2023年中考数学专题复习讲义——二次函数背景下的倍角、半角与等角（无答案）

中考专题复习——二次函数背景下的倍角、半角与等角
在坐标系中构造已知角的半角或二倍角，角可以单独出现，也可以存在于某个几何图形中，因此，构造半角、二倍角的方法也并不唯一，常用如下∶
一．解题策略回顾：已知一个角的三角函数值怎样求它的倍半角的三角函数值
(1) 如图，在△ABC中，∠C=90°，若∠B的三角函数值已知，怎样求∠B一半角的三角函数值？
通常的方法：延长CB到点D，使得BD=BA，则可得∠D=∠ABC.
(2) 如图，在△ABC中，∠C=90°，BC>AC，若∠B的三角函数值已知，怎样求∠B两倍角的三角函数值？
通常的方法：作斜边AB的垂直平分线DE，交BC于点D，交AB于点E，则可得∠ADC=2∠ABC.
二、例题讲解：
1．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点D为直线AC上方抛物线上一动点，过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点D为直线AC上方抛物线上一动点，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，连接CD，是否存在点D，使得△CDE中的某个角恰好等于∠OCA的一半？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．
3.如图，已知：抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）与x轴相交于A、B两点，与y轴的交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式的一般式．
（2）若抛物线上有一点P，满足∠ACO＝∠PCB，求P点坐标．
（3）直线l：y＝kx﹣k+2与抛物线交于E、F两点，当点B到直线l的距离最大时，求△BEF的面积．
当堂训练：
1.如图，抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线经过点B、C.
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点A的直线交直线BC于点M.
①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B、C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；
②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标.
2.如图，抛物线 y= x +bx+c交x轴于A、B两点，其中点A坐标为（1，0），与y 轴交于点C（0，-3）.
（1）求抛物线的函数表达式;
（2）如图，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB=2∠ACO.求点P的坐标；
3.如图，在平面直角坐标系中，直线 与x 轴交于点A，与y 轴交于点 B，抛物线 经过 A、B 两点且与x 轴的负半轴交于点 C.
（1）求该抛物线的解析式;
（2）若点D为直线AB 上方抛物线上的一个动点，当∠ABD=2∠BAC时，求点D的坐标.
4.如图1，四边形OABC 是矩形，点A的坐标为（3，0），点 C的坐标为（0，6），点 P 从点 0出发，沿 OA 以每秒1个单位长度的速度向点A出发，同时点Q从点A出发，沿 AB 以每秒 2 个单位长度的速度向点 B 运动，当点P与点A重合时运动停止．设运动时间为 t秒.
问题∶当 t=1时，抛物线 y=x"+bx+c 经过P、Q两点，与y 轴交于点M，抛物线的顶点为 K，如图所示，问该抛物线上是否存在点 D，使∠MQD= ∠MKQ 若存在，求出所有满足条件的 D的坐标；若不存在，说明理由.