型.
图1 图2 图3
注：当∠APB=为钝角时（图3），则点P的轨迹是以AB为弦的一段劣弧AB（除A、B外）.
例题1：如图1，在△ABC中，BC=4，∠BAC=60°，请你利用直尺和圆规在平面内找一点P，
使得点P到边AB、BC的距离相等，且∠BPC=60°.
例题2.（1）如图1，点A、B、C分别是⊙O上不重合的三点，连接AC、BC. 点P是直线AB上方且在⊙O外的任意一点， 连接AP、BP.试比较∠APB与∠ACB的大小关系，并说明理由；
（2）如图2，若点Q是⊙O内任意一点， 连接AQ、BQ，则∠AQB ∠ACB；
（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A与点B的坐标分别是（1，0），（7，0）．
①若在第一象限内有一点P，且满足∠APB=45°，请你利用直尺和圆规在y轴正半轴上找一点Q，使得∠AQB=45°，试问：这样的点Q有几个？你能求出点Q的坐标吗？
图1 图2
图3
②若点C是y轴正半轴上一个动点，试问∠ACB是否有最大值？
如果有，请求出点C的坐标；如果没有请说明理由．
举一反三
1.在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A、B、C的坐标分别为A（，0）、B（3，0）、C（0，5），点D在第一象限内，且∠ADB＝60°，则线段CD的长的最小值是（ ）
A．2﹣2 B．2
C．2 D．2
追问1 线段CD的长的最大值是 ．
追问2 如果将2中的∠ADB改为30°，线段CD的长的最小值是 ．
2.在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A、B、C的坐标分别为A（，0）、B（3，0）、C（0，5），点D在第一象限内，且∠ADB＝45°，则线段CD的长的最小值是___________.
3.如图，已知△ABC，在BC的左侧找一点E，使得∠BEC=∠BAC，CE=BE.
4.如图，在 □ABCD中，∠ABC为锐角，AB＜BC，点E是AD上的一点，延长CE到F，连接BF交AD于点G， 使∠FBC＝∠DCE．
（1）求证：∠BFC＝∠D．
（2）在直线AD找一点P，使得∠BPC＝∠D．（在原图中标出准确P点的位置，必要时用直尺和圆规作出P点，保留作图的痕迹，不写作法）
类型4 对角互补时，有辅助圆
如图， 若∠P+∠1=180°，则A、P、B、Q
四点在同一个圆上
如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（-3，0）；B（1，1），C（0，3）.过点B作BD⊥x轴，垂足为点D，连接CD.
（1）若点M是y轴上一点，当AM⊥CD时，点M 的坐标为______；
（2）若点P是△ABC的外心，求点P的坐标；
（3）在x轴上是否存在点Q，使得∠BQD=∠ACB，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由.
举一反三
1.如图，已知平面直角坐标系中，直线y＝kx（k≠0）经过点（a，a）（a＞0）．线段BC的两个端点分别在x轴与直线y＝kx上（B、C均与原点O不重合）滑动，且BC＝2，分别作BP⊥x轴，CP⊥直线y＝kx，交点为P，经探究在整个滑动过程中，P、O两点间的距离为定值_____________．
模型建构 ：
当∠P保持不变，∠P所对的边AB长为定值，则∠P 的顶点P 的轨迹为两条圆弧（除A、B两点）.
简称：定边对定角（花生模型）
【类型1 定边对直角模型】
动态问题中一般会出现多个直角，往往会有一个直角所对斜边是固定不变的，选取该斜边中点为圆心，斜边中线为半径.
模型构建：如图1，已知AB为定长，平面内的动点P满足∠APB=90°，则点P的轨迹是以AB为直径的圆（除A、B外），如图2，可称为“定长对直角”模型.
图1 图2
例1. 在正方形ABCD 中，AD＝2，E，F 分别为边DC，CB 上的点，且始终保持DE＝CF，连接AE 和DF 交于点P，则线段CP 的最小值为___________.
举一反三
1.如图1，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠APB=90°，则线段CP长的最小值为 ．
2.如图2，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，D为AC上一动点，以AD为直径的⊙O交BD于E，则线段CE的最小值为 ．
3．如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BC=，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为 ．
4.如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为⊙O上一动点， CF⊥AE于F．则弦AB的长为 ，当点E在上运动的过程中，线段FG的最小值为 ．
【类型2 定边对定角（不是直角）模型】
模型构建：如图1，已知AB为定长，平面内的动点P满足∠APB=（为锐角），则点P的轨迹是以AB为弦的一段优弧APB（除A、B外），如图2，可称为“定长对定角”模型.
图1 图2 图3
注：当∠APB=为钝角时（图3），则点P的轨迹是以AB为弦的一段劣弧AB（除A、B外）.
例题1：如图1，在△ABC中，BC=4，∠BAC=60°，请你利用直尺和圆规在平面内找一点P，
使得点P到边AB、BC的距离相等，且∠BPC=60°.
例题2.（1）如图1，点A、B、C分别是⊙O上不重合的三点，连接AC、BC. 点P是直线AB上方且在⊙O外的任意一点， 连接AP、BP.试比较∠APB与∠ACB的大小关系，并说明理由；
（2）如图2，若点Q是⊙O内任意一点， 连接AQ、BQ，则∠AQB ∠ACB；
（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A与点B的坐标分别是（1，0），（7，0）．
①若在第一象限内有一点P，且满足∠APB=45°，请你利用直尺和圆规在y轴正半轴上找一点Q，使得∠AQB=45°，试问：这样的点Q有几个？你能求出点Q的坐标吗？
图1 图2
图3
②若点C是y轴正半轴上一个动点，试问∠ACB是否有最大值？
如果有，请求出点C的坐标；如果没有请说明理由．
举一反三
1.在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A、B、C的坐标分别为A（，0）、B（3，0）、C（0，5），点D在第一象限内，且∠ADB＝60°，则线段CD的长的最小值是（ ）
A．2﹣2 B．2
C．2 D．2
追问1 线段CD的长的最大值是 ．
追问2 如果将2中的∠ADB改为30°，线段CD的长的最小值是 ．
2.在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A、B、C的坐标分别为A（，0）、B（3，0）、C（0，5），点D在第一象限内，且∠ADB＝45°，则线段CD的长的最小值是___________.
3.如图，已知△ABC，在BC的左侧找一点E，使得∠BEC=∠BAC，CE=BE.
4.如图，在 □ABCD中，∠ABC为锐角，AB＜BC，点E是AD上的一点，延长CE到F，连接BF交AD于点G， 使∠FBC＝∠DCE．
（1）求证：∠BFC＝∠D．
（2）在直线AD找一点P，使得∠BPC＝∠D．（在原图中标出准确P点的位置，必要时用直尺和圆规作出P点，保留作图的痕迹，不写作法）
类型4 对角互补时，有辅助圆
如图， 若∠P+∠1=180°，则A、P、B、Q
四点在同一个圆上
如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（-3，0）；B（1，1），C（0，3）.过点B作BD⊥x轴，垂足为点D，连接CD.
（1）若点M是y轴上一点，当AM⊥CD时，点M 的坐标为______；
（2）若点P是△ABC的外心，求点P的坐标；
（3）在x轴上是否存在点Q，使得∠BQD=∠ACB，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由.
举一反三
1.如图，已知平面直角坐标系中，直线y＝kx（k≠0）经过点（a，a）（a＞0）．线段BC的两个端点分别在x轴与直线y＝kx上（B、C均与原点O不重合）滑动，且BC＝2，分别作BP⊥x轴，CP⊥直线y＝kx，交点为P，经探究在整个滑动过程中，P、O两点间的距离为定值_____________．
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